资源简介

第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
导学案
学习目标
了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养；
掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；
掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。
重点难点
重点：掌握空间向量基本定理
难点：用空间向量基本定理解决有关问题.
课前预习 自主梳理
知识点1：设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则 ．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 ．
知识点2：如果，，是空间 向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．
我们称，，分别为向量在，，上的分向量．
知识点3：如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 ．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 ．
知识点4：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为1，那么这个基底叫做 ，常用表示．由 定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量
1.已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行．
B．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
C．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线．
D．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面．
3.若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4.已知关于向量的命题，
（1）是，共线的充分不必要条件；
（2）若，则存在唯一的实数，使；
（3），，则；
（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
（5）．
在以上命题中，所有正确命题的序号是________．
5.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）．
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是钝角
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
新课导学
学习探究
（一）新知导入
环节一 创设情境，引入课题
问题情境
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量，来表示(平面向量基本定理)．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量，，来表示呢
师生活动 学生独立思考、作答，教师展示研究路径，板书空间向量及其运算，揭晓课题：下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始．
［设计意图］主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.教，使学生亲历研究的过程，积累基本活动经验.
环节二 观察分析，感知概念
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论．
问题1：空间中怎样的向量能构成基底？
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得
．
问题2：基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
从而
问题3：空间的基底唯一吗？
【提示】
因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
．
我们称，，分别为向量在，，上的分向量．
环节三 抽象概括，形成概念
问题5：探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，，你能得出类似的结论吗
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．
定理 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
．
请你自己给出空间向量基本定理的证明．
问题4：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？
你能证明唯一性吗
【提示】
由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
环节四 辨析理解 深化概念
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来．进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便．
已知是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量，构成空间的另一个基底
2．已知为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点是否共面
3．如图，已知平行六面体，点是侧面的中心，且，，．
（1）是否构成空间的一个基底
（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．
环节五 概念应用，巩固内化
例1 如图1.2-2，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示．
分析：
例2 如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，
，，，分别为，的中点．
求证：．
［设计意图］例2是利用空间向量基本定理证明平行六面体中两条线段互相垂直的例子.学生已经会用向量的数量积运算判断两直线是否具有垂直关系，教学时要注意引导学生构造适当的基底，并把相关向量用基底表示.
例3 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点．
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值．
分析：
［设计意图］例3是利用空间向量基本定理证明正方体中两条线段互相平行和计算两条线段所成角的余弦值的例子.立体几何中有关两宜线平行的问题一般可以转化为两向量共线的问题，对于问题（D,教学中应注意引导学生利用正方体的结构特征构造正交基底，并用基向量表示相关的向量.对于问题（2）,教学中要注意引导学生用基向量表示向量数量积运算中涉及的向量.
练习（第14页）
1．已知四面体，，．求证：．
2．如图，在平行六面体中，，，，
．求与所成角的余弦值．
3．如图，已知正方体，和相交于点，连接，求证：．
环节六 归纳总结,反思提升
用基底表示向量的三个步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第12页 练习 第1，2，3题
第14页 练习 第1，2，3题
第15 页 习题1.2 第1,2,3,4,5,6,7,8题
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
备选练习：
1.在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（ ）
A．1 B． C．0.5 D．
3.以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．向量，，共面，即它们所在的直线共面
4.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则______.
5.已知正方体的棱长为，给出下列四个命题：
①；
②；
③点到面的距离为；
④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则的取值范围是
其中正确结论的序号是___________．
6.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）求证；
（2）求BM的长.
7.如图，在正四面体中，是棱的中点，，分别记为．
(1)用表示；
(2)若，求．
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
导学案
学习目标
了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养；
掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；
掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。
重点难点
重点：掌握空间向量基本定理
难点：用空间向量基本定理解决有关问题.
课前预习 自主梳理
知识点1：设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 ．
知识点2：如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．
我们称，，分别为向量在，，上的分向量．
知识点3：如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
知识点4：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1.已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得，
即，
则，
则x=2，，，解得.
故选：D.
2．下列说法正确的是（ ）
A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行．
B．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
C．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线．
D．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面．
【答案】C
【分析】根据空间向量的相关概念以及空间向量基本定理分析判断.
【详解】对于A：若向量、共线，则向量、所在的直线平行或重合，故A错误；
对于B：根据空间向量基本定理可知，此时、、应是空间三个不共面的向量，故B错误；
对于C：反证：若向量、共线，则向量、所在的直线平行或重合，
这与向量、所在的直线是异面直线相矛盾，故C正确；
对于D：若三个向量、、两两共面，则三个向量、、不一定共面，
例如、、所在的直线为三棱锥的三条侧棱，故D错误；
故选：C.
3.若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ACD
【分析】利用空间向量基底的定义，逐一判断各选项中的3个向量是否共面作答.
【详解】构成空间的一个基底，
对于A，因为，因此向量，，共面，A不能；
对于B，向量与不共线，又向量不能用和表示，
即向量，，不共面，B能；
对于C，因为，因此，，共面，C不能；
对于D，因为，因此，，共面，D不能.
故选：ACD
4.已知关于向量的命题，
（1）是，共线的充分不必要条件；
（2）若，则存在唯一的实数，使；
（3），，则；
（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
（5）．
在以上命题中，所有正确命题的序号是________．
【答案】（1）（4）
【分析】根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．
【详解】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；
（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；
（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；
（4）令，则，所以，无解，即，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；
（5），即（5）错误．
命题（1）（4）正确．
故答案为：（1）（4）．
5.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）．
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是钝角
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
【答案】AC
【分析】根据空间向量共面的性质判断选项A；利用向量夹角的取值范围判断选项B；根据基底的定义判断选项C；根据空间向量共面的充要条件判断选项D．
【详解】选项A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；
选项B，若，则是钝角或者，错误；
选项C，设是空间中的一组基底，则不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，正确；
选项D，对空间中任意一点，有，
，四点不共面，错误；
故选：AC
新课导学
学习探究
（一）新知导入
环节一 创设情境，引入课题
问题情境
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量，来表示(平面向量基本定理)．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量，，来表示呢
师生活动 学生独立思考、作答，教师展示研究路径，板书空间向量及其运算，揭晓课题：下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始．
［设计意图］主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.教，使学生亲历研究的过程，积累基本活动经验.
环节二 观察分析，感知概念
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论．
问题1：空间中怎样的向量能构成基底？
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得
．
问题2：基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
从而
问题3：空间的基底唯一吗？
【提示】不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底．一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．
我们称，，分别为向量在，，上的分向量．
环节三 抽象概括，形成概念
问题5：探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，，你能得出类似的结论吗
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．
定理 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
．
请你自己给出空间向量基本定理的证明．
问题4：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？
你能证明唯一性吗
【提示】平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．
由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
环节四 辨析理解 深化概念
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来．进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便．
1．已知是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量，构成空间的另一个基底
1．解：向量一定可以与，构成另一个基底，因为，与，共面，只有不与，共面．
2．已知为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点是否共面
解：，，不构成空间的一个基底，，，共面，四点共面．
3．如图，已知平行六面体，点是侧面的中心，且，，．
（1）是否构成空间的一个基底
（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．
解：（1），，不共面，是空间的一个基底．
（2），
，
，
环节五 概念应用，巩固内化
例1 如图1.2-2，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示．
分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底，可以用基底表示出来．
解：
．
例2 如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，
，，，分别为，的中点．
求证：．
分析：要证，只需证明．由已知，可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可．
证明：设，，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则
，
所以
．
所以．
［设计意图］例2是利用空间向量基本定理证明平行六面体中两条线段互相垂直的例子.学生已经会用向量的数量积运算判断两直线是否具有垂直关系，教学时要注意引导学生构造适当的基底，并把相关向量用基底表示.
例3 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点．
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值．
分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，则构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．
（2）要求与所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．
（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底．所以
，
．
所以．所以．
（2）解：因为
，
，
所以
所以与所成角的余弦值为．
［设计意图］例3是利用空间向量基本定理证明正方体中两条线段互相平行和计算两条线段所成角的余弦值的例子.立体几何中有关两宜线平行的问题一般可以转化为两向量共线的问题，对于问题（D,教学中应注意引导学生利用正方体的结构特征构造正交基底，并用基向量表示相关的向量.对于问题（2）,教学中要注意引导学生用基向量表示向量数量积运算中涉及的向量.
练习（第14页）
1．已知四面体，，．求证：．
1．证明：如图，，，
，
，．
2．如图，在平行六面体中，，，，
．求与所成角的余弦值．
2．解：设，，．
又，
．
．
．所以与所成角的余弦值为0．
3．如图，已知正方体，和相交于点，连接，求证：．
证明：设，且，
，
，
，
，．
环节六 归纳总结,反思提升
用基底表示向量的三个步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第12页 练习 第1，2，3题
第14页 练习 第1，2，3题
第15 页 习题1.2 第1,2,3,4,5,6,7,8题
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
备选练习：
1.在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的运算法则得到，得到答案.
【详解】
，故.
，
故选：A
2．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（ ）
A．1 B． C．0.5 D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.
【详解】如图，连接.
因为，分别是，的中点，
，
所以，，，
则.
故选：B.
3.以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．向量，，共面，即它们所在的直线共面
【答案】BC
【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A，B，D可判断这三个选项的正误，由共面向量定义来判断D的正误．
【详解】对于A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；
对于B，若为空间向量的一组基底，则不共面，且均为非零向量，假设共面，
则，
，方程无解，即不共面，
则构成空间向量的另一组基底，B正确；
对于C，若，
则
整理得，则向量共面，即、、、四点共面，C正确；
向量，，共面，但是它们所在的直线不一定共面,故D错误.
故选：BC.
4.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则______.
【答案】
【分析】根据向量运算求得，进而求得.
【详解】
所以，
所以.
故答案为：
5.已知正方体的棱长为，给出下列四个命题：
①；
②；
③点到面的距离为；
④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则的取值范围是
其中正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【分析】根据空间向量的线性运算结合正方体的结构特征即可判断①；
根据空间向量基本定理及向量数量积的运算律即可判断②；
求出三棱锥的体积，利用等体积法即可求出点到面的距离，从而判断③；
证明，，可得平面，从而可得点的轨迹为线段，即可判断④.
【详解】解：在正方体中，
，故①正确；
因为，
则
，故②正确；
设点到面的距离为，则，
，
又，则，
所以，所以，
即点到面的距离为，故③错误；
对于④，连接，
在正方体中，
平面，又平面，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以，
同理，
又，所以平面，
又平面，所以，
因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，
所以点的轨迹为线段，
所以的取值范围是，故④正确.
故答案为：①②④.
6.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）求证；
（2）求BM的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得证；
（2）求出，再根据向量数量积的运算律求得，即可得解.
【详解】（1）证明：是PC的中点，
，
，，
，
又，，，
.
（2）解：，，
，.
，，
，.
由（1）知，
，
， 即BM的长等于.
7.如图，在正四面体中，是棱的中点，，分别记为．
(1)用表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算直接表示即可；
（2）将所求数量积化为，由向量数量积的定义和运算律可求得结果.
【详解】（1）.
（2）由题意知：，；
，
.

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