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2022-2023学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，关系不确定
2. 在中，已知，，，则角等于( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 已知一组样本数据，，，的均值和方差分别为和，则，，，的均值和方差分别为( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
4. 函数的零点为，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知中，点是线段的中点，是线段的中点，则向量为( )
A. B.
C. D.
6. 欧拉公式为自然对数的底数，为虚数单位由瑞士数学家欧拉首先发现它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号现已知，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在件产品中，有一等品件，二等品件一等品和二等品都是正品，次品件，现从中取出件产品记事件为：“件都是一等品”，事件为：“件一等品件二等品”，事件为：“件次品件正品”，事件为：“至少有件是一等品”，则下列结论中不成立的是( )
A. 事件，为互斥事件 B. 事件，为相互独立事件
C. D.
10. 声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是，某声音函数，下列说法正确的是( )
A. 函数在区间单调递增
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的声音比纯音的尖锐
D. 函数的响度比纯音的响度大
11. 若复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为
B.
C. 若复数满足，则的最小值为
D. 若在复平面内对应的点为，则在向量的投影向量为
12. 已知正三棱台，，，下列说法正确的是( )
A. 正三棱台体积为
B. 侧棱与底面所成角的余弦值为
C. 点到面的距离为
D. 三棱台的外接球的表面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 高一某班名学生的英语口语测试成绩单位：分如下：，，，，，，，，，这组数据的上四分位数是______ ．
14. 已知向量，的夹角为，，，则 ．
15. 在中，内角，，所对的边，，满足，则 ______ ，三角形为锐角三角形，则的取值范围是______ ．
16. 已知正四面体的棱长为，三棱柱内接于正四面体如图，其中，，分别在侧棱，，上，，，在平面内，则该三棱柱的体积最大值为______ 均值不等式的维形式为：，当且仅当时取等号
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为．
若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取名参加座谈，再从这名学生中随机抽取名发言，求这名发言学生中至少有名时长在内的概率；
在的条件下，记抽取的名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值元，元，元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率．
18. 本小题分
已知函数在区间上的最大值为，
求常数的值；
求函数的单调递增区间及图象的对称中心．
19. 本小题分
如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，点为的中点．
求异面直线和所成角的大小；
求二面角的大小．
20. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
求；
若在边上且，，求的长．
21. 本小题分
九章算术是中国古代的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系九章算术中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知四面体是“鳖臑”，，，，分别为，的中点，在线段上，且．
求证：平面；
求四面体内切球的表面积．
22. 本小题分
对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：对任意的，总有；；若，，，都有成立，则称函数为理想函数．
判断函数是否为理想函数，并予以证明；
若函数为理想函数且，求的值；
已知函数为理想函数，若，使得，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，可得，故，
由，可得，故，
则有．
故选：．
根据特殊角的三角函数值，得到集合与中的元素，比较得知，集合中的所有元素都在集合中，故包含于．
本题考查集合的元素构成及集合间的包含关系，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：在中，已知，，，
由正弦定理可得，
解得．
再根据，可得，
故A，
故选：．
由正弦定理求得再根据，可得，由此求得的值．
本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，数据，，，的均值和方差分别为和，
对于，，，，其均值为，
方差为．
故选：．
根据平均数和方差的性质，计算可得答案．
本题考查数据的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，
又因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以函数的零点，
由题意可得函数的零点，，
所以．
故选：．
由题意易知在上单调递增，再根据零点存在定理得，结合题意即可得答案．
本题考查了函数的单调性及函数的零点，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：点是线段的中点，是线段的中点，
，
．
故选：．
由平面向量的线性运算计算即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：
故选：．
利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果．
本题考查复数的指数形式，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
则，
而，
，
即．
故选：．
利用三角函数的诱导公式进行化简，利用和的单调性进行比较即可．
本题主要考查函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式进行判断，结合函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：已知，，，由柯西不等式的二维形式，
可得
，
即，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为．
故答案为：．
利用所给柯西不等式，将所求式化为柯西不等式的结构，关键是要凑出这个条件，代入公式即可求解．
本题考查基本不等式的应用，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：事件与事件不可能同时发生，且事件的发生影响事件的发生，
所以事件与事件为互斥事件，不是相互独立事件，A正确；B错误；
，C错误；
，，，，
，D错误．
故选：．
根据古典概率模型和互斥事件与相互独立事件的概念，即可得出答案．
本题考查古典概率模型和互斥事件与相互独立事件的概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A：当时，，，均单调递增，
则当时，单调递增．判断正确；
选项B：，，的最小正周期分别为，，，
则函数的最小正周期为判断正确；
选项C：函数的周期为，频率为，
函数的周期为，频率为，由，
可得函数的声音比纯音的低沉．判断错误；
选项D：的振幅为，
，
则函数的振幅大于的振幅，
则函数的响度比纯音的响度大．判断正确．
故选：．
求得函数在区间上单调性判断选项 A；求得函数的最小正周期判断选项B；求得函数与纯音的频率的大小关系判断选项C；求得函数与纯音的振幅的大小关系判断选项D．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
则，
对于，的虚部为，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，设复数，
，
，
，即以为圆心，为半径的圆上和内部的点，
几何意义是点到原点的距离，
的最小值为，故C正确；
对于，在复平面内对应的点为，
则，
，，
故在向量的投影向量为：，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，求出，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设中心为，中心为，连接，，，
则，，，，
在四边形中，过作于，
则，则，
取中点，过点作，交于，交直线于，
则点为三棱台的外接球的球心．
由∽，可得，
则，，
由∽，可得，
选项A：正三棱台体积为，故A错误；
选项B：设侧棱与底面所成角为，则，
又，则．
则侧棱与底面所成角的余弦值为，故B正确；
选项C：设点到面的距离为，
由，可得
又等腰梯形中，，，，
则，
则，解之得，
则点到面的距离为，故C正确；
选项D：三棱台的外接球的半径为，
则三棱台的外接球的表面积为，故D正确．

故选：．
求得正三棱台体积判断选项A；求得侧棱与底面所成角的余弦值判断选项B；求得点到面的距离判断选项C；求得三棱台的外接球的表面积判断选项D．
本题考查空间几何体的外接球的表面积，考查线面角的余弦值的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：将口语测试成绩从小到大排序：，，，，，，，，，，
，
故这组数据的上四分位数是．
故答案为：．
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
先由已知条件求出，然后结合向量模的运算求解即可．
【解答】
解：由向量，的夹角为，，，
则，
则
，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：因为，
所以由余弦定理可得，
则，
所以由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，，
所以，
又因为函数在内单调递增，
所以，可得，
所以，
由于为锐角三角形，
则，
所以，
解得，
则
，
因为，
所以，
则，
所以
故答案为：，
先利用余弦定理结合可得，再利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理，求出的值，从而可将，都用表示，再根据三角形为锐角三角形求出的范围，再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解．
本题主要考查正弦定理，余弦定理，二次函数的性质以及余弦函数的性质在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，分别取和的中心和，连接，
则平面，因为正四面体的棱长为，
则底面是边长为的等边三角形，可得，
所以，由四面体为正四面体，可得三棱柱为正三棱柱，
设等边的边长为，因为四面体为正四面体，所以四面体也为正四面体，
同理可得，
所以，
所以，
该三棱柱的体积为
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以四棱柱体积的最大值为，
故答案为：．
根据题意的四面体也为正四面体，三棱柱为正三棱柱，取和的中心，求得，根据棱柱的体积公式和均值不等式的维形式，即可求解．
本题考查空间几何体的体积的计算，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：由于，内的学生比例为：，故抽取的人数分别为人和人，
若分别记为，，，和，，从这名学生中随机抽取名学生，
这样的样本点为共有种情况，
其中名发言学生都不在中的情况只有一种，故事件的概率为．
解：给甲、乙各随机派发价值元，元，元的图书一本，记为，，，
则这样的样本点共有个：，
其中甲比乙高的分别是：
甲元乙元；甲元乙元；甲元乙元这样三种情况，
所以甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率为．
【解析】由题意得到抽取的人数分别为人和人，记为，，，和，，利用列举法，结合古典摡型，即可求解；
给甲、乙各随机派发价值元，元，元的图书一本，记为，，，结合列举法，结合对立事件的概率，即可求解．
本题考查根据频率分布直方图求概率，是基础题．
18.【答案】解：；
由，则，
可得；
则，
可得．
由可得，，
由得；
的单调递增区间为；
令，
得．
图象的对称中心为．
【解析】本题考查的是三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的单调性和对称中心的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最大值求出的值；
利用函数的关系式，求出函数的单调递增区间和函数的对称中心．
19.【答案】解：取中点，连结，，
因为，分别为，的中点，所以，
所以或其补角为异面直线和所成角，
因为，为以为直径的圆上的点，
所以在直角三角形中，，，得，
因为点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，所以面，
又，在平面内，所以，，所以，
所以，所以异面直线和所成角的大小为；
由知，，，得面且面，
所以，又，所以为二面角的平面角，
在等腰直角三角形中易知，
所以二面角的大小为．
【解析】取中点，连结，，可证，进而可得或其补角为异面直线和所成角，进而可求异面直线和所成角的大小；
，又，可得为二面角的平面角，求解即可．
本题考查线线角的大小，考查求二面角的大小，属中档题．
20.【答案】解：因为，可得，
又因为，再由余弦定理可得，
所以，
可得；
由可得，，
因为，，可得，
由余弦定理可得，
因为，所以，
，
在中，由余弦定理可得．
【解析】由三角形的面积可得，再由题意及余弦定理可得，可得的大小；
由可得，的大小，再由余弦定理可得的大小，进而求出的大小及的大小，由余弦定理可得的大小．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
21.【答案】证明：连接与相交于点，连接、，因为分别为，的中点，
则且，
所以∽，所以，
又，
所以，所以∽，
则，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
解：由题意四面体是“鳖臑”，，
显然可得，，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，
若，则，此时，则不是直角三角形，不符合题意；
因为，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，符合题意．
则，
所以，
，
又，
即，解得，
所以．
【解析】连接与相交于点，连接、，依题意可得且，根据三角形相似得到∽，即可得到，从而得证；
依题意可得，，再判断，即可得到平面，则，求出各个面的面积，利用等体积法求出内切球的半径，即可得解．
本题考查了线面平行的证明以及几何体内切球表面积的有关计算问题，属于中档题．
22.【答案】解：不是理想函数，证明如下：、
证明：不妨取，则，
所以，
而，，
不满足，
故该函数不是理想函数；
由，，，都有成立，
可得，
又，
所以，
所以；
由知，当时，有与相矛盾，
同理当时，有与矛盾，
故，即为方程在区间上的根，易知或．
【解析】不妨取验证判断；
由，，，都有成立，令求解，再由，令，求解；
根据，分析和矛盾求解．
本题属于新概念题，考查了有赋值法求函数的值及逻辑推理能力，属于中档题．
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