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专题3.2 函数的性质
【考纲要求】
1.理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性
2.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象．
【考向预测】
1. 判断函数的单调性
2. 判断函数的奇偶性
3. 已知单调性求参数取值范围
4. 函数的单调性与奇偶性综合问题
【知识清单】
1. 函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
3. 函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称
【本节内容结构】
【考点分类剖析】
考点一 函数的单调性
例1．函数，的图象如图所示，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图象即可得到函数的单调增区间.
【详解】根据图像易得单调增区间为，
故选：C.
例2． 下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数，幂函数相关知识直接进行判断
【详解】在R上单调递减，A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
在上单调递增，故C错误；
在R上单调递增，D错误
故选：A
例3．函数，的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.
【详解】解：函数对称轴为，开口向上，
所以函数，的单调减区间为.
故选：D
【变式探究】1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.
【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，
所以的单调递减区间为.
故选：B
2．下列函数中，在R上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质，结合单调性定义，可得答案.
【详解】对于A，由，则该函数在R上单调递增，故A错误；
对于B，由，则该函数在R上单调递减，故B正确；
对于C，由，则该函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，由，则该函数在和上单调递减，故D错误；
故选：B.
3. 函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图像及性质得解单调区间.
【详解】因为函数是反比例函数，函数图像为一三象限双曲线，定义域为，
函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和.
故选：A
考点二 已知单调性求参数取值范围
例1．已知在上是增函数，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于在上是增函数，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
例2．若函数的单调递减区间是，则（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称轴与单调区间的关系可得解.
【详解】函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
因为单调递减区间是，所以，解得.
故选：D.
例3. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______
【答案】
【分析】利用二次函数的单调性列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】二次函数的图像开口向上，单调增区间为，
又函数在区间上是增函数，
则，解之得，则实数的取值范围是
故答案为：
例4.函数（）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数在区间上的单调性即可求值域.
【详解】函数的对称轴为，
故函数在上单调递增，
又，，
所以函数（）的值域是
故选：A.
【变式探究】1．已知函数是上的严格减函数，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据一次函数的性质可直接得出.
【详解】因为函数是上的严格减函数，
所以，即.
故答案为：.
2. 若函数的单调减区间是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为的对称轴为且开口向上，单调减区间是，所以，所以．
故选：B．
3. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】利用给定的单调区间及单调性，结合二次函数性质求解作答.
【详解】函数的单调递增区间是，依题意得：，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
4.已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．15 B．10 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.
【详解】函数在上单调递增，则，
所以函数的最大值为15.
故选：A
考点三 函数的奇偶性
例1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　 　)
【答案】B
例2. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3) f(x)＝0；
(4)f(x)＝2x＋1；
(5)f(x)＝．
【解析】　(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)函数f(x)＝－3x2＋1的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)，
∴f(x)＝－3x2＋1是偶函数．
(3) 由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．
(4)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．
∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，
∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函数，
又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函数，
∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．
(5)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．
例3．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】若函数为偶函数，则，
即，
整理得，故，解得.
故选：B.
【变式探究】1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用偶函数定义逐项判断作答.
【详解】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是；
对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是；
对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是；
对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.
故选：C
2．下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义逐项判断作答.
【详解】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是；
对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是；
对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是；
对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是.
故选：A
[归纳提升]　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
3．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线対称
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，即可得解.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称.
故选：C
4．已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】化简“”和“函数为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】，所以，
函数为奇函数，
所以，所以.
所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.
故选：C
考点四 函数的单调性与奇偶性综合问题
例1．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义和单调性的定义求解.
【详解】对于A，是偶函数，当时是增函数；
对于B，是偶函数，当时是增函数；
对于C，，不是偶函数；
对于D，设，则，，
当时，，，是偶函数，
当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数；
故选：D.
例2．如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（ ）
A．增函数，且 B．增函数，且
C．减函数，且 D．减函数，且
【答案】B
【分析】由奇函数的性质分析判断即可得结论.
【详解】奇函数图象关于原点中心对称，在对称的区间上具有相同的单调性，
故在区间上是增函数，且.
故选：B.
【变式探究】1．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可判断BC，根据单调性可判断A，即可结合幂函数的奇偶性以及单调性判断D.
【详解】对于A, 在上为单调递减函数，但不是在定义域内单调递减，故A错误，
对于B, ，故为偶函数，故B错误，
对于C，的图象为不经过原点的一条直线，故为非奇非偶函数，故C错误，
对于D，，故为奇函数，且为定义域内的单调递增函数，故为单调递减函数，故D正确，
故选：D
2．已知定义在R上的偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先化简，再利用函数的单调性判断得解.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以.
因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，
所以函数在上是增函数，
因为.
故选：D.
3．已知函数是上奇函数，则（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用奇函数的定义可求参数的值.
【详解】因为是上的奇函数，故，所以=0，故，
当时，，，则是奇函数，
所以.
故选：D.专题3.2 函数的性质
【考纲要求】
1.理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性
2.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象．
【考向预测】
1. 判断函数的单调性
2. 判断函数的奇偶性
3. 已知单调性求参数取值范围
4. 函数的单调性与奇偶性综合问题
【知识清单】
1. 函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1图象描述 自左向右看图象是 的 自左向右看图象是 的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做函数y＝f(x)的单调区间．
3. 函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有 ，那么函数f(x)是偶函数 都有 ，那么函数f(x)是奇函数
图象 特征 关于 对称 关于 对称
【本节内容结构】
【考点分类剖析】
考点一 函数的单调性
例1．函数，的图象如图所示，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
例2． 下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（ ）
A． B．
C． D．
例3．函数，的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在R上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
3. 函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
考点二 已知单调性求参数取值范围
例1．已知在上是增函数，则a的取值范围是________．
例2．若函数的单调递减区间是，则（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
例3. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______
例4.函数（）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1．已知函数是上的严格减函数，则的取值范围是______．
2. 若函数的单调减区间是，则（ ）
A． B．
C． D．
3. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.
4.已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．15 B．10 C．0 D．
考点三 函数的奇偶性
例1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　 　)
例2. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3) f(x)＝0；
(4)f(x)＝2x＋1；
(5)f(x)＝．
例3．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线対称
4．已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[归纳提升]　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
3．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线対称
考点四 函数的单调性与奇偶性综合问题
例1．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（ ）
A．增函数，且 B．增函数，且
C．减函数，且 D．减函数，且
例3．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在R上的偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数是上奇函数，则（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1

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