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北师大版数学（2019）必修第二册常考知识点（全）
考点01：三角函数
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
轴上角：
轴上角：
3、第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
4、区分第一象限角、锐角以及小于的角
第一象限角：
锐角： 小于的角：
若为第二象限角，那么为第几象限角？
所以在第一、三象限
弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作.
7、角度与弧度的转化：
8、角度与弧度对应表：
角度
弧度
9、弧长与面积计算公式
弧长：；面积：，注意：这里的均为弧度制.
二、任意角的三角函数
1、正弦：；余弦；正切
其中为角终边上任意点坐标，.
2、三角函数值对应表：
度
弧度
无 无
3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）
第一象限： sin0,cos0,tan0,
第二象限： sin0,cos0,tan0,
第三象限： sin0,cos0,tan0,
第四象限： sin0,cos0,tan0,
4、同角三角函数基本关系式
(，，，三式之间可以互相表示)
5.诱导公式
口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性，把看作锐角)
；.
①.公式（一）：与
；；
②.公式（二）：与
；；
③.公式（三）：与
；；
④.公式（四）：与
；；
⑤.公式（五）：与
；；
⑥.公式（六）：与
；；
⑦.公式（七）：与
；；
⑧.公式（八）：与
；；
三角函数的图像与性质
1、将函数的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象。
2、函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：。
周期函数：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期.
4、⑴ 对称轴：令，得
对称中心：，得，；
⑵ 对称轴：令，得；
对称中心：，得，；
⑶周期公式:
①函数及的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).
②函数的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).
5、三角函数的图像与性质表格
(
函
数
性
质
)
图像
定义域
值域
最值 当时，； 当时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在 上是减函数． 在 上是增函数．
对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴
6. 五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。
7. 的的图像
8. 函数的变换：
（1）函数的平移变换
① 将图像沿轴向左（右）平移个单位
（左加右减）
② 将图像沿轴向上（下）平移个单位
（上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长）
② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）
考点02：平面向量
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
11．如图，，不共线，且，用，表示．
4．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.
7．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
8．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
9．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
10．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
11．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
12．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)
考点03：三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ，该法也叫合一变形).
二倍角公式
（2）
（3）
3. 降幂公式：
（2）
4. 升幂公式
（2）
（4）
5. 半角公式（符号的选择由所在的象限确定）
（1）， （2） ，
（3）
6. 万能公式（用的不多，了解一下）:
（1）, （2）,（3）
7，辅角公式
其中，比如：
8、积化和差公式
9、和差化积公式
10. 常见数据：，
, ,
考点04：解三角形
一．正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径）
2.变形：1）．
2）化边为角：；
3）化边为角：
4）化角为边：
5）化角为边：
二.三角形面积
1.
三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
2.变形：
注意整体代入，如：
利用余弦定理判断三角形形状：
设、、是的角、、的对边，则：
①若，，所以为锐角
②若
③若， 所以为钝角，则是钝角三角形
四．三角形中常见的结论
三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三边关系：
两边之和大于第三边：，，；
两边之差小于第三边：，，；
在同一个三角形中大边对大角：
4) 三角形内的诱导公式：
五．三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
考点05：复数
复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.
a为实部，b为虚部
2．复数集
复数的几何意义
对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。
(
复数
复平面
内的点
Z
（
a,b
）
平面向量
)
两个复数相等的定义：且（其中）特别地，.
复数的四则运算
设，
（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；
（3）乘法： ， 特别；
（4）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:
, ,
6 共轭复数
若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】
若z=a+bi，则的共轭复数记作；
为实数，为纯虚数(b≠0).
共轭复数的性质：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，则.
7 复数的摸
若向量表示复数，则称的模为复数的模，
考点06： 空间几何体知识点总结
一.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系，使=450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
直观图与原图形的面积关系：
二.空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积； ⑵圆锥侧面积：
⑶圆台侧面积：
球的表面积和体积 .
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 　
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
三、平面基本性质即三条公理
公理1 公理2 公理3
图形语言
文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α
相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A
平行——没有公共点 符号 a∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。 符号：
2．直线和平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行，则线线平行. 符号:
3．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直.
符号：
4.直线与平面垂直
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：
性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
符号：
推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
符号语言：a∥b, a⊥α， b⊥α
四．平面与平面的位置关系：
平行——没有公共点： 符号 α∥β
相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a
1．平面与平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行. 符号：
2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简记为：面面平行，则线线平行. 符号：
补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；
两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
3．平面与平面垂直的判定
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：
推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。
4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
简记为：面面垂直，则线面垂直.
证明线线平行的方法
①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性
⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行；
证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质
③利用勾股定理证明两相交直线垂直；
④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
五：三种成角
1.异面直线成角
步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解
注意：取值范围：（0。,90。].
2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。].
如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形
取值范围：（0。,180。）
六.点到平面的距离：定义法和等体积法

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