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专题五 基本不等式及其应用
知识归纳
一.基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
方法技巧与总结
一.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
二.均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
三.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立.
典例分析
题型一、基本不等式及其应用
例1-1．（多选题）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC【详解】对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
例1-2．《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】连接，由题知，，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，因为，，所以，，所以所以由可以证明故选：D
例1-3．（多选题）设，，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【详解】对于A选项，，
当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，取，则，B错；
对于C选项，，，
所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，因为，则，
所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对.
题型二、直接法求最值
例2-1．若x，y为实数，且，则的最小值为（ ）
A．18 B．27 C．54 D．90
【答案】C
【详解】由题意可得，当且仅当时，即等号成立.
例2-2．已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】B
【详解】由于二次函数（）的值域为，
所以，所以，所以，
当且仅当即时等号成立.
例2-3．函数的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4.
例2-4．（多选题）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】BC【详解】因为，所以，
所以，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故错误，B正确．
因为，
故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．故选：BC
例2-5．若，且，则的最大值是_______________.
【答案】##.【详解】，，，，
即（当且仅当，即，时取等号），，即的最大值为.
题型三、常规凑配法求最值
例3-1．若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A【详解】因，则，
于是得，当且仅当，
即时取“=”，所以当时，有最大值.
例3-2．若，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】因，且，则，即有，同理，
由得：，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.
例3-3．已知，且，则最大值为______．
【答案】【详解】由且，可得，代入，
又，
当且仅当，即，
又，可得，时，不等式取等，即的最大值为，
例3-4．（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.
【详解】（1）∵，
∴，当且仅当即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时；（2）令，将代入得：
，∵，∴，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时.
题型四、消参法求最值
例4-1．若直线过点，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】直线过点，则
又，设，则
由，当且仅当，即时等号成立.
所以，即
所以的最大值为，当且仅当时等号成立.
例4-2．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由正实数，，满足，
．，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，即的最大值是1．
例4-3．若正实数，满足，则的最大值为______．
【答案】【详解】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝，
则＝＝＝﹣2 （）2+，当，即b＝2 时取得最大值．
例4-4．若，，则的最小值为___________.
【答案】【详解】因为且，则两边同除以，得，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故答案为:
例4-5．若，则的取值范围是_________．
【答案】【详解】由题意得： ，则 ，
又，当且仅当 时取等号，
故，故，所以，
令 ，则 ，，
则当 时，，递减，当 时，，递增，
故，而 ，，故，即，
题型五、双换元求最值
例5-1．设，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】解：法一：（基本不等式）
设，则，条件，
所以，即.
法二：（三角换元）由条件，故可设，即
由于，，故，解得所以，，
所以,当且仅当时取等号.
例5-2．若，，，，则的最小值为______．
【答案】
【详解】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
例5-3．已知，，，则取到最小值为 ________．
【答案】．【详解】令，∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
例5-4．若，且，则的最小值为_________
【答案】【详解】令，则，则，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
例5-5．（多选题）设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为1
【答案】AC
【解析】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．故选：AC.
例5-6．（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为3
【答案】AC
【解析】.
对于，当且仅当时取等号，故正确；
对于，当时，，故错误；
对于，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，但是当时，不符合题意，故等号不成立，故错误.故选：AC.
题型六、“1”的代换求最值
例6-1．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【详解】由，且，可得，
所以
，当且仅当，即，时取等号．
故选：C
例6-2．若实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，，所以，又
所以
当且仅当即，时，取等号，所以
例6-3．已知，且，则的最小值是( )
A．49 B．50 C．51 D．52
【答案】B
【详解】由已知，得，
当且仅当，即，时等号成立．
因此，的最小值是50．
例6-4．若三个正数满足，则的最小值为______.
【答案】/
【解析】依题意为正数，，
所以
，
当且仅当，
，时等号成立.
题型七、齐次化求最值
例7-1．已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．
【答案】/0.25
【解析】由，得，∵正实数a，b，c
∴则 则，
当且仅当，且a，b>0，即a=3b时，等号成立
则所以，的最大值为.
例7-2．已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______．
【答案】2【详解】因为，所以，
又x，y，z为正实数，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，所以，当且仅当时取等号.
所以的最大值为2
例7-3．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．
例7-4．已知函数的定义域为R，则的最大值是___________.
【答案】
【详解】因为函数的定义域为R，
所以，恒成立，所以，即，
所以，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是
例7-5．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在上单调递增，恒成立，
，，，，，
令，设，
则，
，，（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.
题型八、利用基本不等式证明不等式
例8-1．已知，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：．
【解析】(1)因为，所以，又，，所以，
所以，
当时，取得最小值，即取得最小值；
当时，，即，所以．
(2)由得， 所以，
．
当且仅当，时等号成立．
所以
例8-2.已知正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)证明：．
【解析】(1)由，当且仅当时，取得等号．
又，所以．
故当且仅当时，取得最大值1．
(2)证明：要证，需证．
因为，
即，当且仅当时取得等号．故．
题型九、利用基本不等式解决实际问题
例9-1．如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
【答案】 4 48
【详解】解：设，则，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为．
即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.
例9-2．根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．
【答案】．
【详解】设球的半径为R，由球的体积，解得．
因为平面PAB，与平面内直线垂直，即，，．
因为，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中点是球心，所以．
由可知，AC为截面圆的直径，故可设，
在中，，在中，，
所以．
当且仅当，即时，等号成立．
所以当用料最省时，．
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专题五 基本不等式及其应用
知识归纳
一.基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
方法技巧与总结
一.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
二.均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
三.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立.
典例分析
题型一、基本不等式及其应用
例1-1．（多选题）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
例1-3．（多选题）设，，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二、直接法求最值
例2-1．若x，y为实数，且，则的最小值为（ ）
A．18 B．27 C．54 D．90
例2-2．已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
例2-3．函数的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
例2-4．（多选题）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
例2-5．若，且，则的最大值是_______________.
题型三、常规凑配法求最值
例3-1．若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
例3-2．若，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
例3-3．已知，且，则最大值为______．
例3-4．（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
题型四、消参法求最值
例4-1．若直线过点，则的最大值为___________.
例4-2．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例4-3．若正实数，满足，则的最大值为______．
例4-4．若，，则的最小值为___________.
例4-5．若，则的取值范围是_________．
题型五、双换元求最值
例5-1．设，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例5-2．若，，，，则的最小值为______．
例5-3．已知，，，则取到最小值为 ________．
例5-4．若，且，则的最小值为_________
例5-5．（多选题）设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为1
例5-6．（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为3
题型六、“1”的代换求最值
例6-1．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
例6-2．若实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例6-3．已知，且，则的最小值是( )
A．49 B．50 C．51 D．52
例6-4．若三个正数满足，则的最小值为______.
题型七、齐次化求最值
例7-1．已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．
例7-2．已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______．
例7-3．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例7-4．已知函数的定义域为R，则的最大值是___________.
例7-5．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型八、利用基本不等式证明不等式
例8-1．已知，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：．
例8-2.已知正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)证明：．
题型九、利用基本不等式解决实际问题
例9-1．如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
例9-2．根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．
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