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揭阳市2022—2023学年度高中二年级教学质量测试
数 学
本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．的展开式中的系数为（ ）
A．200 B．210 C．220 D．240
4．已知椭圆C：，若矩形的四个顶点都在C上，则称C为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形ABCD的x轴外接椭圆的短轴长为，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知变量x，y的一组相关数据如下表：
x 1 2 3 4 5
y 2.1 a 1.5a 9 10.9
若x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则实数（ ）
A．4.9 B．5 C．5.1 D．5.2
6．已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．6 B．7 C． D．
7．已知圆锥SA的轴截面是边长为的等边三角形，顶点S和底面圆周上的所有点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（ ）
A． B． C．4 D．8
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线l：，圆C：，则下列说法错误的是（ ）
A．若或，则直线l与圆C相切
B．若，则圆C关于直线l对称
C．若圆E：与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则
D．若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为或
11．某商场同时销售编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯，一年中销售这三家公司该产品的数量之比为3∶4∶2．为更好地做好今后的销售工作，该商场对这一年中购买紫外线消毒灯的顾客进行了电话调查，统计得到购买编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯的顾客满意度分别为93%，90%，90%．现从这些顾客中随机抽取一名顾客进行详细回访，记“顾客购买编号为i的公司生产的紫外线消毒灯”，B=“顾客对紫外线消毒灯满意”，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在R上的函数的导函数为，，，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知命题p：对，，若p为真命题，则实数a的最小值是______．
14．曲线在点处的切线方程为______．
15．为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有______种．（用数字作答）
16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C的左支上，，，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
飞盘起源于上世纪50年代，是一项融合了足球、篮球、美式橄榄球等多个项目的运动．某大学生俱乐部为了了解该市大学生对飞盘运动的喜爱程度，在该市所有高等院校中进行问卷调查，并从中随机抽取了200份，整理得到如下列联表：
性别 飞盘运动
喜欢 不喜欢
男生 70 50
女生 35 45
（1）分别求出该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢飞盘运动与性别有关联？
附：．
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
18．（12分）
已知数列的各项均为正数，，给出以下三个条件：
①；②为等比数列；③．
（1）从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；
（2）求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）
为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：
（1）若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为X元，求X的分布列；；
（2）已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，，，，，，．
（1）证明：平面平面PBD；
（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
21．（12分）
已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若，函数，证明：的极小值恒大于．
22．（12分）
已知抛物线C：的焦点为，点M在直线上运动，直线，经过点M，且与C分别相切于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）试问直线AB是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．2022一2023学年度高中二年级教学质量测试
答案及评分标准（参考）数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1
2
3
4
5
6
8
C
A
B
D
A
B
C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9
10
11
12
AC
AD
ABD
AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.3
14.5.x-y-4=0
15.9
16.√3
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
707
17.解：(1)由样本知男大学生中喜欢飞盘运动的频率为70十502'女大学生中喜欢飞
357
盘运动的频率为35十45=16
由样本频率估计总体概率得男大学生中喜欢飞盘运动的概率为
2，女大学生中喜欢
飞盘运动的概率为6
(2分)
所以估计该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率分别为2'6
77
(4分)
(2)零假设为H。：喜欢飞盘运动与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
X=200X(70×45-50X35)2700
120×80×105×95171
4.094>3.841=x0.05,
(8分)
根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为喜欢飞盘运动与
性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，
(10分)
18.(1)证明：若将①②作为条件，③作为结论：
设数列{an}的公比为g,由am+2=4an,得q2=4.
(1分)
因为数列{am}的各项均为正数，所以q>0,解得q=2.
(3分)
又a1=1,所以an=2"-1,am+2=2"+1,
所以amam+2=2"-1·2+1=4.
(6分)
高二·数学答案及评分标准（参考）第1页
若将①③作为条件，②作为结论：
联立：=a:得4u:=4”,所以a=4
(3分)
(aam+2=4”,
又数列{a.}的各项均为正数，所以an=2”-1,
(4分)
所以当”≥2时，。二-2.所以为等比数列
(6分)
若将②③作为条件，①作为结论：
设数列{a.}的公比为g,因为a1=1,所以an=qg”-1,am+2=q”+1,
(2分)
则anan+2=g”-1·q"+1=q2知=4”=22
又数列{a.》的各项均为正数，所以q>0,所以q=2,
(4分)
所以at=g2=4,即an+2=4an
(6分)
(2)解：由(1)得am=2"-1,所以am·log2an=(n一1)·2”-1，
(7分)
所以S.=0X2°+1×21+2×22+…+(n一1)×2m-1,
2Sm=0X21+1X22+2X28+…+(n-1)X2",
两式相减得-S.=21+2+2+…+21-(m-1)·2=2-2
2-(m-1)·2"=(2
n)·2”-2,
所以S.=(n一2)·2"十2.
(12分)
19.解：(1)由题图可知产量为190千克的概率为0.02×20=0.4，产量为210千克的概率
为0.03×20=0.6，
售价是2.5元.千克的概率为0.2×2=0.4，售价是2.7元千克的概率为0.2×3=0.6，
(3分)
X的所有可能取值为475,513,525,567，
所以P(X=475)=0.4×0.4=0.16,P(X=513)=0.4×0.6=0.24,
P(X=525)=0.6×0.4=0.24,P(X=567)=0.6×0.6=0.36,
(6分)
则X的分布列为
X
475
513
525
567
0.16
0.24
0.24
0.36
(7分)
(2)由(1)可得预计明年A品种黄豆收人的均值
E(X)=475×0.16+513×0.24+525×0.24+567×0.36=529.24.
(10分)
因为529.24>520，
(11分)
所以预测后年能大面积推广种植A品种黄豆.
(12分)
20.(1)证明：如图，设AC交BD于点O,由已知及勾股定理得AC=4√3，BD=4.
因为AD∥BC,所以AO=D0AD1
"OC OB BC 3'
所以A0=AC=月，OB=BD=3,
所以AO2+OB2=12=AB2,所以AC⊥BD
(3分)
又PC=√51，所以PA2+AC=PC2,所以PA⊥AC.
又PA⊥AD,AC∩AD=A,AC,ADC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.
高二·数学答案及评分标准（参考）第2页

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