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专题八 幂函数与二次函数
知识归纳
一、幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
二、五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
图象
定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减
定点 (1，1)
三、常用结论
幂函数的图象特征与性质
在第一象限的图象，可分为如图中的三类，其余象限部分由奇偶性决定．
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)；
(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增，特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
(7)对于形如f(x)＝xα(其中α∈Z)，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y轴对称．
(8)对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数的奇偶性：
①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
③当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
典例分析
题型一、幂函数的定义及其图像
例1-1．幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，所以.
例1-2．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】设，则，所以，
在上递增，且为奇函数，所以.
例1-3．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
【答案】
【详解】因为函数是幂函数，所以，解得，
又其图象过点，所以，所以，则，
则，解得或，令，
则函数在上递增，在上递减，
又因函数为减函数，所以函数的单调递增区间为.
例1-4．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】A
【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；，其图像应与④对应．
例1-5．函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
【答案】
【详解】，点，，所以，，
将两点坐标分别代入，，得，，.
例1-6．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【详解】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.
题型二、幂函数与二次函数性质的综合应用
例2-1．满足的实数m的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负，
等价于或或，
解得或或，所以不等式的解集为.
例2-2．不等式的解集为：_________．
【答案】【详解】不等式变形为所以，令，则有，显然在R上单调递增，
则，可得解得.故不等式的解集为．
例2-3．已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______________．
【答案】【详解】根据题意，函数，分三种情况讨论：
①若，，其值域为，不符合题意；
②若，当时，，有最大值；
当时，，
若函数的值域为R，则必有，即，不符合题意；
③若，当时，，有最小值；
当时，，
若函数的值域为R，则必有，即，故有，即的范围为
例2-4．已知实数a，b满足，，则（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】B【详解】构建函数，则为奇函数，且在上单调递增.
由，，
得，，所以.
例2-5．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A、B：作出和在第一象限的图像如图所示：
其中的图像用虚线表示，的图像用虚线表示.
可得，在上，有，在上，有，在上，有.
因为，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
对于C：,而，所以.故C错误；
对于D：，而，所以.故D错误.故选：A
例2-6．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】当时，函数是增函数，函数值集合是，当时，是减函数，函数值集合是，
关于的方程有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，
在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，
即方程有两个不同的实根，所以实数的取值范围为.
例2-7．已知，函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】当时，，此时函数为一条射线，
且函数在上为增函数，B选项符合；
当时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上为增函数，此时函数在上只有一个零点，A选项符合；
当时，时，函数的增长速度远小于函数的增长速度，
所以时，函数一定为减函数，选项D符合，C不符合.
例2-8．（多选题）函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】由题意知，则，当时，，，，
当时，，，，所以的大致图象不可能为C，
而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；
当时，定义域为，且，
故函数为奇函数，所以B选项符合要求，
当时，定义域为，且，
故函数为偶函数，所以D选项符合要求.
例2-9．已知为常数，函数在区间上的最大值为，则____．
【答案】3或1【详解】函数的图象是由函数的图象纵向对折变换得到的，
故函数的图象关于直线对称，则函数的最大值只能在或处取得，
若时，函数取得最大值3，则，，
当时，时，，满足条件；当时，时，，不满足条件；
若时，函数取得最大值3，则，，或，
当时，时，，不满足条件；
当时，时，，满足条件；综上所述：值为1或3；
例2-10．已知函数若，则的最大值为_________．
【答案】【详解】令，
作出的图象和的图象如图所示：
由图知：，不妨设，若求最大值，则，，
所以，，
所以，
当即时，取得最大值为，即的最大值为，
题型三、二次方程的实根分布及条件
例3-1．已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．
【答案】
【详解】根据题意，作出函数的图像，如图：
令，因为方程有8个相异的实数根，
所以方程在区间上有两个不相等的实数根，
故令，则函数在区间上有两个不相等的零点.
所以，即，解得.
所以实数的取值范围是.
例3-2．函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由，可得：，解得：，∴；
(2)由，可得，令，则，
则原问题等价于y＝m与y＝h(t)＝在上有交点，
数形结合可知m∈[h()，h(4)]＝.故实数的取值范围为：.
例3-3．已知函数，．
(1)求的最大值及取最大值时的值；
(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．
【答案】(1)当，，时， (2)
【解析】(1)∵，
∴当时，
∴当时， ．故当时， ．
(2)令，则，使方程存在8个不等的实数根，
则方程在上存在两个相异的实根，
令，则，解得：．故所求的的取值范围是．
题型四、二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例4-1．已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】C【详解】设，由题意可得，，
函数，的图象为的图象的部分，
即有的值域为的值域的子集，即，，，可得，即有的最大值为2．
例4-2．为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
【答案】．
【详解】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论：
①当时，函数在区间上单调递增，所以；
②当时，此时，，
而，所以；
③当时，在区间上递增，在上递减．
当时，取得最大值；
④当时，在区间上递增，当时，取得最大值，
则在上递减，上递增，
即当时，的值最小．
例4-3．已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题易知，即，
所以，又，所以.
下证时，在上最大值为3.
当时，，;
当，若，即，则，满足;
若，即，此时，
而，满足;因此，符合题意.
例4-4．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间，上的最大值．
【解析】（1）设，则，
因为，所以，
故，解得：又所以，所以；
（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为．
当时，，所以此时函数的最大值为；
当时，，所以此时函数的最大值为；
综上：．
例4-5．已知函数，且.
(1)若函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，求实数的值；
(2)已知，函数.若的最大值为8，求实数的值.
【解析】（1）由题意 ，将 代入得： ；
（2） ，其中 ，
令 ，则有 ， 是关于t的开口向上，对称轴为 的抛物线，
，并且 ，
在 上的最大值为 ，又 ；
例4-6．已知函数.
(1)当时，试写出函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值.
【解析】（1）当时， ,
所以 ,
当时，，其图象开口向上，对称轴方程为，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，其图象开口向下，对称轴方程为，
所以在上单调递减.
综上可知，的单调递减区间为和，单调递增区间为.
（2）由题意知，，作出大致图象如图：
易得，，
所以可判断在上的最大值在，，中取得.
当时，.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，若，则；
若，则.
综上可知，在区间上， .
例4-7．已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【解析】（1）当时，不等式，即为，
即，所以，所以或，
所以原不等式的解集为．
（2），
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
例4-8．已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）[1,2].
【详解】（1）设，
则 解之得：
（2）根据题意：解之得：
的取值范围为
例4-9．设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵，∴.即，
因为任意实数x，恒成立，则且，∴，，
所以.
(2)因为，
设，要使在上单调，只需要
或或或，
解得或，所以实数k的取值范围.
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专题八 幂函数与二次函数
知识归纳
一、幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
二、五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
图象
定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减
定点 (1，1)
三、常用结论
幂函数的图象特征与性质
在第一象限的图象，可分为如图中的三类，其余象限部分由奇偶性决定．
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)；
(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增，特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
(7)对于形如f(x)＝xα(其中α∈Z)，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y轴对称．
(8)对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数的奇偶性：
①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
③当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
典例分析
题型一、幂函数的定义及其图像
例1-1．幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
例1-2．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
例1-3．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
例1-4．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
例1-5．函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
例1-6．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
题型二、幂函数与二次函数性质的综合应用
例2-1．满足的实数m的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
例2-2．不等式的解集为：_________．
例2-3．已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______________．
例2-4．已知实数a，b满足，，则（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
例2-5．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2-6．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例2-7．已知，函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
例2-8．（多选题）函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例2-9．已知为常数，函数在区间上的最大值为，则____．
例2-10．已知函数若，则的最大值为_________．
题型三、二次方程的实根分布及条件
例3-1．已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．
例3-2．函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
例3-3．已知函数，．
(1)求的最大值及取最大值时的值；
(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．
题型四、二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例4-1．已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
例4-2．为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
例4-3．已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.
例4-4．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间，上的最大值．
例4-5．已知函数，且.
(1)若函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，求实数的值；
(2)已知，函数.若的最大值为8，求实数的值.
例4-6．已知函数.
(1)当时，试写出函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值.
例4-7．已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
例4-8．已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
例4-9．设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
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