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专题2.2 有理数的减法
模块1：学习目标
1．掌握有理数的减法法则,会将有理数的减法运算转化为加法运算；
2．会进行有理数的加减混合运算；
3．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算.
模块2：知识梳理
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，
例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
3. 有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果.
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便.
4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式
可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”,或读作“负2加3加负5加4”.
模块3：核心考点与典例
考点1、有理数的减法运算
例1．（2022秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期中）下面算式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的减法法则逐项计算即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B. ，原式正确；
C. ，原式错误；
D. ，原式错误；故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式1．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期末）计算的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数可得答案．
【详解】解：；故选D．
【点睛】本题考查的是有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解本题的关键．
变式2．（2022·浙江初一课时练习）计算下列各题：
(1)． (2)． (3)．
【答案】（1）；（2）7；（3）．
【分析】（1）先去括号，再计算有理数的减法即可得；（2）先化简绝对值，再计算有理数的减法即可得；
（3）先将带分数化为假分数、去括号，再计算有理数的加法即可得；
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
【点睛】本题考查了有理数的加法与减法运算，熟记运算法则是解题关键．
考点2、有理数减法中的符号问题
例2．（2022·贵州初一月考）下列结论错误的是（　　）
A．若a＞0，b＜0，则a-b＞0 B．a＜b，b＞0，则a-b＜0
C．若a＜0，b＜0，则a-（-b）＜0 D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a-b＞0
【答案】D
【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项进行分析判断即可求解．
【解析】A、若a＞0，b＜0，则a-b=a+（-b）＞0正确，故本选项不符合题意；
B、若a＜b，b＞0，则a-b＜0正确，故本选项不符合题意；
C、若a＜0，b＜0，则a-（-b）=a+b＜0正确，故本选项不符合题意；
D、若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a-b= a+（-b）＜0，原选项错误符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的减法，要注意字母表示数的抽象性，熟记运算法则是解题的关键．
变式2. （2022·玉山县七年级月考）有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
①②③④
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】A
【分析】先根据数轴上点的位置，判断的符号及绝对值的大小，再对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：由数轴上点的位置得：，，且，
则①，符合题意；②，不符合题意；③，符合题意；
④，不符合题意．故选：A
【点睛】本题考查了数轴及绝对值的性质，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解本题的关键．
考点3、改写省略括号的和
例3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）把写成省略括号的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用有理数的减法法则将加减法统一成加法后省略括号即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，利用有理数的减法法则将加减法统一成加法是解题的关键．
变式3．（2022秋·广西南宁·七年级校考期中）将中的减法改成加法，并写成省略加号和括号的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把减法统一到加法上后，省略加号即可．
【详解】解：∵，
∴省略加号和括号后的形式为，故选D．
【点睛】本题考查了有理数减法的运算，正确理解减法运算法则是解题的关键．
考点4、有理数减法的实际应用
例4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）某海滨浴场某日气温变化情况如图所示，该浴场气温在以上时才允许游泳，请根据图象分析该浴场在这一天开放的时间为（ ）
A．5小时 B．8小时 C．12小时 D．10小时
【答案】D
【分析】根据图象得出相关信息即可解答．
【详解】解∶由图象可知∶10时到20时的温度在以上，
∴该浴场在这一天开放的时间为（小时）．故选：D．
【点睛】本题考查了从图象获取信息，有理数的减法的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
变式4．（2023·浙江台州·统考一模）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（ ）．
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】根据题意逐一分析四个选项是否满足题意即可．
【详解】A选项：故选项A错误，不符合题意；
B选项：故选项B错误，不符合题意；
C选项：故选项C正确，符合题意；
D选项：故选项D错误，不符合题意，故选C．
【点睛】本题考查了有理数加减运算的实际应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
变式5. （2022·内蒙古呼和浩特市·九年级二模）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）
微信转账
扫二维码付款
微信红包
便民菜站
A．收入88元 B．支出100元 C．收入100元 D．支出188元
【答案】B
【分析】收入记作“+”，支出记作“-”，收入与支出之和就是结余钱数，然后根据计算得出结果．
【详解】解：-60.00-105.00+88.00-23.00=-188.00+88.00=-100.00（元）．
答：妈妈微信零钱最终的收支情况是支出100元．故选：B．
【点睛】本题考查了正负数的表示方法以及有理数的加减运算．正确理解正数与负数的相反意义是解题的关键．
考点5、 有理数的加减混合运算
例5．（2022·天津大学附属中学七年级月考）计算．
（1）． （2）．
（3）． （4）．
【答案】（1）；（2）16；（3）1；（4）17
【分析】（1）根据有理数加减法法则可解答；（2）根据有理数加减法法则可解答；
（3）根据有理数加减法法则可解答；（4）根据有理数加减法法则可解答.
【详解】（1）
=-15+7+3
=-5
（2）
=-13-7-20+40+16
=16
（3）
=2-1
=1
（4）
=1.9+3.6+10.1+1.4
=17
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法.
变式5. （2022·陕西省初一月考）计算：
（1） （2）．
（3）． （4）．
【答案】（1）-1；（2）；（3）；（4）1.
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）先利用符号法则对式子进行化简，把同分母的数进行加减，再对所得结果加减即可；
（3）先利用符号法则对式子进行化简，把同分母的数进行加减，再对所得结果加减即可；
（4）原式利用减法法则变形，再根据有理数的加减法法则进行计算即可；；
【解析】（1）原式====;
（2）原式=====；
（3）原式====；
（4）原式=11-35+41-16=52-51=1.
【点睛】此题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点6、有理数加减混合运算中的简便计算
例6．（2022·湖北宜昌七年级模拟）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋. (4)
【答案】（1）；（2）-9942；（3）;(4)
【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；
【解析】(1) －＋－；
(2) －8 721＋53－1 279＋4＝(－8 721－1 279)＋ ＝－10 000＋58＝－9 942；
(3) －＋
(4) 原式=
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
变式6.（2022.广东七年级期中）计算结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题可将相加相减的项分成两大项，然后再进行计算即可求得结果．
解：分子上1﹣2+3﹣4+…﹣14+15=1+3+5+…15﹣（2+4+…14）=64﹣56=8，
分母上﹣2+4﹣6+8﹣…+28﹣30=4+8+12+…+28﹣（2+6+10+14+18+…+30）=﹣16，
所以原式＝.故选：D．
点睛：本题主要考查有理数加减混合运算.利用加法交换律、结合律化简运算是解题的关键.
考点7、有理数加减混合运算的应用
例7．（2022·辽宁锦州·七年级期中）某地饮用水被污染，居民饮水困难．某校师生积极行动起来，各班捐助水的瓶数以100瓶为标准，超过的记为“＋”，不足记为“－”．其中七年级的6个班学生的捐助情况如表所示：
班 级 （1） （2） （3） （4） （5） （6）
超过（不足）
统计员小李统计时不小心将墨水滴到了其中（5）班的数据上．他只记得该校七年级学生共捐助616瓶饮用水，根据以上信息，你用学过的知识还能帮助小李将被覆盖的数据复原出来？如果能，请写出解答过程．不能，请说明理由．
【答案】能，8，见解析
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：（瓶），
（瓶）；
答：七（5）班超过标准瓶数8瓶．
【点睛】本题主要考查有理数加减乘除的应用，熟练掌握有理数的加减乘除运算是解题的关键．
变式7. （2022·吉林白城市·七年级期末）一辆校车从学校出发负责送学生回家，向东走了3千米到达李家屯，继续走了7千米到达张家庄，又向西走了16千米到达赵家村，最后回到学校． （1）以学校为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示2千米，请你在数轴上标出李家屯．张家庄．赵家村的位置；（2）校车一共行驶的路程是多少千米？若每千米按1.5元计算燃油费，求校车这次出行的燃油费．
【答案】（1）图见解析；（2）32千米，48元
【分析】（1）根据向东为正向西为负，和距离标出各个位置．（2）从数轴上标出的数据用加法即可求出行驶路程，用走的总路程乘以每千米燃油费即可求出这次出行的燃油费．
【详解】（1）如图
（2）3＋7＋16＋6＝32（千米） 1.5×32＝48（元）
【点睛】本题是考查有理数混合运算的应用题，要掌握能够将应用问题转化为有理数的混合运算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·陕西九年级期末）西安气候属暖温带半湿润大陆性季风气候．四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷少雨雪，春秋时有连阴雨天气出现．2021年1月14日天气晴朗，9时气温1℃，14时气温达到最高15℃，夜晚气温到最低℃，这天的温差是（ ）
A．17℃ B．13℃ C．14℃ D．15℃
【答案】A
【分析】温差=当天最高气温-最低气温即可求出．
【详解】解：温差=当天最高气温-最低气温=15℃-（-2℃）=17℃．故选择：A．
【点睛】本题考查温差问题。掌握温差求解方法，抓住温差=当天最高气温-最低气温是解题关键．
2．（2022秋·山东七年级期中）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数减法法则计算即可．
【详解】，故选A．
【点睛】本题考查了有理数减法法则，熟练掌握法则是解题的关键．
3．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的加减法的法则计算即可．
【详解】解：，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的法则是解题的关键．
4．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可得，结合绝对值的定义和有理数的运算法则即可求解．
【详解】解：由图可知：，；
A、，故A错误；B、，故B错误；
C、∵，∴，故C正确；D、，故D错误故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小和有理数的运算法则，解题的关键是掌握在数轴上左边的数小于右边的数；两数相乘（除），同号得正，异号得负；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相加．
5．（2023·河北邢台·校考一模）如图，数轴上点表示的数为，经过点折叠这条数轴，使数轴在点两侧的部分完全重合，若点右侧的点与数轴上表示的点重合，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用表示的点和点到点的距离相等即可求解．
【详解】解：，．所表示的数为．故选：．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是熟练掌握表示两点之间距离的方法．
6．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）在数1，2，3，4，5，6，7，8请添加“＋”，“－”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是0，算式可以列为：．若在数1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次运算，使所得结果可能的最小非负数是0，则数n不可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2024
【答案】B
【分析】分是4的倍数，余数为0，1，2，3四种情况求出最小的非负数即可作出判断．
【详解】解：由题意知，，，
当是4的倍数时，结果可能的最小非负数为0；
当除以4余1时，第一个数为1，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为1；
当除以4余2时，前两个数为1，2，，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为1；
当除以4余3时，前两个数为1，2，3，，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为0．、2024均能被4整除、2023除以4余数为3，2021除4余数为1，
数不可能是2021，故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2023·云南临沧·统考一模）某水库4月份的最高水位超过标准水位，记为，最低水位低于标准水位，记为，则4月份该水库的水位差是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用最高水位减去最低水位，即可求解．
【详解】解：水位差，即4月份该水库的水位差是．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的减法的实际应用，解题的关键是掌握：减去一个数等于加上它的相反数．
8．（2022·海南海口·七年级校考期中）在算式中，括号里应填（ ）
A．2 B． C． D．10
【答案】A
【分析】由原式可得，用被减数减去差即可．
【详解】解：由可得，
因此括号中的数，故选A．
【点睛】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（2022 渭滨区模拟）研究表明“距离地面越高，温度越低”，相关数据如表所示：
距离地面的高度h/km 0 1 2 3 4 5
温度t/℃ 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10
根据上表，请预测距离地面6km的高空温度是（　　）℃．
A．﹣14 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣17
【思路点拨】察表格发现：距离地面的高度每升高1千米，温度就下降6℃．距离地面5千米的时候温度为﹣10℃，再降低6℃即可得出答案．
【答案】解：观察表格发现：距离地面的高度每升高1千米，温度就下降6℃，
∴距离地面6千米的高空温度为：﹣10﹣6＝﹣16（℃），故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的减法，解题的关键是通过表格发现温度随距离地面的高度变化的规律．
10.（2022 长汀县七年级期中）下列结论不正确的是（　　）
A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0 B．若a＜0，b＞0，则a﹣b＜0
C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＞0 D．若a＜0，b＜0，且|b|＞|a|，则a﹣b＞0
【分析】根据各项中a与b的正负，利用有理数的减法法则判断即可得到结果．
【解答】解：A、若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0，正确；B、若a＜0，b＞0，则a﹣b＜0，正确；
C、若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＝a+b＜0，不正确；
D、若a＜0，b＜0，且|b|＞|a|，则a﹣b＞0，正确，故选：C．
【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022 南岸区七年级期末）某中学七年级学生的平均体重是44kg，下表给出了6名学生的体重情况，最重和最轻的同学体重相差　 　kg．
姓名 小润 小华 小颖 小丽 小惠 小胜
体重/kg 47 41
体重与平均体重的差值/kg +3 0 ﹣2 +4
【分析】先求解小润，小惠体重与平均体重的差值，再求解最大差值与最小差值的差，即可求得最重和最轻的同学体重相差数量．
【解答】解：小润体重与平均体重的差值为：47﹣44＝+3（kg），小惠体重与平均体重的差值为：41﹣44＝﹣3（kg），+4﹣（﹣3）＝4+3＝7（kg），
答：最重和最轻的同学体重相差7kg，故答案为7．
【点评】本题主要考查正数与负数，求解每个同学体重与平均体重的差值是解题的关键．
12．（2022·四川成都·七年级期末）请阅读北京冬奥会推广曲《一起向未来》的一小段乐谱，乐谱中的数字表示每小节音符的时间值，请根据乐谱中的信息确定最后一个音符的时间值应为 _____．
【答案】##0.125
【分析】观察图形不难发现，音符数字的和为，然后列式计算即可得解．
【详解】解：依题意得：＝＝，故答案为：．
【点睛】本题是有理数减法的应用，正确列出算式是解题的关键．
13．（2022·北京西城区·七年级期中）在计算：“”时，甲同学的做法如下：
①
②
=7 ③
在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是______（写出错误所在行的序号），这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，_____________________________．
【答案】①； 取相同的符号，并把绝对值相加
【分析】减去两个有理数，相当于加上这两个数的相反数的和．
【详解】解：故①步错．
故答案为：①，取相同的符号，并把绝对值相加．
【点睛】本题考查有理数加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．（2022·泰州市姜堰区七年级月考）计算：__________．
【答案】
【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题关键．
15．（2022秋·广东江门·七年级统考期末）已知，，且，则的值是___．
【答案】或
【分析】根据绝对值的性质求出，再根据得出对应的情况，然后相减即可得到答案．
【详解】解：，，
，，或，，
或，
综上所述，的值为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键．
16．（2022 兴化市月考）规定：符号（a，b）表示a，b中较小的一个，符号[a，b]表示a，b中较大的一个．计算：（﹣2，﹣6）﹣[﹣4，﹣7]＝ 　．
【思路点拨】首先根据符号（a，b）、[a，b]表示的含义，分别求出（﹣2，﹣6）、[﹣4，﹣7]的值各是多少；然后根据有理数减法的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【答案】解：根据题意，得：
（﹣2，﹣6）﹣[﹣4，﹣7]＝﹣6﹣（﹣4）＝﹣6+4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查了有理数的减法，理清符号（a，b）、[a，b]表示的含义是解答本题的关键．
17．（2022 丰台区期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为　 　．
【思路点拨】根据新定义可列等式，结合绝对值的性质计算可求解m值．
【答案】解：由题意得|m﹣1|+|3﹣1|＝5，即|m﹣1|＝3，
∴m﹣1＝3或m﹣1＝﹣3，解得m＝4或﹣2，故答案为4或﹣2．
【点睛】本题主要考查绝对值，有理数的减法，属于新定义题型，根据新定义列算式是解题的关键．
18．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，，8这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____________．
【答案】或
【分析】首先根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算，然后代入求解即可．
【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
，
∵横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，
则，解得：，
，解得：，
，解得，：
当时，则，
当时，则，
综上所述，的值是或，故答案为：或．
【点睛】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握运算法则，注意化简符号和利用运算律．
20．（2022·贵州黔南·七年级统考期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：．
解：原式
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
【答案】
【分析】利用题目提供的方法计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键．
21．（2022秋·七年级单元测试）市客运管理部门对“十一”国庆假期天客流变化量进行了不完全统计，数据如下用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数
日期 日 日 日 日 日 日 日
变化万人
与月日相比，月日的客流量是上升了还是下降了，变化了多少
【答案】与月日相比，月日的客流量是上升了．上升了万人
【分析】将表格数据相加即可得出结果．
【详解】解：月日的客流量与月日相比：万人，
答：与月日相比，月日的客流量是上升了．上升了万人．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．
22．（2022秋·四川内江·七年级校考阶段练习）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站、下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
停靠站 起点站 中间第1站 中间第2站 中间第3站 中间第4站 中间第5站 中间第6站 终点站
上下车人数 0 0
(1)中间第4站上车人数是________人，下车人数是________人；
(2)中间的6个站中，第_____站没有人上车，第______站没有人下车；
(3)中间第2站开车时车上人数是_____人，第5站停车时车上人数是_____人；
【答案】(1)1，7；(2)6，3；(3)24，22．
【分析】（1）直接根据表格得出答案；
（2）直接根据表格得出答案；
（3）根据有理数的加减列式求解即可；
【详解】（1）解：根据题意，得：中间第4站上车1人、下车7人；
故答案为：1，7；
（2）解：中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车；
故答案为：6，3；
（3）解：中间第2站开车时车上人数是：（人），第5站停车时车上人数是：（人）；
故答案为：24，22．
【点睛】此题考查了有理数加减法的实际应用，进一步认识负数的意义，理解正负数的意义是解题的关键．
23．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）在以lcm为单位长度的数轴上，有理数a，b，c，d分别对应点A，B，C，D．将刻度尺的外沿与这段数轴重合，四个点按如图所示对应数轴直尺上的整数刻度（单位：cm）
(1)若，则______，并求的和；
(2)当，则数轴的原点对应直尺上的刻度为______；现在数轴上只移动点D，若满足，试说明点D的移动方式．
【答案】(1)1，
(2)，点D的移动方式为向左移动
【分析】（1）根据题意可知数轴的原点在直尺的处，然后问题可求解；
（2）根据题意可知数轴的原点在直尺的处，然后可知，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由可知数轴的原点在直尺的处，则有，，
∴；
（2）解：由可知数轴的原点在直尺的处，
∴，
∵，
∴，
∴点D的移动方式为向左移动．
【点睛】本题主要考查数轴上的有理数的表示、有理数的运算及相反数，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键．
24．（2022秋·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．
(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求，的值，并将空格补充完整．
【答案】(1)见解析；
(2)，，空格补充见解析．
【分析】（1）根据三个数的和为，依次列式计算即可求解；
（2）先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到、的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
如图1所示：
（2）解：，
．
如图2所示：
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键．
25．（2022·贵州六盘水·七年级阶段练习）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（注：至少写出4个满足条件的m的值）
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
【答案】（1）-，+，+，-或+，-，-，+；（2）或，或；（3）这n个整数互不相同，在这个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义即可求解；
（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的方程，解方程即可；
（3）根据“运算平衡”数组的定义可以得到n个数的规律．
【详解】解：（1）∵，
∴数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组，
故答案为：-，+，+，-或+，-，-，+；
（2）∵数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，
∴；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16种情况，
解得：或，或；
（3）由题意得可知这n个整数互不相同，在这个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，解题的关键在于能够准确读懂题意进行求解．
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专题2.2 有理数的减法
模块1：学习目标
1．掌握有理数的减法法则,会将有理数的减法运算转化为加法运算；
2．会进行有理数的加减混合运算；
3．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算.
模块2：知识梳理
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，
例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
3. 有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果.
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便.
4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式
可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”,或读作“负2加3加负5加4”.
模块3：核心考点与典例
考点1、有理数的减法运算
例1．（2022秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期中）下面算式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期末）计算的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
变式2．（2022·浙江初一课时练习）计算下列各题：
(1)． (2)． (3)．
考点2、有理数减法中的符号问题
例2．（2022·贵州初一月考）下列结论错误的是（　　）
A．若a＞0，b＜0，则a-b＞0 B．a＜b，b＞0，则a-b＜0
C．若a＜0，b＜0，则a-（-b）＜0 D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a-b＞0
变式2. （2022·玉山县七年级月考）有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
①②③④
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
考点3、改写省略括号的和
例3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）把写成省略括号的和是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022秋·广西南宁·七年级校考期中）将中的减法改成加法，并写成省略加号和括号的形式是（ ）
A． B． C． D．
考点4、有理数减法的实际应用
例4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）某海滨浴场某日气温变化情况如图所示，该浴场气温在以上时才允许游泳，请根据图象分析该浴场在这一天开放的时间为（ ）
A．5小时 B．8小时 C．12小时 D．10小时
变式4．（2023·浙江台州·统考一模）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（ ）．
A．元 B．元 C．元 D．元
变式5. （2022·内蒙古呼和浩特市·九年级二模）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）
微信转账
扫二维码付款
微信红包
便民菜站
A．收入88元 B．支出100元 C．收入100元 D．支出188元
考点5、 有理数的加减混合运算
例5．（2022·天津大学附属中学七年级月考）计算．
（1）． （2）．
（3）． （4）．
变式5. （2022·陕西省初一月考）计算：
（1） （2）．
（3）． （4）．
考点6、有理数加减混合运算中的简便计算
例6．（2022·湖北宜昌七年级模拟）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋. (4)
变式6.（2022.广东七年级期中）计算结果等于（ ）
A． B． C． D．
考点7、有理数加减混合运算的应用
例7．（2022·辽宁锦州·七年级期中）某地饮用水被污染，居民饮水困难．某校师生积极行动起来，各班捐助水的瓶数以100瓶为标准，超过的记为“＋”，不足记为“－”．其中七年级的6个班学生的捐助情况如表所示：
班 级 （1） （2） （3） （4） （5） （6）
超过（不足）
统计员小李统计时不小心将墨水滴到了其中（5）班的数据上．他只记得该校七年级学生共捐助616瓶饮用水，根据以上信息，你用学过的知识还能帮助小李将被覆盖的数据复原出来？如果能，请写出解答过程．不能，请说明理由．
变式7. （2022·吉林白城市·七年级期末）一辆校车从学校出发负责送学生回家，向东走了3千米到达李家屯，继续走了7千米到达张家庄，又向西走了16千米到达赵家村，最后回到学校． （1）以学校为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示2千米，请你在数轴上标出李家屯．张家庄．赵家村的位置；（2）校车一共行驶的路程是多少千米？若每千米按1.5元计算燃油费，求校车这次出行的燃油费．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·陕西九年级期末）西安气候属暖温带半湿润大陆性季风气候．四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷少雨雪，春秋时有连阴雨天气出现．2021年1月14日天气晴朗，9时气温1℃，14时气温达到最高15℃，夜晚气温到最低℃，这天的温差是（ ）
A．17℃ B．13℃ C．14℃ D．15℃
2．（2022秋·山东七年级期中）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）与相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北邢台·校考一模）如图，数轴上点表示的数为，经过点折叠这条数轴，使数轴在点两侧的部分完全重合，若点右侧的点与数轴上表示的点重合，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）在数1，2，3，4，5，6，7，8请添加“＋”，“－”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是0，算式可以列为：．若在数1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次运算，使所得结果可能的最小非负数是0，则数n不可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2024
7．（2023·云南临沧·统考一模）某水库4月份的最高水位超过标准水位，记为，最低水位低于标准水位，记为，则4月份该水库的水位差是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·海南海口·七年级校考期中）在算式中，括号里应填（ ）
A．2 B． C． D．10
9．（2022 渭滨区模拟）研究表明“距离地面越高，温度越低”，相关数据如表所示：
距离地面的高度h/km 0 1 2 3 4 5
温度t/℃ 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10
根据上表，请预测距离地面6km的高空温度是（　　）℃．
A．﹣14 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣17
10.（2022 长汀县七年级期中）下列结论不正确的是（　　）
A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0 B．若a＜0，b＞0，则a﹣b＜0
C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＞0 D．若a＜0，b＜0，且|b|＞|a|，则a﹣b＞0
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022 南岸区七年级期末）某中学七年级学生的平均体重是44kg，下表给出了6名学生的体重情况，最重和最轻的同学体重相差　 　kg．
姓名 小润 小华 小颖 小丽 小惠 小胜
体重/kg 47 41
体重与平均体重的差值/kg +3 0 ﹣2 +4
12．（2022·四川成都·七年级期末）请阅读北京冬奥会推广曲《一起向未来》的一小段乐谱，乐谱中的数字表示每小节音符的时间值，请根据乐谱中的信息确定最后一个音符的时间值应为 _____．
13．（2022·北京西城区·七年级期中）在计算：“”时，甲同学的做法如下：
①
②
=7 ③
在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是______（写出错误所在行的序号），这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，_____________________________．
14．（2022·泰州市姜堰区七年级月考）计算：__________．
15．（2022秋·广东江门·七年级统考期末）已知，，且，则的值是___．
16．（2022 兴化市月考）规定：符号（a，b）表示a，b中较小的一个，符号[a，b]表示a，b中较大的一个．计算：（﹣2，﹣6）﹣[﹣4，﹣7]＝ 　．
17．（2022 丰台区期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为　 　．
18．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，，8这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
20．（2022·贵州黔南·七年级统考期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：．
解：原式
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
21．（2022秋·七年级单元测试）市客运管理部门对“十一”国庆假期天客流变化量进行了不完全统计，数据如下用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数
日期 日 日 日 日 日 日 日
变化万人
与月日相比，月日的客流量是上升了还是下降了，变化了多少
22．（2022秋·四川内江·七年级校考阶段练习）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站、下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
停靠站 起点站 中间第1站 中间第2站 中间第3站 中间第4站 中间第5站 中间第6站 终点站
上下车人数 0 0
(1)中间第4站上车人数是________人，下车人数是________人；
(2)中间的6个站中，第_____站没有人上车，第______站没有人下车；
(3)中间第2站开车时车上人数是_____人，第5站停车时车上人数是_____人；
23．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）在以lcm为单位长度的数轴上，有理数a，b，c，d分别对应点A，B，C，D．将刻度尺的外沿与这段数轴重合，四个点按如图所示对应数轴直尺上的整数刻度（单位：cm）
(1)若，则______，并求的和；
(2)当，则数轴的原点对应直尺上的刻度为______；现在数轴上只移动点D，若满足，试说明点D的移动方式．
24．（2022秋·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．
(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求，的值，并将空格补充完整．
25．（2022·贵州六盘水·七年级阶段练习）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（注：至少写出4个满足条件的m的值）
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
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