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高一上学期期末复习导学案（一）
集合与常用逻辑用语
班级 姓名
知识归纳
1．集合的相关概念
(1)元素与集合的关系：若属于集合，记作；若不属于集合，记作．
(2)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特殊的数集：
集合 非负整数集(自然数) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
2．集合间的基本关系
　　 表示关系　　 文字语言 符号表示
集合间的基本关系 子集 集合中任意一个元素都是集合中的元素 或
相等 集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素 且
真子集 如果，但存在元素，且 或
空集 空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集 且
3．集合的三种基本运算
文字语言 图形表示 符号语言
集合的并集 所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合 ，或
集合的交集 所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 ，且
集合的补集 全集中不属于集合的所有元素组成的集合 U，且
4．常用结论和注意点
(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个．
(2)子集的传递性：，．
(3) U U．
(4) U U U， U U U．
(5)是集合，不含任何元素；含有一个元素；含有一个元素，且和都正确．
(6)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若，则要考虑和两种可能．
5．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
p是q的充分不必要条件 p q且qp AB
p是q的必要不充分条件 pq且q p AB
p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且AB
6．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等
7．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称量词命题 对M中任意一个x，p(x)成立 x∈M，p(x) x0∈M，非p(x0)
存在量词命题 存在M中的一个x，p(x)成立 x∈M，p(x) x∈M，非p(x)
8．常用结论和注意点
(1)A是B的充分不必要条件 非B是非A的充分不必要条件．
(2)在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如(小范围)(大范围)，(大范围) (小范围)．
(3)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”．
典例分析
题型一 集合的概念与表示
【例1】(1)若集合中只有一个元素，则等于(　　)
A. B. C． D．或
(2)设，，若集合，则________．
题型二　集合间的基本关系
【例2】(1)若集合，，，则，，之间的关系是(　　)
A． B．
C． D．
(2)(多选)已知集合，，若，则实数的取值可以是(　　)
A． B．
C． D．
(3)设集合，，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为(　　)
A． B．
C． D．
题型三　集合的基本运算
【例3】(1)(2021年新高考八省联考卷)已知，均为的子集，且 ，则 (　　)
A．　　 　 B．　 　　
C．　　 　 D．
(2)(2021·湖南长郡中学测试)设集合，，则(　　)
A． B．
C． D．
(3)(2020·全国卷Ⅰ)设集合，，且，则实数(　　)
A． B．
C． D．
题型四 充分条件、必要条件及充要条件的判断
【例4】(1)设，则“”是“”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若“”是“”的充分条件，则
D．“”是“”的充要条件
题型五　充分、必要条件的应用
【例5】(1)已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
(2)已知关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题型六　全(特)称命题的否定及真假判断
【例6】(1)(多选)下列说法正确的是( )
A．若命题：，则：
B．命题“梯形的对角线相等”是全称量词命题
C．命题“”是真命题
D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
(2)命题“”的否定是 ，此否定命题是 命题（填“真”或“假”）．
题型七 含有量词( 、 )的参数问题
【例7】(1)已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________．
(2)已知命题，．若为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
课后作业
一、基础训练题
1．已知集合，，则满足条件的集合的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(多选)下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，若，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
4．某校高三(1)班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的分别有26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是(　　)
A．23 B．20 C．21 D．19
5.定义一种新的集合运算：且．若集合，，则按运算，(　　)
A． B． C． D．
6．(多选)下面说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．设，则“”是“且”的充分不必要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
7．(多选)已知集合，集合，则下列关系式正确的是(　　)
A． B．
C． 或 D．
8．命题“”的否定是：____________________．
9．已知集合，，且，则实数的取值范围是________．
10．已知集合，，若，则实数的取值范围是________．
11．已知U={x∈R|1（1）A∪B；
（2）(UA)∪(UB).
二、提高训练题
12．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
13．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是(　　)
A．，是一个戴德金分割
B．没有最大元素，有一个最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．没有最大元素，也没有最小元素
14．设全集，且的子集可表示由,组成的位字符串，如：表示的是自左向右的第个字符为，第个字符为，其余字符均为的位字符串，并规定空集表示的字符串为．
(1)若，则 表示的位字符串为____________；
(2)已知，，若集合表示的字符串为，则满足条件的集合的个数是________．
15．已知集合，．
（1）命题，命题，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，都有，求实数的取值范围．
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高一上学期期末复习导学案（一）
集合与常用逻辑用语
班级 姓名
知识归纳
1．集合的相关概念
(1)元素与集合的关系：若属于集合，记作；若不属于集合，记作．
(2)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特殊的数集：
集合 非负整数集(自然数) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
2．集合间的基本关系
　　 表示关系　　 文字语言 符号表示
集合间的基本关系 子集 集合中任意一个元素都是集合中的元素 或
相等 集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素 且
真子集 如果，但存在元素，且 或
空集 空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集 且
3．集合的三种基本运算
文字语言 图形表示 符号语言
集合的并集 所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合 ，或
集合的交集 所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 ，且
集合的补集 全集中不属于集合的所有元素组成的集合 U，且
4．常用结论和注意点
(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个．
(2)子集的传递性：，．
(3) U U．
(4) U U U， U U U．
(5)是集合，不含任何元素；含有一个元素；含有一个元素，且和都正确．
(6)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若，则要考虑和两种可能．
5．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
p是q的充分不必要条件 p q且qp AB
p是q的必要不充分条件 pq且q p AB
p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且AB
6．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等
7．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称量词命题 对M中任意一个x，p(x)成立 x∈M，p(x) x0∈M，非p(x0)
存在量词命题 存在M中的一个x，p(x)成立 x∈M，p(x) x∈M，非p(x)
8．常用结论和注意点
(1)A是B的充分不必要条件 非B是非A的充分不必要条件．
(2)在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如(小范围)(大范围)，(大范围) (小范围)．
(3)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”．
典例分析
题型一 集合的概念与表示
【例1】(1)若集合中只有一个元素，则等于(　　)
A. B. C． D．或
【答案】D
【解析】当时，，符合题意；当时，由，得．
所以的值为或，故选D．
(2)设，，若集合，则________．
【答案】
【解析】由题意知，，
则根据两个集合相等可知，且或．
若，则，符合题意；
若，则，结合可知，不符合题意．
综合可知，，故．
题型二　集合间的基本关系
【例2】(1)若集合，，，则，，之间的关系是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
，
，显然，故选B．
(2)(多选)已知集合，，若，则实数的取值可以是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】解不等式，得，∴．
由，可得.故C、D符合．
(3)设集合，，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵集合，，，
∴，图中阴影部分表示的集合为： U，
∴图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为：．
题型三　集合的基本运算
【例3】(1)(2021年新高考八省联考卷)已知，均为的子集，且 ，则 (　　)
A．　　 　 B．　 　　
C．　　 　 D．
【答案】B
【解析】如图所示，易知答案为B．
(2)(2021·湖南长郡中学测试)设集合，，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，故．
(3)(2020·全国卷Ⅰ)设集合，，且，则实数(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知，，因为，所以，解得．故选B．
题型四 充分条件、必要条件及充要条件的判断
【例4】(1)设，则“”是“”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】绝对值不等式，由．
据此可知是的充分不必要条件．故选A．
(2)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若“”是“”的充分条件，则
D．“”是“”的充要条件
【答案】BC
【解析】时，由不能得出，A错误；
与相互不能推导，如，时，满足但不满足，反之若，，满足但不满足，∴“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确；
由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C正确；
由能得出，当，时，，但，D错误．
题型五　充分、必要条件的应用
【例5】(1)已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，解得或．
由题意可得或，所以，
因此，实数的取值范围是．故选C．
(2)已知关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集．
当时，不等式的解集为，此时，符合题意；
当时，不等式的解集为，此时，符合题意；
当时，不等式的解集为，由题意可得，此时．
综上所述，．故选D．
题型六　全(特)称命题的否定及真假判断
【例6】(1)(多选)下列说法正确的是( )
A．若命题：，则：
B．命题“梯形的对角线相等”是全称量词命题
C．命题“”是真命题
D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
【答案】BD
【解析】命题：，则：，故A错误；
命题“梯形的对角线相等”是全称量词命题，B正确；
方程无实根，命题“”是假命题，故C错误；
若“是无理数”则“是无理数”，反之亦然，故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D正确．故选BD．
(2)命题“”的否定是 ，此否定命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 假
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题：“”的否定是：“”，
显然时，，所以此命题是假命题．
题型七 含有量词( 、 )的参数问题
【例7】(1)已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】已知命题“，是真命题．
当时，则有恒成立，合乎题意；
当时，则有，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
(2)已知命题，．若为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为假命题，，为真命题，
故恒成立，在的最小值为，
∴．故选A．
课后作业
一、基础训练题
1．已知集合，，则满足条件的集合的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
1、【答案】D
【解析】求解一元二次方程，得，易知．因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素,，且可能含有元素,，原题即求集合的子集个数，即有个.故选D．
2．下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
4、【答案】BC
【解析】解不等式，可得，
，，，
因此，使得的成立一个充分不必要条件的有：，．故选：BC．
3．设集合，，若，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
3、【答案】D　
【解析】因为，所以，因为集合，，所以．故选D．
4．某校高三(1)班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的分别有26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是(　　)
A．23 B．20
C．21 D．19
4、【答案】B　
【解析】设这两项成绩均合格的人数为，则跳远合格掷实心球不合格的人数为，
如图：
由，得，即这两项成绩均合格的人数是．故选B．
5.定义一种新的集合运算：且．若集合，，则按运算，(　　)
A． B．
C． D．
5、【答案】B
【解析】由题意知，，在数轴上表示出，的区间，可得．
故选B.
6．(多选)下面说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．设，则“”是“且”的充分不必要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
6、【答案】ABD
【解析】对于A：解得：或，所以不能推出，而能推出，
“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
对于B：对任意的否定用存在，故命题“任意，则”的否定是“存在，则”成立，故B正确；
对于C：，可取，，不符合且，而且可以推出，故C错误；
对于D：若，但时，有，而可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确．故选ABD．
7．(多选)已知集合，集合，则下列关系式正确的是(　　)
A． B．
C． 或 D．
7、【答案】BD
【解析】∵，，∴，A不正确；，B正确；∵ 或，∴ 或，C不正确； ，D正确．故选BD．
8．命题“”的否定是：____________________．
8、【答案】
9．已知集合，，且，则实数的取值范围是________．
9、【答案】
【解析】当时，，故，
②当时，，且 ∴.
综上，．
10．已知集合，，若，则实数的取值范围是________．
10、【答案】
【解析】由题意易得，或，又，所以即．
11．已知U={x∈R|1（1）A∪B；
（2）(UA)∪(UB).
11、(1)因为A={x|2≤x<5}，B={x|3≤x≤7}，
所以A∪B={x|2≤x≤7}.
(2)因为U={x|1所以UA={x|1所以(UA)∪(UB)={x|1二、提高训练题
12．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
12、【答案】D
【解析】命题“，”为真命题等价于在上有解，
令，，则等价于，所以．
故选D．
13．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是(　　)
A．，是一个戴德金分割
B．没有最大元素，有一个最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．没有最大元素，也没有最小元素
13、【答案】BD　
【解析】，，不是戴德金分割，A错误；
，，显然集合中没有最大元素，集合中有一个最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合、中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，
，，
显然集合中没有最大元素，集合中也没有最小元素，即选项D可能．
故选BD．
14．设全集，且的子集可表示由,组成的位字符串，如：表示的是自左向右的第个字符为，第个字符为，其余字符均为的位字符串，并规定空集表示的字符串为．
(1)若，则 表示的位字符串为____________；
(2)已知，，若集合表示的字符串为，则满足条件的集合的个数是________．
14、【答案】；
【解析】(1)由已知得， ，则 表示的位字符串为；
(2)由题意可知，而，，则可能为，，，，故满足条件的集合的个数是4．
15．已知集合，．
（1）命题，命题，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，都有，求实数的取值范围．
15、【解析】（1）解不等式，即，解得，
所以，.
由于是的必要非充分条件，则，所以，解得，
因此，实数的取值范围是；
（2）由，都有，得，，
令，，
当时，取最大值为，所以，.
因此，实数的取值范围是
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