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第二十二讲：基本不等式
【教学目标】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
【基础知识】
基本不等式
（1）基本不等式：如果a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
（2）变形：，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
【题型目录】
考点一：基本不等式的理解
考点二：基本不等式性质
考点三：基本不等式证明不等式（一）
考点四：基本不等式证明不等式（二）
【考点剖析】
考点一：基本不等式的理解
例1．设，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练1．下列不等式恒成立的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
变式训练2．设，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练3．若且，则，，，中的最大值的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：基本不等式性质
例2．若且，则下列不等式中恒成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
变式训练1．已知，且，则下列结论恒成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
变式训练2．已知、，若，则下列不等式：
①； ②；
③； ④．
其中恒成立的不等式序号是（ ）
A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④
变式训练3．已知，则下列不等式中不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
考点三：基本不等式证明不等式（一）
例3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练1．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立
变式训练2．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
变式训练3．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（ ）
A．（a＞0，b＞0） B．
C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）
考点四：基本不等式证明不等式（二）
例4．已知，，，求证：.
变式训练1．已知实数均大于0，证明：.
变式训练2．（1）已知，，，求证：；
（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.
变式训练3．已知，，，且．求证：．
【课堂小结】
1．知识清单：
(1)基本不等式．
(2)利用基本不等式比较大小．
(3)利用基本不等式证明不等式．
2．方法归纳：配凑法．
3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．
【课后作业】
1、．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2、如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（ ）
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
3、小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、若，，且，则下列代数式中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6、（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
7、．若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9、已知a＞0，b＞0，给出下列三个不等式：①；②；.其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10、三国时期的数学家赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理进行证明时绘制了弦图，其大致图像如图所示．以下选项中，可利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果，，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数a和b，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，那么．
11、若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12、《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
13、已知，，均为正实数，求证：若，则．
14、已知正数满足，证明；
15、证明下列式子
（1）已知,证明：；
（2）已知,证明：．
16、已知，，，且.证明：
（1）若，，，证明：；
（2）设，，，且，证明：.
17、我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.
（1）对于三元基本不等式请猜想：设当且仅当时，等号成立（把横线补全）.
(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：
设求证：
第二十二讲：基本不等式答案
【教学目标】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
【基础知识】
基本不等式
（1）基本不等式：如果a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
（2）变形：，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
【题型目录】
考点一：基本不等式的理解
考点二：基本不等式性质
考点三：基本不等式证明不等式（一）
考点四：基本不等式证明不等式（二）
【考点剖析】
考点一：基本不等式的理解
例1．设，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以；
因为，
所以，即，
因为，
所以，即，
因此，
故选：D
变式训练1．下列不等式恒成立的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】D
【详解】对于A：取，，则，，此时.
故A错误；
对于B：取，，则，，此时.
故B错误；
对于C：取，，则，，此时.
故C错误；
对于D：因为，所以.
故D正确.
故选：D
变式训练2．设，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，，，
.
故选：B.
变式训练3．若且，则，，，中的最大值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，实数且，可得，，
又由，
因为，可得，所以，
所以，所以最大值为.
故选：C.
考点二：基本不等式性质
例2．若且，则下列不等式中恒成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，，A错；
时，满足，但，B错；
时，满足，，C错．
，则，，当且仅当时等号成立．D正确．
故选：D．
变式训练1．已知，且，则下列结论恒成立的是．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当都是负数时，不成立，当一正一负时，不成立，当时，不成立，因此只有是正确的.
变式训练2．已知、，若，则下列不等式：
①； ②；
③； ④．
其中恒成立的不等式序号是（ ）
A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④
【答案】B
【详解】对于①中，因为，所以是正确的；
对于②中，由，则，所以，当且仅当时，即是等号成立，所以是正确的；
对于③中，当时，，所以不正确；
对于④中，当时，，所以不正确，
故选B.
变式训练3．已知，则下列不等式中不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A：，故A正确；
B：，故B正确；
C：，故C正确；
D：当时，，，此时不成立，
故选:D.
考点三：基本不等式证明不等式（一）
例3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设，可得圆的半径为，
又由，
在中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
变式训练1．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立
【答案】D
【详解】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，
在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立．
故选：D．
变式训练2．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
变式训练3．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（ ）
A．（a＞0，b＞0） B．
C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）
【答案】C
【详解】由图形可知，，，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
CF＝，
∵CF≥OF，
∴，
故选：C.
考点四：基本不等式证明不等式（二）
例4．已知，，，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】∵，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
同理：，，
当且仅当，时，等号成立，
以上三式相加得：，
当且当且仅当时，等号成立，
所以.
变式训练1．已知实数均大于0，证明：.
【答案】证明见解析
【详解】
，
当且仅当时取等号，证毕.
变式训练2．（1）已知，，，求证：；
（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）
，
当且仅当时等号成立，
所以.
（2），
当且仅当时等号成立，
因为a，b，c为不全相等的正实数，
所以.
变式训练3．已知，，，且．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】因为a，b，c都为正实数，且，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以．
【课堂小结】
1．知识清单：
(1)基本不等式．
(2)利用基本不等式比较大小．
(3)利用基本不等式证明不等式．
2．方法归纳：配凑法．
3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．
【课后作业】
1、．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴.
故选：C.
2、如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（ ）
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
【答案】B
【详解】依题意，
根据基本不等式可知，
，
，
所以.
所以，即.
故选：B
3、小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
根据题意，设甲地到乙地的距离为，
则小明从甲地到乙地的时间为，则其平均速度为，A选项正确；
，则，即，
由基本不等式可得，，所以，，B选项正确，D选项错误；
，，C选项正确.
故选：D.
4、若，，且，则下列代数式中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，，且知，
所以最大值为A、B中的一个.
，
由于，
所以，
所以，
所以为四个代数式中最大的.
故选：B
5、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】
因为，所以.
因此，且，且②、③不正确.
所以，所以①正确，
由得 均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.
故选：C.
6、（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】AC
【详解】
解:选项A.，，等号成立的条件是，故A正确；
选项B.当时，，，所以时，的最小值是2，等号成立的条件是，没有最大值,故B不正确；
选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，根据“或”命题的性质可知C正确；
选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，即最小值不存在，故D不正确.
故选：AC.
7、．若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，即；
当时，，但，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】
解：对于①，由重要不等式可知①正确；
对于②， ，故②正确；
对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确；
对于④，令可知④不正确．
故恒成立的个数为个.
故选：C.
9、已知a＞0，b＞0，给出下列三个不等式：①；②；.其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】依题意，，，，当且仅当时等号成立，①②正确，
当且仅当时等号成立，③正确.正确的个数是3,选D.
10、三国时期的数学家赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理进行证明时绘制了弦图，其大致图像如图所示．以下选项中，可利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果，，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数a和b，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，那么．
【答案】C
【详解】设直角三角形的两条直角边为，斜边为，
则外围的正方形的面积为，即，四个阴影面积之和为，
当时，内部的小正方形缩为一个点，所以，
所以对任意实数a和b，有，当且仅当时等号成立.
故选：C.
11、若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
即，，当且仅当时取等号，
综上所述，，当且仅当时取等号，
故选：A.
12、《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图形可知，，，
由勾股定理可得，
在中，由可得.
故选：D.
13、已知，，均为正实数，求证：若，则．
【答案】证明见解析
【详解】
证明：因为，，均为正实数，
由基本不等式得，当且仅当时，即a=1取等号，
同理，当且仅当时，即b=1取等号，
，当且仅当时，即c=1取等号，
以上三式相加，得
所以，当且仅当时，取等号．
14、已知正数满足，证明；
【答案】（1）证明见解析；
【详解】
（1）由基本不等式可得，同理，，
所以即，
当且仅当时等号成立，故成立．
15、证明下列式子
（1）已知,证明：；
（2）已知,证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】(1)因为
.
因为,故,即.
故成立.
(2)由基本不等式可得,故.
同理有,.
相加可得,当且仅当时取等号.
即得证.
16、已知，，，且.证明：
（1）若，，，证明：；
（2）设，，，且，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由题得
，
∴，当且仅当时，等号成立.
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴.当且仅当时，等号成立.
17、我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.
（1）对于三元基本不等式请猜想：设当且仅当时，等号成立（把横线补全）.
(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：
设求证：
【答案】（1）（2）证明见解析
【详解】（1）通过类比,可以得到当,,时,当且仅当时,等号成立；
（2）证明：,,,由（1）可得,

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