【高考复习】专题7 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性(原卷版+解析版)

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专题七 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
知识归纳
一、单调性定义的等价形式:
1、函数在区间上是增函数:
任取,且,都有;
任取,且,;
任取,且,;
任取,且,.
2、函数在区间上是减函数:
任取,且,都有;
任取,且,;
任取,且,;
任取,且,.
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法:若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;
若函数的定义域是关于原点对称的,再判断与之一是否相等.
2、验证法:在判断与的关系时,只需验证=0及是否成立.
3、图象法:奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(轴)对称.
4、性质法:奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶;奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶.
5、复合函数的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.
三、常见奇、偶函数的类型
1、奇函数:①函数或函数.
(也可以写成或)
②函数.
③函数或函数
④函数或.
⑤函数
2、偶函数:①函数.
②函数.
③函数类型的一切函数.
④常数函数
⑤函数
四、函数的周期性与对称性常用结论
1、函数的周期性的常用结论(是不为0的常数)
(1)若,则; (2)若,则;
(3)若,则; (4)若,则;
(5)若,则; (6)若,则();
2、函数对称性的常用结论
(1)若,则函数图象关于对称;
(2)若,则函数图象关于对称;
(3)若,则函数图象关于对称;
(4)若,则函数图象关于对称;
3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
(1)若函数满足,则其函数图象关于直线对称,
当时可以得出,函数为偶函数,即偶函数为特殊的线对称函数;
(2)若函数满足,则其函数图象关于点对称,
当,时可以得出,函数为奇函数,即奇函数为特殊的点对称函数;
4、函数对称性与周期性的关系
(1)若函数关于直线与直线对称,那么函数的周期是;
(2)若函数关于点对称,又关于点对称,那么函数的周期是;
(3)若函数关于直线,又关于点对称,那么函数的周期是.
5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
(1)①函数是偶函数;②函数图象关于直线对称;③函数的周期为.
(2)①函数是奇函数;②函数图象关于点对称;③函数的周期为.
(3)①函数是奇函数;②函数图象关于直线对称;③函数的周期为.
(4)①函数是偶函数;②函数图象关于点对称;③函数的周期为.
其中,上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
典例分析
题型一、函数的单调性及其应用
例1-1.下列函数在上单调递减的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D【详解】A:由二次函数性质知,图象开口向上,
且在上单调递减,在上单调递增,故A错误﹔
B:根据指数函数的单调性知,函数在上单调递增,将图象向右平移1个单位长度得出的图象,其在上单调递增,故B错误;
C:由幂函数的单调性知在上单调递增,其在上单调递增,故C错误;
D:根据余弦函数的单调性知,在上单调递减,当时,,又,所以在上单调递减,故D正确.故选:D.
例1-2.已知函数的定义域为,且对任意两个不相等的实数,都有,则不等式的解集为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】不妨设,因为,所以,
故是上的增函数,原不等式等价于,解得.
例1-3.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以的增区间为,故选:D.
题型二、复合函数单调性的判断
例2-1.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】C【详解】令,解得,令,则,
∵函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,在定义域内递增,
∴根据复合函数的单调性可知,函数的单调递增区间是
例2-2.函数单调递减区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】令,.由,得.
因为函数是关于的递减函数,且时,为增函数,
所以为减函数,所以函数的单调减区间是.
例2-3.函数的单调减区间是_______.
【答案】【解析】令,则
∵,∴在上单调递减作出的图象
由图象可以在上单调递减,在上单调递增
∴在上单调递增,在上单调递减
故答案为:.
题型三、利用函数单调性求函数最值
例3-1.在人工智能领域的神经网络中,常用到在定义域I内单调递增且有界的函数,即,,.则下列函数中,所有符合上述条件的序号是______.
①;②;③;④.
【答案】③④
【详解】对于①,无界,不符合题意;
对于②,不单调,不符合题意;
对于③,单调递增,且,
则,符合题意;对于④,单调递增,且,则,符合题意.
例3-2.已知函数在上的最小值为1,则的值为________.
【答案】1【详解】由题意得,
当时,在上单调递减,
∴的最小值为,,所以不成立;
当时,,在单调递减,在上单调递增,
∴的最小值为,符合题意.故.
例3-3.已知,函数的定义域为I,若存在,使得在上的值域为,我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是( )
①;②;③;④.
A.①② B.②④ C.②③ D.③④
【答案】C
【详解】①中,假设是“类方函数”,因为单调递减,
所以,即,又,方程无解,①不符合;
②中,假设是“类方函数”,因为,所以,所以,
所以在上单调递增,所以,即,又,所以,②符合;
③中,假设是“类方函数”,易知在上单调递增,
且,所以,且,所以,又,解得,③符合;
④中,假设是“类方函数”,易知在R上单调递减,且,
所以,且所以,即即方程有两个正数解,
由与的图象可知两图象有一个公共点,④不符合.
例3-4.定义在上的函数对于任意的,总有,且当时,且.
(1)求的值;
(2)判断函数在上的单调性,并证明;
(3)求函数在上的最大值与最小值.
【答案】(1);(2)在单调递减;(3)最大值,最小值.
【详解】(1)令,.
(2)在单调递减
设,令,,则,所以,

即对任意,若,则,在单调递减.
(3)因为,令,
令,,,
因为函数单调递减,所以.
题型四、利用函数单调性求参数的范围
例4-1.已知函数在区间(-∞,1]是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]
【答案】A【详解】对称轴为,开口向上,要想在区间(-∞,1]是减函数,所以.
例4-2.已知函数(且)在区间上单调递增,则实数的取值不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】当且时,函数单调递减,则要使在区间上单调递增,
需要满足,解得,结合选项易知,只有不满足,
例4-3.函数在上是减函数,则实数的范围是_______.
【答案】
【详解】函数,定义域为,
又,
因为函数在上是减函数,所以只需在上是减函数,
因此,解得.
故答案为:
例4-4.如果 ,则的取值范围是___________.
【答案】.
【详解】由已知得
令 ,则 对任意恒成立,
于是在上单调减.

由在上单调递减得 ,解得 所以的取值范围是.
例4-5.若函数是上的单调函数,则的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为分段函数在上的单调函数,由于开口向上,故在上单调递增,
故分段函数在在上的单调递增,所以要满足:,解得:
例4-6.“”是“函数是在上的单调函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】依题意,函数是在上的单调函数,
由于在上递增,所以在上递增,所以且,即.
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.
例4-7.已知函数若,,,且仅有1个零点,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C【详解】因为R,有,即,即与同号,所以在R上单调递增,即在上单调递增,则,故;
因为在处的切线方程为,即,
又,所以与没有公共点,
若函数仅有一个零点,所以函数与图象仅有一个交点,则与有且仅有1个公共点,且为,
所以在处的切线的斜率k大于等于1,
而,得,即,解得,综上,的取值范围为.
例4-8.已知函数满足,当时,,且.
(1)求的值,并判断的单调性;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1),;在上为增函数;(2).
【详解】(1)令,得,得,
令,得,得;
设是任意两个不相等的实数,且,所以,所以

因为,所以,所以,
因此即在上为增函数;
(2)因为,即,即,
又,所以,
又因为在上为增函数,所以在上恒成立;
得在上恒成立,即在上恒成立,
因为,当时,取最小值,所以;即时满足题意.
题型五、函数的最值与值域
例5-1.已知,设,则函数的值域为___________.
【答案】
【解析】由题意得,则,即的定义域为,
故,
令,则,
函数在上单调递增,故,故函数的值域为
例5-2.函数的最小值为___________.
【答案】1【解析】函数的定义域为.
由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.
而.所以,函数的最小值为1.
例5-3.函数的最小值为______.
【答案】1【解析】当时,,此时,,令得:,令得:,故此时在处取得最小值,;
当时,,此时,此时在单调递减,且;综上:函数的最小值为1.故答案为:1
例5-4.的最小值是,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A【解析】当时,,令,得,
则在上单调递减,上单调递增,即函数在处取得最小值,
所以问题转化为在上恒成立,令,则在上恒成立当时,不符合.
当时,对称轴,则或
解得或,所以,故选:A.
题型六、函数的奇偶性的判断与证明
例6-1.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】时,,而,即,时,取得最大值,
因此在上不是增函数,A错;
,设,则,,
,所以,即,是增函数,
又记,定义域是实数集R,则,
函数为奇函数,B正确;
,但,即在上不是增函数,C错;
设,则,,,
所以,
即函数在上为减函数,D错.故选:B.
例6-2.存在函数使得对于都有,则函数可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D【详解】因为对于都有,且为偶函数,所以必为偶函数.
对于A:为奇函数.故A错误;对于B:为非奇非偶函数.故B错误;
对于C:对于.定义域为R.因为,所以为奇函数.故C错误;对于D:对于.定义域为R.因为,所以为偶函数.故D正确;
例6-3.若是定义在R上的奇函数,则下列函数是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】依题意,是定义在R上的奇函数,,
A选项,对于函数, ,所以函数不是奇函数.
B选项,对于函数,,所以函数不是奇函数.
C选项,对于函数,,所以函数是奇函数.
D选项,对于函数,,所以函数不是奇函数.
例6-4.若,,分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数,则下列函数不是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】若,则,
则是偶函数,故A错误;
若,则,则是偶函数,故B错误;
若,则,则是奇函数,故C正确;
若,则,
则是偶函数,故D错误.故选:C
例6-5.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+; (2)f(x)=(x+1);
(3)f(x)=; (4)f(x)=
【答案】(1)既是奇函数,又是偶函数;(2)既不是奇函数,也不是偶函数;(3)奇函数;(4)奇函数.
【详解】(1)由得x=±3.∴f(x)的定义域为{-3,3},此时f(x)=0.
即f(x)=±f(-x).∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
(2)由得-1∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.此时,有f(x)==,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(4)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).
所以f(x)为奇函数.
例6-6.已知定义在上的函数,满足:①;②为奇函数;③,;④任意的,,.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断并证明函数在上的单调性.
【答案】(1)偶函数,证明见解析;(2)在上单调递增,证明见解析.
【详解】(1)依题意,.

∴,
又因为的定义域为,所以函数为偶函数.
(2)由④知,

∵,,,∴,
∴即在上单调递增.
题型七、已知函数的奇偶性求参数
例7-1.若函数的图象关于原点对称,则实数m的值为__________.
【答案】
【解析】依题意,,即,所以,解得,当时,,定义域不关于原点对称,故舍去,
当时,,定义域为,符合要求,故,故答案为:
例7-2.若函数是偶函数,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.
【答案】C【详解】由已知,,所以,
函数为偶函数,所以,所以,
整理得:,所以.
例7-3.若函数是奇函数,则实数a=______.
【答案】/
【解析】函数的定义域为,,

若函数是奇函数,则,即,得.
例7-4.已知函数为R上的偶函数,则实数___________.
【答案】1【详解】由偶函数得,即对恒成立整理得,故
题型八、已知函数的奇偶性求表达式、求值
例8-1.已知函数为定义在R上的奇函数,且当时,,则当时,( )
A. B.
C. D.
【答案】D【详解】当时,则,因为是奇函数,所以.
例8-2.若定义域为的奇函数在区间上单调递减,且不等式的解集为,则符合题意的一个函数解析式为______.
【答案】(答案不唯一)【解析】因为的解集为,
所以时,的解为;时,的解为;
又因为定义域为的奇函数在区间上单调递减,
所以的解析式可以为答案不是唯一的,符合题意即可.
例8-3.已知偶函数,当时,,则的图象在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】A【详解】当时,,,解得:,
当时,;
当时,,,
又为偶函数,,即时,,
则,.
例8-4.已知是定义在R上的奇函数,且时,,则在上的最大值为( )
A.1 B.8 C. D.
【答案】C【详解】∵是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
又∵,,∴,∴时,,
设,则,则,则,
即当x>0时,,∴f(x)在上单调递减,∴f(x)在上的最大值为.
例8-5.分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且,则下列说法错误的是( )
A. B.在上单调递减
C.关于直线对称 D.的最小值为1
【答案】B【详解】由题,将代入得,因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以可得,将该式与题干中原式联立可得.
对于A:,故A正确;
对于B:,所以不可能单调递减,故B错误;
对于C:根据偶函数定义可得,所以为偶函数,表示向右平移1101个单位,故关于对称,故C正确;
对于D:根据基本不等式,当且仅当时取等,故D正确;故选:B
题型九、函数的奇偶性与单调性综合问题
例9-1.已知是奇函数,且对任意且都成立,设, , ,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【详解】当时,由,
当时,由,因此函数是单调递增函数,
因为是奇函数,所以,因此当时,有,
当时,有,
因为是奇函数,所以有,
因为,所以,即,因此.故选:B
例9-2.设函数,若,,(e为自然对数的底数),则( ).
A. B. C. D.
【答案】D【详解】由题意可知,函数为偶函数,且在上单调递增,又,,,所以,故.
题型十、已知奇函数+M
例10-1.已知(a,b为实数),,则______.
【答案】-2014【详解】,
因为为奇函数,所以,
其中,所以,
解得:
例10-2.已知函数,且,则( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
【答案】D【详解】设,因为,
所以为奇函数,因为,所以,则.
例10-3.若对,有,函数在区间上存在最大值和最小值,则其最大值与最小值的和为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
【答案】B【详解】由题设,且,
∴,则,
∴为奇函数,令,
∴,即是奇函数,
∴在上的最小、最大值的和为0,即,
∴.
例10-4.若函数的最大值和最小值分别为、,则函数图像的对称中心不可能是_______
A. B. C. D.
【答案】C【详解】设,则
即为奇函数
令则,
可知的对称中心为
将的图象向右平移个单位,再向上平移个单位得的图象
的对称中心为
当时,,不合题意,可知不可能为
又当时分别对应选项,可知均为的对称中心
本题正确选项:
例10-5.设函数的定义域为D,若对任意的,且,恒有,则称函数具有对称性,其中点为函数的对称中心,研究函数的对称中心,求( )
A.2022 B.4043 C.4044 D.8086
【答案】C【详解】令函数,则,
所以函数为奇函数,其图象关于原点对称,
可得的图象关于点中心对称,
即当,可得,


所以
所以.
例10-6.若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】C【详解】因为
所以
因为函数 为奇函数,所以它在区间上的最大值、最小值之和为0,
也即,所以
例10-7.函数在区间上的最大值与最小值分别为,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C【详解】由题意,函数为上的奇函数,其图象关于原点对称,
又由函数向右平移1个单位,再向上平移1个单位,所以函数关于点对称,所以.
例10-8.函数,若最大值为,最小值为,,则的取值范围是______.
【答案】
【详解】,
令,定义域为关于原点对称,
∴,
∴为奇函数,∴,∴,
,由对勾函数的单调性可知在上单调递减,在上单调递增,
∴,,,∴,
∴.
题型十一、函数的对称性与周期性
例11-1.已知函数的定义域为R,且对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且,则( )
A.2021 B. C.2022 D.
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点对称,
即函数为奇函数;
因为对任意,都有,令,得,
又函数为奇函数,故,解得,则,
即,所以4是函数的一个周期;所以.
例11-2.定义在R上的函数满足以下三个条件:①对于任意的实数,都有成立;②函数的图象关于y轴对称;③对任意的,,,都有成立.则,,的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】B【详解】由题意,因为函数的图象关于y轴对称,所以,
所以,所以函数的图象关于对称,
又,所以,即,
因为,所以函数是周期为4的函数,
所以,,,
因为,且,所以,所以函数为奇函数,
又因为对任意的,,,都有成立,
即,所以函数在上单调递增,所以函数在上单调递增,因为,所以,
例11-3.已知函数满足,且函数与的图象的交点为, ,,,则( )
A.-4π B.-2π C.2π D.4π
【答案】B【详解】函数满足,则的图像关于点 成中心对称.
又的图像关于点 成中心对称
所以函数与的图像的交点关于点对称.
则,所以
例11-4.已知函数为定义域为的偶函数,且满足,当时,.若函数在区间上的所有零点之和为__________.
【答案】5【详解】∵足,∴,又因函数为偶函数,∴,即,∴,令,,,
即求与交点横坐标之和.,
作出图象:
由图象可知有10个交点,并且关于中心对称,∴其和为故答案为:5
例11-5.(多选题)设函数定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,,则下列结论正确的是( )
A. B.在上是减函数
C.为奇函数 D.方程仅有6个实数解
【答案】ACD【解析】因为为偶函数,所以,
所以,即,
因为为奇函数,所以,
所以,即,
所以,所以,
所以,所以,即函数的一个周期为.
在中,令,得,
在中,令,得,
又,所以,故A正确;
因为在区间上是增函数,且的一个周期为,
所以在上单调递增,在上不为减函数.故B错误;
因为,所以,
所以,从而为奇函数,故C正确;
因为为奇函数,所以的图象关于点对称,
因为为偶函数,所以的图象关于直线对称,
又当时,,作出与的大致图象,如图所示.
其中单调递减且,所以两函数图象有6个交点,
故方程仅有6个实数解,故D正确.
例11-6.(多选题)已知定义在R上的函数满足,且为偶函数,则下列说法一定正确的是( )
A.函数的周期为2
B.函数的图象关于直线对称
C.函数为偶函数
D.函数的图象关于点对称
【答案】BCD【解析】对于选项A:因为,则,
可得,所以函数的周期为4,故A错误;
对于选项B: 因为为偶函数,则,所以函数的图象关于直线对称,故B正确;对于选项C:因为函数的图象关于直线对称,则,
由函数的周期为4,可得,
所以函数为偶函数,故C正确;
对于选项D:因为,且,可得,
又因为函数的周期为4,则,
所以函数的图象关于点对称,D正确;故选:BCD.
例11-7.(多选题)已知函数是定义在R上的奇函数,函数是定义在R上的偶函数,且满足,,则( )
A.的图象关于点对称 B.是周期为3的周期函数
C. D.
【答案】ACD【解析】A选项,因为为偶函数,所以关于直线对称,所以,
所以,所以,
所以,即的图象关于点对称,A正确;
B选项,又是定义在R上的奇函数,所以,
即,所以,所以是周期为6的周期函数.
在中,当时,得;
当时,得.又由,得,,
所以,所以,
则,,因为,所以B错误;
CD选项,在中,令,得,所以,
在中,令,得,所以,
所以,所以,C,D正确.
故选.
例11-8.(多选题)定义在R上的函数,满足,,,,则( )
A.是函数图象的一条对称轴
B.2是的一个周期
C.函数图象的一个对称中心为
D.若,且,,则n的最小值为2
【答案】ABC
【解析】由可得,所以关于直线对称,
所以关于直线对称,即关于直线对称,
所以关于直线对称,所以关于直线对称,
所以有,所以有,所以.
又由可得,,所以关于点对称,
所以.
对于B项,因为,,
所以,,所以,
所以,的周期为,故B项正确;
对于A项,由已知周期为2,所以的周期为4.
因为关于直线对称,所以是函数图象的一条对称轴,故A项正确;
对于C项,关于点对称,所以关于点对称,
所以关于点对称,所以.
又关于直线对称,所以,
所以,所以有,
所以函数图象的一个对称中心为,故C项正确;
对于D项,由C知,关于点对称,关于点对称,
所以,,,所以.
又的周期为4,所以对,.
因为,
则当时,有.
因为,所以,不满足题意;
当时,,不满足题意;
当时,,满足题意.故n的最小值为3,D错误.
例11-9.(多选题)设定义在R上的函数与的导函数分别为和.若,,且为奇函数,则( ).
A., B.
C. D.
【答案】AC【解析】对A,又∵为奇函数,
则图像关于对称,且,所以,A 正确;
对于C,∵,则,
则,又,所以,
令,可得,即,所以,又
所以,所以,
∴的周期,所以,
由可得,,,,所以,,
∴,C正确;
对B,,则是周期的函数,,B错误;
对D,,,所以,
所以,D错误.
例11-10.(多选题)定义在上的函数的导函数为,当时,,函数 满足:为奇函数,且对于定义域内的所有实数,都有.则( )
A.是周期为2的函数 B.为偶函数
C. D.的值域为
【答案】BC【解析】因为,所以,
在时,,
所以,所以,故在上单调递减.
因为为奇函数,所以,所以函数关于点中心对称,即;又,所以函数关于直线对称,
所以在单调递增,且,
则,,
可得,是周期为的周期函数,A不正确.
因为,,结合草图可知
,C正确.
对于定义域内任一个,结合周期性可得,故为偶函数,B正确
而的函数最值无法确定,故D错误.
例11-11.(多选题)已知函数,的定义域均为,导函数分别为,,若,,且,则( )
A.4为函数的一个周期 B.函数的图象关于点对称
C. D.
【答案】ABC【解析】由得,
由求导得,
又得,所以,
所以,所以,
所以,
所以4为函数的一个周期,A正确;
,故,
因此,
故函数的图象关于点对称,B正确,
在中,令
由得 为常数,故,
由函数的图象关于点对称,

因此,
所以由于的周期为4,所以的周期也为4,
由于,所以, ,
所以,故C正确,由于
,故D错误,
例11-12.(多选题)已知奇函数在上可导,其导函数为,且恒成立,若在单调递增,则下列说法正确的是( )
A.在单调递减 B.
C. D.
【答案】BCD【解析】方法一:
对于A,若,符合题意,故A错误,
对于B,因已知奇函数在上可导,所以,
因为,所以,所以,故B正确,
对于C和D,设,则为上可导的奇函数,,
由题意,得,
所以关于直线对称,所以
,所以奇函数的一个周期为4,,
所以,即,故C正确,
由对称性可知,,即,所以,
等式两边对x求导得,,
令,得,所以.
由等式两边对x求导得,,
所以的一个周期为4,所以,所以,故,故D正确.
方法二:对于A,若,符合题意,故错误,
对于B,因已知奇函数在R上可导,所以,
因为,所以,所以,故B正确,
对于C,将中的x代换为,
得,所以,
可得,两式相减得,,
则,,…,,
叠加得,故C正确,
对于D,将的两边对x求导,得,
令得,,将的两边对x求导,得,所以,
将的两边对x求导,得,
所以,故D正确.
例11-13.(多选题)设定义在R上的函数与的导数分别为与,已知,,且的图象关于直线对称,则下列结论一定成立的是( )
A.函数的图象关于点对称 B.函数的图象关于直线对称
C.函数的一个周期为8 D.函数为奇函数
【答案】AC
【解析】因,两边求导可得.的图象关于直线对称,
则.
A选项,由可得,
由可得,
则,
即函数的图象关于点对称,故A正确;
B选项,若函数的图象关于直线对称,则.
又,
,则.
即是常函数,但不一定是常函数,故B错误;
C选项,由可得.
由可得,又,
则,则函数的一个周期为8,故C正确;
D选项,若函数为奇函数,则.
由可得.又,
则,得的一个周期为4,但题目条件不足以说明的周期情况,故D错误.
例11-14.(多选题)已知函数及其导函数的定义域均为R,记,若,均为奇函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】因为定义域均为R的奇函数,所以,即,
所以,即,所以,
又为奇函数,所以,
当时,,即 ,,故B正确;
又,所以,
故,即函数的周期为2,
所以,,即,故D正确;
由为奇函数可知,即的图象关于成中心对称,不妨取,则满足周期为2,关于中心对称条件,因为,,,可知AC错误.
题型十二、类周期函数
例12-1.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时,,

,又,所以至少小于7,
此时,
令,得,
解得或,结合图象,故.
例12-2.定义在上函数满足,且当时,.则使得在上恒成立的的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】根据题设可知,当时,,故,
同理可得:在区间上,,所以当时,.
作函数的图象,如图所示.
在上,由,得.
由图象可知当时,.
例12-3.已知函数,其中,给出以下关于函数的结论:
①②当时,函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时,若恒成立,则.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C【详解】当时,,是把向右平移2个单位变成后,再把纵坐标变为原来的2倍,得到的图象,如图:
∵,故①正确;
由题知函数在上函数值域为,在上函数值域为,在上函数值域为,在上函数值域为,故当时,函数值域为,故②正确;
当时有无数个实数根,故③错误;
当时,函数的图象与的图象交于点,结合图象,即,故④正确,
【方法技巧与总结】1.类周期函数
若满足:或,则横坐标每增加个单位,则函数值扩大倍.此函数称为周期为的类周期函数.
类周期函数图象倍增函数图象
2.倍增函数
若函数满足或,则横坐标每扩大倍,则函数值扩大倍.此函数称为倍增函数.
注意当时,构成一系列平行的分段函数,.
题型十三、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例13-1.已知为上的奇函数,,若对,,当时,都有,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】B【详解】由,得,
因为,所以,即,设,
则在上单调递减,而,
则,解得:;因为为R上的奇函数,所以,
则为R上的偶函数,故在上单调递增,
,则,解得:;
综上,原不等式的解集为.
例13-2.已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,且在上单调递增,若,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C【详解】由函数的图象关于直线对称可得,结合奇函数的性质可知
,.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增,
所以,所以.
例13-3.已知定义域为R的偶函数满足,当时,,则方程在区间上所有解的和为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】A【详解】因为函数满足,所以函数的图象关于直线对称,
又函数为偶函数,所以,所以函数是周期为2的函数,又的图象也关于直线对称,
作出函数与在区间上的图象,如图所示:
由图可知,函数与的图象在区间上有8个交点,且关于直线对称,所以方程在区间上所有解的和为,
例13-4.已知定义在上的函数,满足:
①;
②任意的,,.
(1)求的值;
(2)判断并证明函数的奇偶性.
【答案】(1)1;(2)偶函数,证明见解析.
【详解】(1)依题意,.
(2)由(1)知,∴,即,
∴,
又因为的定义域为,所以函数为偶函数.
例13-5.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();②当x∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:.
【详解】证明:对f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,
再令y=-x,又得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)在x∈(-1,1)上是奇函数.
设-1<x1<x2<0,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(),
∵-1<x1<x2<0,∴x1-x2<0,1-x1x2>0.
∴<0,又,所以,
所以由②知f()>0,从而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在x∈(-1,0)上是单调递减函数,根据奇函数的图像关于原点对称,
知f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数,且f(x)<0,

时,,,故原不等式成立.
题型十四、函数性质的综合
例14-1.已知函数,则关于t的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】C【详解】,
图象关于点成中心对称,又的定义域为,
由在上单调递增知,在上递增,
,,即,
,解得,又,解得,所以.
例14-2.已知函数,其中是自然对数的底数,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A【详解】令,
则,
即函数为上的奇函数,又,
函数为上的增函数,又,,
则,,
所以,即解得或,即实数的取值范围是或.
例14-3.定义在上的函数满足,且当时,若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C【详解】当时,单调递减,,
当时,单调递减,,故在上单调递减,
由,得的对称轴为,若对任意的,不等式恒成立,即对,不等式恒成立,,
即,即,
故实数的最大值为.
例14-4.已知函数,若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C【详解】的定义域为,,故,

因为(当且仅当等号成立),(当且仅当等号成立),
故,所以为上的增函数,
故可转化为:,
即转化为:,
所以对任意的恒成立,故对任意的恒成立,
当时,恒成立,故符号,
当时,,故,
当时,的图象为开口向上的抛物线,
故对任意不恒成立,舍,故
例14-5.已知函数(e为自然对数的底数),若,则实数a的取值范围是( )
A. B.[1,+∞) C. D.
【答案】C【详解】因为,所以,
所以时,,函数在上为单调递增,
时,,函数在上为单调递减,
又,
所以函数为偶函数,所以,
所以可化为,
所以,所以,所以,
故实数a的取值范围是
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专题七 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
知识归纳
一、单调性定义的等价形式:
1、函数在区间上是增函数:
任取,且,都有;
任取,且,;
任取,且,;
任取,且,.
2、函数在区间上是减函数:
任取,且,都有;
任取,且,;
任取,且,;
任取,且,.
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法:若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;
若函数的定义域是关于原点对称的,再判断与之一是否相等.
2、验证法:在判断与的关系时,只需验证=0及是否成立.
3、图象法:奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(轴)对称.
4、性质法:奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶;奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶.
5、复合函数的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.
三、常见奇、偶函数的类型
1、奇函数:①函数或函数.
(也可以写成或)
②函数.
③函数或函数
④函数或.
⑤函数
2、偶函数:①函数.
②函数.
③函数类型的一切函数.
④常数函数
⑤函数
四、函数的周期性与对称性常用结论
1、函数的周期性的常用结论(是不为0的常数)
(1)若,则; (2)若,则;
(3)若,则; (4)若,则;
(5)若,则; (6)若,则();
2、函数对称性的常用结论
(1)若,则函数图象关于对称;
(2)若,则函数图象关于对称;
(3)若,则函数图象关于对称;
(4)若,则函数图象关于对称;
3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
(1)若函数满足,则其函数图象关于直线对称,
当时可以得出,函数为偶函数,即偶函数为特殊的线对称函数;
(2)若函数满足,则其函数图象关于点对称,
当,时可以得出,函数为奇函数,即奇函数为特殊的点对称函数;
4、函数对称性与周期性的关系
(1)若函数关于直线与直线对称,那么函数的周期是;
(2)若函数关于点对称,又关于点对称,那么函数的周期是;
(3)若函数关于直线,又关于点对称,那么函数的周期是.
5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
(1)①函数是偶函数;②函数图象关于直线对称;③函数的周期为.
(2)①函数是奇函数;②函数图象关于点对称;③函数的周期为.
(3)①函数是奇函数;②函数图象关于直线对称;③函数的周期为.
(4)①函数是偶函数;②函数图象关于点对称;③函数的周期为.
其中,上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
典例分析
题型一、函数的单调性及其应用
例1-1.下列函数在上单调递减的是( )
A. B.
C. D.
例1-2.已知函数的定义域为,且对任意两个不相等的实数,都有,则不等式的解集为( ).
A. B. C. D.
例1-3.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
题型二、复合函数单调性的判断
例2-1.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
例2-2.函数单调递减区间是( )
A. B. C. D.
例2-3.函数的单调减区间是_______.
题型三、利用函数单调性求函数最值
例3-1.在人工智能领域的神经网络中,常用到在定义域I内单调递增且有界的函数,即,,.则下列函数中,所有符合上述条件的序号是______.
①;②;③;④.
例3-2.已知函数在上的最小值为1,则的值为________.
例3-3.已知,函数的定义域为I,若存在,使得在上的值域为,我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是( )
①;②;③;④.
A.①② B.②④ C.②③ D.③④
例3-4.定义在上的函数对于任意的,总有,且当时,且.
(1)求的值;
(2)判断函数在上的单调性,并证明;
(3)求函数在上的最大值与最小值.
题型四、利用函数单调性求参数的范围
例4-1.已知函数在区间(-∞,1]是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]
例4-2.已知函数(且)在区间上单调递增,则实数的取值不可能是( )
A. B. C. D.
例4-3.函数在上是减函数,则实数的范围是_______.
例4-4.如果 ,则的取值范围是___________.
例4-5.若函数是上的单调函数,则的取值范围( )
A. B. C. D.
例4-6.“”是“函数是在上的单调函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例4-7.已知函数若,,,且仅有1个零点,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
例4-8.已知函数满足,当时,,且.
(1)求的值,并判断的单调性;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
题型五、函数的最值与值域
例5-1.已知,设,则函数的值域为___________.
例5-2.函数的最小值为___________.
例5-3.函数的最小值为______.
例5-4.的最小值是,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型六、函数的奇偶性的判断与证明
例6-1.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
例6-2.存在函数使得对于都有,则函数可能为( )
A. B. C. D.
例6-3.若是定义在R上的奇函数,则下列函数是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
例6-4.若,,分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数,则下列函数不是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
例6-5.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+; (2)f(x)=(x+1);
(3)f(x)=; (4)f(x)=
例6-6.已知定义在上的函数,满足:①;②为奇函数;③,;④任意的,,.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断并证明函数在上的单调性.
题型七、已知函数的奇偶性求参数
例7-1.若函数的图象关于原点对称,则实数m的值为__________.
例7-2.若函数是偶函数,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.
例7-3.若函数是奇函数,则实数a=______.
例7-4.已知函数为R上的偶函数,则实数___________.
题型八、已知函数的奇偶性求表达式、求值
例8-1.已知函数为定义在R上的奇函数,且当时,,则当时,( )
A. B.
C. D.
例8-2.若定义域为的奇函数在区间上单调递减,且不等式的解集为,则符合题意的一个函数解析式为______.
例8-3.已知偶函数,当时,,则的图象在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
例8-4.已知是定义在R上的奇函数,且时,,则在上的最大值为( )
A.1 B.8 C. D.
例8-5.分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且,则下列说法错误的是( )
A. B.在上单调递减
C.关于直线对称 D.的最小值为1
题型九、函数的奇偶性与单调性综合问题
例9-1.已知是奇函数,且对任意且都成立,设, , ,则( )
A. B. C. D.
例9-2.设函数,若,,(e为自然对数的底数),则( ).
A. B. C. D.
题型十、已知奇函数+M
例10-1.已知(a,b为实数),,则______.
例10-2.已知函数,且,则( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
例10-3.若对,有,函数在区间上存在最大值和最小值,则其最大值与最小值的和为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
例10-4.若函数的最大值和最小值分别为、,则函数图像的对称中心不可能是_______
A. B. C. D.
例10-5.设函数的定义域为D,若对任意的,且,恒有,则称函数具有对称性,其中点为函数的对称中心,研究函数的对称中心,求( )
A.2022 B.4043 C.4044 D.8086
例10-6.若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为( ).
A. B. C. D.
例10-7.函数在区间上的最大值与最小值分别为,,则的值为( )
A. B. C. D.
例10-8.函数,若最大值为,最小值为,,则的取值范围是______.
题型十一、函数的对称性与周期性
例11-1.已知函数的定义域为R,且对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且,则( )
A.2021 B. C.2022 D.
例11-2.定义在R上的函数满足以下三个条件:①对于任意的实数,都有成立;②函数的图象关于y轴对称;③对任意的,,,都有成立.则,,的大小关系为( )
A. B.
C. D.
例11-3.已知函数满足,且函数与的图象的交点为, ,,,则( )
A.-4π B.-2π C.2π D.4π
例11-4.已知函数为定义域为的偶函数,且满足,当时,.若函数在区间上的所有零点之和为__________.
例11-5.(多选题)设函数定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,,则下列结论正确的是( )
A. B.在上是减函数
C.为奇函数 D.方程仅有6个实数解
例11-6.(多选题)已知定义在R上的函数满足,且为偶函数,则下列说法一定正确的是( )
A.函数的周期为2
B.函数的图象关于直线对称
C.函数为偶函数
D.函数的图象关于点对称
例11-7.(多选题)已知函数是定义在R上的奇函数,函数是定义在R上的偶函数,且满足,,则( )
A.的图象关于点对称 B.是周期为3的周期函数
C. D.
例11-8.(多选题)定义在R上的函数,满足,,,,则( )
A.是函数图象的一条对称轴
B.2是的一个周期
C.函数图象的一个对称中心为
D.若,且,,则n的最小值为2
例11-9.(多选题)设定义在R上的函数与的导函数分别为和.若,,且为奇函数,则( ).
A., B.
C. D.
例11-10.(多选题)定义在上的函数的导函数为,当时,,函数 满足:为奇函数,且对于定义域内的所有实数,都有.则( )
A.是周期为2的函数 B.为偶函数
C. D.的值域为
例11-11.(多选题)已知函数,的定义域均为,导函数分别为,,若,,且,则( )
A.4为函数的一个周期 B.函数的图象关于点对称
C. D.
例11-12.(多选题)已知奇函数在上可导,其导函数为,且恒成立,若在单调递增,则下列说法正确的是( )
A.在单调递减 B.
C. D.
例11-13.(多选题)设定义在R上的函数与的导数分别为与,已知,,且的图象关于直线对称,则下列结论一定成立的是( )
A.函数的图象关于点对称 B.函数的图象关于直线对称
C.函数的一个周期为8 D.函数为奇函数
例11-14.(多选题)已知函数及其导函数的定义域均为R,记,若,均为奇函数,则( )
A. B. C. D.
题型十二、类周期函数
例12-1.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
例12-2.定义在上函数满足,且当时,.则使得在上恒成立的的最小值是( )
A. B. C. D.
例12-3.已知函数,其中,给出以下关于函数的结论:
①②当时,函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时,若恒成立,则.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4

题型十三、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例13-1.已知为上的奇函数,,若对,,当时,都有,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
例13-2.已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,且在上单调递增,若,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
例13-3.已知定义域为R的偶函数满足,当时,,则方程在区间上所有解的和为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
例13-4.已知定义在上的函数,满足:
①;
②任意的,,.
(1)求的值;
(2)判断并证明函数的奇偶性.
例13-5.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();②当x∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:.
题型十四、函数性质的综合
例14-1.已知函数,则关于t的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
例14-2.已知函数,其中是自然对数的底数,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
例14-3.定义在上的函数满足,且当时,若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
例14-4.已知函数,若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
例14-5.已知函数(e为自然对数的底数),若,则实数a的取值范围是( )
A. B.[1,+∞) C. D.
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