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江苏省苏州市吴中、吴江、相城区2023年中考三模数学试题
一、单选题
1．（2023·相城模拟）下列四个实数中最大的是（　　）
A．-2 B． C．-1 D．
2．（2023·相城模拟）苏州围绕打造“处处皆景、城在园中”的“公园城市”目标，扎实推进民生实事项目口袋公园建设.2022年全年苏州各级园林绿化部门共投入资金145000000元进行新建、改建口袋公园，为市民打造更多家门口的幸福.145000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·相城模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023·相城模拟）如图，在中，，，按以下步骤作图：第一步，一点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点．则的长为（　　）
A． B．8 C． D．10
5．（2023·相城模拟）为激励青少年爱读书、读好书、善读书，某校积极开展全员阅读活动．小吴为了了解本班同学一月的课外阅读量，随机选取班上部分同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图）下列说法中，正确的是（　　）
A．随机选取了14名同学 B．中位数是2本
C．众数是4本 D．平均数是2.4本
6．（2023·相城模拟）如图，正方形内接于，现有一小球可在内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形的边界忽略不计）的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·相城模拟）定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（　　）
A． B．3 C． D．
8．（2023·相城模拟）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．（2023·相城模拟）计算：　 　．
10．（2020·成都模拟）要使代数式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
11．（2018·兴化模拟）若 ，则 =　 　．
12．（2023·相城模拟）如图，是的直径，弦交于点，，连接．若，，则　 　．
13．（2023·相城模拟）已知圆锥底面圆直径为，母线长为，该圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为　 　．
14．（2023·相城模拟）关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是　 　．
15．（2023·相城模拟）如图，直线与轴，轴分别交于点，，已知点坐标为，点是线段（不与点A，重合）上一点，连接线段，．若，则点坐标为　 　．
16．（2023·相城模拟）如图，在中，，，以为边在下方作，连接，已知，，则的最大值为　 　．
三、解答题
17．（2023·相城模拟）计算：．
18．（2019·南京）解方程 .
19．（2023·相城模拟）已知，求的值．
20．（2023·相城模拟）为缓减校园周边道路的交通压力，及时调整学生上学时间，某校需要了解本校学生的上学方式，学生可以从“：步行，：骑自行车，：乘坐公共交通，：家用汽车接送，：其他方式”．五个选项中进行选择．
（1）学生甲随机选择“：乘坐公共交通”方式的概率为　 　．
（2）若两名学生分别从，，，，五种上学方式中随机选择一种，求两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
21．（2023·相城模拟）如图，，交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2023·相城模拟）适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义．为了解八年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 家务劳动总时间分组 频数
5
7
10
19
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，　 　
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是　 　．
（3）请估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数．
23．（2023·相城模拟）如图，反比例函数的图像经过边长为4的正方形的顶点A，与正方形的边交于点，且．
（1）求的值；
（2）若点是正方形边上不与点重合的点，连接，，当的面积为时，求点的坐标．
24．（2023·相城模拟）为迎接五一假期的到来，某景区一商户准备了两种当地特产礼盒，按成本价1件A种礼盒和2件种礼盒共需320元，2件A种礼盒和3件种礼盒共需540元．
（1）求A、两种礼盒每件的成本价分别是多少元？
（2）若种礼盒的售价为每件150元，种礼盒的售价为每件120元．商户原计划在五一当天将现有的、两种礼盒共56件按售价全部售出，但在实际销售过程中56件商品没有全部售完，两种礼盒的实际销售利润总和为1320元．五一当天商户最多卖出种礼盒多少件？
25．（2023·相城模拟）如图，已知，是的两条直径，直径平分，的一边与和直径分别交于点，，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
26．（2023·相城模拟）如图，拋物线（a是常数且）与轴交于点，两点（点位于点右侧），与轴交于点，点为拋物线的顶点，且点的坐标为，连接，，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点为抛物线上的点，连接，当时，求点的坐标；
（3）若在轴上总存在一点，且点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围．
27．（2023·相城模拟）
（1）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．
请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
（2）【初步运用】
如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
（3）【灵活运用】
如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】本题考查的是实数的大小比较，可以借助数轴来比较实数的大小，也可以利用实数大小比较的法则进行比较.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】把一个数写成的形式（其中，是整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，是的角平分线，
，，
，，
，
故答案为：A.
【分析】根据作图步骤可知AE是角平分线，再利用等腰三角形的性质、勾股定理求边长.
5．【答案】D
【知识点】利用统计图表分析实际问题；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、1+2+4+6+2=15（人），A错误；
B、阅读量依次排列为：0，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，故中位数为3本，B错误；
C、阅读量为3本的人数最多，故众数是3本，C错误；
D、（本），D正确.
故答案为：D.
【分析】将每个阅读量数据的人数加起来就是总人数；
将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排序，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数；
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数；
一组数据中所有数据之和除以数据个数的商叫做这组数据的平均数.
6．【答案】C
【知识点】正方形的性质；几何概率；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接、，
四边形是正方形，
，，，
，是的直径，
，，
，
故答案为：C.
【分析】本题所求的概率就是指正方形与圆的面积之比，观察图形可知正方形的边长与圆的半径有数量关系，根据面积公式直接求比即可.
7．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：将直线平移至直线，使得直线与抛物线只有一个交点，
作轴，
就是两个函数的完美距离，
设直线解析式为，
，
，
直线与抛物线只有一个交点，
，
解得 ，
，
当时，，
，
轴，
当时，，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题中的完美距离就是指直线通过平移与抛物线只有一个交点时，交点到原直线平行y轴方向的距离.先求出直线平移后的解析式和交点坐标，再通过相同横坐标求出原直线对应的点坐标，求出两点之间的距离即可.
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，当点在上时，作，
，
四边形是矩形，
，，，
，
当点在上时，的值不变，
观察函数图象可得 ，
，
点是的中点，
，
，
，
如图，当点在上时，作，
，
的值逐渐减少，
观察函数图象可得 ，
，
即，
，
故答案为：B.
【分析】本题的关键是利用函数图象解决动点问题，观察图可知，点P在AE上运动时，的面积不变；点P在BE上运动时，的面积逐渐减少.观察图可知，在AE上运动时间为a，的面积为12a，在BE上运动时间为5.再利用面积公式求出线段长度，进而得到a的值.
9．【答案】0.4
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：||=.
故答案为：.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数进行解答.
10．【答案】x≥4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式 有意义，
则x-4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，即可得出答案．
11．【答案】2
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵ ，
∴=(x-1+1)2=1
故答案为：2.
【分析】利用完全平方公式将代数式分解因式，然后再整体代入即可算出答案。
12．【答案】53°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧BC=弧BC，∠A=34°，
∴∠A=∠D=34°.
∵∠AED=∠B+∠D=87°，
∴∠B=87°-34°=53°.
故答案为：53°.
【分析】由圆周角定理可得∠A=∠D=34°，根据外角的性质可得∠AED=∠B+∠D=87°，据此计算.
13．【答案】216
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n°，则=18π，
解得n=216.
故答案为：216.
【分析】设圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n°，根据侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长结合弧长公式进行计算即可.
14．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+(a+4)x+3a+3=0，
∴(x+3)(x+a+1)=0，
∴x+3=0或x+a+1=0，
∴x=-3或x=-a-1.
∵方程有一个大于-2的非正数根，
∴-2<-a-1≤0，
∴-1≤a<1.
故答案为：-1≤a<1.
【分析】对方程因式分解可得(x+3)(x+a+1)=0，则x=-3或x=-a-1，由方程有一个大于-2的非正数根可得-2<-a-1≤0，求解即可.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵A（-2，0）、B（0，3），
∴直线AB的方程为y=x+3.
设P（m，m+3），作△POC的外接圆⊙Q，连接PQ、QC，过点Q作QN⊥OC于点N，
∵∠CPO=45°，
∴∠CQO=90°，
∴QN=ON=CN=OC=，
∴Q（，），
∴PQ=OQ==.
∵P（m，m+3），Q（，），
∴PQ2=(m-)2+(m+3-)2=m2+m+=()2，
解得m=0（舍去），或m=-，
∴m+3=，
∴P（-，）.
故答案为：（-，）.
【分析】利用待定系数法可得直线AB的方程为y=x+3，设P（m，m+3），作△POC的外接圆⊙Q，连接PQ、QC，过点Q作QN⊥OC于点N，则QN=ON=CN=OC=，表示出点Q的坐标，利用勾股定理可得PQ=OQ==，根据两点间距离公式可得PQ2，据此可得m的值，进而可得点P的坐标.
16．【答案】 /
【知识点】三角形三边关系；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过C作CE⊥CD，且CE=DC，连接DE、AE，则△DCE为等腰直角三角形，DE=DC.
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACE=90°+∠ACD.
∵∠BCD=∠ACE，AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE.
∵AE≤AD+DE，当A、D、E共线时取等号.
∵AD=3，DC=6，
∴DE=DC=，
∴AE的最大值为3+，
∴BD的最大值为3+.
故答案为：3+.
【分析】过C作CE⊥CD，且CE=DC，连接DE、AE，则△DCE为等腰直角三角形，DE=DC，根据角的和差关系可得∠BCD=∠ACE，利用SAS证明△BCD≌△ACE，得到BD=AE，由三角形三边关系可得AE≤AD+DE，当A、D、E共线时取等号，据此求解.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据算术平方根的概念、特殊角的三角函数值以及0次幂的运算性质可得原式=2+2×-1，然后计算乘法，再根据有理数的减法法则进行计算.
18．【答案】解：方程两边乘 ，得 .
解得 .
检验：当 时， .
所以，原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边都乘以 约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，再检验即可求出原方程的解。
19．【答案】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】由已知条件可得x2+x=1，根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则即可对待求式进行化简，然后代入进行计算.
20．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE
由表知，一共有25种等可能的结果，其中一人选择“ ：步行”，另一人选择“ ：乘坐公共交通”的有2种，
∴两名学生一人选择“ ：步行”，另一人选择“ ：乘坐公共交通”的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵共有5种上学方式，选择C只有1种，
∴选择C：乘坐公共交通方式的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算；
（2）列出表格，找出总情况数以及一人选择A、一人选择C的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠C=∠D=90°，AC=BD，由对顶角的性质可得∠AEC=∠BED，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由余角的性质可求出∠AEC的度数，根据全等三角形的性质可得AE=BE，然后根据外角的性质以及等腰三角形的性质进行计算.
22．【答案】（1）9
（2）72
（3）解： （名），
答：估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数约为364名．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）19÷38%-5-7-10-19=9.
故答案为：9.
（2）10÷(19÷38%)×360°=72°.
故答案为：72.
【分析】（1）利用D的人数除以所占的比例可得总人数，进而可求出a的值；
（2）利用C的人数除以总人数，然后乘以360°即可得到C所占扇形圆心角的度数；
（3）利用D、E的人数之和除以总人数，然后乘以650即可.
23．【答案】（1）解：∵正方形 的边长为4，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
把点 ， 代入 得：
，解得： ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知，该反比例函数的表达式为 ，
把 代入得 ，解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
当点P在点E上方时， 即 ；
当点P在点E下方时， 即 ；
综上： 或 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC=4，设OB=a，则A（a，4），E（a+4，），然后将A、E的坐标代入y=中可得a、k的值；
（2）由k的值可得反比例函数的解析式，将y=代入求出x的值，得到点E的坐标，利用三角形的面积公式可求出PE的值，然后分点P在点E上方、下方两种情况进行求解.
24．【答案】（1）解：设A礼盒每件成本价x元，B礼盒每件成本价y元，
，
解得： ，
答：A礼盒每件成本价120元，B礼盒每件成本价100元．
（2）解：设商户卖出B种礼盒m盒，则应卖出A种礼盒 盒，
由于56件商品没有全部售完，若全部售完则实际利润总和大于1320元，
，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m最大为 ，
答：五一当天商户最多卖出 种礼盒35件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A礼盒每件成本价x元，B礼盒每件成本价y元，根据成本价1件A种礼盒和2件B种礼盒共需320元可得x+2y=320；根据2件A种礼盒和3件B种礼盒共需540元可得2x+3y=540，联立求解即可；
（2）设商户卖出B种礼盒m盒，则应卖出A种礼盒(56-m)盒，根据(售价-成本)×盒数=总利润结合题意可得关于m的不等式，求出m的范围，结合m为正整数可得m的最大值，据此解答.
25．【答案】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
则 ，解得 （负值舍去），
∴ ．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ACE=2∠ACD，由圆周角定理可得∠B=∠ACE，∠AOD=2∠ACD，则∠B=∠AOD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由等腰三角形的性质可得∠ACF=∠AFC，由圆周角定理可得∠ACF=∠ABE，则∠AFC=∠ABE，由平行线的性质可得∠COF=∠ABE，进而推出OC=CF=2，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CFO∽△AFC，由相似三角形的性质可得OF的值，然后根据BF=OB-OF进行计算.
26．【答案】（1）解：将点 代入 得：
，
解得： ，
∴该抛物线的表达式为： ．
（2）解：①当点P在x轴下方时：过点D作 轴于点Q，连接 ，
把 代入 得： ，
∴ ，
把 代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即点P和点D重合时， ，
此时： ；
②当点P在x轴上方时：延长 ，相交于点M，过点M作 轴于点N，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 所在直线是函数表达式为： ，
将 ， 代入得：
，解得： ，
∴ 所在直线是函数表达式为： ，
联立得： ，
解得： ， ，
∴ ，
综上： 或 ；
（3）解：令 与x轴相交于点 ，
设 所在直线的函数表达式为 ，
将点 代入得：
，解得： ，
∴ 所在直线的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴点Q应在 的右边，
即 ，
作 ，
设点 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴点Q在点 左边，
∴ ，
综上： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将（-1，0）代入y=x2+4ax+3a中求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①当点P在x轴下方时：过点D作DE⊥x轴于点Q，连接BD，易得C（0，3），B（-3，0），D（-2，-1），然后求出BC、BE、BD的值，利用三角函数的概念可推出∠ACO=∠DCB，即点P和点D重合时，∠ACO=∠PCB，据此可得点P的坐标；②当点P在x轴上方时，CP、DB延长 ，相交于点M，过点M作MN⊥x 轴于点N，利用AAS证明△CBM≌△CBD，△MNB≌△DEB，得到BM=BD，MN=DE=1，BN=BE=1，然后表示出点M的坐标，利用待定系数法求出直线CM的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标；
（3）令CD与x轴相交于点Q1，利用待定系数法求出直线CD的解析式，令y=0，求出x的值，可得点Q1的坐标，易得点Q应在Q1的右边，即m>-，作 ∠Q2CB=∠CAO，设Q2（t，0），表示出AQ2、BQ2\CQ2，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CQ2A∽△BQ2C，根据相似三角形的性质可得t的值，据此解答.
27．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：构造如图所示矩形 ，延长 交 于点G，
由（1）中结论可得： ，
∵ ，
∴设 ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，则 ， ，
解得： ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
（3）
【知识点】矩形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（3）过C作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，
∵∠BAD=90°，AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN为矩形，
∴AM=CN，AN=CM.
∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，
∴△BAD≌△BCD，
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC.
∵∠CND=∠M，
∴△BCM∽△DCN，
∴.
设BM=3y，则DN=4y，设AB=BC=3x，则AD=CD=4x，
∴CN=3x+3y.
∵DN2+CN2=CD2，
∴(4y)2+(3x+3y)2=(4x)2，
∴7x=25y，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）由矩形的性质可得AB=CD=6，BC=AD=8，∠C=∠ADE=90°，由同角的余角相等可得∠DEG=∠DFC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△DCF，然后由相似三角形的性质进行计算；
（2）构造如图所示矩形ABHC，延长AF交CH于点G，由（1）中结论可得△ABD∽△CAG，根据相似三角形的性质可设AB=CH=3k，AC=BH=4k，由中点的概念可得AD=2k，根据勾股定理可得BD=k，由相似三角形的性质可得CG、AG，根据矩形以及平行线的性质可得∠BAF=∠CGF，∠ABF=∠GCF，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABF∽△GCF，根据相似三角形的性质可得AF，据此求解；
（3）过C作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，则四边形AMCN为矩形，AM=CN，AN=CM，利用SSS证明△BAD≌△BCD，得到∠BCD=∠A=90°，进而推出∠MBC=∠ADC，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BCM∽△DCN，根据相似三角形的性质可设BM=3y，AB=BC=3x，则DN=4y，AD=CD=4x，CN=3x+3y，在Rt△CND中，由勾股定理可得7x=25y，据此求解.
1 / 1江苏省苏州市吴中、吴江、相城区2023年中考三模数学试题
一、单选题
1．（2023·相城模拟）下列四个实数中最大的是（　　）
A．-2 B． C．-1 D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】本题考查的是实数的大小比较，可以借助数轴来比较实数的大小，也可以利用实数大小比较的法则进行比较.
2．（2023·相城模拟）苏州围绕打造“处处皆景、城在园中”的“公园城市”目标，扎实推进民生实事项目口袋公园建设.2022年全年苏州各级园林绿化部门共投入资金145000000元进行新建、改建口袋公园，为市民打造更多家门口的幸福.145000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】把一个数写成的形式（其中，是整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
3．（2023·相城模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
4．（2023·相城模拟）如图，在中，，，按以下步骤作图：第一步，一点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点．则的长为（　　）
A． B．8 C． D．10
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，是的角平分线，
，，
，，
，
故答案为：A.
【分析】根据作图步骤可知AE是角平分线，再利用等腰三角形的性质、勾股定理求边长.
5．（2023·相城模拟）为激励青少年爱读书、读好书、善读书，某校积极开展全员阅读活动．小吴为了了解本班同学一月的课外阅读量，随机选取班上部分同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图）下列说法中，正确的是（　　）
A．随机选取了14名同学 B．中位数是2本
C．众数是4本 D．平均数是2.4本
【答案】D
【知识点】利用统计图表分析实际问题；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、1+2+4+6+2=15（人），A错误；
B、阅读量依次排列为：0，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，故中位数为3本，B错误；
C、阅读量为3本的人数最多，故众数是3本，C错误；
D、（本），D正确.
故答案为：D.
【分析】将每个阅读量数据的人数加起来就是总人数；
将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排序，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数；
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数；
一组数据中所有数据之和除以数据个数的商叫做这组数据的平均数.
6．（2023·相城模拟）如图，正方形内接于，现有一小球可在内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形的边界忽略不计）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；几何概率；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接、，
四边形是正方形，
，，，
，是的直径，
，，
，
故答案为：C.
【分析】本题所求的概率就是指正方形与圆的面积之比，观察图形可知正方形的边长与圆的半径有数量关系，根据面积公式直接求比即可.
7．（2023·相城模拟）定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：将直线平移至直线，使得直线与抛物线只有一个交点，
作轴，
就是两个函数的完美距离，
设直线解析式为，
，
，
直线与抛物线只有一个交点，
，
解得 ，
，
当时，，
，
轴，
当时，，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题中的完美距离就是指直线通过平移与抛物线只有一个交点时，交点到原直线平行y轴方向的距离.先求出直线平移后的解析式和交点坐标，再通过相同横坐标求出原直线对应的点坐标，求出两点之间的距离即可.
8．（2023·相城模拟）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，当点在上时，作，
，
四边形是矩形，
，，，
，
当点在上时，的值不变，
观察函数图象可得 ，
，
点是的中点，
，
，
，
如图，当点在上时，作，
，
的值逐渐减少，
观察函数图象可得 ，
，
即，
，
故答案为：B.
【分析】本题的关键是利用函数图象解决动点问题，观察图可知，点P在AE上运动时，的面积不变；点P在BE上运动时，的面积逐渐减少.观察图可知，在AE上运动时间为a，的面积为12a，在BE上运动时间为5.再利用面积公式求出线段长度，进而得到a的值.
二、填空题
9．（2023·相城模拟）计算：　 　．
【答案】0.4
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：||=.
故答案为：.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数进行解答.
10．（2020·成都模拟）要使代数式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
【答案】x≥4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式 有意义，
则x-4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，即可得出答案．
11．（2018·兴化模拟）若 ，则 =　 　．
【答案】2
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵ ，
∴=(x-1+1)2=1
故答案为：2.
【分析】利用完全平方公式将代数式分解因式，然后再整体代入即可算出答案。
12．（2023·相城模拟）如图，是的直径，弦交于点，，连接．若，，则　 　．
【答案】53°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧BC=弧BC，∠A=34°，
∴∠A=∠D=34°.
∵∠AED=∠B+∠D=87°，
∴∠B=87°-34°=53°.
故答案为：53°.
【分析】由圆周角定理可得∠A=∠D=34°，根据外角的性质可得∠AED=∠B+∠D=87°，据此计算.
13．（2023·相城模拟）已知圆锥底面圆直径为，母线长为，该圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为　 　．
【答案】216
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n°，则=18π，
解得n=216.
故答案为：216.
【分析】设圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n°，根据侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长结合弧长公式进行计算即可.
14．（2023·相城模拟）关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+(a+4)x+3a+3=0，
∴(x+3)(x+a+1)=0，
∴x+3=0或x+a+1=0，
∴x=-3或x=-a-1.
∵方程有一个大于-2的非正数根，
∴-2<-a-1≤0，
∴-1≤a<1.
故答案为：-1≤a<1.
【分析】对方程因式分解可得(x+3)(x+a+1)=0，则x=-3或x=-a-1，由方程有一个大于-2的非正数根可得-2<-a-1≤0，求解即可.
15．（2023·相城模拟）如图，直线与轴，轴分别交于点，，已知点坐标为，点是线段（不与点A，重合）上一点，连接线段，．若，则点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵A（-2，0）、B（0，3），
∴直线AB的方程为y=x+3.
设P（m，m+3），作△POC的外接圆⊙Q，连接PQ、QC，过点Q作QN⊥OC于点N，
∵∠CPO=45°，
∴∠CQO=90°，
∴QN=ON=CN=OC=，
∴Q（，），
∴PQ=OQ==.
∵P（m，m+3），Q（，），
∴PQ2=(m-)2+(m+3-)2=m2+m+=()2，
解得m=0（舍去），或m=-，
∴m+3=，
∴P（-，）.
故答案为：（-，）.
【分析】利用待定系数法可得直线AB的方程为y=x+3，设P（m，m+3），作△POC的外接圆⊙Q，连接PQ、QC，过点Q作QN⊥OC于点N，则QN=ON=CN=OC=，表示出点Q的坐标，利用勾股定理可得PQ=OQ==，根据两点间距离公式可得PQ2，据此可得m的值，进而可得点P的坐标.
16．（2023·相城模拟）如图，在中，，，以为边在下方作，连接，已知，，则的最大值为　 　．
【答案】 /
【知识点】三角形三边关系；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过C作CE⊥CD，且CE=DC，连接DE、AE，则△DCE为等腰直角三角形，DE=DC.
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACE=90°+∠ACD.
∵∠BCD=∠ACE，AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE.
∵AE≤AD+DE，当A、D、E共线时取等号.
∵AD=3，DC=6，
∴DE=DC=，
∴AE的最大值为3+，
∴BD的最大值为3+.
故答案为：3+.
【分析】过C作CE⊥CD，且CE=DC，连接DE、AE，则△DCE为等腰直角三角形，DE=DC，根据角的和差关系可得∠BCD=∠ACE，利用SAS证明△BCD≌△ACE，得到BD=AE，由三角形三边关系可得AE≤AD+DE，当A、D、E共线时取等号，据此求解.
三、解答题
17．（2023·相城模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据算术平方根的概念、特殊角的三角函数值以及0次幂的运算性质可得原式=2+2×-1，然后计算乘法，再根据有理数的减法法则进行计算.
18．（2019·南京）解方程 .
【答案】解：方程两边乘 ，得 .
解得 .
检验：当 时， .
所以，原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边都乘以 约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，再检验即可求出原方程的解。
19．（2023·相城模拟）已知，求的值．
【答案】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】由已知条件可得x2+x=1，根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则即可对待求式进行化简，然后代入进行计算.
20．（2023·相城模拟）为缓减校园周边道路的交通压力，及时调整学生上学时间，某校需要了解本校学生的上学方式，学生可以从“：步行，：骑自行车，：乘坐公共交通，：家用汽车接送，：其他方式”．五个选项中进行选择．
（1）学生甲随机选择“：乘坐公共交通”方式的概率为　 　．
（2）若两名学生分别从，，，，五种上学方式中随机选择一种，求两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE
由表知，一共有25种等可能的结果，其中一人选择“ ：步行”，另一人选择“ ：乘坐公共交通”的有2种，
∴两名学生一人选择“ ：步行”，另一人选择“ ：乘坐公共交通”的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵共有5种上学方式，选择C只有1种，
∴选择C：乘坐公共交通方式的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算；
（2）列出表格，找出总情况数以及一人选择A、一人选择C的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．（2023·相城模拟）如图，，交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠C=∠D=90°，AC=BD，由对顶角的性质可得∠AEC=∠BED，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由余角的性质可求出∠AEC的度数，根据全等三角形的性质可得AE=BE，然后根据外角的性质以及等腰三角形的性质进行计算.
22．（2023·相城模拟）适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义．为了解八年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 家务劳动总时间分组 频数
5
7
10
19
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，　 　
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是　 　．
（3）请估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数．
【答案】（1）9
（2）72
（3）解： （名），
答：估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数约为364名．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）19÷38%-5-7-10-19=9.
故答案为：9.
（2）10÷(19÷38%)×360°=72°.
故答案为：72.
【分析】（1）利用D的人数除以所占的比例可得总人数，进而可求出a的值；
（2）利用C的人数除以总人数，然后乘以360°即可得到C所占扇形圆心角的度数；
（3）利用D、E的人数之和除以总人数，然后乘以650即可.
23．（2023·相城模拟）如图，反比例函数的图像经过边长为4的正方形的顶点A，与正方形的边交于点，且．
（1）求的值；
（2）若点是正方形边上不与点重合的点，连接，，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵正方形 的边长为4，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
把点 ， 代入 得：
，解得： ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知，该反比例函数的表达式为 ，
把 代入得 ，解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
当点P在点E上方时， 即 ；
当点P在点E下方时， 即 ；
综上： 或 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC=4，设OB=a，则A（a，4），E（a+4，），然后将A、E的坐标代入y=中可得a、k的值；
（2）由k的值可得反比例函数的解析式，将y=代入求出x的值，得到点E的坐标，利用三角形的面积公式可求出PE的值，然后分点P在点E上方、下方两种情况进行求解.
24．（2023·相城模拟）为迎接五一假期的到来，某景区一商户准备了两种当地特产礼盒，按成本价1件A种礼盒和2件种礼盒共需320元，2件A种礼盒和3件种礼盒共需540元．
（1）求A、两种礼盒每件的成本价分别是多少元？
（2）若种礼盒的售价为每件150元，种礼盒的售价为每件120元．商户原计划在五一当天将现有的、两种礼盒共56件按售价全部售出，但在实际销售过程中56件商品没有全部售完，两种礼盒的实际销售利润总和为1320元．五一当天商户最多卖出种礼盒多少件？
【答案】（1）解：设A礼盒每件成本价x元，B礼盒每件成本价y元，
，
解得： ，
答：A礼盒每件成本价120元，B礼盒每件成本价100元．
（2）解：设商户卖出B种礼盒m盒，则应卖出A种礼盒 盒，
由于56件商品没有全部售完，若全部售完则实际利润总和大于1320元，
，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m最大为 ，
答：五一当天商户最多卖出 种礼盒35件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A礼盒每件成本价x元，B礼盒每件成本价y元，根据成本价1件A种礼盒和2件B种礼盒共需320元可得x+2y=320；根据2件A种礼盒和3件B种礼盒共需540元可得2x+3y=540，联立求解即可；
（2）设商户卖出B种礼盒m盒，则应卖出A种礼盒(56-m)盒，根据(售价-成本)×盒数=总利润结合题意可得关于m的不等式，求出m的范围，结合m为正整数可得m的最大值，据此解答.
25．（2023·相城模拟）如图，已知，是的两条直径，直径平分，的一边与和直径分别交于点，，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
则 ，解得 （负值舍去），
∴ ．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ACE=2∠ACD，由圆周角定理可得∠B=∠ACE，∠AOD=2∠ACD，则∠B=∠AOD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由等腰三角形的性质可得∠ACF=∠AFC，由圆周角定理可得∠ACF=∠ABE，则∠AFC=∠ABE，由平行线的性质可得∠COF=∠ABE，进而推出OC=CF=2，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CFO∽△AFC，由相似三角形的性质可得OF的值，然后根据BF=OB-OF进行计算.
26．（2023·相城模拟）如图，拋物线（a是常数且）与轴交于点，两点（点位于点右侧），与轴交于点，点为拋物线的顶点，且点的坐标为，连接，，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点为抛物线上的点，连接，当时，求点的坐标；
（3）若在轴上总存在一点，且点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：将点 代入 得：
，
解得： ，
∴该抛物线的表达式为： ．
（2）解：①当点P在x轴下方时：过点D作 轴于点Q，连接 ，
把 代入 得： ，
∴ ，
把 代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即点P和点D重合时， ，
此时： ；
②当点P在x轴上方时：延长 ，相交于点M，过点M作 轴于点N，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 所在直线是函数表达式为： ，
将 ， 代入得：
，解得： ，
∴ 所在直线是函数表达式为： ，
联立得： ，
解得： ， ，
∴ ，
综上： 或 ；
（3）解：令 与x轴相交于点 ，
设 所在直线的函数表达式为 ，
将点 代入得：
，解得： ，
∴ 所在直线的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴点Q应在 的右边，
即 ，
作 ，
设点 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴点Q在点 左边，
∴ ，
综上： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将（-1，0）代入y=x2+4ax+3a中求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①当点P在x轴下方时：过点D作DE⊥x轴于点Q，连接BD，易得C（0，3），B（-3，0），D（-2，-1），然后求出BC、BE、BD的值，利用三角函数的概念可推出∠ACO=∠DCB，即点P和点D重合时，∠ACO=∠PCB，据此可得点P的坐标；②当点P在x轴上方时，CP、DB延长 ，相交于点M，过点M作MN⊥x 轴于点N，利用AAS证明△CBM≌△CBD，△MNB≌△DEB，得到BM=BD，MN=DE=1，BN=BE=1，然后表示出点M的坐标，利用待定系数法求出直线CM的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标；
（3）令CD与x轴相交于点Q1，利用待定系数法求出直线CD的解析式，令y=0，求出x的值，可得点Q1的坐标，易得点Q应在Q1的右边，即m>-，作 ∠Q2CB=∠CAO，设Q2（t，0），表示出AQ2、BQ2\CQ2，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CQ2A∽△BQ2C，根据相似三角形的性质可得t的值，据此解答.
27．（2023·相城模拟）
（1）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．
请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
（2）【初步运用】
如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
（3）【灵活运用】
如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则　 　．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：构造如图所示矩形 ，延长 交 于点G，
由（1）中结论可得： ，
∵ ，
∴设 ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，则 ， ，
解得： ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
（3）
【知识点】矩形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（3）过C作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，
∵∠BAD=90°，AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN为矩形，
∴AM=CN，AN=CM.
∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，
∴△BAD≌△BCD，
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC.
∵∠CND=∠M，
∴△BCM∽△DCN，
∴.
设BM=3y，则DN=4y，设AB=BC=3x，则AD=CD=4x，
∴CN=3x+3y.
∵DN2+CN2=CD2，
∴(4y)2+(3x+3y)2=(4x)2，
∴7x=25y，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）由矩形的性质可得AB=CD=6，BC=AD=8，∠C=∠ADE=90°，由同角的余角相等可得∠DEG=∠DFC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△DCF，然后由相似三角形的性质进行计算；
（2）构造如图所示矩形ABHC，延长AF交CH于点G，由（1）中结论可得△ABD∽△CAG，根据相似三角形的性质可设AB=CH=3k，AC=BH=4k，由中点的概念可得AD=2k，根据勾股定理可得BD=k，由相似三角形的性质可得CG、AG，根据矩形以及平行线的性质可得∠BAF=∠CGF，∠ABF=∠GCF，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABF∽△GCF，根据相似三角形的性质可得AF，据此求解；
（3）过C作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，则四边形AMCN为矩形，AM=CN，AN=CM，利用SSS证明△BAD≌△BCD，得到∠BCD=∠A=90°，进而推出∠MBC=∠ADC，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BCM∽△DCN，根据相似三角形的性质可设BM=3y，AB=BC=3x，则DN=4y，AD=CD=4x，CN=3x+3y，在Rt△CND中，由勾股定理可得7x=25y，据此求解.
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