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清远市2022~2023学年第二学期高中期末教学质量检测
高 一 数 学
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第一册5.4至第二册第九章。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位,则(2+3i)(3+2i)=
A.13i B.-13i C.12+13i D.12-13i
2.已知向量a=(m,1),b=(4,-3),若a∥b,则实数m=
A. B.- C. D.-
3.某高中共有学生2400人,其中高一、高二、高三的学生人数比为5∶4∶6,现用分层随机抽样的方法从该高中所有学生中抽取一个容量为120的样本,则应从高三年级抽取的人数为
A.32 B.40 C.48 D.56
4.一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水,若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同)后,水恰好淹没了玻璃球,则V=
A. B.6π C. D.8π
5.已知cos θ+cos(θ-)=,则cos(θ-)=
A. B. C.- D.-
6.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,PA=4,E为侧棱PC的中点,则异面直线BE与PA所成角的正切值为
A. B.
C.1 D.
7.在△ABC中,D为BC的中点,3sin∠ADB=2sin∠ACB,BC=6,AB=4,则△ABC的面积为
A.2 B.3 C.2 D.4
8.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家,被誉为“数学之王”,欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理:三角形的重心、垂心和外心共线,这条直线被称为欧拉线.已知M,N,O,P为△ABC所在平面上的点,满足||=||=||,++=0,·=·=·,a+b+c=0(a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边),则欧拉线一定过
A.M,N,P B.M,N,O C.M,O,P D.N,O,P
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知一组数据x1,x2,…,xn的平均数为a,中位数为b,方差为c,众数为d,数据-2x1+1,-2x2+1,…,-2xn+1的平均数为a1,中位数为b1,方差为c1,众数为d1,则
A.a1=-2a+1 B.b1无法确定 C.c1=-2c+1 D.d1=-2d+1
10.已知函数f(x)=sin xcos x,则
A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)为奇函数
C.f(x)在区间[,]上单调递增 D.f(x)的最小值为-
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BA=,AC=2,AA1=3,点E在棱AA1上,AE=1,D是A1C1的中点,则
A.三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为3+3
B.三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为13π
C.B1C1∥平面BCD
D.CE⊥平面B1DE
12.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a2-b2=c,则
A.A=2B B.B=2A
C.a的取值范围是(1,) D.a的取值范围是(,)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知sin α=-2cos α,则tan(α+)=　　▲　　.
14.互不相等的4个正整数从小到大排序为a1,a2,a3,a4,若它们的和为12,且这4个数据的极差是中位数的2倍,则这4个数据的第40百分位数为　　▲　　.
15.已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,定义a×b为向量a与b的向量积,a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sin θ.若a·b=k|a×b|,则
(1)当k=时,θ=　　▲　　;
(2)若向量a与b为单位向量,当k=时,a在a+b上的投影向量(与a+b同向的单位向量为e)为　　▲　　.(第一空2分,第二空3分)
16.
在数学探究活动课中,小华进行了如下探究:如图,这是注入了一定量水的正方体密闭容器,现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上,使得AD,AB,AA1三条棱与水平面所成角均相等,此时水平面恰好经过BB1的中点,若AB=1,则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为　　▲　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知复数z的虚部为-2,z在复平面上对应的点在第三象限,且满足|z|=.
(1)求z;
(2)已知m∈R,+m为纯虚数,求m的值.
18.(12分)
在△ABC中,=3,=,=3.
(1)用向量,表示,,并判断B,E,F三点是否共线;
(2)若|+|=|-|=,·=-,求△ABC的面积.
19.(12分)
某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试,统计人员从A校随机抽取了300名学生,从B校随机抽取了400名学生,统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[50,100]内,并将收集到的数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组,绘制成频率分布直方图,如图所示.
(1)估计A校这300名学生成绩的75%分位数;
(2)根据频率分布直方图,假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为μ1,B校抽取的400名学生成绩的平均值为μ2,以及A,B两校抽取的700名学生成绩的平均值为μ0,试比较μ0和的大小.
20.(12分)
函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.已知A(-,0),B(,M),C(x0,-M),AB⊥AC.
(1)求x0和f(x)的解析式;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)在[0,]上的值域.
21.(12分)
已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,absin B+acsin C-a2sin A=bcsin A.
(1)求A;
(2)若4a+b=2c,求sin C.
22.(12分)
如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1=4,AA1=.
(1)证明:AA1⊥BC.
(2)过B1C1的平面α交AB,AC分别于E,F,若AA1∥平面α,求直线BB1与平面α所成角的正弦值.
清远市2022~2023学年第二学期高中期末教学质量检测
高一数学参考答案
1.A　(2+3i)(3+2i)=6+9i+4i+6i2=13i.
2.B　因为a∥b,所以4=-3m,解得m=-.
3.C　应从高三年级抽取120×=48人.
4.C　由题可知+V=π×22×4,解得V=.
5.A　cos θ+cos(θ-)=cos θ+sin θ=(cos θ+sin θ)=cos(θ-)=,
所以cos(θ-)=.
6.
D　连接AC,BD,设AC∩BD=O,则O是AC,BD的中点,连接OE,由于E是PC的中点,所以OE∥PA,则∠BEO为异面直线BE与PA所成的角,OE=PA=2,BO=,
由于PA⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD,则tan∠BEO==.
7.D　因为3sin∠ADB=2sin∠ACB,所以3sin∠ADC=2sin∠ACD,则3AC=2AD,
又cos∠ADB+cos∠ADC=+=0,解得AD=3,AC=2,所以AD=BC,故AC⊥AB,则△ABC的面积为×4×2=4.
8.B　满足||=||=||,++=0,·=·=·,a+b+c=0的点M,N,O,P分别为三角形的外心、重心、垂心、内心,由欧拉线定理知,欧拉线一定过M,N,O,故选B.
9.AD　由题可知a1=-2a+1,b1=-2b+1,c1=(-2)2×c=4c,d1=-2d+1.
10.BCD　f(x)=sin xcos x=,则f(x)的最小正周期T==π;又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数;令-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,令k=1,得f(x)的其中一个单调递增区间为[,];f(x)的最小值为-.故选BCD.
11.BCD　三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为(++2)×3=6+6.
因为BC=BA=,AC=2,所以△ABC为以B为直角的等腰三角形,则三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径r==,所以外接球的表面积为13π.
因为B1C1∥BC,B1C1 平面BCD,所以B1C1∥平面BCD.
由已知得A1B1=B1C1,又D是A1C1的中点,所以B1D⊥A1C1,侧棱AA1⊥平面A1B1C1,
又B1D 平面A1B1C1,所以AA1⊥B1D,
因为AA1∩A1C1=A1,所以B1D⊥平面AA1C1C,又CE 平面AA1C1C,所以B1D⊥CE,
因为AE=1,AC=2,AA1=3,所以CE=,DE=,CD=,则CE2+DE2=CD2,所以CE⊥DE.又DE∩B1D=D,所以CE⊥平面B1DE.故选BCD.
12.AD　因为b=1,a2-b2=c,所以a2-b2=bc,由正弦定理得sin2A-sin2B=sin Bsin C,由二倍角公式得-=sin Bsin C,(cos 2B-cos 2A)=sin Bsin C,
由和差化积公式可得sin(A+B)sin(A-B)=sin Bsin C,即sin Csin(A-B)=sin Bsin C,
因为△ABC为锐角三角形,所以C∈(0,),sin C≠0,所以sin(A-B)=sin B,
所以A-B=B或A-B+B=A=π(舍去),即A=2B,sin A=sin 2B=2sin Bcos B,
由正弦定理可得=2cos B,即a=2cos B,由题意得00所以cos B∈(,),则a的取值范围是(,).
13.-　由题可知tan α=-2,则tan(α+)===-.
14.2　这组数据的极差为a4-a1,中位数为,据题意得a4-a1=2×,即a4=a1+a2+a3,又它们的和为12,所以2a4=12,解得a4=6,a1+a2+a3=6.
因为a1,a2,a3为正整数且互不相等,所以a1=1,a2=2,a3=3.因为40%×4=1.6,所以这4个数据的第40百分位数为2.
15.;e　(1)由a·b=|a×b|,得|a||b|cos θ=|a||b|sin θ,即tan θ=,又θ∈[0,π],所以θ=.
(2)由a·b=k|a×b|,得|a||b|cos θ=k|a||b|sin θ,即tan θ=,当k=时,tan θ=,cos θ=,cos ===,
故a在a+b上的投影向量为|a|cos e=e.
16.　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD,AB,AA1与平面A1BD所成的角是相等的,所以水平面平行于平面A1BD,又水平面恰好经过BB1的中点,则水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面是过棱的中点的正六边形,且边长为,所以其面积S=6××()2=.
17.解:(1)由题可设z=a-2i,a∈R, 2分
又z在复平面上对应的点在第三象限,所以a<0, 3分
因为|z|=,所以a2+4=5,所以a=-1,即z=-1-2i. 5分
(2)由题可知=-1+2i, 6分
+m=+m=(-1-2i)+m=(m-1)-2i, 8分
因为+m为纯虚数,所以m-1=0,解得m=1. 10分
18.解:(1)=-=-+, 2分
因为=3,所以=+=+=+(-)=+, 3分
所以=-=-=-+, 4分
因为=2,所以B,E,F三点共线. 6分
(2)因为|+|=|-|=,所以(+)2=(-)2=2,
即||2+||2+2·=2,||2+||2-2·=2, 7分
所以·=0, 8分
||2+||2=2, 9分
又·=(+)·(-)=-||2+||2=-, 11分
则||=||=1,所以△ABC的面积为×1×1=. 12分
19.解:(1)设75%分位数为x,易得x∈[80,90), 1分
则10×0.005+10×0.015+10×0.02+(x-80)×0.04=0.75, 4分
解得x=88.75,所以估计A校这300名学生成绩的75%分位数为88.75. 5分
(2)μ1=(55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02)×10=80.5, 7分
μ2=55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77, 9分
则==78.75, 10分
又A校与B校抽取的学生人数比值为3∶4,
所以A校抽取的学生人数占总数的,B校抽取的学生人数占总数的,
故A,B两个学校抽取的700名学生成绩的平均值μ0=μ1+μ2=×80.5+×77=78.5, 11分
故μ0<. 12分
20.解:(1)设f(x)的最小正周期为T,因为A(-,0),B(,M),
所以T=4(+)=2,则x0=-+T=, 2分
ω==π, 3分
所以=(,M),=(,-M),
又AB⊥AC,所以·=-M2=0,解得M=, 4分
将点B的坐标代入f(x),可得π×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin(πx+). 6分
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,可得y=sin[π(x-)+]=sin(πx-)的图象,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到g(x)=·sin(2πx-)的图象. 8分
由x∈[0,],可得2πx-∈[-,], 9分
所以sin(2πx-)∈[-,1], 11分
所以g(x)在[0,]上的值域为[-,]. 12分
21.解:(1)因为absin B+acsin C-a2sin A=bcsin A,
所以ab2+ac2-a3=abc, 2分
即b2+c2-a2=bc, 3分
所以cos A==, 4分
又0(2)由4a+b=2c,可得4sin A+sin B=2sin C,
即2+sin B=2sin C, 7分
又因为B+C=,所以2+sin(-C)=2sin C, 8分
整理得sin C-cos C=2,所以sin(C-)=, 9分
因为C∈(0,),C-∈(-,),所以cos(C-)=, 10分
sin C=sin(C-+)=sin(C-)cos +cos(C-)sin =. 12分
22.(1)证明:设AA1,BB1,CC1的延长线交于点M,因为ABC-A1B1C1为正三棱台,所以M-ABC为正三棱锥,即MA=MB=MC,设BC的中点为G,连接AG,MG,设MG∩B1C1=H,易知H为B1C1的中点, 2分
所以MG⊥BC,AG⊥BC, 3分
又MG∩AG=G,所以BC⊥平面MAG, 4分
因为AA1 平面MAG,所以AA1⊥BC. 5分
(2)解:连接A1H,设AG∩EF=D,
因为AA1 平面MAG,平面MAG∩平面α=HD,AA1∥平面α,所以AA1∥DH. 7分
同理可得EF∥B1C1,所以EF∥BC,又BC 平面α,所以BC∥平面α, 8分
易知A1H∥AD,所以A1ADH为平行四边形,
则AD=A1H=,AA1=DH=,DG=. 9分
由AB=2A1B1=4,AA1=,可得HG=2.
过点G作GP垂直HD,交HD于点P,在△HDG中,cos∠HGD==,
利用等面积法得GP==, 10分
因为BC∥平面α,所以点B到平面α的距离d=. 11分
所以直线BB1与平面α所成角的正弦值为=. 12分

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