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第二章 特殊三角形
一、学习目标
1．了解轴对称图形和图形的轴对称的概念，掌握轴对称图形和图形的轴对称的性质．
2．了解等腰三角形（含等边三角形）的概念，掌握等腰三角形（含等边三角形）的性质和判定．
3．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和判定．
4．掌握两个直角三角形全等的判定定理（HL）．
5．学会综合运用等腰三角形和直角三角形的知识解决一些简单的实际问题．
二、学习重点、难点
重点：
1．等腰三角形的性质和判定．
2．直角三角形的性质和判定．
3．两个直角三角形全等的判定定理（HL）．
难点：运用分类讨论、方程等思想方法，解决与特殊三角形相关的综合问题．
三、知识整理及学法指导
1．知识点1：图形的轴对称
（1）轴对称图形：
如果把一个图形沿着一条直线 ，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做___ ___．
（2）轴对称图形的性质：
轴对称图形的对称轴 连结两个对称点的线段．
（3）图形的轴对称：
一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够 ，这样的图形改变叫做图形的 ，这条直线叫做 ．
成轴对称的两个图形是 图形．
2．知识点2：等腰三角形
（1）等腰三角形的性质：
①等腰三角形是 图形，它的对称轴是 ；
②等腰三角形的两个底角 （也可以说成“在同一个三角形中，等边对等角”）；
③等腰三角形的顶角平分线、 和 互相重合．
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“在同一个三角形中，等角对等边”)．
(3)等边三角形性质：
①等边三角形的每个内角都 都等于 ；
②等边三角形是 图形，它有 条对称轴．
（4）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是 度的 三角形是等边三角形．
特别提醒：等边三角形具备等腰三角形的所有性质．
3．知识点3：直角三角形
（1）勾股定理及其逆定理：
勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足 ．
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形．
（2）直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
①直角三角形两锐角 ．
②直角三角形斜边上的中线等于 ．
（3）直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
①有一个角是 的三角形是直角三角形．
②有两个角 的三角形是直角三角形．
（4）直角三角形全等的判定定理（HL）： 和 对应相等的两个直角三角形全等．
4．自我检测：
（1）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
（2）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
（3）直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是（ ）
A．5 B．6 C． 6.5 D．13
（4）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ）
A．18° B．24° C．30 D．36°
第（4）题 第（5）题
（5）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，则DC的长度是（ ）
A． B． C． D．
四、重点难点（易错点）突破
（一）等腰三角形
1．问题呈现
如图是一张等腰三角形的纸片，BC是底边上的高线，根据图形你能得到哪些结论？
在下面横线上写出你得到的结论：
_________________________________________________
_________________________________________________
（1）这张纸片，被撕去了一部分，恰巧从顶点A撕开，剩下部分如图1所示，你能把这个等腰三角形补全吗？
（图1） （图2）
（2）这张纸片，被撕去了一部分，恰巧从顶点C撕开，剩下部分如图2所示，你还能把这个等腰三角形补全吗？
2．经典例题
例1 等腰三角形的两条边长是4和5，则它的周长是_________．
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则它的顶角为_________．
例3 已知，等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的底角为_________．
例4 已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，则它的三边长分别为________________．
3．变式运用
（1）等腰三角形有两边长分别为2cm、5cm，则其周长为_________cm．
（2）等腰三角形的一个内角是150°，则它的顶角为_________．
（3）等腰三角形的一个外角为140°，则等腰三角形的顶角为_________．
（4）等腰三角形的一个外角为40°，则等腰三角形的顶角为_________．
（5）已知等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm，则它的腰长为______________．
4．挑战自我
（1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．6 B．7 C．8 D．9
（2）在△ABC中，∠B=30°，∠A=100°，点E在△ABC的三边上运动，当△AEC是等腰三角形时，其顶角为_________．
（3）如图，坐标平面内有一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为(　 　)
A．2 B．3 C．4 D．5
（二）直角三角形
1．问题呈现
在台风的袭击中，一棵高10米的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处。这棵树折断处离地面有多高？
2．经典例题
例5 如图，在ΔABC 中∠C=90°
(1)∠A =40°，则∠B= ______
(2)CD是斜边AB的中线，且AB=12，则CD=______
(3)若BC=7，∠A=30°则AB=______
(4)若BC=1，AC=3，则AB的长为______
例6 已知，如图在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：OB=OC.
例7 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
(2)若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
例8 一梯子长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？
3．变式运用
（1） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（2）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A．3，4，6 B．7，24，25 C． 6，8，10 D．9，12，15
（3）如果一直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的中线长为_________．
（4）如图，已知∠B=90°，∠E=90°，AC=DF，FB=EC ．求证：AB=DE．
（5）如图，在长方形ABCD中，CD＝6，AD＝8。将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。求EF的长．
4．挑战自我
（1）如图，在四个均由16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
（2）已知△ABC中，AB=13cm，AC=20cm ,第三边BC边上的高AD=12cm，则BC的长为__ cm．
(3)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
五、章节综合
1．综合例题
如图，已知△ABC中，∠B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其
中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，
且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 21世纪教育网版权所有
2．能力训练
(1)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
①求DE的长；②求△ADB的面积．21世纪教育网版权所有
（2）如图，等腰△ABC的周长为32，底边上的高AD为8，求这个三角形的面积.
（3）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=10，BC=6，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1个单位，设出发的时间为t秒．【来源：21·世纪·教育·网】
①出发2秒后，求△ABP的周长．
②问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
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六、课后作业
（一）选择题（4题，每题5分）
1．满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是（ ）
A、 B、∠C=∠A+∠B
C、∠A：∠B：∠C=3：4：5 D、a:b:c=8:15:17
2．在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）
A、100° B、75° C、150° D、75°或100°
3．等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
4．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（ ）
(A)2cm (B)4cm (C)6cm (D)8cm
（二）填空题（4题，每题6分）
5．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，则∠B=　　度，∠C=　　度．
6．上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°，从海岛B到灯塔C的距离是　 　．
7．△ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是　 　
8．如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有　 　个，写出其中一个点P的坐标是　 　【来
（三）解答题（4题，每题14分）
9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。
10．如图，在正方形网格中，请按要求画以线段AB为边的网格三角形．（网格三角形是指各顶点在格点上的三角形）
画出一个面积为3的网格三角形 ；(2)画出一个两条边相等的网格三角形．
11．如图，长方形中∥,边,.将此长方形沿折叠，
使点与点重合，点落在点处．
（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求的面积．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=16，BC=12，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.21cnjy.com
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；(请直接写出答案）
（2）当t= 时，△CBD是直角三角形；(请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由.
A
B
C
B
第（1）题
第（2）题
第（3）题
A
D
B
C
（例5图 ）
（例6图 ）
A
P
Q
C
B
（例7图 ）
A
A′
BA
B′
OA
（例8图 ）
第（1）题
第（4）题
第（5）题
A
B
C
D
第（3）题
B
C
Q
P
A
第（1）题
8
B
D
C
A
第（2）题
第（3）题
P
16cm
cm
（第4题）
甲杯
（第5题）
（第6题）
（第7题）
（第9题）
（第10题）
（第11题）
（第12题）
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