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高考数学专题圆的方程考点考题考向高分透析（解析版）
考点一 求圆的方程
考点二 圆的对称问题
考点三 点、直线与圆位置关系的判断
考点四 切线和切线长问题
考点五 弦长问题
考点六 与圆有关的最值问题
考点七 圆与圆的位置关系
考点八 圆的公共弦和公共切线
一、圆的方程
圆的标准方程 圆的一般方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程
圆心
半径
注：当时，方程表示一个点；
当时，方程没有意义，不表示任何图形．
二、直线与圆的位置关系的判断方法
判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断
相离
相切
相交
三、圆与圆位置关系的两种判断方法
（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）．
图示
d与的关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
（2）代数法：设圆①，圆②，
联立①②，
如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；
如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；
如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
四、两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆①，圆②，
若两圆相交，则有一条公共弦，由，得③．
方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．
考点一 求圆的方程
例1．（2023春·上海杨浦·高二统考期末）以为圆心，且经过的圆的方程是____________.
【答案】
【分析】设出圆的标准方程，把代入圆方程即可求出参数，从而得圆的标准方程.
【详解】因为圆心，故可设圆的标准方程为，
因为点在圆上，所以，
所以所求圆的方程为.
故答案为：
例2．（2022秋·高三课时练习）圆过点、，求面积最小的圆的一般方程为________________．
【答案】
【分析】求出以线段为直径的圆的方程，即可得解.
【详解】当为圆的直径时，过、的圆的半径最小，从而面积最小．
因为点、，线段的中点为，
，故所求圆的半径为，
所以，所求圆的方程为，即.
故答案为：.
例3．（2022秋·高三课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
【答案】A
【分析】将圆的方程化为标准方程得出圆心，进而表示出圆心到直线的距离，结合已知条件，列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】将圆的方程化为标准方程为：，
所以，圆心为，半径.
因为圆心到直线的距离为，
所以，，即，
所以，所以或.
故选：A.
例4．（2022秋·高三课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【分析】由题意可得，则为直角三角形，所以可得圆心为的中点，半径为，从而可求出圆的方程，则可求出圆与轴的交点，进而可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，所以为直角三角形，
所以过三点的圆的圆心，半径为，
所以过三点的圆的方程为，
令，则，得，
所以，
故选：C.
例5．（2022秋·高三校考课时练习）已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程.
【答案】.
【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为，即可求解.
【详解】设圆的一般方程为，由圆经过点和，
代入圆的一般方程，得(*)
设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得.
设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得.
由已知，得，即.　③
由(*)③联立解得.
故所求圆的方程为.
考点二 圆的对称问题
例6．（2021秋·高三课时练习）（多选）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心是
B．圆的半径是2
C．
D．的取值范围是
【答案】ABCD
【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出A、B；根据已知可知圆心在直线上，代入即可得出C；根据C的结论得，代入根据二次函数的性质，即可得出D项.
【详解】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得，
所以，圆心为，半径为，故A、B正确；
对于C项，由已知可得，直线经过圆心，
所以，整理可得，故C项正确；
对于D项，由C知，所以，
所以的取值范围是，故D项正确.
故选：ABCD.
例7．（2022秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期中）已知圆与圆关于直线对称，则直线方程______．
【答案】
【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程.
【详解】解：圆，圆心为，半径
圆，经整理为，其圆心为，半径；
故中点为， ，
由对称性知，
，整理得直线l的方程为.
故答案为：
例8．（2022秋·广东东莞·高二统考期末）曲线围成的图形的面积为___________.
【答案】/
【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.
当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.
故答案为：.
例9．（2022秋·河北沧州·高三统考阶段练习）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则______．
【答案】3
【分析】设出，则可得，根据数量积的坐标运算可得到的表达式，结合可得答案.
【详解】设 ，则,且，
则，
故答案为：3
例10．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
考点三 点、直线与圆位置关系的判断
例11．（2022秋·高三课时练习）(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答.
【详解】对于A，，点在圆内；
对于B，，点在圆外；
对于C，，在圆上；
对于D，，在圆内.
故选：ACD
例12．（2023秋·高三课时练习）若直线与圆相交，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简直线方程为一般式，结合直线与圆相交，列出不等式，即可求解.
【详解】由直线，可化为，
因为直线与圆相交，可得，
整理得，所以.
故选：B.
例13．（2022秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）若点在圆内，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】由关于的二次方程表示圆可得或，又由点在圆内可得，取交集即可.
【详解】解：由题可知，
解得或，
又因为点在圆内，所以，
解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
例14．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知 ，直线 ，若l与⊙O相离，则（ ）
A．点 在l上 B．点在上
C．点在 内 D．点在外
【答案】C
【分析】根据l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，由此列不等式，即可推出，即可得答案.
【详解】由已知l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，
不妨设为的半径，即有，
故，由于，则，所以,
则点在内，
故选：C．
例15．（2023春·广西柳州·高三柳州市第三中学校考开学考试）已知圆及直线，则直线l与圆C的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】求出动直线过的定点，再判断定点与圆的位置关系作答.
【详解】直线，即，
由解得，于是得直线l恒过定点，
而当时，，因此点在圆C内，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A
考点四 切线和切线长问题
例16．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．
【答案】
【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，即可得解.
【详解】如图所示，设圆心为点，则，
，则点在圆上，且，
由与圆相切可得，所以切线方程为，
令，解得，故，
所以
故答案为：.
例17．（2023届高三上学期12月期末数学试题）已知圆与直线相切，且与轴切于点，则圆的方程为__________．
【答案】或
【分析】设出，根据点到直线距离公式列出方程，求出圆心和半径，得到圆的方程.
【详解】因为圆与轴切于点，故圆心的横坐标为3，
设，则圆心到直线的距离为，
则，解得或2，
故圆心坐标为或，
当时，半径为8，当时，半径为2，
故圆的方程为或.
故答案为：或
例18．（2023秋·高三课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.
【详解】由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接,则为两切线的夹角，
由于,所以,
由二倍角公式可得，
故选:B

例19．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.
【答案】
【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.
【详解】圆的圆心为，
在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．

故答案为：.
例20．（2023秋·浙江丽水·高三统考期末）已知圆经过点和，且圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)过点作直线与圆相切，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)和.
【分析】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；
（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.
【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，，
∴AB的垂直平分线为：，
由解得圆心，半径
故圆的方程为；
（2）若直线的斜率存在，方程可设为，即
圆心到直线的距离为，解得，
所求的一条切线为；
当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切，
所以直线的方程为和．
考点五 弦长问题
例21．（2022秋·广东江门·高三江门市培英高级中学校考期中）直线与圆C：相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则_____．
【答案】/
【分析】求得圆心和半径r，在中，由余弦定理计算可得，由圆和直线相交的弦长公式可得C到直线的距离d，再由点到直线的距离公式，解方程可得a的值．
【详解】，即，
所以圆C的圆心C（1，1），半径为r＝2.
由中，，，可得.
设圆心C到直线的距离为d，可得222，即d＝1，
则1，解得a.
故答案为：．
例22．（2022-2023学年福建省福州市八县（市）协作校高三下学期期中联考数学试题）（多选）已知圆，直线，则（ ）
A．直线与圆C相交
B．直线过定点（2，1）
C．圆C被y轴截得的弦长为
D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1
【答案】ACD
【分析】先考虑直线过定点，再判断该点在圆的内部，故可判断AB，利用弦长公式结合圆心到直线的距离可判断D的正误，在圆的方程中令后可求圆C被y轴截得的弦长，故可判断B的正误.
【详解】可整理为，
令，则，故直线过定点，故B错误.
因为，故定点在圆的内部，故直线与圆C相交，
故A正确.
在圆的方程中令，则即，
故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确.
因为直线过定点，该定点与圆心的距离为，
故圆心到直线的距离，
故圆C被直线截得的弦长为，
当且仅当时等号成立，此时定点与圆心连线的斜率为0，
该连线垂直于直线，故直线的方程为，故D正确.
故选：ACD.
例23．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆经过点、，圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的中垂线方程联立直线方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可求出圆的方程；
（2）由可得点到直线的距离为1，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【详解】（1）的中点为，斜率，
则直线的中垂线为
联立，解得，
即，
圆的方程为.
（2）由于，点到直线的距离，
即，解得
例24．（2023·全国·高三对口高考）已知圆，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为，求直线MA、MB的方程；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）利用直线MA、MB到圆心距离为半径可求出相应直线方程；
（2）设M，利用两圆方程相减可得直线方程，后利用其分别得到，AB边上高关于的表达式，即可得答案.
【详解】（1）由题意可知显然切线斜率存在，故设过点的圆C的切线方程为，则圆心C到切线距离等于半径1，即或.
则直线MA方程为，MB的方程为.或直线MA方程为，MB的方程为.
（2）设M，因MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
则，则以M为圆心，为半径的圆的方程为：，将其与圆C方程相减得直线AB方程：.则中，AB边上的高，即C到直线AB距离为：，
则由垂径定理，，
则，注意到函数在上单调递增，，则，当且仅当时取等号.
则面积的最大值为.
例25．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考期末）若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简直线方程化为，得到直线恒过定点，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意，直线可化为，
当且，即且时，等式恒成立，
所以直线恒过定点，
由圆的方程知，圆心为，半径，
当直线时，取得最小值，且最小值为，
如图，
此时弦长对的圆心角一半的正切值为，故圆心角为，
所以劣弧长为.
故选：B.
考点六 与圆有关的最值问题
例26．（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
【答案】C
【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.
【详解】由直线与圆相切可得：
圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
故，即点在圆O上，
的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，
由圆心为，
因为，
所以点在圆外，
所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，
即，
所以的最大值为.
故选：C.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足方程，则
（1）的最大值和最小值分别为________和________；
（2）y－x的最大值和最小值分别为________和________；
（3）的最大值和最小值分别为_______和_______．
【答案】 / / / /
【分析】将圆的方程化为标准形式，得圆心坐标和半径，利用设＝k，利用的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，可求出的最大值和最小值；将y－x看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．利用直线与圆相切可求出y－x的最大值和最小值；将x2＋y2看成圆上的一点与原点距离的平方，利用平面几何知识知可求出的最大值和最小值.
【详解】原方程可化为，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆．
（1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±，
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
（3）表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，所以的最大值是，的最小值是.
故答案为：（1）；（2）；（3）；.
例28．（2023·山西太原·太原五中校考一模）直线分别与轴 轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】因为直线分别与轴 轴交于两点，
所以，
所以
圆的圆心的坐标为，半径，
所以圆心到直线距离，
所以到直线距离，即，
.
故答案为：.
例29．（2023春·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由方程表示的图形的几何意义以及所求代数式的几何意义画出图形可求出最小值.
【详解】解：曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，
表示点到点的距离，
表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为，
则，
当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，

故的最小值为.
故答案为：.
例30．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【详解】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
考点七 圆与圆的位置关系
例31．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，再解不等式即可.
【详解】由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
例32．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
于是，
所以两圆相交.
故选：B
例33．（2023·山东潍坊·三模）已知圆，与圆总相切的圆的方程是_________．
【答案】
【分析】根据圆标准方程可知圆心轨迹，由圆心轨迹与圆轨迹可确定圆上总有点与原点距离为4即可求出圆的方程.
【详解】圆标准方程为，
圆的圆心为，半径为2，
由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
故圆上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆的方程是：.
故答案为：.
例34．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为________．
【答案】
【分析】联立方程求M，N两点的坐标，法一：根据几何性质可得圆心C2在x轴上，设结合圆的定义运算求解；法二：设圆，代入点，列方程求解.
【详解】联立方程，解得或，
故M，N两点的坐标为．
法一：可得关于轴对称，即线段的中垂线为轴，故所求的圆的圆心C2在x轴上，
设，点P的坐标为，
∵，即，求得m＝5，
故要求的圆的圆心，半径为，
故要求的圆的方程为．
法二：设圆，且点P的坐标为，
代入点，可得，解得，
故要求的圆的方程为，即．
故答案为：.
例35．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.
【详解】由，得点P在圆上，故点P在圆上，又点P在圆C上，所以，两圆有交点，
因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1，
所以，又，所以，
解得，所以a的最小值为4.
故选：C.
考点八 圆的公共弦和公共切线
例36．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直线与圆 圆分别切于两点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值为3
【分析】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解；
（2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解的最大值.
（1）
如图，由题意可知与圆相切，与圆相切，
且，
故，
即.
（2）
作于点H，连接PQ，
在中，，
其中，
故，
又，当且仅当时取等号，
故，
即的最大值为3.
例37．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C与圆的公共弦的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案；
（2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案.
【详解】（1）由题意得圆C的半径为，
故圆C的方程为；
（2）圆和的圆心距为，
而，即两圆相交，
将和相减得，
圆的圆心到的距离为，
故两圆的公共弦长为.
例38．（2022-2023学年江苏省盐城市高三下学期6月期末数学试题）在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【分析】判断以点为圆心，为半径的圆与以点为圆心，为半径的圆的位置关系，即可判断.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线满足与点距离为，且与点距离为，
以点为圆心，为半径的圆的方程为，
以点为圆心，为半径的圆的方程为，
因为，则两圆相内切，
故两圆的公切线有且仅有条，即，
故在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有条.
故选：A
例39．（2022秋·高三单元测试）（多选）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程.
【详解】根据题意可知，两圆心关于原点对称，
在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：

显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线；
又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确；
利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为，
又到切线的距离为1，即，解得或；
当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B正确；
由对称性可知，切线与直线平行，
易知，所以直线的方程为，
可设的方程分别为，
由两平行线间距离公式可得，解得，
即切线的方程分别为，；
整理可得两切线方程为和，故C正确，D错误；
故选：ABC
例40．（2022秋·广东惠州·高三惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）（多选）圆与圆相交于，两点，则（ ）
A．的直线方程为 B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为
【答案】ACD
【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可.
【详解】由，得，则，半径，
由，得，则，半径，
对于A，公共弦所在的直线方程为，
即，所以A正确，
对于B，到直线的距离，
所以公共弦的长为，所以B错误，
对于C，因为，，，
所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，
对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，
所以直线为，即，所以D正确，
故选：ACD
一、单选题
1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线过圆心代入求解即可.
【详解】由题意得，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过圆心，即，解得.
故选：D
2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
【详解】由条件化简得，即两圆圆心为，
设其半径分别为，，所以有.
故选：D
3．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.
【详解】由，得，
解得.
故选：B
4．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：）所示，四边形为矩形，均与圆相切，为切点，零件的截面段为圆的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为（ ）cm（结果保留）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以A为原点，建立直角坐标系，根据圆心到直线、直线、直线距离均相等,利用点到直线的距离公式列式，计算出的长，即得.
【详解】以A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示：
则，又，
所以直线的方程为：即，直线的方程为：即，直线的方程为：，
设圆心为O，则圆心到直线、直线、直线的距离均相等且等于，则，
解得：，，，
所以，，，
由题可知，即，
所以可得，，对应弧长为圆的周长，
故该零件的截面的周长为（cm）
故选：A.
5．（2022·高三课时练习）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ）
A．5h B．h C．h D．4h
【答案】B
【分析】先求得台风中心距离城市A的最短距离，再利用直线截圆的弦长即可求得城市A受台风影响的时间
【详解】如图，，，台风中心沿方向以的速度移动，
台风中心距离城市A的最短距离为
又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．
则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响
以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为
km
则城市A受台风影响的时间为
故选：B
6．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，，，
，
（当且仅当时取等号），
则当的面积最大时，，又，解得：.
故选：C.
7．（2022秋·高三单元测试）过点，且与两坐标轴同时相切的圆的方程是（ ）
A．或
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，圆心横纵坐标的绝对值相等即为半径，再由两点间距离公式解方程即可求得结果.
【详解】由题意可得，圆心到两坐标轴的距离相等，且为半径，
所以圆心一定在直线或上；
当圆心在上时，不妨设圆心坐标为，半径为，则，
且圆心到的距离为，即
解得或，
所以圆心为时，半径，圆的方程为；
圆心为时，半径为，圆的方程为；
当圆心在上时，不妨设圆心坐标为，半径为，
且，即，此时方程无解；
所以圆的方程为或.如下图所示：

故选：A
8．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据据题意转化为有两个不相等的实数解，结合圆的性质，即可求解.
【详解】关于的方程有两个不等的实数解，即有两个不相等的实数解，
即函数与的图象有两个交点，
因为是以为圆心，1为半径的上半圆（除去点），
又因为是过定点的直线，
由图可知，当直线在和之间时符合要求，
当直线为时，，
当直线为时，由点到直线的距离等于半径可得（正值舍去），
所以实数的取值范围是.
故选：D．
二、多选题
9．（2023·湖南·校联考二模）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离 B．的最大值为9
C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；
故选：ABC．
10．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）
A．直线与圆相切 B．圆截轴所得的弦长为
C．的最大值为 D．的面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】求得圆的圆心，半径，以及，根据，可判定A正确；由圆的弦长公式，可判定B不正确；求得，得到的最大值为，可判定C正确；求得圆心到直线的距离为，求得最小距离，结合面积公式，可判定D正确.
【详解】由圆，可得，可得圆心，半径为，
因为点分别为直线与轴、轴的交点，可得，
对于A中，因为圆心到直线的距离为，所以A正确；
对于B中，由圆截轴的弦长为，所以B不正确；
对于C中，点在圆上，且，其中，所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，因为圆心到直线的距离为，
则圆上点到直线的最小距离为，
因为，所以的面积的最小值为，所以D正确.
故选：ACD.
11．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A．一定垂直
B．的最大值为4
C．点的轨迹方程为
D．的最小值为
【答案】AB
【分析】A选项，根据两直线垂直满足的关系式进行判断；B选项，求出和，由⊥，得到，再结合基本不等式得到答案；C选项，分析得到，点的轨迹为以为直径的圆，求出轨迹方程；D选项，设的中点为，求出，得到点轨迹方程，进而得到的最小值为圆心距减去两半径，结合求出答案.
【详解】A选项，因为，所以一定垂直，A正确；
B选项，变形得到，从而，
变形得到，从而，
由⊥，由勾股定理得，
由基本不等式可得，故，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
C选项，由B可知，点的轨迹为以为直径的圆，其中线段的中点坐标为，半径为，
故轨迹方程为，C错误；
D选项，的圆心为，半径为2，
设的中点为，由垂径定理得，

故点的轨迹方程为，
因为点轨迹方程为，
则的最小值为圆心距减去两半径，即，
其中，
所以的最小值为，D错误.
故选：AB
12．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（ ）
A．存在，，，使得
B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据几何知识得到当直线，与圆相切且最小时最大，然后求的最大值即可判断A选项；利用等面积的思路得到，然后求的最小值即可得到弦长的最小值，即可判断B选项；根据圆的定义得到，是以为直径的圆上的两点又是圆上的两点，然后让两圆的方程相减得到直线的方程即可得到直线过定点，即可判断C选项；根据存在，，使得得到，然后求时点的横坐标，即可得到点的横坐标的取值范围，即可判断D选项.
【详解】
由图可知，当直线，与圆相切且点在轴上时最大，
此时，，，，
所以最大时是锐角，故A错；
，所以，
则当最小时，弦长最小，，所以，故B正确；
设点，，是以为直径的圆上的两点，圆的方程为，
即①，又，是圆②上的两点，
所以直线的方程为②-①：，过定点，故C正确；
若存在，，使得，则，
当直线，与圆相切时，最大，对应的余弦值最小，
当直线，与圆相切，且时，，，
因为，所以，则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）若直线与圆相交于两点，则弦的长为______．
【答案】
【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果.
【详解】由圆的方程得：圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
.
故答案为：.
14．（2023秋·河北沧州·高三统考期末）已知，圆的圆心为，过点的圆的切线长是半径的2倍，则圆截直线所得的弦长为__________．
【答案】
【分析】设半径为，再根据得，进而结合圆中的弦长公式求解即可.
【详解】解：由题知，设半径为，因为过点的圆的切线长是半径的2倍，
所以，，解得，
所以，圆心到直线的距离，
所以弦长为．
故答案为：
15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线距离的最大值为_____________.
【答案】/
【分析】设，分析得到，，，四点在以为直径的圆上，求出圆方程和方程，再利用数形结合分析求解.
【详解】设，则，所以.
由几何性质知,
所以，，，四点在以为直径的圆上，
设圆上任意一点坐标为，则，
所以，当时，也成立.
即圆方程为，即，
把圆和圆方程相减得.
故直线的方程为.
所以是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，
故点到直线的距离的最大值为.
（当时取等）
故答案为：

16．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知平面向量中，且．则的最大值为_____________．
【答案】/
【分析】根据题意可设，再利用可得，写出的表达式利用几何意义即可求得.
【详解】由且，
不妨设，又因为，
不妨设，则，
又，即；
所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
而表示与之间的距离，
显然圆心与之间的距离为，
所以可得，即的最大值为.
故答案为：
四、解答题
17．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；
(3)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据切线性质与勾股定理列式，结合已知即可得出，整理即可得出答案；
（2）设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出与的不等关系式，结合小问一点的轨迹方程即可得出，得出其最小值，即可得出点坐标与半径最小值，即可得出答案；
（3）设关于直线的对称点为，根据点关于直线对称点的求法得出，根据已知结合几何关系得出，即可计算得出答案.
【详解】（1）设，
为切点，
，
由勾股定理有，
又，
，整理得.
点的轨迹方程为：；
（2）设圆的半径为，圆与圆有公共点，圆的半径为1，，即且，
而，
故当时，. （也可以通过求点到直线的距离得到）
此时，，
故半径取最小值时圆的方程为：.
（3）
设关于直线的对称点为，
解，
，（也可以利用是的中点，得到）
，
当三点共线时，取得等号.
则的最大值为.
18．（2022秋·江西赣州·高三统考期末）已知圆A的圆心为，且__________.在下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①与直线相切；②与圆相外切；③经过直线与直线的交点.
(1)求圆A的方程；
(2)设直线，试求k为何值时，直线l截圆A所得弦的弦长最小，并求弦长最小值.
【答案】(1)
(2)时，直线l截圆A所得弦的弦长最小，且最小值为.
【分析】（1）根据所选条件求得圆的半径，进而求得圆的方程.
（2）根据直线l截圆A所得弦的弦长最小求得，进而求得弦长的最小值.
【详解】（1）设圆的半径为，
若选条件①，圆与直线相切，
所以到直线的距离是圆的半径，
所以半径，
所以圆的方程为.
若选条件②，与圆相外切，
圆的圆心为，半径为，
所以，所以，
所以圆的方程为.
若选条件③，经过直线与直线的交点，
，
所以，
所以圆的方程为.
（2）直线恒过定点，
由于，所以在圆内部，所以直线与圆相交，
根据圆的几何性质可知，当直线时，直线截圆所得弦的弦长最小，
，所以.
圆心到直线的距离，
所以当时，直线截圆所得弦长为.
19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.
(1)求的轨迹方程；
(2)设圆是以为直径的圆，求证圆与圆相交，并求公共弦所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析；公共弦所在直线方程为.
【分析】（1）根据阿波罗尼斯圆的定义，利用两点间距离公式代入整理变形即可得的轨迹方程为；
（2）易知圆心距，且满足，即可证明两圆相交，将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程为.
【详解】（1）设点的坐标为，
又，，且，即
整理可得；
所以的轨迹方程为.
（2）易知的中点，，
所以圆的圆心为，半径为，
即圆的方程为.
由（1）可知，圆是以为圆心，半径的圆；
圆与圆的圆心距，
易知，
根据两圆位置关系即可知圆与圆相交；
将的方程与圆的方程相减即可得公共弦方程，
即；
所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为.
20．（2023秋·山西晋中·高三统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
【答案】(1)答案见解析
(2)米
【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可；
（2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.
【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为
易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得，
则该圆弧所在圆的一般方程为.
（2）解：令代入圆的方程得，得或（舍），
由于隧道的总高度为米，且（米），
因此，车辆通过隧道的限制高度为米.
21．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；
（2）设点，，由得，代入圆的方程即得解.
【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
22．（广西壮族自治区河池市2022-2023学年高三上学期2月期末数学试题）已知圆与圆关于直线对称.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆相交于两点，且的外接圆的圆心在内部，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由题意可得，解方程即可得出答案.
（2）由题意可得是锐角三角形，令到的距离为，则，由点到直线的距离公式代入求解即可得出答案.
【详解】（1）设，则，
解得
所以圆的标准方程为；
（2）因为的外接圆的圆心在内部，
所以是锐角三角形，
又是以为腰的等腰三角形，
，
令到的距离为，则，
，
解得：.
高考数学专题圆的方程考点考题考向高分透析（原卷版）
考点一 求圆的方程
考点二 圆的对称问题
考点三 点、直线与圆位置关系的判断
考点四 切线和切线长问题
考点五 弦长问题
考点六 与圆有关的最值问题
考点七 圆与圆的位置关系
考点八 圆的公共弦和公共切线
一、圆的方程
圆的标准方程 圆的一般方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是_____和_____
方程
圆心 _____
半径 _____
注：当时，方程表示一个点；
当_____时，方程没有意义，不表示任何图形．
二、直线与圆的位置关系的判断方法
判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断
相离 _____
相切 _____
_____
三、圆与圆位置关系的两种判断方法
（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）．
图示
d与的关系 _____ _____
位置关系 外离 外切 相交 _____ 内含
（2）代数法：设圆①，圆②，
联立①②，
如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；
如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆_____；
如果该方程组有两组_____的实数解，那么两圆相交．
四、两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆①，圆②，
若两圆相交，则有一条公共弦，由，得_____③．
方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．
考点一 求圆的方程
例1．（2023春·上海杨浦·高二统考期末）以为圆心，且经过的圆的方程是____________.
例2．（2022秋·高三课时练习）圆过点、，求面积最小的圆的一般方程为________________．
例3．（2022秋·高三课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
例4．（2022秋·高三课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（ ）
A． B．8 C． D．10
例5．（2022秋·高三校考课时练习）已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程.
考点二 圆的对称问题
例6．（2021秋·高三课时练习）（多选）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心是
B．圆的半径是2
C．
D．的取值范围是
例7．（2022秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期中）已知圆与圆关于直线对称，则直线方程______．
例8．（2022秋·广东东莞·高二统考期末）曲线围成的图形的面积为___________.
例9．（2022秋·河北沧州·高三统考阶段练习）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则______．
例10．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
考点三 点、直线与圆位置关系的判断
例11．（2022秋·高三课时练习）(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2023秋·高三课时练习）若直线与圆相交，则（ ）
A． B． C． D．
例13．（2022秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）若点在圆内，则实数的取值范围为________.
例14．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知 ，直线 ，若l与⊙O相离，则（ ）
A．点 在l上 B．点在上
C．点在 内 D．点在外
例15．（2023春·广西柳州·高三柳州市第三中学校考开学考试）已知圆及直线，则直线l与圆C的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
考点四 切线和切线长问题
例16．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．
例17．（2023届高三上学期12月期末数学试题）已知圆与直线相切，且与轴切于点，则圆的方程为__________．
例18．（2023秋·高三课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．6
例19．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.
例20．（2023秋·浙江丽水·高三统考期末）已知圆经过点和，且圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)过点作直线与圆相切，求直线的方程．
考点五 弦长问题
例21．（2022秋·广东江门·高三江门市培英高级中学校考期中）直线与圆C：相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则_____．
例22．（2022-2023学年福建省福州市八县（市）协作校高三下学期期中联考数学试题）（多选）已知圆，直线，则（ ）
A．直线与圆C相交
B．直线过定点（2，1）
C．圆C被y轴截得的弦长为
D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1
例23．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆经过点、，圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.
例24．（2023·全国·高三对口高考）已知圆，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为，求直线MA、MB的方程；
(2)求面积的最大值．
例25．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考期末）若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
考点六 与圆有关的最值问题
例26．（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足方程，则
（1）的最大值和最小值分别为________和________；
（2）y－x的最大值和最小值分别为________和________；
（3）的最大值和最小值分别为_______和_______．
例28．（2023·山西太原·太原五中校考一模）直线分别与轴 轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是___________.
例29．（2023春·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若，则的最小值为______.
例30．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
考点七 圆与圆的位置关系
例31．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
例33．（2023·山东潍坊·三模）已知圆，与圆总相切的圆的方程是_________．
例34．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为________．
例35．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考点八 圆的公共弦和公共切线
例36．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直线与圆 圆分别切于两点，求的最大值.
例37．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C与圆的公共弦的长．
例38．（2022-2023学年江苏省盐城市高三下学期6月期末数学试题）在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
例39．（2022秋·高三单元测试）（多选）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例40．（2022秋·广东惠州·高三惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）（多选）圆与圆相交于，两点，则（ ）
A．的直线方程为 B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为
一、单选题
1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
3．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：）所示，四边形为矩形，均与圆相切，为切点，零件的截面段为圆的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为（ ）cm（结果保留）
A． B． C． D．
5．（2022·高三课时练习）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ）
A．5h B．h C．h D．4h
6．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·高三单元测试）过点，且与两坐标轴同时相切的圆的方程是（ ）
A．或
B．
C．
D．
8．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·湖南·校联考二模）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离 B．的最大值为9
C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
10．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）
A．直线与圆相切 B．圆截轴所得的弦长为
C．的最大值为 D．的面积的最小值为
11．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A．一定垂直
B．的最大值为4
C．点的轨迹方程为
D．的最小值为
12．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（ ）
A．存在，，，使得
B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是
三、填空题
13．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）若直线与圆相交于两点，则弦的长为______．
14．（2023秋·河北沧州·高三统考期末）已知，圆的圆心为，过点的圆的切线长是半径的2倍，则圆截直线所得的弦长为__________．
15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线距离的最大值为_____________.
16．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知平面向量中，且．则的最大值为_____________．
四、解答题
17．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；
(3)求的最大值.
18．（2022秋·江西赣州·高三统考期末）已知圆A的圆心为，且__________.在下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①与直线相切；②与圆相外切；③经过直线与直线的交点.
(1)求圆A的方程；
(2)设直线，试求k为何值时，直线l截圆A所得弦的弦长最小，并求弦长最小值.
19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.
(1)求的轨迹方程；
(2)设圆是以为直径的圆，求证圆与圆相交，并求公共弦所在的直线方程.
20．（2023秋·山西晋中·高三统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
21．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
22．（广西壮族自治区河池市2022-2023学年高三上学期2月期末数学试题）已知圆与圆关于直线对称.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆相交于两点，且的外接圆的圆心在内部，求的取值范围.

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