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专题一 集合
知识归纳
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
方法技巧与总结
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
典例分析
题型一、集合的表示：列举法、描述法
例1-1、（2023·新疆·校联考二模）集合，为1~10以内的质数}，记，则（ ）
A． B．
C． D．
例1-2、（2021·内蒙古通辽新城第一中学模拟预测（理））已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
例1-3、（2023·广东茂名·高三统考阶段练习）设集合，，集合，则中所有元素之和为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
例1-4、（2023·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
例1-5、（2023·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
题型二、集合元素的三大特征
例2-1、（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
例2-2、（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
例2-3、（2023·全国·高三专题练习）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2-4、（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
题型三、元素与集合间的关系
例3-1、（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3-2、（2023·新疆·校联考二模）集合，，记，则（ ）
A． B． C． D．
例3-3、（2023·河北石家庄·统考一模）设全集，若集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
例3-4、（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3-5、（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
题型四、集合与集合之间的关系
例4-1、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）设集合，则 （ ）
A． B． C． D．
例4-2、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若非空集合满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
例4-3、（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知 均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例4-4、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
例4-5、（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.
例4-6、（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4-7、（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.
例4-8、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
题型五、集合的交、并、补运算
例5-1、（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
例5-2、（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
例5-3、（2023·江西吉安·统考一模）已知全集.设集合,则( )
A． B．或
C．或 D．
例5-4、（2023·河北张家口·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．C． D．
例5-5、（2023·贵州·校联考二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
例5-6、（2023·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________.
例5-7、（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.
某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例5-8、（2023·全国·高三专题练习）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
例5-9、（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例5-10、（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
例5-11、（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A． B． C．8 D．6
例5-12、（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合，，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六、集合与排列组合的密切结合
例6-1、（2022·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
例6-2、（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 _____.
例6-3、（2023·上海·高三专题练习）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.
例6-4、（2023·全国·高三专题练习）对任何有限集S，记p（S）为S的子集个数．设M＝{1，2，3，4}，则对所有满足A B M的有序集合对（A，B），p（A）p（B）的和为____
题型七、集合的创新定义
例7-1、（2023·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
例7-2、（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①A；②，则称为的一个“保均值真子集”，据此，集合的“保均值真子集”有__个．
例7-3、（2023·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①{非负整数}，为整数的加法；
②{偶数}，为整数的乘法：
③{平面向量}，为平面向量的加法；
④{二次三项式}，为多项式的加法；
⑤{虚数}，为复数的乘法
其中G关于运算为“融洽集”的是_____________．（写出所有“融洽集”的序号）
例7-4、（2022·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例7-5、（2023·全国·高三专题练习）设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，则下列集合中：
(1)；(2)；(3)；(4)．
以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）
例7-6、（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合是闭集合；
④若集合、为闭集合，则为闭集合．
例7-7、（2023·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
例7-8、（2022·全国·高三专题练习）已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：
①存在，使得为完美集；
②存在，使得为完美集；
③如果，那么一定不为完美集；
④使得A为完美集的所有的值之和为-2．
其中，所有正确结论的序号是______．
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专题一 集合
知识归纳
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
方法技巧与总结
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
典例分析
题型一、集合的表示：列举法、描述法
例1-1、（2023·新疆·校联考二模）集合，为1~10以内的质数}，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为为1~10以内的质数}，又，
则，对比选项可知，，即D正确，ABC错误.
例1-2、（2021·内蒙古通辽新城第一中学模拟预测（理））已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
所以集合中的元素个数为9，故其真子集的个数为个，故选:
例1-3、（2023·广东茂名·高三统考阶段练习）设集合，，集合，则中所有元素之和为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
所以，中所有元素之和为7.
例1-4、（2023·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【解析】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点 ，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
例1-5、（2023·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【答案】
【详解】由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.
题型二、集合元素的三大特征
例2-1、（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
故中元素的个数为.
例2-2、（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
当时，，得；当时，则.
故实数x的取值集合为.
例2-3、（2023·全国·高三专题练习）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】当时，y＝1；当时，y＝0；当x＝3时，．
故集合B共有3个元素．
例2-4、（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合，，
又∴或，解得或或，
当时，，，，符合题意
当时，，，，不符合题意
当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数的取值的集合为.
题型三、元素与集合间的关系
例3-1、（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以A、C错误，
因为，所以，所以B错误，
又，所以，所以D正确，
故选:D．
例3-2、（2023·新疆·校联考二模）集合，，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，解得，又，所以，
而，则，即，
对比选项可知，D正确，而A、B、C错误．
例3-3、（2023·河北石家庄·统考一模）设全集，若集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.
故选：C
例3-4、（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，且，解得，
例3-5、（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
易知图中阴影部分对应的集合为且，选项D正确，
题型四、集合与集合之间的关系
例4-1、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）设集合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】，
对A，由，等式不成立，故，A错；
对BCD，当为奇数时，可令，则；当为偶数时，可令，则.
故，且，BD对C错；
例4-2、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若非空集合满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
例4-3、（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知 均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】∵
∴，
若是的真子集，则，故A错误；
由可得，故B正确；
由可得，故C错误，D正确.
故选：BD.
例4-4、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
【解析】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
例4-5、（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.
【答案】
【解析】∵集合，∴集合，
∵，，∴，或，或三种情况，
当时，可得；
当时，∵，∴，∴；
当，，∴；
∴实数m的取值构成的集合为，
例4-6、（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为或，，
当时，此时，符合题意；
当时，若则，因为，
所以，解得，又，所以，
若则，因为，
所以，解得，又，所以，
综上可得，即实数的取值范围是.
例4-7、（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：分两种情况考虑：
①若B不为空集，可得：，解得：，
，且，
解得：，所以,
②若B为空集，符合题意，可得：，解得：.
综上，实数m的取值范围是.
例4-8、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意集合，，
因为，所以当时，，即 ；
当时，有 ，解得，
故,则M的一个真子集可以是或，
故选：BC.
题型五、集合的交、并、补运算
例5-1、（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
故选：D
例5-2、（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为，解不等式得，又因为.
对于A，由题意得，故A错误；
对于B，由上已证可知B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误；
故选:BC
例5-3、（2023·江西吉安·统考一模）已知全集.设集合,则( )
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】由不等式,解得,∴或;
由不等式,解得或,∴.
例5-4、（2023·河北张家口·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】，，即，，
所以，，，所以，.
例5-5、（2023·贵州·校联考二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图可得，图中阴影部分表示的集合为，
因为，所以，因为，所以或，
所以.
例5-6、（2023·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________.
【答案】
【详解】由题意得：，解得：.
例5-7、（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.
某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}，集合{参加游泳队的学生}，
则，
设三项都参加的有人，即，，
所以由
即，解得，
三项都参加的有4人，
例5-8、（2023·全国·高三专题练习）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由Venn图可得，集合表示的交集与的补集的交集，即.
故选：C
例5-9、（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，
当时，，即，符合题意；当，即时，，则有或，即
综上，实数的取值范围为.
故选：C.
例5-10、（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】集合，，
又∴或，解得或或，
当时，，，，符合题意
当时，，，，不符合题意
当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数的取值的集合为.
例5-11、（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A． B． C．8 D．6
【答案】C
【详解】由，可得或，
即或，而，
∵，∴，可得.
例5-12、（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合，，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，
因为，所以，所以，
故令函数，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
题型六、集合与排列组合的密切结合
例6-1、（2022·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】不妨设，则的值为，
显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设，
则显然，则集合S中至少有7个元素，
所以不可能，故排除A选项；
其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项；
对于集合T，取，则，此时，，故D项正确；
对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.
例6-2、（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 _____.
【答案】
【解析】表示集合所含元素的个数，
其中，，
整除的有共个.
整除的：
（1）整除的有个；
（2）整除的有个；
（3）整除的有个.
重复的有共个.
所以.
例6-3、（2023·上海·高三专题练习）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.
【答案】
【解析】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，
若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，
若集合中只含个偶数，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.
因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；
若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；
若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.
综上所述，满足条件的集合的个数为.
故答案为：.
例6-4、（2023·全国·高三专题练习）对任何有限集S，记p（S）为S的子集个数．设M＝{1，2，3，4}，则对所有满足A B M的有序集合对（A，B），p（A）p（B）的和为____
【答案】2401
【解析】当B为n（0≤n≤4）元集时，则p（B）＝2n，且B集合的个数为
又A B
则①A为n元集时，则p（A）＝2n且A的个数为
②A为n﹣1元集时，则p（A）＝2n﹣1且A的个数为
以此类推
③A为元集时，p（A）＝20且A的个数为
则p（A）p（B）＝2n（+…+）
＝
＝
当n依次取0，1，2，3，4时
p（A）p（B）的和为+…+＝2041
故答案为：2401．
题型七、集合的创新定义
例7-1、（2023·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
【答案】3
【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确，
（2）若数域有非零元素，则，
从而，故（2）正确；
（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，
（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3.
故答案为：3
例7-2、（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①A；②，则称为的一个“保均值真子集”，据此，集合的“保均值真子集”有__个．
【答案】
【解析】因为集合，则，
所以，集合的“保均值真子集”有：、、、、
，，共个.
故答案为：.
例7-3、（2023·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①{非负整数}，为整数的加法；
②{偶数}，为整数的乘法：
③{平面向量}，为平面向量的加法；
④{二次三项式}，为多项式的加法；
⑤{虚数}，为复数的乘法
其中G关于运算为“融洽集”的是_____________．（写出所有“融洽集”的序号）
【答案】①③
【解析】对于①，{非负整数}，为整数的加法；当，都为非负整数时，，通过加法运算还是非负整数，且存在一整数有，所以①为“融洽集”；
对于② ，{偶数}，为整数的乘法，由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1),但不存在偶数,使得一个偶数与的积仍是此偶数，故不满足条件（2),故不满足“融洽集”的定义；
对于③，{平面向量}，为平面向量的加法；若，为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，且存在零向量通过向量加法满足条件（2）；所以③为“融洽集”；
对于④，{二次三项式}，为多项式的加法；由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如与的和为 ,不满足条件（1),故不满足“融洽集”的定义；
对于⑤，{虚数}，为复数的乘法；两个虚数相乘得到的可能不是虚数，例如：，故不满足“融洽集”的定义；
故答案为：①③
例7-4、（2022·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
例7-5、（2023·全国·高三专题练习）设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，则下列集合中：
(1)；(2)；(3)；(4)．
以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）
【答案】(2)(4)【解析】对于(1)：当时，或，
显然或，
即不存在，使得，故(1)错误；
对于(2)：∵或，
此时令或，
故对任意，都存在，使得成立，故(2)正确；
对于(3)：因为，
所以当时，或，
此时或，
即不存在 ，使得，故(3)错误；
对于(4)：∵或，
故当时，即时，总有或，故(4)正确.
故答案为：(2)(4).
例7-6、（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合是闭集合；
④若集合、为闭集合，则为闭集合．
【答案】③
【解析】对于①，，，所以错误；
对于②，因为正整数减正整数可能不为正整数，所以错误，
对于③，当时，设，
则，所以集合是闭集合，所以正确；
对于④, 设，
由③可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，所以错误．
故答案为：③.
例7-7、（2023·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
【答案】①③④
【解析】对于①，，则，①正确；
对于②，，则，②不正确；
对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类，
则，③正确；
对于④，若整数、属于同一“类”，
则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，，
则，故，
若，不妨令，
则，
显然，于是得，，即整数属于同一“类”，
“整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确．
正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.
例7-8、（2022·全国·高三专题练习）已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：
①存在，使得为完美集；
②存在，使得为完美集；
③如果，那么一定不为完美集；
④使得A为完美集的所有的值之和为-2．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①②
【解析】
【分析】
由题意得，，即t的范围为或，或，且，当时，分，，三种情况讨论，根据完美集可求得t的值，当时，同理可得t的值，从而可的答案.
【详解】
解：由题意得，，即t的范围为或，或，且，
当时，
当，又，故，
则有，
可得，此时，，解得；
当，，故，
则，可得，
此时，，解得；
当，，故，
则有，可得，
此时，，解得（舍去），无解；
同理，当时，当，，当或，无解.
综上，所有正确结论的序号是①②.
故答案为：①②.
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