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数学七年级升八年级暑假预习专题训练
专题七 角平分线性质
【专题导航】
目录
【考点一 角的平分线的性质】......................................1
【考点二 尺规作图】.............................................14
【考点三 角平分线性质的综合应用】................................20
【聚焦考点1】
1.角平分线的作法
a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；
b.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；
c.画射线OP,OP即为所求角平分线。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【典例剖析1】
【典例1-1】如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若BC＝3，，△BCD的面积．
（1）判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；
（2）求对角线AC的长．
【典例1-2】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的长．
【典例1-3】如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB＝106°，∠ABC的平分线BE与外角∠CAF的平分线AD交于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H．
（1）求∠AEB的度数．
（2）若∠CEH＝∠AEB，AB+BD＝16，AC＝6，且S△ACE＝12，求△ABD的面积．
针对训练1
【变式1-1】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【变式1-2】如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
【变式1-3】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【能力提升1】 角平分线的性质
【提升1-1】如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）2＝0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；
（3）在x轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【提升1-2】如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
【提升1-3】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 　平行　，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 　垂直　，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 　垂直　．
【聚焦考点2】
尺规作图
1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形
4.作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
二、尺规作图的方法
尺规作图的关键
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．
【典例剖析2】
【典例2-1】如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　
A． B． C． D．
【典例2-2】如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是　　
A． B．
C． D．
针对训练2
【变式2-1】观察下列尺规作图的痕迹：
其中，能够说明的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【变式2-2】如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点H．若，P为上一动点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．无法确定
【能力提升2】
【提升2-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．
【提升2-2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AB为水平边，D为AB边上一点．
（1）只用圆规在B的正上方作一点E，使BE=AD（说明作法，不需要证明）；
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AC=，AD=3，求DE的长度．
【聚焦考点3】
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
三角形的内心
三角形三条角平分线的交点。
【典例剖析3】
【典例3-1】如图，在的两边上分别取点，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．
【典例3-2】在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
针对训练3
【变式3-1】如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，试求△DFC的周长．
【能力提升3】
【提升3-1】如图所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，∠BDC＝40°．
（1）求证：点D也在∠CAF的角平分线上；
（2）求∠CAD的度数．
【提升3-2】如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
（1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？
（2）在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．
数学七年级升八年级暑假预习专题训练
专题七 角平分线性质（解析版）
【专题导航】
目录
【考点一 角的平分线的性质】......................................1
【考点二 尺规作图】.............................................14
【考点三 角平分线性质的综合应用】................................20
【聚焦考点1】
1.角平分线的作法
a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；
b.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；
c.画射线OP,OP即为所求角平分线。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【典例剖析1】
【典例1-1】如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若BC＝3，，△BCD的面积．
（1）判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；
（2）求对角线AC的长．
【分析】（1）过D作DM⊥BC于M，结合等边对等角，角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，推出AD∥BC，根据已知线段长度和图形面积可进一步推出BC＝CD＝3，得到AB∥CD，可得四边形ABCD为平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质得到，AC⊥BD，利用勾股定理求出OC，可得AC．
【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形，理由是：
过D作DM⊥BC于M，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，
∴AD∥BC，
∵△BCD的面积为，BC＝3，
∴，
在△BDM中，∠M＝90°，
∵，，
∴，
∵BC＝3，
∴CM＝1，
∴，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴，AC⊥BD，
∵BC＝3，
∴，
∴．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，解题的关键是正确判断出四边形ABCD为菱形．
【典例1-2】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的长．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，列方程计算即可得解．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵，
∴
即，
解得：DE＝6，
∴DE＝6cm．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．
【典例1-3】如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB＝106°，∠ABC的平分线BE与外角∠CAF的平分线AD交于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H．
（1）求∠AEB的度数．
（2）若∠CEH＝∠AEB，AB+BD＝16，AC＝6，且S△ACE＝12，求△ABD的面积．
【分析】（1）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，得出AE是∠CAF的角平分线，根据三角形的外角的性质可得∠FAE＝∠FBE+∠AEB，，进而得出，即可求解；
（2）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，由（1）可知：EM＝EH＝EN，根据AC＝6，且S△ACE＝12，得出EM＝EH＝EN＝4，根据S△ABD＝S△ABE+S△BDE即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，
∵CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，
∴EN＝EH，EH＝EN，
∴EM＝EN，
∴AE是∠CAF的角平分线，
∴∠EAM＝∠EAN，
∴，
∵∠FAE＝∠FBE+∠AEB，∠CAF＝∠ABC+∠ACB，
∴，即，
∴．
（2）解：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，
由（1）可知：EM＝EH＝EN，
∵AC＝6，且S△ACE＝12，则，
∴EN＝4，
∴EN＝4，
∴EM＝EH＝4，
∴S△ABD＝S△ABE+S△BDE
＝
＝
＝
＝
＝32．
【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
针对训练1
【变式1-1】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【分析】（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE＝EF，再求出CE＝EF，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
（2）利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF，
又∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝AF，DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FD＝AD．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【变式1-2】如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．
【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1．
【点评】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出∠PDE＝30°是解此题的关键．
【变式1-3】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【能力提升1】 角平分线的性质
【提升1-1】如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）2＝0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；
（3）在x轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点C的坐标，接下来，再求得点B的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）过E作EF∥AC，首先依据平行线的性质可知∠ODB＝∠6，∠CAB＝∠5，接下来，依据平行公理的推理可得到BD∥AC∥EF，然后，依据平行线的性质可得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，然后，依据角平分线的性质可得到∠3＝∠CAB，∠4＝∠ODB，最后，依据∠AED＝∠1+∠2＝∠3+∠4求解即可；
（3）分两种情况，当点P在x轴正半轴时和点P在x轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴a+2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣2，b＝2，
∵CB⊥AB，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），
∴△ABC的面积为：×2×4＝4．
（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB＝∠5，∠ODB＝∠6，∠CAB+∠ODB＝∠5+∠6＝90°，
过E作EF∥AC，如图所示：
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，
∴∠3＝∠CAB＝∠1，∠4＝∠ODB＝∠2，
∴∠AED＝∠1+∠2＝（∠CAB+∠ODB）＝45°．
（3）当点P在x轴正半轴时，
由题意可得点P与点B重合时，三角形ACP和三角形ABC的面积相等，
则P点坐标为（2，0）；
当点P在x轴负半轴时，
由题意可得，以BC为三角形ACP的高，当AP＝AB时三角形ACP以AP为底，BC为高，
则此时三角形ACP和三角形ABC的面积相等，
∵AB＝2﹣（﹣2）＝4，
∴点P的横坐标为﹣2﹣4＝﹣6，
∴点P为（﹣6，0），
综上所述，在x轴上存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等，P点的坐标为（﹣6，0）或（2，0）．
【点评】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式进行求解是解决本题的关键．
【提升1-2】如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
【分析】（1）过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得PC＝PD＝PE，再利用角平分线性质定理的逆定理，即可解答；
（2）根据△PMN的面积是16，可求出PD＝4，从而可得PD＝PC＝PE＝4，然后再利用四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝△POM的面积+△PON的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC＝PD，
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∴PC＝PE，
∴OP平分∠AOB；
（2）∵△PMN的面积是16，MN＝8，
∴MN PD＝16，
∴×8 PD＝16，
∴PD＝4，
∴PD＝PC＝PE＝4，
∵△OMN的面积是24，
∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40，
∴△POM的面积+△PON的面积＝40，
∴OM PC+ON PE＝40，
∴OM 4+ON 4＝40，
∴OM+ON＝20，
∴线段OM与ON的长度之和为20．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【提升1-3】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 　平行　，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 　垂直　，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 　垂直　．
【分析】（1）根据角平分线的性质及平行线的判定；
（2）根据三角形的内角和定理及垂直的判定；
（3）根据三角形的内角和定理及垂直的判定．
【解答】
解：BD∥MF，理由如下：
（1）过点D作DH⊥BC，
∵∠A＝∠BHD＝90°，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴∠ADB＝∠HDB，
∵ME⊥BC，
∴∠EMC＝∠HDC，
∴∠AMF＝∠ADH，
∴∠AMF＝∠ADB，
∴FM∥BD；
（2）BD⊥MF，理由如下：
延长MF交BD于点H，
∵∠BAM＝∠BEM＝90°，∠AOM＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠CME，
∴∠AMF＝∠ABD．
∵∠AFM＝∠BFM，
∴∠BHM＝∠MAB＝90°，
∴MF⊥BD．
（3）如图：MF⊥BD．
证明方法同理（2）.
【点评】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的内角和、平行线的判定及垂直的判定，是一道综合题．
【聚焦考点2】
尺规作图
1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形
4.作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
二、尺规作图的方法
尺规作图的关键
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．
【典例剖析2】
【典例2-1】如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　
A． B． C． D．
【分析】如图，由作图可知，，．根据证明．
【解答】解：如图，由作图可知，，．
在和中，
，
，
故选：．
【点评】尺规作图的依据是边边边公理。
【典例2-2】如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是　　
A． B．
C． D．
【分析】．由作法知，可判断；．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断；．由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断．
【解答】解：．由作法知，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，
不能推出和是等腰三角形，故选项符合题意；
由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
．，，
，
由作法知是的平分线，
，
，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
故选．
【点评】熟练掌握基本作图是解决问题的关键。
针对训练2
【变式2-1】观察下列尺规作图的痕迹：
其中，能够说明的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【分析】
根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可．
【详解】
解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC, 由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；
如图②为作∠ABC的角平分线，无法判定;
如图③为以AC为半径画弧交AB于D，即;
如图③为作∠ACB的平分线，无法判定;
综上，①③正确．
故选C．
【点评】熟练掌握基本作图是解决问题的关键。
【变式2-2】如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点H．若，P为上一动点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据作图过程可得BH平分∠ABC，当HP⊥BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．
【详解】
解：根据作图过程可知：BH平分∠ABC，
当HP⊥BC时，HP最小，
∴HP＝HA＝2．
故选：B．
【点评】熟练掌握基本作图是解决问题的关键。
【能力提升2】
【提升2-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．
【解答】（1）解：如图，
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，
即AD⊥EF．
【点评】熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。
【提升2-2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AB为水平边，D为AB边上一点．
（1）只用圆规在B的正上方作一点E，使BE=AD（说明作法，不需要证明）；
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AC=，AD=3，求DE的长度．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）以CB为边在CB右侧作，即可得到答案；
（2）利用（1）的全等，证明，即可得解；
【详解】
（1）以C为圆心，CD长为半径作圆，再以B为圆心，AD长为半径画弧，两弧的交点即为所求；
（2）如图，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
结合（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点评】本题考查了利用基本作图作一个三角形与已知三角形全等，勾股定理求线段长度。熟练掌握基本作图是解题关键。
【聚焦考点3】
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
三角形的内心
三角形三条角平分线的交点。
【典例剖析3】
【典例3-1】如图，在的两边上分别取点，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可求证；
（2）通过的面积等于可求出（1）中，，的长度，根据与的面积和等于四边形的面积，即可将线段与建立联系，由与的面积关系即可求出答案．
【详解】（1）证明：如图所示，过作，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴平分．
（2）解：如图所示，过作，连接，
∵，
∴，由（1）可知，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查角平分线的性质与面积的综合应用，理解角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的面积与线段的关系是解题的关键．
【典例3-2】在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，
【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3），
如图3，过点作，，垂足分别为、，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等．
针对训练3
【变式3-1】如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，试求△DFC的周长．
【分析】根据角平分线的性质可证∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE＝DF，即可解题．
【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠C，
∴BD＝CD，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∴△DFC的周长＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12．
【点评】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE＝DF是解题的关键．
【能力提升3】
【提升3-1】如图所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，∠BDC＝40°．
（1）求证：点D也在∠CAF的角平分线上；
（2）求∠CAD的度数．
【分析】（1）根据角平分线的性质，由点D分别向BE，BF，AC作垂线DG，DM，DN，利用角平分线的性质得DG＝DM＝DN，由角平分线的判定定理得AD平分∠FAC．
（2）根据三角形外角性质，即可得到∠BAC的度数，再根据AD平分∠FAC，即可得到∠CAD的度数．
【解答】解：（1）如图所示，过D作DG⊥BE于G，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，
∴DM＝DG，DN＝DG，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∴点D在∠CAF的角平分线上；
（2）∵∠DCE是△BCD的外角，∠ACE是△ABC的外角，
∴∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC，∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC，
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，
∴∠DCE＝∠ACE，∠DBC＝∠ABC，
∴∠BDC＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BDC＝80°，
∴∠CAF＝100°，
又∵AD平分∠FAC，
∴∠CAD＝∠CAF＝50°．
【点评】本题主要考查了角平分线的判定和性质，作出适当的辅助线是解答此题的关键．
【提升3-2】如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
（1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？
（2）在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）PF、PG与PH，3条线段相等，理由为：因为AD为∠BAC的平分线，PF垂直于AC，PH垂直于AB，根据角平分线定理得到PF＝PH，同理BE为∠ABC的平分线，PG垂直于BC，PH垂直于AB，得到PG＝PH，等量代换即可得证；
（2）PE＝PD，理由为：过P作PF垂直于AC，PG垂直于BC，由∠PDG为△ADC的一个外角，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，得到∠PDG＝∠C+∠CAD，又∠CAB＝30°，AD为∠CAB的平分线得到∠CAD＝∠CAB，求出∠PDG的度数，同理∠PEF是△ABE的一个外角，即可求出∠PEF的度数，发现两角相等，再由垂直得到一对直角相等，由第一问得到PF＝PG，根据“AAS”即可得到三角形PEF与三角形PDG全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
【解答】解：（1）PF＝PH＝PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF＝PH，
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG＝PH，
∴PF＝PH＝PG；
（2）PE＝PD．
证明：∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝15°，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝45°，
过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，
则∠PFE＝∠PGD＝90°，
∵∠PDG为△ADC的一个外角，
∴∠PDG＝∠C+∠CAD＝60°+∠CAB＝60°+15°＝75°，
∵∠PEF是△ABE的一个外角，
∴∠PEF＝∠CAB+∠ABE＝30°+∠CBA＝30°+45°＝75°，
∴∠PEF＝∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE＝∠PGD＝90°，
由第一问得：PF＝PG，
∴△PFE≌△PGD，
∴PE＝PD．
【点评】此题综合考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质．遇到角平分线常常经过角平分线上的点作角两边的垂线，得到两垂线段的长相等，此道题的两问都是先实验猜想，再探索证明，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类题是近几年中考试题的热点试题．
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