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新教材人教A版2019版数学必修第二册
第七章知识点清单
目录
第七章　复数
7. 1　复数的概念
7. 2 复数的四则运算
7. 3　复数的三角表示
第七章　复数
7. 1　复数的概念
7. 1. 1　数系的扩充和复数的概念
一、复数的相关概念及代数表示
1. 复数
(1)定义：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.
(2)表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2. 复数集：全体复数构成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做复数集.
二、两个复数相等的充要条件
1. 我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d(a，b，c，d∈R).
三、复数的分类
1. 复数z=a+bi(a，b∈R)的分类：复数
2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示
四、对复数概念的理解
1. 处理复数相关概念的问题时，首先要把复数化为z=a+bi(a，b∈R)的形式，确定复数的实部和虚部，再根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件构造关系式求解.
五、复数相等的充要条件的应用
1. 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：
(1)分别确定两个复数的实部与虚部；
(2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解.
7. 1. 2　复数的几何意义
一、复平面
1. 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
二、复数的几何意义
三、复数的模
1. 复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数
z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|. 即|z|=|a+bi|= .
四、共轭复数
1. 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=a-bi. 　　
2. 特别地，实数a的共轭复数仍为a.
五、复数几何意义的应用
1. 复数与复平面内点的关系的应用
(1)复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标.
(2)已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部满足的条件，列方程(组)或不等式(组)求解即可.
2. 复数与复平面内向量的关系的应用
　　解决此类问题时一般先写出向量或点的坐标，根据向量的坐标运算求出所求向量的坐标，从而得到向量所对应的复数.
六、复数模的计算
1. 复数模的计算一般有以下两种方法
(1)根据复数模的计算公式|a+bi|= (a，b∈R)可把复数模的问题转化为实数问题解决；
(2)根据复数模的几何意义，即复数z=a+bi(a，b∈R)的模就是复数z在复平面内对应
的点Z(a，b)到坐标原点的距离，可以把复数模的问题转化为距离问题解决.
2. 重要结论：复数z在复平面内对应的点为Z，r表示大于0的常数，则|z|=r表示点Z的轨迹是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
7. 2 复数的四则运算
7. 2. 1　复数的加、减运算及其几何意义
一、复数的加法与减法
1. 复数的加、减法法则
　　设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
2. 复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
二、复数加、减法的几何意义
1. 设复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为， (O为坐标原点)，则
复数加法的几何意义 以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1+z2所对应的向量为+=
复数减法的几何意义 z1-z2所对应的向量为-=
2. 复平面内两点间的距离公式
设复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)在复平面内对应的点分别为Z1(a，b)，Z2(c，d)，则|z1-z2|=|Z1Z2|，即|z1-z2|表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
三、复数代数形式的加、减运算
1. 复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项，即实部与虚部分别合并，计算过程中注意加法运算律的灵活应用.
四、复数加、减运算的几何意义
1. 利用复数加、减运算的几何意义解题的常用技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形有关的问题转化成复数的运算问题进行求解.
(2)数转化为形：对于一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中.
2. 利用复数的几何意义解题的常见结论
　　在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点(点O，A，B不共线).
(1)四边形OACB为平行四边形；
(2)若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形.
7. 2. 2　复数的乘、除运算
一、复数的乘法运算
1. 复数的乘法法则
（1）设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
（2）两个复数的积是一个确定的复数. 特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.
2. 复数乘法的运算律
　　对于任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1z2=z2z1；
②结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)；
③分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
二、复数的除法运算
1. 复数的除法法则：(a+bi)÷(c+di)= +i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0).
2. 两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
三、共轭复数的性质
1. 若记z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为，则=a-bi. 对于z与有如下性质：
(1)z·=|z|2=||2；
(2)如果z=，则z， 为实数；
(3)共轭复数的和为实数，即z+=2a；
(4) =+；
(5) = .
四、复数代数形式的乘、除运算
1. 复数代数形式的乘法运算可按照多项式乘多项式的方法进行，注意在计算过程中把i2换成-1，然后实部与虚部分别合并，最后化简为复数的代数形式.
常用结论：(a±bi)2=a2-b2±2abi(a，b∈R)；(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R)；(1±i)2=±2i；=1.
2. 在进行复数代数形式的除法运算时通常先将除法写成分式形式，然后将分子、分母同乘分母的共轭复数，即分母“实数化”，最后整理化简为复数的代数形式.
常用结论： =-i； =i； =-i.
五、in(n∈N)的周期性及其应用
虚数单位i的乘方具有周期性，最小正周期为4，有以下结论
(1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N)，其中i0=1，i-n= (n∈N).
(2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
六、复数范围内实系数一元二次方程根的问题
1. 复数范围内实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
(1)当Δ≥0时，x=；
(2)当Δ<0时，x=.
2. 如果实系数一元二次方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对”出现.
3. 根与系数的关系在复数范围内仍然成立.
7. 3　复数的三角表示
一、复数的三角表示式
1. 一般地，任何一个复数z=a+bi(a，b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式. 其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的
角，叫做复数z=a+bi的辐角. r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式. 为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
2. 规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值. 通常记作arg z，即0≤arg z<2π.
二、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1. 复数乘、除运算的三角表示
（1）设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，
则z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
（2） == [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0)，即两个复数相除，商的模
等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2. 复数乘、除运算的几何意义
(1)复数乘法的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，如图1，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量， 表示的复数就是积z1z2.
图1 图2
(2)复数除法的几何意义
两个复数z1，z2相除时，如图2，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的，得到向量表示的复数就是.
三、复数的代数形式与三角形式的转化
1. 复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)的代数形式转化为三角形式的两个关键
(1)确定复数的模：利用公式r=；
(2)确定辐角：①先利用cos θ=求出cos θ，再由复数在复平面内对应点的坐标(a，b)
确定辐角θ的终边所在象限，进而求出辐角θ；②先利用sin θ=或tan θ=求出sin θ
或tan θ，再由复数在复平面内对应点的坐标(a，b)确定辐角θ的终边所在象限，进而
求出辐角θ.
2. 复数的三角形式转化为代数形式
　　求出三角形式中的三角函数值，并使之与模相乘并化简即可.
四、三角形式下的复数的乘、除运算
1. 复数乘除运算的三角形式的两个注意点
(1)转化：将两个复数均转化为复数的三角形式的标准形式；
(2)运算特点：乘法法则的特点为“模数相乘，辐角相加”；乘方法则的特点为“模
数乘方，辐角n倍”；除法法则的特点为“模数相除，辐角相减”.

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