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第四单元 《一次函数》
【知识点一： 函数】
1.函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
（函数不是数，它表示两个变量之间的关系）
2.表示方法：①列表法 ②关系式法 ③图像法。
3.函数值及自变量的取值范围：
（1）函数值：对于自变量在可取范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。
（2）常见函数类型中自变量取值范围的确定。
①整式型： 全体实数； （ 例：y = 3x2-2x+1 ）
②分母型： 分母不为0 的实数； （ 例：y = ）
③根式型： 根号下的式子不小于0的实数； （ 例：y= ）
④零次幂型： 底数不为0的实数。 （ 例：y=(x+2)0 )
【对点训练】
1.下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是(　　)
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
2．函数y＝＋(x－1)0中自变量x的取值范围是(　 　)
A．x≤2　 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1　 D．x≠1
3．小王计划用100元钱买乒乓球，所购买球的个数W(个)与单价n(元)的关系式W＝中(　 　)
A．100是常量，W，n是变量 B．100，W是常量，n是变量
C．100，n是常量，W是变量 D．无法确定
4．下列图形能表示y是x的函数的是(　 　)
5.下表给出了橘农王林去年橘子的销售额(元)随橘子卖出质量(千克)的变化的有关数据：
卖出质量(千克) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
销售额(元) 2 4 6 8 10 12 14 16 18
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当橘子卖出5千克时，销售额是多少？
(3)估计当橘子卖出50千克时，销售额是多少？
【知识点二： 一次函数与正比例函数】
1.一次函数与正比例函数的概念：
一次函数：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
正比例函数：y＝kx(k为常数，k≠0)．
2.根据已知条件列一次函数关系式（步骤）
(1)寻找等量关系，可以直接将公式当作等量关系；
(2)用字母表示自变量及函数(即因变量)，根据等量关系列出等式；
(3)将等式变形，写成函数的一般形式．
【对点训练】
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是(　　)
y＝2x　 B．y＝＋2 C．y＝－x　 D．y＝2x2－1
2．下列语句不正确的是(　 　)
A．所有的一次函数都是正比例函数 B．一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0)
C．所有的正比例函数都是一次函数 D．正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0)
3．下列函数中，既是一次函数，又是正比例函数的是(　 　)
A．y＝－4x2－1　 B．y＝3x－1 C．y＝　 D．y＝－3x
4.已知函数y＝(k－1)x＋k2－1，
(1)当k 时，它是一次函数；
(2)当k＝ 时，它是正比例函数
5．已知若函数y＝(m－1)xm2＋3是关于x的一次函数．
(1)求m的值，并写出关系式；
(2)判断点(1,2)是否是此函数上的点，说明理由．
6.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比列函数．
(1)某种汽油的单价为5.75元/升，总价y(元)与加油量x(升)之间的关系；
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系；
(3)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y 厘米．
【知识点三： 正比例函数、一次函数图象和性质】
一次函数的图象：
(1)画一次函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
(2)正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线．
①当k＞0时，图象过一、三象限， y的值随着x值的增大而增大；
②当k＜0时，图象过二、四象限， y的值随着x值的增大而减小．
(3)一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过(0，b)，（-，0）两点的一条直线．
(4)在一次函数y＝kx＋b中，
①当k＞0时，b>0时，图象过一、二、三象限，y的值随着x值的增大而增大；
b<0时，图象过一、三、四象限，y的值随着x值的增大而增大；
②当k＜0时，b>0时，图象过一、二、四象限，y的值随着x值的增大而减小．
b<0时，图象过二、三、四象限，y的值随着x值的增大而减小．
【对点训练】
1．若正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象必经过点(　 　)
A．(－3，－2)　 B．(2,3) C．(3，－2)　 D．(－2,3)
2．对于函数y＝－x，下列说法不正确的是(　 　)
A．其图象经过点(0,0) B．其图象经过点（-1，）
C．其图象经过第二、四象限 D．y随x的减小而减小
3.已知正比例函数y＝(k＋2)x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是(　　)
A．k＞－2　 B．k＜－2　 C．k＝－2　 D．k＝0
4.一次函数y＝x－3的图象经过(　　)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
5．正比例函数y＝－4x的大致图象是(　 　)
6.在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，观察图象得(　　)
A.k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
7.关于一次函数y＝－2x＋3，下列结论正确的是(　　)
A．图象过点(1，－1)　 B．图象经过第一、二、三象限
C．y随x的增大而增大　 D．当x＞时，y＜0
8.已知正比例函数y＝kx的图象经过点(3，－6)．
(1)求出这个函数的表达式； (2)画出这个函数图象；
(3)判断点A(4，－2)、点B(－1.5,3)是否在这个函数图象上；
(4)已知图象上的两点C(x1，y1)，D(x2，y2)，且x1＞x2，比较y1，y2的大小．
【知识点四： 函数平移、待定系数法（第五单元）】
1.一次函数的平移：
向上（下）平移n个单位，只改变b的值。 （上加） （下减）
向左（右）平移m个单位： （左加右减）
2．确定一次函数表达式：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件．（待定系数法：①设，②代，③解，④写）
【对点训练】
1．直线向下平移3个单位长度得到的直线是（ ）．
A． B． C． D．=
2．函数的图象可由函数的图象沿轴（ ）
A．向上平移个单位得到 B．向下平移个单位得到
C．向左平移个单位得到 D．向右平移个单位得到
3．在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
4.将直线沿轴向上平移6个单位，所得到的直线解析式是____________．
5.如图，已知正比例函数经过点．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）该直线向上平移4个单位，求平移后所得直线的解析式．
【知识点五：一次函数应用及与一元一次方程的关系】
1.确定正比例函数、一次函数表达式的一般步骤：
①设：设出函数表达式： y＝kx(k≠0) y＝kx＋b(k≠0)
②列：将已知点的 坐标 代入函数表达式中，列出方程；
③解：解方程，求出未知数k或者k，b；
④写：写出函数的表达式．
（正比例函数需要1个点的坐标，一次函数需要2个点的坐标）
2.关系：
①从“数”的方面看：一次函数的函数值为某一数值时，相应的自变量的值即为所得方程的解。
②从“形”的方面看：函数y= kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为方程 kx+b=0的解。
【对点训练】
1.如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象．
(1)k＝　　，b＝ ；
(2)当x＝5时，y＝　　；
(3)当y＝5时，x＝ .
（第1题） （第2题） （第3题）
2．某种植物生长t天的高度为y cm，如图反映了y与t之间的函数关系．
(1)植物刚种下时的高度为 cm；
(2) 天后，该植物高度可以达21 cm；
(3)y与x的关系式为 ；
(4)若该植物长到100 cm，需 天．
3．如图，射线OA，BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s，t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差　　km/h.
4.在平面直角坐标系中，直线经过．
（1）求直线的函数解析式；
（2）求的面积．
5.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数．一根弹簧不挂物体时长15 cm；当所挂物体的质量为5 kg时，弹簧长20 cm.所挂物体质量为8 kg时弹簧的长度是多少？
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系如图所示．
(1)长春到吉林的距离为 千米，普通快车到达吉林所用时间为 小时；
(2)求特快列车与长春的距离s与t之间的函数关系式．
7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与正比例函数的图象交于点．
（1）求、、三点的坐标；
（2）求的面积；
（3）若动点在射线上运动，当的面积是的面积的时，求出此时点的坐标．

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