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专题十一 函数的图像
知识归纳
一、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
二、对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
④(，且)的图象(，且)的图象.
三、伸缩变换
①.
②.
四、翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
典例分析
题型一、作图
例1-1．作出下列函数的图像：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)．(8)
【详解】
（2） （3）
（5） （6）
（7） （8）
题型二、函数的图像的变换
例2-1．（多选题）已知函数，则下列图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC【解析】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．
当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；
的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；
由于的值域为，故，
故的图象与的图象完全相同，故C正确；
很明显D中的图象不正确．
例2-2．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，
当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，
即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，
当时，，，故A正确，C错误.
例2-3．将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，
再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，
即，故.
例2-4．已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
题型三、由解析式选图（识图）
例3-1．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】令，
求导得
，
当时，由解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，当和时，取极大值；当时，取极小值，
由于，
可得，当时，结合图象，只有C选项满足．
例3-2．函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由题知，，，
是奇函数，故排除B；
，排除C；，，排除D，
例3-3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除B，D.
当时，则，可得，
所以，排除A.
例3-4．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为函数的定义域为,且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.
又,排除B.
例3-5．函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】由于函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，故图象关于轴对称，
且，故此时可排除AD,当时，，因此排除C
题型四、由图象选表达式
例4-1．已知函数，，则如图所示图象对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】因为定义域为，且，所以为奇函数，
又，所以定义域为，
且，
所以为偶函数，
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故A、B排除；
当时，则，故排除D.
例4-2．已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，由图象可得，
对于函数，
因为，
所以函数为偶函数，A错，
对于函数，，
所以函数为奇函数，又，与图象不符，故C错误，
对于函数，，
所以函数为奇函数，又，与图象不符，故D错误，
对于函数，因为，
所以函数为奇函数，且，与图象基本相符，B正确，
例4-3．某个函数的大致图像如图所示，则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】4个选项函数定义域均为R，
对于A, ，故为奇函数，且
对于B, 故为奇函数，，
对于C, ,故为偶函数，
对于D，故为奇函数，，
由图知为奇函数，故排除C；由，排除A,由，排除D,
例4-4．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】对于A，，，
即不是偶函数，不符合题意；
对于C, ，，不符合题意；
对于D，，，不符合题意；
对于B，，，
故为偶函数，结合函数的性质，可知B符合题意，
例4-5．已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象可知，函数f（x）的定义域为R.
A：，函数的定义域为，所以A不符题意；
B：，函数的定义域为，所以B不符题意；
C：当时，，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，所以是函数的极大值，
结合图形，不是极大值，故C不符题意；D：当时，，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，结合图形，D符合题意；
例4-6．已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，所以，即，
化为指数式，得，其图象是将函数 的图象向右平移1个单位长得到的，即为题中所给图象，所以选项A正确；
对于选项B，取，则由，得，与已知图象不符，所以选项B错误；由，得，其图象是将函数的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：
与题中所给的图象不符，所以选项C错误；
由，得，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，
显然与题中图象不符，所以选项D错误，
题型五、表达式含参数的图象问题
例5-1．函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】A
【解析】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以得：，故C错误；
由图象可知，故D错误；
因为定义域不连续，所以有两个根可得，
即异号，，即B错误，A正确.
例5-2．已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】法一：当时，
设，其中，则，另外，所以，故，解得：，又因为，所以，
故选：B.
法二：由，，从而，由于，所以，解得：，又从图象可以看出，即，从而，解得：，由于，故.
例5-3．已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由为偶函数得到为偶函数，从而得到，再由得到，从而得到解析式，通过求导找到极大值点，代入计算即可.因为为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
又，所以，由图象及，所以
解得，结合时，知
所以，因为和为偶函数，所以只需考虑
的情况，当时，，
当，即时，有极大值， 此时.
例5-4．函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知：，所以，当时，函数无意义，由图知：，所以.令，解得，由图知：，又因为，所以. 综上：，，.
例5-5．（多选题）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】当时，；
当时，定义域为R且为奇函数，
在上，在上递增，在上递减，A可能；
当时，定义域为且为奇函数，
在上且递增，在上且递增，B可能；
当时，且定义域为，此时为偶函数，
若时，在上(注意)，在上，则C不可能；
若时，在上，在上，则D可能；
例5-6．（多选题）函数（k为常数）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】显然有唯一零点，故D错误；
，，∴在上单减，上单增，
∴，且时，时，
故当时，，单增，选项A可能；
当时，存在两个零点，
在和上单增，上单减，选项B可能；
当时，存在唯一零点，在上单增，在上单减，选项C可能．
题型六、函数图象应用题
例6-1．（多选题）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；
对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；
对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；
对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.
例6-2．如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.小明沿走时，与点的直线距离保持不变，沿走时，随时间增加与点的距离越来越小，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.
例6-3．如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】当点在上时：
当点在上时：
当点在上时：
由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数
例6-4．如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是____.
【答案】①②
【详解】
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
EMBED Equation.DSMT4 ，
由图象可得，方程最多有个实数根
题型七、函数图像的综合应用
命题点1　研究函数的性质
例7-1．函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为______．
【答案】5【详解】因为，，解得：，，
所以是的一条对称轴，又因为，
所以关于对称，又因为，，
则与图象如图所示，则与在有5个交点，
设这5个交点从左到右的横坐标分别为，，，，，
则，，，所以.
例7-2．（多选题）已知定义在R上的奇函数满足．当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数的值域为
C．函数的图像关于直线对称 D．方程最少有两个解
【答案】ABC【解析】已知在R上为奇函数，，
由，令，则，所以有，函数的周期为2，所以，故选项A正确；因为且，所以，所以函数的对称轴为，又因为函数的周期为2，
所以，故为数的对称轴；故选项C正确；
当时，，此时易知当取值越大，值越大，为增函数，，已知在R上为奇函数，，，则根据奇函数对称性可得，当时，，此时，所以当时，的值域为，而函数的对称轴为，所以当时，的值域也为，又因为函数的周期为2，所以函数在每个周期内的值域为，综上，的值域也为，故选项B正确；方程有解等价于函数与函数有交点已知在R上为奇函数，画出函数图像如图，
图像可根据向上或下平移个单位，根据函数与函数的图像以及性质可知，函数与函数至多有3个交点，最少为1个交点，故选项D错误.
例7-3．（多选题）设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，的取值范围为
C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解
【答案】ABC
【解析】∵，∴，∴
当时，，∴函数在区间的图象如图：
∵是偶函数，∴，即
∴的图象关于直线对称，在区间的图象如图：
∵，∴将中的替换为，得
，即
∴的图象关于点对称，在区间的图象如图：
由函数图象的对称轴直线和对称中心进行多次对称变换，可得函数图象如图：
由函数图象可知，是周期为的周期函数，函数的对称轴为直线（Z），对称中心为点（Z），另外，函数的周期性还可以通过以下方法进行证明：
将中的替换为，得，即，由已知有，∴将中分别替换为和，得
，即和，即∴将中替换为，得，即，∴是周期为的周期函数.
对于A，，故A正确；对于B，当时，由图象可知其值域为，故B正确；对于C，由图象知，其图象的对称中心为点（Z），当时，点为图象的对称中心，因此将的图象向左平移个单位长度，所得函数为奇函数，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，再将轴下方的图象翻折至轴上方，得到函数的图象，易知的图象过点
如图，的图象与的图象有6个交点，所以方程有6个不同实数解，故D错误．
命题点2　函数图象在不等式中的应用
例7-4．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.当时，，，
故当时，对任意，不成立，当时，，
同理当时，，以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
例7-5．已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为函数的图象恒在轴下方，
所以对任意恒成立，
又时，可得对任意恒成立，
即恒成立，在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示：由图象知，只需，
解得，又，所以，
例7-6．已知函数，若关于的不等式恒成立，则非零实数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】作出函数的图象如图所示：且，
当时，当和时，不等式恒成立，所以不满足恒成立，
当时，不等式对于一定不成立；由排除法知选项A不正确；
当时，作出的图象，如图中虚线所示：
此时满足恒成立，所以实数的最小值为，
故选：B.
例7-7．定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为，所以关于点对称，所以；
又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期为4.当时，，所以，
所以时，.
当时，，所以.
作出函数在上的图象如下图
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以.
根据图象可得时，的解集为.
又因为的周期为4，所以在实数集上的解集为.
令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；
令，可得区间为，故B项错误；令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；令，可得区间为，故D项正确.
命题点3　求参数的取值范围
例7-8．已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是 ___________.
【答案】或【详解】对于函数，
当时，，显然在上单调递增；
当时，，显然在上单调递减；
当时，，函数，显然的图象开口向下，且与轴交于点，，作出与的图像如右，结合图像可知当点在点和点之间时，
与的图象有个交点，当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，的取值范围是：或.
例7-9．已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由题意知：，
则对任意的恒成立，
又有两解，则恒成立且有两解.
，当时，如图所示：
只需，解得，当时，如图所示：
只需且或者即可，解得，综上所述：.
例7-10．已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，．由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．
设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，
则最多有3个不同的实根，不符合题意．
当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，
则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有3个不同的实根，，，且，，．
有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有7个不同的实根，不符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，．
有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有5个不同的实根，符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，
有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是．
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专题十一 函数的图像
知识归纳
一、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
二、对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
④(，且)的图象(，且)的图象.
三、伸缩变换
①.
②.
四、翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
典例分析
题型一、作图
例1-1．作出下列函数的图像：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)．(8)
题型二、函数的图像的变换
例2-1．（多选题）已知函数，则下列图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2-2．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
B． C． D．
例2-3．将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．4
例2-4．已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A． B．
C． D．
题型三、由解析式选图（识图）
例3-1．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
例3-2．函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
例3-3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
例3-4．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
例3-5．函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
题型四、由图象选表达式
例4-1．已知函数，，则如图所示图象对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2．已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
例4-3．某个函数的大致图像如图所示，则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
例4-4．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
例4-5．已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
例4-6．已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（ ）
A． B．
C． D．
题型五、表达式含参数的图象问题
例5-1．函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
例5-2．已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）
A． B． C．2 D．
例5-3．已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
例5-4．函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例5-5．（多选题）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
例5-6．（多选题）函数（k为常数）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型六、函数图象应用题
例6-1．（多选题）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A． B．
C． D．
例6-2．如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例6-3．如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C． D．
例6-4．如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是____.
题型七、函数图像的综合应用
命题点1　研究函数的性质
例7-1．函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为______．
例7-2．（多选题）已知定义在R上的奇函数满足．当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数的值域为
C．函数的图像关于直线对称 D．方程最少有两个解
例7-3．（多选题）设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，的取值范围为
C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解
命题点2　函数图象在不等式中的应用
例7-4．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例7-5．已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例7-6．已知函数，若关于的不等式恒成立，则非零实数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例7-7．定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A． B． C． D．
命题点3　求参数的取值范围
例7-8．已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是 ___________.
例7-9．已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例7-10．已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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