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专题四 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
知识归纳
一、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为 ②若，解集为
二、分式不等式
（1） （2）
（3） （4）
三、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
四、高次不等式
解法：穿根法
穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：
（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：
（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了 n+1个区间。
（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。
（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为 的解集。
五、 一元二次方程根的分布
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.
根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)　 图象 满足的条件
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
x1＜m＜x2 f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜n＜x2＜p
m只有一根在区间(m，n)内 f(m)f(n)<0
方法技巧与总结
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
典例分析
题型一、不含参数一元二次不等式的解法
例1-1．一元二次不等式的解集为______________
【答案】或
【解析】由，得，解得或，
所以不等式的解集为或；
故答案为：或
例1-2．已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.
例1-3．已知函数=，则不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
【详解】函数=，可得x≥0，递增；
当x＜0时，递增；且x=0时函数连续，所以在R上递增，
不等式，
可化为x+2＜x2+2x，即x2+x﹣2＞0，解得x＞1或x＜﹣2，
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.
题型二、含参数一元二次不等式的解法
例2-1．解关于x的不等式.
【解析】原不等式变为，
①当时，原不等式可化为，所以当时，解得；
当时，解集为；当时，解得
②当时，原不等式等价于，即.
③当时，，原不等式可化为，解得或.
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.
例2-2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【详解】任取，由已知得，即，所以函数单调递减．
由可得，
即，所以，
即，即，
又因为，所以，此时原不等式解集为．
例2-3．在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】 因为关于的不等式可化为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
要使得解集中至多包含个整数，则且，所以实数的取值范围是，故选D.
例2-4．设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】由题意，令，解得两根为，
由此可知，当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；综上，实数的取值范围为.
题型三、一元二次不等式与韦达定理及判别式
例3-1．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故
因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为故选：D
例3-2．（多选题）已知关于的的解集是，则（ ）
A． B．
C．关于的不等式的解集是
D．的最小值是
【答案】AB
【详解】对于A，的解集为，
，且和是方程的两根，A正确；
对于B，由A得：，，，，B正确；
对于C，由得：，
即，解得：，即不等式的解集为，C错误；
对于D，，，
在上单调递增，，D错误.故选：AB.
例3-3．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.
例3-4．（多选题）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
【答案】ABD
【详解】由题意，所以正确;
对于:，当且仅当，即时成立,所以正确;
对于,由韦达定理，可知，所以错误;
对于,由韦达定理，可知，
则，解得，所以正确,故选：.
例3-5．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，则不等式的解集为
题型四、其他不等式解法
例4-1．不等式的解集为_________________.
【答案】
【详解】,故答案为：.
例4-2．写出一个解集为的分式不等式_________________.
【答案】
【详解】一个解集为的分式不等式可以是，故答案为：.（答案不唯一）
例4-3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，解得或，所以或，
所以或.
例4-4．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
【答案】B
【详解】解，当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
故“”成立时，等价于；当“”成立时，等价于，
故成立时，不一定推出成立，反之成立，
故“”是“”的必要不充分条件
例4-5．若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】定义域为，，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，又，在上均为增函数，
在上为增函数，则在上为减函数；
由可得：，即，
解得：，即不等式的解集为.
例4-6．不等式：的解集为_________________.
【答案】或
【详解】不等式可化为，如图
于是，该不等式的解集为：或.
例4-7．不等式的解集为__________________.
【答案】
【详解】解：不等式，即，
方程的根有（2重根），，，，（2重根），
按照数轴标根法可得不等式的解集为.
例4-8．关于的不等式的解集为_________.
【答案】
【详解】对于，有，则恒成立，又恒成立，
又，，
解得不等式的解集为.
例4-9．对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:
解析:由的解集,得的解集为,即
关于的不等式的解集为.
参考上述解法,若关于的不等式的解集为
关于的不等式的解集为____.
【答案】.【详解】若关于的不等式的解集为
则关于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得，
则，则.
题型五、二次函数根的分布问题
例5-1．关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
【解析】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得
（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，
解得
（4）若方程的一个根小于，一个根大于，
则，解得
（5）若方程的两个根都在内，则，解得
例5-2．（多选题）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
【答案】BCD
【详解】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得，
，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确.
例5-3．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】已知函数，则，
因为在，上为增函数，在上为减函数，
所以，即，解得 ，所以实数的取值范围为
例5-4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由函数，且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)= sin2x+3a(cosx sinx)+2a 1≤0恒成立，
∵设，∴当x∈时,,t∈[ 1,1]，即 1≤cosx sinx≤1，
令t∈[ 1,1],sin2x=1 t2∈[0,1]，原式等价于t2+3at+2a 2≤0，当t∈[ 1,1]时恒成立，
令g(t)=t2+3at+2a 2，
只需满足或或，解得或或，综上，可得实数a的取值范围是，故选：A.
例5-5．设，若，求证：
(Ⅰ) 且；
(Ⅱ)方程在内有两个实根.
【详解】（Ⅰ）因为，所以.
由条件，消去，得；
由条件，消去，得，.故.
（Ⅱ）函数的顶点坐标为，
在的两边乘以，得.
又因为而
又因为在上单调递减，在上单调递增，
所以方程在区间与内分别各有一实根.
题型六、一元二次不等式恒成立与存在问题
命题点1　在R上恒成立问题
例6-1．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【答案】.
【解析】由题意知，，又∵ ，
∴ ，∴ ，解得： ，故答案为： .
例6-2．对恒成立，则实数的范围为________________.
【答案】
【解析】对恒成立．
① 当时，可得.若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得综上，实数的范围为.
例6-3．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立，
令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，当时，由，得到，
当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以，
综上，实数的取值范围为.故答案为：.
例6-4．不等式的解集为，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵不等式的解集为，∴恒成立.
①当，即时，不等式化为，解得：，不是对任意恒成立，舍去；
②当，即时，对任意，要使，
只需且，解得：.
综上，实数m的取值范围是.
命题点2　在给定区间上恒成立问题
例6-5．对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】由得，，令，，则原式变形为，.
当，即时，符合题意.当，或
当时，此时在上单调递减，则恒成立，有，即，解得；所以
当时，此时在上单调递增，则，有，即，解得，所以综上所述，的范围为.故答案为：
例6-6．若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【答案】【解析】当，且时，由，得.
设，则.当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.所以，得，
等价于，而，当且仅当时等号成立. 所以，则，所以，
解得，所以b的最大值是.
例6-7．若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．
【答案】－4【解析】∵当时，恒成立，∴恒成立，
又当时，，当且仅当x＝2时取等号．
∴，∴，故a的最小值为－4.
例6-8．已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________.
【答案】【解析】要使在上恒成立，即在上恒成立，有以下两种解法：
解法1：令，．
当时，在上单调递增，所以，即，
所以，所以；当时，恒成立；当时，在上单调递减，所以，即，所以，所以.综上所述，m的取值范围是.
解法2：因为，又因为在上恒成立，所以在上恒成立．令，因为函数在上的最小值为，所以只需即可．所以的取值范围是.
例6-9．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】【解析】因为，所以原不等式可转化为在上恒成立，
令，，
要使在上恒成立，
当时，不符合题意，当时，若要在上恒成立，
由一元二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即，
当对称轴，即时，只需，
解得；当对称轴，即时，只需，解得；
综上所述.
命题点3　给定参数范围的恒成立问题
例6-10．函数是奇函数，且在是单调增函数，又，则满足对所有的及都成立的t的范围是___________.
【答案】
【解析】依题意函数是奇函数，且在是单调增函数，又，
所以，所以的值域是.
所以对任意恒成立，即任意恒成立，
所以，解得或或，所以的取值范围是.
故答案为：
例6-11．函数．
（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】（1）当时，恒成立，即恒成立，
则，即，解得所以实数a的取值范围是．
（2）当时，恒成成立，令，即，该二次函数对称轴为，分如下三种情况讨论：
①当，即时，函数在上单调递增，，解得，此时无解；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，此时；
③当，即时，函数在上单调递减，，解得，此时；
综上可知，实数a的取值范围是．
（3）令，当时，恒成立，即恒成立，
函数是关于a的一次函数，其图像在上是单调的，所以要，只需，即，解得或
所以实数x的取值范围是
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（北京）股份有限公司专题四 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
知识归纳
一、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为 ②若，解集为
二、分式不等式
（1） （2）
（3） （4）
三、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
四、高次不等式
解法：穿根法
穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：
（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：
（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了 n+1个区间。
（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。
（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为 的解集。
五、 一元二次方程根的分布
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.
根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)　 图象 满足的条件
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
x1＜m＜x2 f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜n＜x2＜p
m只有一根在区间(m，n)内 f(m)f(n)<0
方法技巧与总结
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
典例分析
题型一、不含参数一元二次不等式的解法
例1-1．一元二次不等式的解集为______________
例1-2．已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例1-3．已知函数=，则不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
题型二、含参数一元二次不等式的解法
例2-1．解关于x的不等式.
例2-2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
例2-3．在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2-4．设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
题型三、一元二次不等式与韦达定理及判别式
例3-1．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例3-2．（多选题）已知关于的的解集是，则（ ）
A． B．
C．关于的不等式的解集是
D．的最小值是
例3-3．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
例3-4．（多选题）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
例3-5．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
题型四、其他不等式解法
例4-1．不等式的解集为_________________.
例4-2．写出一个解集为的分式不等式_________________.
例4-3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
例4-4．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
例4-5．若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例4-6．不等式：的解集为_________________.
例4-7．不等式的解集为__________________.
例4-8．关于的不等式的解集为_________.
例4-9．对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:
解析:由的解集,得的解集为,即
关于的不等式的解集为.
参考上述解法,若关于的不等式的解集为
关于的不等式的解集为____.
题型五、二次函数根的分布问题
例5-1．关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
例5-2．（多选题）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
例5-3．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例5-4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例5-5．设，若，求证：
(Ⅰ) 且；
(Ⅱ)方程在内有两个实根.
题型六、一元二次不等式恒成立与存在问题
命题点1　在R上恒成立问题
例6-1．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______
例6-2．对恒成立，则实数的范围为________________.
例6-3．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为___________．
例6-4．不等式的解集为，则的取值范围是________.
命题点2　在给定区间上恒成立问题
例6-5．对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________.
例6-6．若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
例6-7．若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．
例6-8．已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________.
例6-9．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________.
命题点3　给定参数范围的恒成立问题
例6-10．函数是奇函数，且在是单调增函数，又，则满足对所有的及都成立的t的范围是___________.
例6-11．函数．
（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．
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