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南宁市名校2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量，，若，则（ ）
A.1 B. C.0 D.
4.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
5.直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，则离心率（ ）
A.4 B.3 C. D.
6.已知等差数列的公差为，前项和为；则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆：，直线：，直线与圆交于、，则的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.在学校举办的某次舞蹈比赛中，共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ）
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差
10.已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A.， B.的值域为
C.若，则 D.若，且，则
11.已知函数，的定义域都为，为奇函数，且，，则（ ）
A. B. C. D.
12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷11中这样定义棱柱：一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的，相似且平行的，其它各面都是平行四边形.显然这个定义是有缺陷的，由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影响，该定义在后世可谓谬种流传，直到1916年，美国数学家斯顿（J. C. Stone）和米利斯（J. F. Millis）首次给出欧氏定义的反例.如图1，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且4个顶点，，，在同一平面内，取各棱的中点，切割成欧氏反例（如图2），则该欧氏反例（ ）
A.共有12个顶点 B.共有24条棱
C.表面积为 D.体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.为巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接，做好脱贫县的教育帮扶工作，某市教育局安排甲、乙、丙、丁四位志愿者参加、、三个贫困县的支教工作，要求每个县至少去1人，且每位志愿者只能到一个县支教，则不同的安排方法共有______种。
14.若某圆锥高为3，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为______
15.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是______
16.若正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为______
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步程.
17.（10分）数列的前项和为，且点在直线上.
（1）求的通项公式；
（2）等差数列的各项为正数，其前项和为，且，又，，成等比数列，求.
18.（12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
20.（12分）某商场为了回馆顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放5个大小相同的小球，其中红球2个，白球3个.规定：每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出一个小球，如果摸出的是红球即为中奖，球不放回；如果摸出的是白球即为不中奖，球放回袋子中，每名顾客可进行三次抽奖.求：
（1）在第2次取出的是白球的条件下，第1次取出的是红球的概率；
（2）取了3次后，取出的红球个数的分布列及数学期望.
21.（12分）已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.
22.（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，存在正实数，，使得恒成立，证明：.
南宁市名校2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题参考答案
1.D【解析】，∴.
2.B【解析】，∴在复平面上对应的点的坐标为，位于第二象限.
3.A【解析】因为，，，由，得，所以.
4.C【解析】的单调递增区间需要满足，解得.
5.C【解析】联立，得，由韦达定理得，解得，.
6.A【解析】由，所以，所以“”是“”的充分不必要条件.
7.D【解析】因为.所以，因为，所以，所以.
8.B【解析】直线恒过定点，点在圆内部，当垂直于时，最短，此时最大.，所以，则.
9.ACD【解析】一定不变的只有中位数，故选ACD.
10.AD【解析】∵过原点，∴，∴①，
又∵时，，
∴时，，由题，图象无限接近直线，则②，
由①②知，，故A正确；
所以，，，所以B错误；
由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误；
∵为偶函数，∴，又∵，∴，∴，∴，故D正确.
11.BD
17.解：（1）由，可得，
两式相减，得，
又因为，所以
故是首项为1，公比为3的等比数列，所以
（2）设的公差为，由，得，
可得
故可设，.
又，，，
由题意可得
解得，
因为等差数列的各项为正数，所以，
所以.
18.解：（1）证明：根据题意，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
，
则，
所以，即；
（2）由（1）可得，，设平面的法向量为
则
解得，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又因为，
设与平面所成角为，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
19.解：（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范围为
20.解：（1）设事件为第1次取出的是红球，事件为第2次取出的是白球；
则，
，
所以.
（2）记取了3次后，取出的红球的个数为，则，
，
，
的分布列为
0 1 2
的数学期望
21.解：（1）因为椭圆：过点，
所以，
又椭圆的离心率为，则
所以，
故椭圆方程为
（2）设直线的方程为，
所以，
设，由，
得，
则，
所以，
设直线的方程为，
由，得，
设，则，则，
所以，
故，
因此为定值
22.解：（1），，
1°若，则，此时，在上单调递减；
2°若，则，得
当时，，在上单减，
当时，，在上单增.
综上，当，的单减区间为，无单增区间；
当，的单减区间为，单增区间为
（2）由题知，
即
即
因为上式对恒成立，所以成立，
考虑函数，则，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增.
因此，所以，
所以，
解得，得证.

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