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专题七 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
知识归纳
一、单调性定义的等价形式:
1、函数在区间上是增函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
2、函数在区间上是减函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；
若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
4、性质法：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
5、复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
三、常见奇、偶函数的类型
1、奇函数：①函数或函数．
（也可以写成或）
②函数．
③函数或函数
④函数或．
⑤函数
2、偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
⑤函数
四、函数的周期性与对称性常用结论
1、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则（）；
2、函数对称性的常用结论
（1）若，则函数图象关于对称；
（2）若，则函数图象关于对称；
（3）若，则函数图象关于对称；
（4）若，则函数图象关于对称；
3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称，
当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数满足，则其函数图象关于点对称，
当,时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
4、函数对称性与周期性的关系
（1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；
（2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；
（3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.
5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
（1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.
（2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.
（3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.
（4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.
其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
典例分析
题型一、函数的单调性及其应用
例1-1．下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】A：由二次函数性质知，图象开口向上，
且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔
B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；
C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；
D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确.故选：D.
例1-2．已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不妨设，因为，所以，
故是上的增函数，原不等式等价于，解得．
例1-3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以的增区间为，故选：D.
题型二、复合函数单调性的判断
例2-1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】令，解得，令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
例2-2．函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，．由，得．
因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，
所以为减函数，所以函数的单调减区间是．
例2-3．函数的单调减区间是_______．
【答案】【解析】令，则
∵，∴在上单调递减作出的图象
由图象可以在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
题型三、利用函数单调性求函数最值
例3-1．在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．
①；②；③；④．
【答案】③④
【详解】对于①，无界，不符合题意；
对于②，不单调，不符合题意；
对于③，单调递增，且，
则，符合题意；对于④，单调递增，且，则，符合题意．
例3-2．已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
【答案】1【详解】由题意得，
当时，在上单调递减，
∴的最小值为，，所以不成立；
当时，，在单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，符合题意.故.
例3-3．已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（ ）
①；②；③；④.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】C
【详解】①中，假设是“类方函数”，因为单调递减，
所以，即，又，方程无解，①不符合；
②中，假设是“类方函数”，因为，所以，所以，
所以在上单调递增，所以，即，又，所以，②符合；
③中，假设是“类方函数”，易知在上单调递增，
且，所以，且，所以，又，解得，③符合；
④中，假设是“类方函数”，易知在R上单调递减，且，
所以，且所以，即即方程有两个正数解，
由与的图象可知两图象有一个公共点，④不符合.
例3-4．定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）在单调递减；（3）最大值，最小值.
【详解】（1）令，．
（2）在单调递减
设，令，，则，所以，
得
即对任意，若，则，在单调递减．
（3）因为，令，
令，，，
因为函数单调递减，所以．
题型四、利用函数单调性求参数的范围
例4-1．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A【详解】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.
例4-2.已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当且时，函数单调递减，则要使在区间上单调递增，
需要满足，解得，结合选项易知，只有不满足，
例4-3．函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【详解】函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
例4-4．如果 ，则的取值范围是___________．
【答案】．
【详解】由已知得
令 ，则 对任意恒成立，
于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得 所以的取值范围是．
例4-5．若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，
故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
例4-6．“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，所以且，即.
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.
例4-7．已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为R，有，即，即与同号，所以在R上单调递增，即在上单调递增，则，故；
因为在处的切线方程为，即，
又，所以与没有公共点，
若函数仅有一个零点，所以函数与图象仅有一个交点，则与有且仅有1个公共点，且为，
所以在处的切线的斜率k大于等于1，
而，得，即，解得，综上，的取值范围为.
例4-8．已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；在上为增函数；（2）.
【详解】（1）令，得，得，
令，得，得；
设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以
，
因为，所以，所以，
因此即在上为增函数；
（2）因为，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立；
得在上恒成立，即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，所以；即时满足题意.
题型五、函数的最值与值域
例5-1．已知，设，则函数的值域为___________．
【答案】
【解析】由题意得，则，即的定义域为，
故，
令，则，
函数在上单调递增，故，故函数的值域为
例5-2．函数的最小值为___________.
【答案】1【解析】函数的定义域为.
由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.
而.所以,函数的最小值为1.
例5-3．函数的最小值为______．
【答案】1【解析】当时，，此时，，令得：，令得：，故此时在处取得最小值，；
当时，，此时，此时在单调递减，且；综上：函数的最小值为1.故答案为：1
例5-4．的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】当时，，令，得，
则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值，
所以问题转化为在上恒成立，令，则在上恒成立当时，不符合.
当时，对称轴，则或
解得或，所以，故选：A.
题型六、函数的奇偶性的判断与证明
例6-1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】时，，而，即，时，取得最大值，
因此在上不是增函数，A错；
，设，则，，
，所以，即，是增函数，
又记，定义域是实数集R，则，
函数为奇函数，B正确；
，但，即在上不是增函数，C错；
设，则，，，
所以，
即函数在上为减函数，D错．故选：B．
例6-2．存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为对于都有，且为偶函数，所以必为偶函数.
对于A：为奇函数.故A错误；对于B：为非奇非偶函数.故B错误；
对于C：对于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确；
例6-3．若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】依题意，是定义在R上的奇函数，，
A选项，对于函数， ，所以函数不是奇函数.
B选项，对于函数，，所以函数不是奇函数.
C选项，对于函数，，所以函数是奇函数.
D选项，对于函数，，所以函数不是奇函数.
例6-4．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】若，则，
则是偶函数，故A错误；
若，则,则是偶函数，故B错误；
若，则，则是奇函数，故C正确；
若，则，
则是偶函数，故D错误.故选：C
例6-5．判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋； （2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝； （4）f(x)＝
【答案】（1）既是奇函数，又是偶函数；（2）既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数．
【详解】（1）由得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
（2）由得－1∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
（4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
例6-6．已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析.
【详解】（1）依题意，.
∴
∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴即在上单调递增.
题型七、已知函数的奇偶性求参数
例7-1．若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为__________.
【答案】
【解析】依题意，，即,所以，解得，当时，，定义域不关于原点对称，故舍去，
当时，，定义域为，符合要求，故，故答案为：
例7-2．若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C【详解】由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，
整理得：，所以.
例7-3．若函数是奇函数，则实数a＝______．
【答案】/
【解析】函数的定义域为，，
，
若函数是奇函数，则，即，得.
例7-4.已知函数为R上的偶函数，则实数___________.
【答案】1【详解】由偶函数得，即对恒成立整理得，故
题型八、已知函数的奇偶性求表达式、求值
例8-1．已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】当时，则，因为是奇函数，所以.
例8-2．若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集为，则符合题意的一个函数解析式为______.
【答案】（答案不唯一）【解析】因为的解集为，
所以时，的解为；时，的解为；
又因为定义域为的奇函数在区间上单调递减，
所以的解析式可以为答案不是唯一的，符合题意即可.
例8-3．已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】当时，，，解得：，
当时，；
当时，，，
又为偶函数，，即时，，
则，.
例8-4．已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
【答案】C【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵，，∴，∴时，，
设，则，则，则，
即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为.
例8-5．分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
【答案】B【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得.
对于A：，故A正确；
对于B：，所以不可能单调递减，故B错误；
对于C：根据偶函数定义可得，所以为偶函数，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确；
对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确；故选：B
题型九、函数的奇偶性与单调性综合问题
例9-1．已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】当时，由，
当时，由，因此函数是单调递增函数，
因为是奇函数，所以，因此当时，有，
当时，有，
因为是奇函数，所以有，
因为，所以，即，因此.故选：B
例9-2．设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．
题型十、已知奇函数+M
例10-1．已知（a，b为实数），，则______．
【答案】-2014【详解】，
因为为奇函数，所以，
其中，所以，
解得：
例10-2．已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D【详解】设，因为，
所以为奇函数，因为，所以，则．
例10-3．若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B【详解】由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
例10-4．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______
A． B． C． D．
【答案】C【详解】设，则
即为奇函数
令则，
可知的对称中心为
将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得的图象
的对称中心为
当时，，不合题意，可知不可能为
又当时分别对应选项，可知均为的对称中心
本题正确选项：
例10-5．设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C【详解】令函数，则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
可得的图象关于点中心对称，
即当，可得，
设
，
所以
所以.
例10-6．若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为
所以
因为函数 为奇函数，所以它在区间上的最大值、最小值之和为0，
也即，所以
例10-7．函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意，函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数关于点对称，所以.
例10-8．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，∴，
∴.
题型十一、函数的对称性与周期性
例11-1．已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数；
因为对任意，都有，令，得，
又函数为奇函数，故，解得，则，
即，所以4是函数的一个周期；所以.
例11-2．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
又，所以，即，
因为，所以函数是周期为4的函数，
所以，，，
因为，且，所以，所以函数为奇函数，
又因为对任意的，，，都有成立，
即，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为，所以，
例11-3．已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（ ）
A．－4π B．－2π C．2π D．4π
【答案】B【详解】函数满足，则的图像关于点 成中心对称.
又的图像关于点 成中心对称
所以函数与的图像的交点关于点对称.
则，所以
例11-4．已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当时，.若函数在区间上的所有零点之和为__________．
【答案】5【详解】∵足，∴，又因函数为偶函数，∴，即，∴，令，，，
即求与交点横坐标之和.，
作出图象：
由图象可知有10个交点，并且关于中心对称，∴其和为故答案为：5
例11-5．（多选题）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上是减函数
C．为奇函数 D．方程仅有6个实数解
【答案】ACD【解析】因为为偶函数，所以，
所以，即，
因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以，所以，
所以，所以，即函数的一个周期为.
在中，令，得，
在中，令，得，
又，所以，故A正确；
因为在区间上是增函数，且的一个周期为，
所以在上单调递增，在上不为减函数.故B错误；
因为，所以，
所以，从而为奇函数，故C正确；
因为为奇函数，所以的图象关于点对称，
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，
又当时，，作出与的大致图象，如图所示.
其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，
故方程仅有6个实数解，故D正确.
例11-6．（多选题）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数的周期为2
B．函数的图象关于直线对称
C．函数为偶函数
D．函数的图象关于点对称
【答案】BCD【解析】对于选项A：因为，则，
可得，所以函数的周期为4，故A错误；
对于选项B： 因为为偶函数，则，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；对于选项C：因为函数的图象关于直线对称，则，
由函数的周期为4，可得，
所以函数为偶函数，故C正确；
对于选项D：因为，且，可得，
又因为函数的周期为4，则，
所以函数的图象关于点对称，D正确；故选：BCD.
例11-7．（多选题）已知函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上的偶函数，且满足，，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期为3的周期函数
C． D．
【答案】ACD【解析】A选项，因为为偶函数，所以关于直线对称，所以，
所以，所以，
所以，即的图象关于点对称，A正确；
B选项，又是定义在R上的奇函数，所以，
即，所以，所以是周期为6的周期函数．
在中，当时，得；
当时，得．又由，得，，
所以，所以，
则，，因为，所以B错误；
CD选项，在中，令，得，所以，
在中，令，得，所以，
所以，所以，C，D正确.
故选．
例11-8．（多选题）定义在R上的函数，满足，，，，则（ ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为
D．若，且，，则n的最小值为2
【答案】ABC
【解析】由可得，所以关于直线对称，
所以关于直线对称，即关于直线对称，
所以关于直线对称，所以关于直线对称，
所以有，所以有，所以.
又由可得，，所以关于点对称，
所以.
对于B项，因为，，
所以，，所以，
所以，的周期为，故B项正确；
对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4.
因为关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确；
对于C项，关于点对称，所以关于点对称，
所以关于点对称，所以.
又关于直线对称，所以，
所以，所以有，
所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确；
对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称，
所以，，，所以.
又的周期为4，所以对，.
因为，
则当时，有.
因为，所以，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意.故n的最小值为3，D错误．
例11-9．（多选题）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（ ）．
A．， B．
C． D．
【答案】AC【解析】对A，又∵为奇函数，
则图像关于对称，且，所以，A 正确；
对于C，∵，则，
则，又，所以，
令，可得，即，所以，又
所以，所以，
∴的周期，所以，
由可得，，，，所以，，
∴，C正确；
对B，，则是周期的函数，，B错误；
对D，，，所以，
所以，D错误.
例11-10．（多选题）定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（ ）
A．是周期为2的函数 B．为偶函数
C． D．的值域为
【答案】BC【解析】因为，所以，
在时，，
所以，所以，故在上单调递减．
因为为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，即；又，所以函数关于直线对称，
所以在单调递增，且，
则，，
可得，是周期为的周期函数，A不正确．
因为，，结合草图可知
，C正确．
对于定义域内任一个，结合周期性可得，故为偶函数，B正确
而的函数最值无法确定，故D错误．
例11-11．（多选题）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（ ）
A．4为函数的一个周期 B．函数的图象关于点对称
C． D．
【答案】ABC【解析】由得，
由求导得，
又得，所以，
所以，所以，
所以，
所以4为函数的一个周期，A正确；
，故，
因此，
故函数的图象关于点对称，B正确，
在中，令
由得 为常数，故，
由函数的图象关于点对称，
，
因此，
所以由于的周期为4，所以的周期也为4，
由于，所以， ，
所以，故C正确，由于
,故D错误，
例11-12．（多选题）已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．在单调递减 B．
C． D．
【答案】BCD【解析】方法一：
对于A，若，符合题意，故A错误，
对于B，因已知奇函数在上可导，所以，
因为，所以，所以，故B正确，
对于C和D，设，则为上可导的奇函数，，
由题意，得，
所以关于直线对称，所以
，所以奇函数的一个周期为4，，
所以，即，故C正确，
由对称性可知，，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
由等式两边对x求导得，，
所以的一个周期为4，所以，所以，故，故D正确．
方法二：对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，
因为，所以，所以，故B正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，故C正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故D正确．
例11-13．（多选题）设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的一个周期为8 D．函数为奇函数
【答案】AC
【解析】因，两边求导可得.的图象关于直线对称，
则.
A选项，由可得，
由可得，
则，
即函数的图象关于点对称，故A正确；
B选项，若函数的图象关于直线对称，则.
又，
，则.
即是常函数，但不一定是常函数，故B错误；
C选项，由可得.
由可得，又，
则，则函数的一个周期为8，故C正确；
D选项，若函数为奇函数，则.
由可得.又，
则，得的一个周期为4，但题目条件不足以说明的周期情况，故D错误.
例11-14．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为定义域均为R的奇函数，所以，即，
所以，即，所以，
又为奇函数，所以，
当时，，即 ，，故B正确；
又，所以，
故，即函数的周期为2，
所以，，即，故D正确；
由为奇函数可知，即的图象关于成中心对称，不妨取，则满足周期为2，关于中心对称条件，因为，，，可知AC错误.
题型十二、类周期函数
例12-1．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，
，
，又，所以至少小于7，
此时，
令，得，
解得或，结合图象，故.
例12-2．定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题设可知，当时，，故，
同理可得：在区间上，，所以当时，.
作函数的图象，如图所示.
在上，由，得.
由图象可知当时，.
例12-3．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：
∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确，
【方法技巧与总结】1.类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
类周期函数图象倍增函数图象
2.倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
题型十三、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例13-1．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】由，得，
因为，所以，即，设，
则在上单调递减，而，
则，解得：；因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，则，解得：；
综上，原不等式的解集为.
例13-2．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知
，.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，所以.
例13-3．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，所以函数是周期为2的函数，又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为，
例13-4．已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析.
【详解】（1）依题意，.
（2）由（1）知，∴，即，
∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
例13-5．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：．
【详解】证明：对f(x)+f(y)=f()中的x，y，令x=y=0，得f(0)=0，
再令y=－x，又得f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f(x)，
∴f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数.
设－1＜x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f()，
∵－1＜x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，1－x1x2>0.
∴＜0，又，所以，
所以由②知f()>0，从而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在x∈(－1，0)上是单调递减函数，根据奇函数的图像关于原点对称，
知f(x)在x∈(0，1)上仍是递减函数，且f(x)＜0，
，
时，，，故原不等式成立.
题型十四、函数性质的综合
例14-1．已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】，
图象关于点成中心对称，又的定义域为，
由在上单调递增知，在上递增，
，，即，
，解得，又，解得，所以.
例14-2．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】令，
则，
即函数为上的奇函数，又，
函数为上的增函数，又，，
则，，
所以，即解得或，即实数的取值范围是或．
例14-3．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】当时，单调递减，，
当时，单调递减，，故在上单调递减，
由，得的对称轴为，若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，
即，即，
故实数的最大值为.
例14-4．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】的定义域为，，故，
，
因为（当且仅当等号成立），（当且仅当等号成立），
故，所以为上的增函数，
故可转化为：，
即转化为：，
所以对任意的恒成立，故对任意的恒成立，
当时，恒成立，故符号，
当时，，故，
当时，的图象为开口向上的抛物线，
故对任意不恒成立，舍，故
例14-5．已知函数(e为自然对数的底数)，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[1，+∞) C． D．
【答案】C【详解】因为，所以，
所以时，，函数在上为单调递增，
时，，函数在上为单调递减，
又，
所以函数为偶函数，所以，
所以可化为，
所以，所以，所以，
故实数a的取值范围是
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专题七 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
知识归纳
一、单调性定义的等价形式:
1、函数在区间上是增函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
2、函数在区间上是减函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；
若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
4、性质法：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
5、复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
三、常见奇、偶函数的类型
1、奇函数：①函数或函数．
（也可以写成或）
②函数．
③函数或函数
④函数或．
⑤函数
2、偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
⑤函数
四、函数的周期性与对称性常用结论
1、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则（）；
2、函数对称性的常用结论
（1）若，则函数图象关于对称；
（2）若，则函数图象关于对称；
（3）若，则函数图象关于对称；
（4）若，则函数图象关于对称；
3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称，
当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数满足，则其函数图象关于点对称，
当,时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
4、函数对称性与周期性的关系
（1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；
（2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；
（3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.
5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
（1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.
（2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.
（3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.
（4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.
其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
典例分析
题型一、函数的单调性及其应用
例1-1．下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
例1-3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
题型二、复合函数单调性的判断
例2-1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
例2-2．函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例2-3．函数的单调减区间是_______．
题型三、利用函数单调性求函数最值
例3-1．在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．
①；②；③；④．
例3-2．已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
例3-3．已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（ ）
①；②；③；④.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
例3-4．定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
题型四、利用函数单调性求参数的范围
例4-1．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
例4-2.已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
例4-3．函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
例4-4．如果 ，则的取值范围是___________．
例4-5．若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例4-6．“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例4-7．已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4-8．已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型五、函数的最值与值域
例5-1．已知，设，则函数的值域为___________．
例5-2．函数的最小值为___________.
例5-3．函数的最小值为______．
例5-4．的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六、函数的奇偶性的判断与证明
例6-1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
例6-2．存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
例6-3．若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例6-4．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例6-5．判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋； （2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝； （4）f(x)＝
例6-6．已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
题型七、已知函数的奇偶性求参数
例7-1．若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为__________.
例7-2．若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
例7-3．若函数是奇函数，则实数a＝______．
例7-4.已知函数为R上的偶函数，则实数___________.
题型八、已知函数的奇偶性求表达式、求值
例8-1．已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
例8-2．若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集为，则符合题意的一个函数解析式为______.
例8-3．已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
例8-4．已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
例8-5．分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
题型九、函数的奇偶性与单调性综合问题
例9-1．已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
例9-2．设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A． B． C． D．
题型十、已知奇函数+M
例10-1．已知（a，b为实数），，则______．
例10-2．已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
例10-3．若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
例10-4．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______
A． B． C． D．
例10-5．设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
例10-6．若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
例10-7．函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例10-8．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
题型十一、函数的对称性与周期性
例11-1．已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
例11-2．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例11-3．已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（ ）
A．－4π B．－2π C．2π D．4π
例11-4．已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当时，.若函数在区间上的所有零点之和为__________．
例11-5．（多选题）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上是减函数
C．为奇函数 D．方程仅有6个实数解
例11-6．（多选题）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数的周期为2
B．函数的图象关于直线对称
C．函数为偶函数
D．函数的图象关于点对称
例11-7．（多选题）已知函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上的偶函数，且满足，，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期为3的周期函数
C． D．
例11-8．（多选题）定义在R上的函数，满足，，，，则（ ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为
D．若，且，，则n的最小值为2
例11-9．（多选题）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（ ）．
A．， B．
C． D．
例11-10．（多选题）定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（ ）
A．是周期为2的函数 B．为偶函数
C． D．的值域为
例11-11．（多选题）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（ ）
A．4为函数的一个周期 B．函数的图象关于点对称
C． D．
例11-12．（多选题）已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．在单调递减 B．
C． D．
例11-13．（多选题）设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的一个周期为8 D．函数为奇函数
例11-14．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型十二、类周期函数
例12-1．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
例12-2．定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例12-3．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
．
题型十三、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例13-1．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例13-2．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例13-3．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
例13-4．已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
例13-5．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：．
题型十四、函数性质的综合
例14-1．已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例14-2．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例14-3．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例14-4．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例14-5．已知函数(e为自然对数的底数)，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[1，+∞) C． D．
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