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专题十二 函数与方程
知识归纳
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
1 确定区间，验证，给定精度.
2 求区间的中点.
3 计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
4 判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为(或)；否则重复第(2)—(4)步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
方法技巧与总结
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
典例分析
题型一、求函数的零点或零点所在区间
例1-1．定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或
例1-2．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
例1-3．设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
例1-4．函数的所有零点之和为__________．
例1-5．函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A． B．
C． D．
例1-6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
例1-7．若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
例1-8．已知是函数的零点，则_______．
题型二、利用函数的零点确定参数的取值范围
例2-1．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2-2．设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（ ）
A．或 B．
C．1 D．
例2-3．已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（ ）
A． B． C． D．
题型三、方程根的个数与函数零点的存在性问题
例3-1．函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
例3-2．已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
例3-3．对于给定的正整数()，定义在区间上的函数满足：当时，，且对任意的，都成立．若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于的方程的实数解的个数为____________．
例3-4．已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．
例3-5.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，函数有零点 B.若函数有零点，则
C.存在，函数有唯一的零点 D.若函数有唯一的零点，则
例3-6．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3-7．已知函数，若函数恰有4个零点，则k的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
例3-8.已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
例3-9．定义在R上的偶函数满足，当时，若在区间内，函数有个5零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3-10.已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．
例3-11对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取，都有；
（2）函数在上单调递增；
（3），对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
例3-12.已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数的取值范围是___________.
例3-13．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
例3-14．若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
题型四、嵌套函数的零点问题
例4-1．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．
例4-2．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A． B．或 C．或 D．或或
例4-3．已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
例4-4．已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
例4-5．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
例4-6．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
题型五、函数的对称问题
例5-1．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
例5-2．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例5-3．若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六、函数的零点问题之分段分析法模型
例6-1．若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例6-2．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6-3．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
题型七、唯一零点求值问题
例7-1．已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1 B． C． D．
例7-2．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
例7-3．已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
题型八、零点嵌套问题
例8-1．已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
例8-2．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为
A． B． C． D．
例8-3．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为 （ ）
A． B． C． D．1
例8-4．已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ）
A． B． C． D．
例8-5．已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例8-6．已知函数，其中，若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例8-7．已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
例8-8．已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
题型九、二分法
例9-1．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A． B． C． D．
例9-2．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例9-3．已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
例9-4．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
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专题十二 函数与方程
知识归纳
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
1 确定区间，验证，给定精度.
2 求区间的中点.
3 计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
4 判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为(或)；否则重复第(2)—(4)步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
方法技巧与总结
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
典例分析
题型一、求函数的零点或零点所在区间
例1-1．定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或
【答案】D
【解析】依题意，当时，方程为：，解得或，因此或，
当时，方程为：，解得，于是无解，
当时，方程为：，解得或，因此，
所以方程的解是或或.
例1-2．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，且，.
则由零点存在定理得所求零点在区间.
例1-3．设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
【答案】A
【解析】去绝对值可得.
时，，因此函数在单调递增；
时，.
（i）时，，因此在单调递增.
当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点；
当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误.
（ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增.
当时，.
（1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点.
（2）时，在区间没有零点.
当时，.
①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点.
②时，在区间没有零点.综上所述，本题正确答案是A.故选：A
例1-4．函数的所有零点之和为__________．
【答案】9
【详解】由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
例1-5．函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】解：因为，令，即，当时显然不成立，当时，作出和的图象，如图，
它们关于点对称，
由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．故选：C．
例1-6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A【详解】
由题意知，当时，，所以不是函数的零点，
当时，可得，，令，
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，除点外，函数图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即，
由函数零点的定义知，函数的所有零点之和为
.故选：A
例1-7．若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
【答案】
把给定的三个等式作等价变形，比较函数的图象与曲线交点的横坐标大【详解】依题意，，，，，
因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.
故答案为：
例1-8．已知是函数的零点，则_______．
【答案】2根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解.根据题意可得，
整理可得，可得当，即成立，
又，代入可得.故答案为：.
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型二、利用函数的零点确定参数的取值范围
例2-1．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.
∵和在上是增函数，∴在上是增函数，
∴只需即可，即，解得.故选：D.
例2-2．设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（ ）
A．或 B．
C．1 D．
【答案】D【详解】令，即或.
显然是的一个零点.下面讨论的根的情况：
（1）b=0时，.不符合题意.（2）b≠0时，
①若时，有或，此时没有实数根，符合题意；
②若时，有或，
若，的根为，所以有一个零点，符合题意；
若，的根为，所以有两个零点，不符合题意；
③若时，有或，此时有实数根，要使函数不可能有两个零点，只需不是的根，所以，即， 符合题意；故选：D
例2-3．已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D根据题意，令，所以，
令，，
则函数在上存在零点等价于与的图像有交点．
，
令，，则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，所以，
又时，，故，，所以.故选：D．
题型三、方程根的个数与函数零点的存在性问题
例3-1．函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象的交点个数为，
故函数的零点个数为.故选：C.
例3-2．已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
【答案】10函数是偶函数，①，
②，的图象关于对称，由①②得，，即，
∴函数f(x)的一个周期为4，画出函数和函数在区间，上的图象，
方程在区间，上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
由图象可知方程解的个数为10，故答案为：10．
例3-3．对于给定的正整数()，定义在区间上的函数满足：当时，，且对任意的，都成立．若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于的方程的实数解的个数为____________．
【答案】
【解析】由题意，画出在之间的图象，又对任意的，都成立，可理解为区间的图象由区间的图象往右平移一个单位，再往上平移一个单位所得，即可画出在上的图象.
故若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则与在区间上的图象相切，且易得的图象在与区间区间，…，上的公切线之间.故与在区间，…上均有2个交点，故关于的方程的实数解的个数为个
故答案为：
例3-4．已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．
【答案】【解析】∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，令，
即与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，
故，
所以．
故答案为：.
例3-5.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，函数有零点 B.若函数有零点，则
C.存在，函数有唯一的零点 D.若函数有唯一的零点，则
【答案】ACD．试题分析：令，得（时，显然有零点），在同一坐标系内画函数与的图像，可得当时，函数有唯一零点，故A正确；取，画函数与的图像，可得它们有交点，故B错误，C正确；当时，画函数与的图像，可得它们有一个交点，故当或时，函数有唯一零点，故D正确．
例3-6．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，令，
由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示：
即函数的最大值为，令，则，
由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上，当时，，则另一根，不满足题意，
当时，a＝0，则另一根，不满足题意，
当时，由二次函数的图像可知，
解得，则实数的取值范围是，故选：D.
例3-7．已知函数，若函数恰有4个零点，则k的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当，，则，
因为，，所以当时，单调递增，
若函数恰有4个零点,
则有四个根，即与有四个交点，
当时，与，图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当时，与轴相交与两点与图象如下：
当时，函数的函数值为，当时，函数的函数值为，
所以两图象有四个交点，符合题意，当时，与轴相交与两点与
图象如下：在内两图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需要与在内还有两个根，
因为，所以，
所以有在内还有两个根，
即在内还有两个根，
所以在在内还有两个根，因为（当且仅当时，取等号），
所以且，解得，综上所述，k的取值范围为.故选：D.
例3-8.已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确．故答案为：①②④．
例3-9．定义在R上的偶函数满足，当时，若在区间内，函数有个5零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，
函数为偶函数，且，
令，则，
所以函数是以4为周期的函数.
当时，，
所以，即当时，
因为函数在上有5个零点，
所以方程在上有5个根，
即函数图像与在上有5个不同的交点，如图，
由图可知，且，即，
解得，又当时，函数图像与在上有4个不同的交点，
不符合题意，故m的取值范围为.故选：D.
例3-10.已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．
【答案】或
解：函数，函数的图象关于对称，绘制函数图像如图所示，
函数有2个零点则函数与函数有2个交点，当斜率为零，即时，由图像可得有两个交点，则成立；
当斜率不为零，即时，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为，由题意可得：,解得
则直线与函数相切时斜率为，数形结合可知实数a的取值范围是．综上，答案为：或．
例3-11对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取，都有；
（2）函数在上单调递增；
（3），对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
【答案】（1）（4）（5）
【详解】
由题意，得的图象如图所示，
由图象 ，则任取，,都有
，故（1）正确；函数在上先增后减，故（2）错误；当时，
，即，故（3）错误；在同一坐标系中作出和的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数有3个零点，故（4）正确；
在同一坐标系中作出和的图象，由图象可知当且仅当 时，关于的方程有且只有两个不同的实根,，且,关于对称，即；故（5）正确；故填（1）、（4）、（5）.
例3-12.已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因为关于方程有且只有3个实数根，设，
得到函数与的图象有且只有3个交点.
当时，，所以；
当时，；
当时，，所以，
所以如图所示：
因为函数与的图象有且只有3个交点，所以或或.
故答案为：.
例3-13．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【详解】原式可化为令
，故函数f(x)在上是单调递增的，[-a,e-a].
，故函数g(x)在
函数的大致图像为：对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，即方程f(x)=g(x)有解，满足
故.
故答案为A.
例3-14．若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得，设，，
则，则有解，设，为增函数，，当时，递增，当时，递减，
所以当时函数取极小值，，即，
若有解，则，即，所以或，故选：B．
题型四、嵌套函数的零点问题
例4-1．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．
【答案】【解析】由题意，作出函数图象，如图所示：
令，根据图象可知，关于x的方程有6个不同的实数解，可转化为关于t的方程有2个不同的实数解，且必有一个解为0，另一个解大于0，所以．
则，解为，．
所以，即．
所以．故答案为：．
例4-2．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A． B．或 C．或 D．或或
【答案】A
【详解】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：
令，则方程必有两个根，且，不仿设 ，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.
例4-3．已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则有四个不同的解，因为，
所以为偶函数，且当时，为增函数，
所以当时，为减函数，
所以，即，
当时，，
则，
令，解得，
所以当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
又，
作出时的图象，如图所示：所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为，
作出图象，如下图所示：
此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意.综上实数m的取值范围为.故选：A
例4-4．已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
当，；当，，
所以在和单调递减，在单调递增，
且当时，，，
故的大致图象如图所示：关于的方程等价于，即或，
由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，故选:C.
例4-5．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则
当时，，单调递增
当时，，单调递减
如图所示：令，则有即
解得故即故选
例4-6．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C【详解】设，则关于的方程等价为，
作出的图象如图：由图象可知当时，方程有三个根，
当时方程有两个不同的实根，
∴若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，
则等价为有两个根，一个根，另外一个根，
不妨设，对应的两个根与，与分别关于对称，
则，则，且，
则，故选：C．
题型五、函数的对称问题
例5-1．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
直线关于直线的对称直线为，
则直线与的函数图像有个交点，
当时，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，作出与直线的函数图像，如图所示： 设直线与相切，切点为，
则 ，解得，设直线与相切，切点为，
则，解得，与的函数图像有个交点，
直线与在和上各有个交点， 故选：A
例5-2．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C【详解】
解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.可作出函数的图像关于原点对称的图像，看它与函数交点个数即可.如图所示：当x=1时，
观察图象可得：它们有2个交点.
故选：C.
例5-3．若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知函数恰有两个“姊妹点对”，
等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点，
所以方程，即在上有两个不同的解，
构造函数，则，
当时，，函数区间上单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以，解得，又由，所以函数在上有且仅有一个零点，令，则，
令，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以，所以，即，
又由，
所以函数在上有且仅有一个零点．综上可得：，即实数的取值范围是．
故选：A.
题型六、函数的零点问题之分段分析法模型
例6-1．若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
因为函数至少存在一个零点所以有解
即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得
当时，单调递增 当时，单调递减 所以
且当时 所以的取值范围为函数的值域，即故选：A
例6-2．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
依题意得，函数至少存在一个零点，且，
可构造函数和，因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；
可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：解得：.故选：D.
例6-3．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令,则，设，令， ，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．
点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数， 的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解．
题型七、唯一零点求值问题
例7-1．已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
令 则，
因为函数有唯一零点，
所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得，故选：D.
例7-2．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由已知条件可知
由函数奇偶性易知 令，为偶函数.当时，，单调递增，当时，单调递减，仅有一个极小值点
图象右移一个单位，所以仅在处有极小值，则函数只有一个零点，即，解得，
故选：A
例7-3．已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，则，，
则，所以，函数在上为增函数，
当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，，由于函数有唯一零点，
则，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，从而可得，解得.故选：C.
题型八、零点嵌套问题
例8-1．已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
解：令，则，
故当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
可得处取得最小值，
，，画出的图象，
由可化为，
故结合题意可知，有两个不同的根，
故，故或，
不妨设方程的两个根分别为，，
①若，，与相矛盾，故不成立；
②若，则方程的两个根，一正一负；不妨设，结合的性质可得，，，，故
又，，
．故选：A．
例8-2．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，
故，
若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.
例8-3．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【详解】令y=，则y′=，故当x∈（0，e）时，y′＞0，y=是增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＞0，y=是减函数；且=﹣∞，=，=0；
令=t，则可化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故结合题意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，
故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，
①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，与t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；
②若a＞1，则方程的两个根t1，t2一正一负；
不妨设t1＜0＜t2，结合y=的性质可得，=t1，=t2，=t2，
故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2
又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故选D．
例8-4．已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题绘制函数如图所示，
可知函数的图象关于直线对称，
又，可得且，
故结论①正确，当时，由解得，
即或，解得，，，，此时和均成立，故结论②正确，由图可知，
则由得，解得，即，
同理可得，由①有，，则，解得，则结论③正确.故选：D.
例8-5．已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
，当或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
极大值，极小值，
当时，，时，，
所以当时，有三个不同的实根，
设3个不同的实根为，则，．
，设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，又，，
所以的取值范围是，即为的取值范围．故选：A．
例8-6．已知函数，其中，若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由，可得，，可得，即，
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为方程有四个不同的实根，则，
解得，由已知可得、是方程的两根，则，
满足，可得，
满足，可得，
因此，，
当时，随着的增大而增大，则，
因此，.故选：B.
例8-7．已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】作出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的实根，，，，满足，则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，，
所以时的取值范围为.故选：A
例8-8．已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数f（x）的图象如下图所示：
当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1 x2＝1，x1+x22，
|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3） （4﹣x4）＝1，
且x1+x2+x3+x4＝8，
若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，
则k恒成立，
由[（x1+x2）﹣48]≤2
故k≥2，故实数k的最小值为2，故选C．
题型九、二分法
例9-1．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A． B． C． D．
【答案】C由题意可知：
，
，
又因为函数在上连续，所以函数在区间上有零点，约为故选：C.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
例9-2．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】根据题意，原来区间的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为，若，即.故选：B．
例9-3．已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【详解】在上单调递增.
设近似值为，由表格有，
所以故选：C
例9-4．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
【答案】【详解】
解：令，其在定义域上单调递增，
且，，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．
故答案为：．
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