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新教材人教A版2019版数学必修第一册
第四章知识点清单
目录
第四章　指数函数与对数函数
4. 1　指数
4. 2　指数函数
4. 3 对数
4. 4 对数函数
4. 5 函数的应用（二）
第四章　指数函数与对数函数
4. 1　指数
一、根式
1. n次方根
(1)定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)表示：
n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，+∞)
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0.
2. 根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质(其中n>1，且n∈N*)：
①()n=a.
②当n为奇数时， =a；当n为偶数时， =|a|=
二、分数指数幂
1. 正数的正分数指数幂： = (a>0，m，n∈N*，n>1).
2. 正数的负分数指数幂： == (a>0，m，n∈N*，n>1).
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
三、实数指数幂
1. 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 这样，指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围就从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的实数.
四、实数指数幂的运算性质
1. aras= ar+s(a>0，r，s∈R)；
2. (ar)s=ars(a>0，r，s∈R)；
3. (ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).
4. 拓展：=ar-s(a>0，r，s∈R).
五、根式与分数指数幂的化简、求值
1. 运用根式的性质解题时的注意点
(1)分清根式是奇次根式还是偶次根式：
n>1，且n为奇数时，( )n==a，a为任意实数；
n>1，且n为偶数，a≥0时，()n才有意义，且()n=a；
n>1，且n为偶数，a为任意实数时， 均有意义，且=|a|.
(2)注意变式、整体代换，以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论.
2. 根式与分数指数幂化简、求值的技巧
(1)将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数.
(2)底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算性质.
注意：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
六、指数幂的条件求值问题
解决指数幂的条件求值问题的一般方法——整体代换法
1. 将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式
的值. 整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式的
结构特点，灵活运用恒等式是关键.
2. 常用的变形公式如下：
(1)a±2+b=(±)2；
(2)( +)(-)=a-b；
(3) +=( +)(a-+b)；
(4) -=( -)(a++b).
4. 2　指数函数
一、指数函数的概念
1. 一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量,定义域是R.
二、指数函数的图象和性质
指数函数 y=ax(a>0，且a≠1)
01
图象
定义域 R
值域 (0，+∞)
性质 过定点 过定点(0，1)，即x=0时，y=1
单调性 在R上是减函数 在R上是增函数
函数值 的变化 当x>0时，01 当x>0时，y>1； 当x<0时，0对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称
三、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题
1. 与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；
(2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值域；
(3)求函数y=f(ax)的定义域，需先确定y=f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即ax的取值范围，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，即y=f(ax)的定义域；
(4)求函数y=f(ax)的值域，需先利用函数u=ax的单调性确定其值域，即u的取值范围，
再确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域. (以上a均满足a>0，且a≠1)
四、与指数函数有关的函数的单调性问题
1. 形如y=a f(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间；当02. 形如y=f(ax)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：通过内层函数u=ax的值域
确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.
五、指数幂的大小比较
1. 比较指数幂大小的方法
（1）底数形同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断
（2）底数不同，指数相同：利用幂函数的单调性来判断
（3）底数不同，指数不同：通过中间量来比较
六、指数方程与不等式的解法
1. 指数方程的解法
(1)对于af(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等进行求解.
(2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别
注意“元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对二次方程根的取舍.
2. 简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助函数y=ax与y=bx(a，b>0，且a，b≠1)的图象求解.
4. 3 对数
一、对数的概念
1. 对数的概念：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2. 常用对数与自然对数
（1）以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N；
（2）以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.
3. 对数与指数的关系
　　当a>0，a≠1时，ax=N x=logaN，这是指数式与对数式互化的依据.
　　相关结论如下：
(1)负数和0没有对数；
(2)loga1=0，logaa=1(a>0，且a≠1)；
(3) =N，logaaN=N(a>0，且a≠1，N>0).
二、对数的运算性质
1. 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN；
(2)loga=logaM-logaN；
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
三、对数换底公式
1. 对数换底公式：logab= (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
2. 相关结论：logab=bm=logab(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；n≠0).
四、对数的运算
1. 利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的关系
2. 对于复杂的算式，可先化简再计算. 化简的常用方法：①“拆”，将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”，将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
3. 在利用换底公式进行化简、求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，一般可以选择以10为对数式的底数进行换底.
4. 利用换底公式化简与求值的思路：
(1)用对数的运算性质进行部分运算→换成同一底数.
(2)统一换为常用对数(或自然对数、指定底的对数) →化简、求值.
五、对数运算性质的综合应用
1. 在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义和运算性质，尤其要注意
条件和待求式之间的关系.
2. 解决对数应用问题时，首先要理解题意，弄清关键词及字母的含义，然后恰当设
未知数，建立数学模型，最后转化为对数问题求解.
4. 4 对数函数
一、对数函数的概念
1. 一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是
(0，+∞).
二、对数函数的图象与性质
对数函数 y=logax(a>0，且a≠1)
01
图象
定义域 (0，+∞)
值域 R
性质 过定点 过定点(1，0)，即x=1时，y=0
单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数
函数值 的变化 当x>1时，y<0； 当00 当x>1时，y>0； 当0对称性 y=logax与y=x的图象关于x轴对称
三、反函数
1. 一般地，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函
数. 它们的定义域与值域正好互换.
2. 拓展：
(1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.
当a>1时，函数y=ax在R上是增函数，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数；
当0(2)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.
四、不同函数增长的差异
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
在(0，+∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
图象 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐变“缓” 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度远远快于y=kx(k>0)的增长速度，y=kx(k>0)的增长速度快于y=logax(a>1)的增长速度
结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
五、对数函数的图象及其应用
1. 对数型函数图象过定点问题：求函数y=m+loga f(x)(a>0，且a≠1， f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m).
2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法
　　作直线y=1与所给图象相交，比较交点的横坐标即得各个底数的大小关系.
3. 函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或
向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
六、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题
1. 对数型函数的定义域
(1)求对数型函数的定义域，要注意真数大于0，即在y=loga f(x)(a>0，且a≠1)中应首
先保证f(x)>0；
(2)若底数中也含有变量，则底数应大于0且不等于1.
2. 求对数型函数值域的常用方法
(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数的值域.
(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，且a≠1))时，可以用配方法求函数的值域.
(3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.
(4)换元法：求形如y=loga f(x)(a>0，且a≠1， f(x)>0)的函数的值域的步骤：
①换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围；
②利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.
七、与对数函数有关的函数的单调性
1. 求与对数函数有关的函数的单调性的要点
(1)单调区间是定义域的子集.
(2)若a>1，则y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；若0八、比较对数值的大小
1. 比较对数值大小常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性进行比较.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.
(3)底数和真数都不同的，找中间量比较.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
九、解对数不等式
1. 对数不等式的常见类型及解题方法
(1)形如loga f(x)>logab的不等式，借助函数y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如loga f(x)>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，再借助函数y=logax的单调性求解；
(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用图
象求解.
十、几种常见的函数模型的选择
1. 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是增长速度不变，可称为“直线上升”.
(2)指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，可称为“对数增长”.
2. 不同的函数模型能刻画现实生活中不同的变化规律
(1)线性函数模型适合描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数模型适合描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数、幂函数模型适合描述增长速度平缓的变化规律.
　　因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
4. 5 函数的应用（二）
4. 5. 1　函数的零点与方程的解
4. 5. 2　用二分法求方程的近似解
一、函数的零点
1. 函数的零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2. 方程、函数、函数图象之间的关系：方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
二、函数零点存在定理
1. 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
三、用二分法求函数y=f(x)零点的近似值
1. 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2. 用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤
　　给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0 (此时x0∈(a，c))，则令b=c；
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.
四、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题
1. 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的两个实数根,,令f(x)=ax2+bx+c
(a>0)，则x1，x2的分布情况如下表：
根的分布 图象 等价条件
x1kmx1，x2∈(k1，k2)
只有一根在(k1，k2)内 或f(k1)·f(k2)<0
五、函数零点个数的判断及应用
1. 判断函数f(x)的零点个数的主要方法
(1)转化为解相应的方程，根据方程的解进行判断.
(2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数.
(3)利用函数零点存在定理进行判断，若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
2. 已知函数f(x)的零点个数求参数范围，通常要对已知条件进行变形，变形的方向：
(1)化为常见的基本初等函数；
(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数解析式尽可能简单.
六、用二分法求方程的近似解
1. 二分法求方程近似解的适用条件
(1)在初始区间内函数图象是连续不断的；
(2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号，即是变号零点.
2. 利用二分法求方程近似解的步骤
(1)构造函数，选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
(2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间，依次进行计算.
(3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(4)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.
4. 5. 3　函数模型的应用
一、常见的函数模型
常见 的函 数模 型 一次函数模型 y=kx+b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 y=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 y=mlogax+n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 y=axn+b(a，n，b为常数，a≠0)
二、利用函数模型解决实际问题的基本过程
三、利用函数模型解决实际问题
1. 利用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和要求的结论，理顺数量关系；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；
(3)求模——推理并求解函数模型；
(4)还原——用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.
2. 建立拟合函数模型解决实际问题
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘制散点图；
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.

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