资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台专题十 对数与对数函数知识归纳一、对数式的运算（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．（2）常见对数：①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为；（3） 对数的性质和运算法则：①；；其中且； ②（其中且，）；③对数换底公式：； ④； ⑤；⑥，； ⑦和； ⑧；二、对数函数的定义及图像（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．对数函数的图象图象性质 定义域：值域：过定点，即时，在上增函数 在上是减函数当时，，当时， 当时，，当时，三、反函数的定义设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域．四、反函数的性质①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．方法技巧与总结如图给出4个对数函数的图象则，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．典例分析题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（1）.=_____________（2）________（3）=___________．【答案】（1） （2） （3）1（1）原式.原式=.（3）原式.例2．（1）求的值.（2）已知，，试用，表示【答案】（1）18；（2）.【详解】（1）原式（2）由得到，由，得到，即..例3．（1）已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：；（2）若60a＝3，60b＝5，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）2.【详解】（1）设，则.∴，∴，而，∴.（2）由题设知：，得，，∴，则.例4．若，，则（ ）A．a＋b＝100 B．b－a＝eC． D．【答案】D【详解】对于A，由，，得，，所以，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．例5．已知实数，满足，，，，，，则（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【详解】由，得，.由，，所以，所以，解得：，则，即，所以，，所以.例6．若，则__________.【答案】##【详解】由，两边取以为底的对数，得，即.由，令，则，所以，即.设，则，所以在上单调递增.由以及，则，又，所以.例7．若实数满足，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知：，，，，，，，即，在上单调递增，，；设，则，与在上单调递增，在上单调递增，，即.例8．已知函数，则关于的不等式的解集是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，由，即恒过且，所以上，上，而在上递增，且上，上，所以的解集为.例9．已知（其中）则关于x的不等式的解集是__________．【答案】【解析】，且，解得：，又，由，且，解得：，与取交集得：，由得：，即，因为在定义域内单调递增，所以，整理得：，因为，所以，解得：，综上：，即不等式解集为.例10．设函数（且）的图像经过点.（1）解关于x的方程；（2）不等式的解集是，试求实数a的值.【答案】（1）或；（2）.【详解】（1）由已知得，即，则，于是得，方程，从而得或，即或，或，所以原方程的根为或；（2）依题意，函数中，，从而得.又，令，即一元二次不等式的解集为，因此有-1，2是关于的方程的两根，则，所以实数a的值为2.题型二：对数函数的图像例11．已知函数的图象关于直线对称，则函数图象的大致形状为（ ）A．B．C． D．【答案】A【详解】因为的图象关于对称，所以，解得，则，所以的图象可由函数的图象沿轴翻折，再向右平移2个单位得到.故选：A.例12．函数的大致图像是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，所以，故排除C，D，当时，恒成立，排除A，故选：B．例13．（多选题）关于函数，下列描述正确的有（ ）A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点【答案】ABD【解析】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则函数的图象如图所示.由图可得函数在区间上单调递增，A正确；函数的图象关于直线对称，B正确；若，但，若，关于直线对称，则，C错误；函数有且仅有两个零点，D正确.故选：ABD.例14．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，因此，故A错误；，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；因为，即，且，所以，故C正确；因为，所以，即，故D错误.例15．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以，即，所以，又，所以所以，当且仅当，即时取等号.例16．（多选题）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）A．， B．在上是奇函数C．在上是单调递增函数 D．当时，【答案】BCD【详解】对于A，由图像可知，函数（且）在上单调递增，所以，因为经过，所以，所以，，故A错误.对于B，，定义域关于原点对称，，所以在上是奇函数，故B正确.对于C，对于，由题意不妨令，则，因为，，所以，即，所以在上是单调递增函数，故C正确.对于D，，因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当时，成立，故D正确.例17．已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】由题设，上，故值域为且单调递增；上，故值域为且单调递减；∴在上值域为且单调递减；在上值域为且单调递增；要使与轴有3个不同的交点，即与有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则与在上至少有2个交点，由，，则，此时，若与相切时，切点为，∴，可得，当过时，有，得，∴.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例18．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，而，且，所以.又，所以，故选：A.例19．已知，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由于，，取等条件应为，即，而，故，，取等条件为，即，而，故，所以.故选：A.例题20．已知函数，则函数的值域为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】．故的值域为．故选：B．例21．函数的一个单调增区间是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数的定义域为.要求函数的一个单调增区间，只需求的增区间，只需.所以.所以函数的一个单调增区间是.例22．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，综上：实数a的取值范围为，例23．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意且，所以，解得或，综上可得，令的根为、且，，，若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A例24．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，在上是增函数；即，是方程的两个根，设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；解得：，满足条件的范围是.例25．己知实数，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由可得，因为在上单调递增，且，，所以，即，其次，，所以，又因为且单调递增，所以由可知，综上，．例26．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．【答案】【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.故答案为：.题型四：对数函数中的恒成立问题例27．若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，由，可得，则，又由，此时不等式不成立，不合题意；当时，函数在上单调递减，此时函数在上单调递增，又由在上单调递增，要使得不等式在内恒成立，可得，解得.例28．已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，当时，函数显然不存在最大值；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，此时函数无最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，令，可得函数在上单调递增，所以，即，综上可得，即实数的取值范围是.故选：A.例29．已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.在上，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，所以，可得.例30．已知，.（1）当时，求函数的值域；（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，.【详解】（1）因为，，令，∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，∴函数的值域为.（2）由得，令，∵，∴，∴对一切的恒成立，①当时，若时，；当时，恒成立，即，函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时，于是；②当时，此时时，恒成立，即，∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，；③当时，此时时，恒成立，即，函数在单调递增，于是时取最小值，此时，于是.综上可得：当时，当时，当时，题型五：对数函数的综合问题例31．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，而函数在上单调递增，且当时，，因此，，方程，于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象如图，观察图象知，函数与的图象有3个公共点，所以方程的解的个数为3.故选：A例32．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）．A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，函数是周期为4的偶函数．根据，，画出内的图象如图所示．关于x的方程恰有3个不同的实数根，则在区间内函数与函数的图象有三个交点，则，解得．例33．（多选题）已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】BC【详解】∵，∴，，∴.设，∵，，在上先增后减，∴.∵，∴，，∴，∴.∵，∴设，∵，，在上先增后减，∴.∴.例34．（多选题）已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【详解】设，则在R上单调递增，因为，则，设，则，即，所以，设，，当，当，则在单调递减，在单调递增，，即，所以，即，故的取值可以是3和4.例35．已知是函数的零点，则_______．【答案】2【详解】根据题意可得，整理可得，可得当，即成立，又，代入可得.例36．对于，不等式（，且）恒成立，则a的取值范围是_________．【答案】【解析】因为，对恒成立，所以，，所以，所以，所以，令，则因为在上为增函数，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，即，所以，所以，所以a的取值范围是例37．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】先将不等式变形为，令，，由与互为反函数得只需要即可，即，然后用导数求出左边的最小值即可.显然，由，得，则令，，因为与互为反函数，所以只需要即可，即，令，则，所以可得在上单调递减，在上单调递增所以，即.例38．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，∵与 互为反函数，∴与的图象关于对称，∴ 与垂直，且交点为，则为、的中点，∴， 故A项正确；B项：∵∴ ，故B项正确；C项：由图知：，， ，故C项正确；D项：方法1：由排除法可知D项错误.方法2：设 ， ，∵当时， ，又∵ ，∴，∴ ①∵当时，，又∵，∴，∴ ②∴由①②知：∵当时，，由上式知，∴，∴，③∵当时，，由上式知，∴， ④∴由③④知：∴，故D项错误.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台专题十 对数与对数函数知识归纳一、对数式的运算（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．（2）常见对数：①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为；（3） 对数的性质和运算法则：①；；其中且； ②（其中且，）；③对数换底公式：； ④； ⑤；⑥，； ⑦和； ⑧；二、对数函数的定义及图像（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．对数函数的图象图象性质 定义域：值域：过定点，即时，在上增函数 在上是减函数当时，，当时， 当时，，当时，三、反函数的定义设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域．四、反函数的性质①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．方法技巧与总结如图给出4个对数函数的图象则，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．典例分析题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（1）=_____________（2）___________（3）=___________例2．（1）求的值.（2）已知，，试用，表示例3．（1）已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：；（2）若60a＝3，60b＝5，求的值．例4．若，，则（ ）A．a＋b＝100 B．b－a＝eC． D．例5．已知实数，满足，，，，，，则（ ）A．2 B．4 C．6 D．8例6．若，则__________.例7．若实数满足，则（ ）A． B． C． D．例8．已知函数，则关于的不等式的解集是（ ）A． B． C． D．例9．已知（其中）则关于x的不等式的解集是__________．例10．设函数（且）的图像经过点.（1）解关于x的方程；（2）不等式的解集是，试求实数a的值.题型二：对数函数的图像例11．已知函数的图象关于直线对称，则函数图象的大致形状为（ ）A．B．C． D．例12．函数的大致图像是（ ）A． B．C． D．例13．（多选题）关于函数，下列描述正确的有（ ）A．函数在区间上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．若，但，则D．函数有且仅有两个零点例14．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A． B．C． D．例15．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）A． B． C． D．例16．（多选题）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）A．，B．在上是奇函数C．在上是单调递增函数D．当时，例17．已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例18．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．例19．已知，，，则（ ）A． B． C． D．例题20．已知函数，则函数的值域为（ ）A． B． C． D．例21．函数的一个单调增区间是（ ）A． B． C． D．例22．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）A． B．C． D．例23．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．例24．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．例25．己知实数，且，则（ ）A． B． C． D．例26．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．题型四：对数函数中的恒成立问题例27．若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．例28．已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．例29．已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.例30．已知，.（1）当时，求函数的值域；（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.题型五：对数函数的综合问题例31．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0例32．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）．A． B． C． D．例33．（多选题）已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（ ）A． B． C． D．例34．（多选题）已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4例35．已知是函数的零点，则_______．例36．对于，不等式（，且）恒成立，则a的取值范围是_________．例37．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.例38．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题10 对数与对数函数（原卷版）.doc 专题10 对数与对数函数（解析版）.doc
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