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专题三 等式与不等式的性质
知识归纳
1、两个实数比较大小的方法
作差法
2、等式的性质
性质1 对称性：如果，那么；
性质2 传递性：如果，那；
性质3 可加（咸）性：如果，那么；
性质4 可乘性：如果，那么；
性质5 可除性：如果，那．
3、不等式的性质
性质1 对称性：；
性质2 传递性：；
性质3 可加性：；
性质4 可乘性：；
性质5 同向可加性：；
性质6 同向同正可乘性：；
性质7 同正可乘方性：．
方法技巧与总结
1、若，且
2、若；
若
典例分析
题型一、不等式性质的应用
例1-1、（2023·北京·人大附中校考模拟预测）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2、（多选题）（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
例1-3、（2023·北京朝阳·统考一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
例1-4、（多选题）（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
例1-5、（2023·江西·统考模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-6、（2023·全国·高三专题练习）两两不同的满足：且满足，．则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型二、比较数（式）的大小与比较法证明不等式
例2-1、（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.
例2-2、（2023·全国·高三专题练习）已知,，则,的大小关系是 _____．
例2-3、（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
例2-4、（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
题型三、已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【通性通解总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
例3-1、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
例3-2、（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是__________．
例3-3、（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.
例3-4、（2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
例3-5、（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
题型四、不等式的综合问题
例4-1、（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，，则的最大值为______．
例4-2、（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
例4-3、（多选题）（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
例4-4、（多选题）（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例4-5、（多选题）（2023·福建·统考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为6
例4-6、（2022·全国·高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．
例4-7、多选题）（2023·辽宁·校联考二模）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型五、不等式的实际应用
【通性通解总结】
糖水不等式：若，，则一定有，或者．
例5-1、（2023·四川凉山·统考一模）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则
A． B．
C． D．
例5-2、（2023·北京·高三专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
例5-3、（2023·全国·高三专题练习）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一更经济 B．方案二更经济
C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定
例5-4、（2023·全国·高三专题练习）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．
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专题三 等式与不等式的性质
知识归纳
1、两个实数比较大小的方法
作差法
2、等式的性质
性质1 对称性：如果，那么；
性质2 传递性：如果，那；
性质3 可加（咸）性：如果，那么；
性质4 可乘性：如果，那么；
性质5 可除性：如果，那．
3、不等式的性质
性质1 对称性：；
性质2 传递性：；
性质3 可加性：；
性质4 可乘性：；
性质5 同向可加性：；
性质6 同向同正可乘性：；
性质7 同正可乘方性：．
方法技巧与总结
1、若，且
2、若；
若
典例分析
题型一、不等式性质的应用
例1-1、（2023·北京·人大附中校考模拟预测）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，所以，故D正确；
当，时，，但，，，故A，B，C错误.
故选：D.
例1-2、（多选题）（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.
【详解】对于A项，，因为，所以，所以，
所以，即：，故A项错误；
对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；
对于C项，，因为，所以，，，
所以，即：，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，所以，，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD
例1-3、（2023·北京朝阳·统考一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，即，故A正确；
取，则不成立，故B错误；
取，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：A
例1-4、（多选题）（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由 ， ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若 满足， ，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得 ，
，
，故D正确；
故选：ABD.
例1-5、（2023·江西·统考模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由可知，所以，所以错误；
因为，但无法判定与1的大小，所以B错误；
当时，，故D错误；
因为，所以，故C正确.
故选：C.
例1-6、（2023·全国·高三专题练习）两两不同的满足：且满足，．则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法1：设条件①:，
②：，
③，
由题设，
并令，
则，
同理，
条件③转化为，
考虑到函数为开口向下的二次函数，如图所示：
它在定义域内整体为上凸函数，
因此．
由条件①可得，，
且函数在上单调递增，
因此，
即恒成立，
故选：A．
方法2：由题设，并令，
则，满足条件，
则选项 A，B，，故A正确，B不正确；
此时，故C，D均不正确，
故选：A．
题型二、比较数（式）的大小与比较法证明不等式
例2-1、（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.
【答案】
【解析】，不妨令，
则有，
有，
即.
故答案为：.
例2-2、（2023·全国·高三专题练习）已知,，则,的大小关系是 _____．
【答案】
【解析】因为,
所以
所以.
故答案为：.
例2-3、（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
例2-4、（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【解析】（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
题型三、已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【通性通解总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
例3-1、（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
例3-2、（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，
故答案为：.
例3-3、（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意得
解得
所以,
因为，
所以；
因为，
所以．
两式相加得，
故的取值范围是.
例3-4、（2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】设
即
所以，解得
所以
因为，，
所以
由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.
综上可知，的最小值为.
故答案为：.
例3-5、（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
题型四、不等式的综合问题
例4-1、（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得：，
又因为，所以，
化简得：，
因为，所以，所以，即，
所以，所以，
故的最大值是.
故答案为：.
例4-2、（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
例4-3、（多选题）（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，则，
选项A，，故正确；
选项B，因为，且，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
例4-4、（多选题）（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
例4-5、（多选题）（2023·福建·统考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为6
【答案】AC
【解析】A：，因为，所以故A正确；
B：，显然满足条件，故B错误；
C：，故C正确；
D：，由于在上为增函数，
故最小值为，D错误．
故选AC．
例4-6、（2022·全国·高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可
【详解】
因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以
所以的最大值为4
故答案为：4
例4-7、多选题）（2023·辽宁·校联考二模）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，
所以，，
所以
所以，A正确，B错误；
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，C正确；
令，则，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，D正确，
故选：ACD.
题型五、不等式的实际应用
【通性通解总结】
糖水不等式：若，，则一定有，或者．
例5-1、（2023·四川凉山·统考一模）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，
根据题意当，时成立，
又，
所以，
即：，
又
所以，
所以，
故选：B.
例5-2、（2023·北京·高三专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
例5-3、（2023·全国·高三专题练习）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一更经济 B．方案二更经济
C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定
【答案】B
【分析】设第一次价格为，第二次价格为，进而求解两种方案的平均数，并比较大小即可.
【详解】解：设第一次价格为，第二次价格为，
方案一：若每次购买数量，则两次购买的平均价格为，
方案二：若每次购买钱数为，则两次购买的平均价格为，
所以，，即，当且仅当时，“=”号成立，
所以方案二更经济.
故选：B
例5-4、（2023·全国·高三专题练习）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．
【答案】 16 1
【解析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；
（2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.
【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,
（1）由题意知，，
化简得：，
又，
所以，
解得：，
共种；
（2）由题意知，
，
，
，
，
即的最大值为1万元，
故答案为：16；1
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