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2024届高考数学复习专题 ★★中学数学常用结论
1.任意的简单n面体内切球半径R=(V是简单n面体的体积，是简单n面体的表面积)
2.棱长为的正方体的内切球、棱切球和外接球的半径分别为：，其比值为：
3.棱长为的正四面体的棱切球是棱长为的正方体的内切球.
4.棱长为的正四面体的高为：，其外接球的半径为，其内切球的半径为，
（简记为高三外四内十二），其外接球和内切球半径比为：3:1.
5.设正棱锥的侧棱长为b，高为h，其外接球半径为R,则.
6.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.
7.点关于点的对称点的坐标为，
8.曲线关于点的对称曲线的方程为.
9.点关于直线的对称点的坐标满足：
，其中
10.点关于直线的对称点的坐标的求法是：求横代纵，求纵代横.
11.直线关于直线的对称直线的方程为：
12. 椭圆的面积为
13.圆锥曲线的切线方程求法（隐函数求导）：
①过圆上任意一点的切线方程为
②过椭圆上任意一点的切线方程为
③过双曲线上任意一点的切线方程为
④过抛物线上任意一点的切线方程为
记忆方法：平方项，留一半、换一半；一次项，中点公式去代换
14.切点弦方程：过平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆的切点弦方程为
②椭圆的切点弦方程为
③双曲线的切点弦方程为
④抛物线的切点弦方程为
15.①椭圆与直线相切的条件是
②双曲线与直线相切的条件是
16.若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率)
17.过椭圆的一个焦点F（不分左右）的直线交椭圆于AB两点，直线AB的倾斜角为，则焦半径，(若为锐角，长则减，短则加：若为钝角角，长则加，短则减；若焦点在y轴上，把余弦换成正弦，可以在焦点三角形中用余弦定理来证明).
18.椭圆的焦半径满足.
19.双曲线的焦半径满足
20.双曲线和椭圆的焦点弦长
21.过双曲线的一个焦点F（不分左右）的直线交双曲线的同一支于AB两点，直线AB的倾斜角为，则焦半径，(若为锐角，长则减，短则加：若为钝角角，长则加，短则减；若焦点在y轴上，把余弦换成正弦，可以在焦点三角形中用余弦定理来证明).
22．蒙日圆：曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是一个圆，其方程为.这个结论中的圆称为蒙日圆.
23．垂径定理：(1)AB是椭圆（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，
则.
AB是双曲线的不平行
于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
24.周角定理：(1)AB是过椭圆（a＞b＞0）中心O的一条弦，与椭圆交于A、B两点，点P是椭圆上异于A、B的一点，则.
(2) AB是过双曲线中心O的一条弦，与双曲线交于A、B两点，点P是双曲线上异于A、B的一点，则.
25.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
已知双曲线，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.则;
26.椭圆、双曲线的通径长为，抛物线的通径长.+=.
27.椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则
椭圆的焦点三角形的面积为 .相应的双曲线的焦点三角形的面积.
28.阿波罗尼奥斯圆：在平面上给定两点A、B，设P点在同一平面上且满足：，则点P的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼奥斯圆.其半径为
29.分离比定理：设F是圆锥曲线的一个一个焦点，过焦点 F的直线和曲线交于两点A 、B，且,则离心率.其中为直线AB的倾斜角，当焦点在y轴上时，只需将公式中的即可.
30.极化恒等式：(1)如图在△ABC中，点M是BC边的中点，则.
(2)一般形式：
31.差比数列速算公式：若，则其前n项和,其中.
32.圆锥曲线硬解定理：联立消元整理后所得一元二次方程中，，
弦长或者
33.超级韦达定理：联立消元整理得：则，
34.在△ABC中，.
35.期望和方差的性质：
36.二项分布的特点：（1）.做n次独立重复试验，每次试验只有“发生”和“不发生”两种结果.
（2）.随机变量表示在n次独立重复实验中，时间发生的次数. =0,1,2,3n.
（3）
（4）若
37.超几何分布：产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，从含有M件不合格品的N件产品中，随机抽取n件做检查，设X为所得的次品数，则（）,此时我们称随机变量X服从超几何分布，记作X~H(n,M,N)。
超几何分布的模型是不放回抽样，对超几何分布X~H(N,M,n) ，随机变量X的数学期望
38.如图：椭圆、双曲线、抛物线的内接直角三角形的斜边必过一定点.
推论：若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.
(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.
(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点(0,2p).
39.抛物线中的一类相切问题：AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.
40.抛物线焦点弦的几个常用结论：设AB是过抛物线 (p>0)焦点F的一条弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=,y1y2=-p2. (2)弦长|AB|=x1+x2+p= (α为弦AB的倾斜角). (3)+=.
（4）（5）(若焦点在y轴上，cos换成sin).
41.复数的模的运算性质：
42．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
设双曲线的两个焦点为F1、F2,P（异于实轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
43．椭圆与直线有公共点的充要条件是.你能证明吗？
44．设椭圆（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线：(或)上.
45．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
46．椭圆（a＞b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时，A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
47. 双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时，A1P1与A2P2交点的轨迹方程是（a＞b＞0）.
48.导数题常用放缩、、
49. 设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.
50.函数f(x)具有对称轴，，则f(x)为周期函数且一个正周期为
51.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′ ，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S
52,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线
53.三余弦定理：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC·cos∠OAB(∠BAC和∠OAB只能是锐角)
54.立方差公式：
立方和公式：
55.
推论：
56.推论：①②
57.向量与三角形四心：
A.四心的概念介绍：
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（关注：中点中线+1:1:1）
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边距离相等；
（关注：角平分线+a:b:c）
外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
（关注：向量的数量积+投影）
B.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c
(1)是的重心
(2)为的垂心
(3)为的内心
(4)为的外心（向量的投影+点差法）
C.若O是三角形ABC的内心，存在实数，使得角平分线上的动点:。
D.是的重心. =1:1:1
E.O为的内心.
F.(投影模型）.
58.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点
59.若圆的直径端点，则圆的方程为
60.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值
61. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
62.面积比模型：在△ABC所在平面内，存在一点O，满足，则
，若同号，则O在△ABC内部，否则，点O在△ABC外部.
奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.
64.函数周期性问题（差为常数周期性）
　　已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.
65.函数的对称性（和为常数对称性）
　　已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
66.等差数列（记自己能理解的即可）
　　设Sn为等差数列{an}的前n项和.
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).
(2)ap=q,aq=p(p≠q) ap+q=0.
(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.
(4)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.
(5)Sn====….
(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.
(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n).
(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.
　67.等比数列（记自己能理解的即可）
　　已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.
(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).
(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.
(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*).
(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},,{anbn},也是等比数列(λ≠0,n∈N*).
(7)通项公式an=a1qn-1=·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.
68.圆锥曲线中的一类定值问题
　　在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.
图示 条件 结论
已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值 .
已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值-.
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值-.
若椭圆（a＞b＞0）与双曲线有共同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个交点，记.
ln2=0.69,ln3=1.09,ln5=1.609
网格最短路径问题：从A点到B点的最短路径需要向右行走m个网格，向上行走n个网格，那么从A点到B点的不同最短路径共有种.
编号为1,2,3，...，n的n个不同小球放入编号为1,2,3，...，n的n个不同盒子中，每个盒子放一球，球的编号和盒子的编号都不同的放法共有种.
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