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专题六 函数的概念
知识归纳
一、求函数的定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
3、零次幂的底数不能为零，即中.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法
1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围;
2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域.
3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域.
三、函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，
可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
四、求函数值域的7种常用求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，
第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性：
如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
典例分析
题型一、函数的定义
例1-1．下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；对于C选项，当时，不存在，不是函数；对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
例1-2．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
D是函数图象，值域为，故不符合题意.
例1-3．将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在原点处的切线斜率为，切线方程为
当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.所以的最大值为.
例1-4．存在函数满足：对任意都有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，；当时，，不符合函数定义，A错误；
对于B,令，则，令，则，不符合函数定义，B错误；
对于C, 令，则，令，则，不符合函数定义，C错误；
对于D, ,,则，则存在时，，
符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确.
题型二、同一函数的判断
例2-1．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C【解析】对于选项A，因为而一个x对多个y，不是函数，所以它们不是同一函数．
对于选项B，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．
对于选项C，因为，所以，所以两个函数的定义域均为，又，所以它们是同一函数．
对于选项D，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．
例2-2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．
C．， D．，，0，，，，0，
【答案】D
【详解】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，
题型三、给出函数解析式求解定义域
例3-1．函数的定义域为___________.
【答案】【详解】由题意可知，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此，求解可得或．
例3-2．函数的定义域为__________．
【答案】
【详解】由函数解析式，知：，解得且.故答案为：.
例3-3．函数的定义域为___________.
【答案】【详解】由，得，所以，所以函数的定义域为
题型四、抽象函数定义域
例4-1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由函数的定义域是，得到，
故即解得：；所以原函数的定义域是：．
例4-2．若函数的定义域为，则的定义域为______．
【答案】【详解】∵的定义域为，
∴，∴解得
∴，故函数的定义域为．
例4-3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由，得，所以，所以．
例4．若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.
【答案】
【解析】对于，因为，所以由的单调性得，即，
所以对于，有，即，由的单调性得，解得，
所以的定义域为.
【方法技巧与总结】
1．抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五、函数定义域的应用
例5-1．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，的定义域为，所以首先满足恒成立，，
再者满足，变形得到
，最终得到.故选：B.
例5-2．（多选题）若函数在区间上有意义，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】函数在区间上有意义，等价于在区间上恒成立，
由得在区间上恒成立，所以，故选：AB．
例5-3．函数的定义域是，则的取值范围是_________．
【答案】【详解】由题意可得在上恒成立．
①当时，则恒成立，符合题意；
②当时，则，解得．综上可得，∴实数的取值范围为．
例5-4．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
【答案】【详解】函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，
∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立，
设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；
它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．
题型六、函数解析式的求法
【方法技巧与总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法.
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
1.待定系数法（函数类型确定）
例6-1．（多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】设，由题意可知，
所以，解得或，所以或.
例6-2．已知为二次函数，，，则的解析式为 ．
【答案】
【详解】因为为二次函数，所以设，因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，，，所以，，所以．
2.换元法或配凑法（适用于了型）
例6-3.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因，则设，有，而，则有，
于是得，所以，
例6-4．已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，则 ，所以，所以
例6-5．已知函数满足，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数满足，
设，则，由知，
故原函数可转化为，，
即的解析式为.
例6-6．已知函数，则的解析式为_______
【答案】【详解】令，则，且，
所以，所以，
例6-7．已知，则函数f(x)=_______，=_______．
【答案】 11
【详解】令，则，
所以，所以，所以.
例6-8．已知，则=_____.
【答案】或
【详解】解：，
或．
例6-9．已知，则（ ）
A．6 B．3 C．11 D．10
【答案】C
【详解】，，.
例6-10．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】令，为常数，可得，且，所以时有，
将代入，等式成立，所以是的一个解，
因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，
又因为，所以，即，所以.
例6-11．设若，则_________.
【答案】
【解析】令，，
，
3.方程组法
例6-12．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令为，则，与联立可解得，．
例6-13．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵函数在上满足，用替换得：
，
∴
∴
令，则，∴，即
∴，∴，
∴曲线在点处的切线方程是：，即.
故选：C.
例6-14．已知，则函数f(x)的解析式为___________.
【答案】
【详解】∵，① ∴，②
①×3﹣②×5，得：﹣16f(x)=﹣10x﹣2，∴
例6-15．设函数对的一切实数均有，则等于（ ）
A．2016 B．-2016 C．-2017 D．2017
【答案】B
【详解】① 吧 ②
①②得 ，
4.求分段函数的解析式
例6-16．设函数，若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若，则，所以，
故，其图象如图：
函数在区间内有且仅有两个零点等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，于是，.
例6-17．已知函数，则___________，的最大值是___________.
【答案】 -2 0
【详解】因为，
当时，，则，当时，，则，
综上：；当时，， 当时，，当时，，综上：的最大值是0；
例6-18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________．
【答案】
【解析】由题意可知为等腰直角三角形，,
当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时，
即当 时，直线的左侧为等腰直角为三角形，此时，
当直线与正方形的交点在上时，
即，直线的左侧为五边形，则，
所以S表示为t的函数解析式为
5.抽象函数解析式
例6-19．对任意实数，，都有，求函数的解析式．
【答案】
【详解】方法一：对任意实数,都成立,
令,得, 再令,得,
方法二：在已知式子中,令,得,,,
令,得
例6-20．已知函数是定义在上的增函数，且，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】令，即有，因函数是定义在上的增函数，则t为常数，
因此，从而，解得，于是得，显然函数在上递增，所以.
例6-21．定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.
【答案】
【详解】根据题意，对，有
又是定义在R上的单调增函数 R上存在常数a使得
，，解得
例6-22．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
【答案】．
【详解】∵定义在上的单调函数，对任意都有，
令，则，在上式中令，则，解得，故，由得，即，
在同一坐标系中作出函数和的图像，
可知这两个图像有2个交点，即和，则方程的解集为．
例6-23．设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
【答案】
【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立，
令，得 ，即，
，．
例6-24．已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】如：，则，，
又，则，
此时在区间上单调递增，满足题设.故答案为：（答案不唯一）
例6-25．已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为________.
【答案】
【解析】由已知得，，
，，又，
题型七、函数值域的求解
1.观察法
例7-1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为，所以，故函数的值域.
例7-2．下列函数中，函数值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】对于选项，函数的值域为，所以选项错误；
对于选项，函数，所以函数的值域为，所以选项正确；
对于选项函数的值域为,所以选项错误；
对于选项，函数的值域为，所以选项错误.
2.配方法
例7-3.函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】令，则且
又因为，所以，所以，
即函数的值域为，
例7-4．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】由题图可知，，所以直线的方程是，
因为，所以直线的方程为，所以，
所以，
当时，在上单调递增，此时函数的值域为；
当时，，
所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
此时函数的值域为，综上可知，函数的值域为，
例7-5．已知正实数，，满足，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，因为可得：，
所以，即 ，
因为，当时取得最小值，所以，所以的最大值为
3.图像法（数形结合）
例7-6．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，故作出其函数图象如下所示：
由图，结合二次函数的性质，可知：
，，故其值域为.
例7-7．函数的值域为______.
【答案】
【解析】由题设，
所以所求值域化为求轴上点到与距离差的范围，如图示，
由图知：，即，
当三点共线且在之间时，左侧等号成立；
当三点共线且在之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以，即，
所以函数值域为.
例7-8．函数的值域是_______________.
【答案】
【解析】
，
其中，则，
又，因此，值域为.
例7-9.函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，
所以，所以 所以，即，
综合得，， 故最小值为：.
例7-10．函数f(x)＝的值域为(　　)
A．[－,] B．[－,0]
C．[0,1] D．[0,]
【答案】C
【详解】令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.
例7-11.已知，，，则的最小值为___________.
【答案】##
【详解】分别作，的图象，
分别取点，，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，
设为与的交点，，即.当且仅当时，取等号.
故得的最小值为.
故答案为：.
例7-12．函数的值域为_____.
【答案】[，]
【详解】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0 1≤x≤3.令x﹣2=cosθ 且θ∈[0，π]
∴=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，
，故点在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为，
斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，
化简得，由，解得 ，
故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，
也即函数的值域为.
4.基本不等式法
例7-13．下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】A. ，最小值为5，故错误；
B. 令，则在上递减，其最小值为10，故错误；
C. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
D. 当时，，显然不成立，故错误；
例7-14．函数的值域是_______．
【答案】【详解】函数，
当，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为
5.换元法（代数换元与三角换元）
例7-15．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，当时，，又，
所以，，即所以，
例7-16．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】令，可得，
可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，
当时，，故函数的值域为，
例7-17．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：令，则，原函数即为：，
对称轴方程为，可知，函数值域为．
例7-18．若，则的取值范围是________
【答案】
【详解】因为所以解得，令，
则
所以，因为，所以，所以
所以
6.分离常数法
例7-19．函数y的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【答案】D【详解】，∴y，
∴该函数的值域为．
例7-20．函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】依题意，，
其中的值域为，故函数的值域为．
7.判别式法
例7-21．函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
例7-22.函数的值域为_________.
【答案】
【详解】因为，所以，所以，
当，即时，此时；
当，即时，此时，所以，
综上可知：，所以的值域为
8.单调性法
例7-23．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】∵，又函数的值域为R，
则，解得．
例7-24．已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由，得，即函数的定义域为，
又函数在上递减，所以函数在上递减，
所以函数的最大值为，最小值为，
即函数的值域为，
例7-25．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】令，解得：，即函数在为增函数，所以，
即函数的值域为，
9.有界性法
例7-26．函数的值域是________________.
【答案】【详解】由题意，因为，所以，
所以，所以函数的值域为
例7-27．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
例7-28．实数，满足，则的最大值为___________．
【答案】
【详解】令，，则，，所以
其中
所以当时，故答案为：
10.导数法
例7-29．函数在上的最小值是__________.
【答案】【详解】由题设，，
∴上，单调递减；上，单调递增；
∴在上的最小值为.故答案为：
例7-30．已知函数，则在上的最大值是__________．
【答案】
【详解】由题意可知，，
，．当时，，
函数在区间上单调递增，则．故答案为：
例7-31．已知函数，当时，函数的最大值为_______ .
【答案】
【详解】因为，所以函数是上的增函数，
故当时，函数的最大值为．
例7-32．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，曲线上存在点，使得，所以．
记，若，则，所以，
不满足，同理也不满足，所以，所以，
所以，所以
记，则，记，
因为，所以在上单调递减，因为，
所以时，，因为，
所以，所以的最大值为
题型八、分段函数的应用
例8-1．已知函数若，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
【答案】C
【详解】∵函数，，∴或，解得.
例8-2．已知函数，则___________；若，则实数___________.
【答案】 1
【详解】因为，所以.
，，
当时，， 当时，，
所以当即时，，不符合；
当即时，，符合；
当即时，，无解，不符合.所以实数.
例8-3．设，若，则__________，__________.
【答案】 6【详解】若，则，由，得，即，
解得：（舍去）或；
若，由，得，该方程无解.
综上可知，，故答案为：； 6
例8-4.（多选题）已知函数，若，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】根据题意，函数，当时，，
其中当时，，此时，解可得，符合题意；
当时，，此时，解可得或，符合题意；
当时，必有，
此时，变形可得或，
若，解可得，若，无解；
综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；故选：ACD．
例8-5．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为.
①当时，.
②当时，.
③当时，.
综上所述：.
例8-6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则即为，
当时，，故 无解，
当时，即为，
在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，
由图可得当且仅当时，，
综上所述，的解为，又，
所以，
当时，，
故，解得：，所以，
当时，，
故，解得：，所以，
综上所述，不等式的解集是.
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专题六 函数的概念
知识归纳
一、求函数的定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
3、零次幂的底数不能为零，即中.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法
1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围;
2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域.
3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域.
三、函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，
可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
四、求函数值域的7种常用求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，
第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性：
如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
典例分析
题型一、函数的定义
例1-1．下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-3．将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例1-4．存在函数满足：对任意都有（ ）
A． B． C． D．
题型二、同一函数的判断
例2-1．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
例2-2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．
C．， D．，，0，，，，0，
题型三、给出函数解析式求解定义域
例3-1．函数的定义域为___________.
例3-2．函数的定义域为__________．
例3-3．函数的定义域为___________.
题型四、抽象函数定义域
例4-1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例4-2．若函数的定义域为，则的定义域为______．
例4-3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例4-4．若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.
题型五、函数定义域的应用
例5-1．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例5-2．（多选题）若函数在区间上有意义，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
例5-3．函数的定义域是，则的取值范围是_________．
例5-4．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
题型六、函数解析式的求法
1.待定系数法（函数类型确定）
例6-1．（多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
例6-2．已知为二次函数，，，则的解析式为 ．
2.换元法或配凑法（适用于了型）
例6-3.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
例6-4．已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例6-5．已知函数满足，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例6-6．已知函数，则的解析式为_______
例6-7．已知，则函数f(x)=_______，=_______．
例6-8．已知，则=_____.
例6-9．已知，则（ ）
A．6 B．3 C．11 D．10
例6-10．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
例6-11．设若，则_________.
3.方程组法
例6-12．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
例6-13．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
例6-14．已知，则函数f(x)的解析式为___________.
例6-15．设函数对的一切实数均有，则等于（ ）
A．2016 B．-2016 C．-2017 D．2017
4.求分段函数的解析式
例6-16．设函数，若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6-17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________．
5.抽象函数解析式
例6-18．对任意实数，，都有，求函数的解析式．
例6-19．已知函数是定义在上的增函数，且，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
例6-20．定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.
例6-21．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
例6-22．设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
例6-23．已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为______．
例6-24．已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为________.
题型七、函数值域的求解
1.观察法
例7-1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
例7-2．下列函数中，函数值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
2.配方法
例7-3.函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例7-4．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例7-5．已知正实数，，满足，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3.图像法（数形结合）
例7-6．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
例7-7．函数的值域为______.
例7-8．函数的值域是_______________.
例7-9.函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例7-10．函数f(x)＝的值域为(　　)
A．[－,] B．[－,0]
C．[0,1] D．[0,]
例7-11.已知，，，则的最小值为___________.
例7-12．函数的值域为_____.
4.基本不等式法
例7-13．下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
例7-14．函数的值域是_______．
5.换元法（代数换元与三角换元）
例7-15．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例7-16．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例7-17．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
例7-18．若，则的取值范围是________
6.分离常数法
例7-19．函数y的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
例7-20．函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
7.判别式法
例7-21．函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
例7-22.函数的值域为_________.
8.单调性法
例7-23．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例7-24．已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例7-25．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
9.有界性法
例7-26．函数的值域是________________.
例7-27．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例7-28．实数，满足，则的最大值为___________．
10.导数法
例7-29．函数在上的最小值是__________.
例7-30．已知函数，则在上的最大值是__________．
例7-31．已知函数，当时，函数的最大值为_______ .
例7-32．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型八、分段函数的应用
例8-1．已知函数若，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
例8-2．已知函数，则___________；若，则实数___________.
例8-3．设，若，则__________，__________.
例8-4.（多选题）已知函数，若，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
例8-5．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例8-6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
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