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专题13.3　电磁感应中的电路及图像问题
科学思维：电磁感应规律的理解和应用。
楞次定律、闭合电路欧姆定律、右手定则、左手定则等综合分析电磁感应中电路与图象问题
【知识点一】电磁感应中的电路问题
1．电源：切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．对应的感应电动势分别为E＝Blv、E＝n.
2．电流：闭合电路中的感应电流I可由闭合电路的欧姆定律求出，即I＝，路端电压U＝IR＝E－Ir.
3．电势：在外电路中，电流由高电势流向低电势；在内电路中，电流由低电势流向高电势．
4．通过导体的电荷量：q＝Δt＝Δt＝n··Δt＝n.
5．“三步走”分析电磁感应中的电路问题
类型1 感生电动势作电源
（多选）（2023 长沙模拟）如图所示，固定的均匀矩形铝框abcd，长度为2L，宽度为L，左边边长为L的正方形区域abef内存在与铝框平面垂直的匀强磁场。已知铝的电阻率为ρ，单位体积内的自由电子数为n，电子的电荷量为e。某时刻起，磁感应强度以变化率均匀增加。则（　　）
A．空间中产生顺时针方向的恒定电场
B．铝框中的自由电子受到电场力的作用顺时针方向定向移动形成电流
C．自由电子定向移动的平均速率
D．一个电子沿铝框运动一周，电场力做功W＝ekL2
（2023 岳阳模拟）如图所示，半径为r的圆形区域内存在方向竖直向上，磁感应强度大小随时间变化的匀强磁场中，关系为B＝kt（k＞0且为常量）。现将单位长度电阻为R、半径为x的金属圆环放入这个磁场中，圆环与磁场边界为同心圆。下列说法正确的是（　　）
A．若x为2r时，圆环产生的感应电动势大小为4kπr2
B．从上往下看，金属圆环中的电流沿顺时针方向，且电流随时间均匀增大
C．若x分别为和2r时，圆环中产生的感应电动势的比值为1：4
D．若x分别为和2r时，单位时间内圆环中产生焦耳热的比值为1：1
（2023 海淀区校级三模）在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。
（1）利用图甲所示的电路可以产生动生电动势。设匀强磁场的磁感应强度为B，金属棒ab的长度为L，在外力作用下以速度v水平向右匀速运动。此时金属棒中电子所受洛伦兹力f沿棒方向的分力f1即为“电源”内部的非静电力。设电子的电荷量为e，求电子从棒的一端运动到另一端的过程中f1做的功。
（2）均匀变化的磁场会在空间激发感生电场，该电场为涡旋电场，其电场线是一系列同心圆，单个圆上的电场强度大小处处相等，如图乙所示。在某均匀变化的磁场中，将一个半径为r的金属圆环置于相同半径的电场线位置处。从圆环的两端点a、b引出两根导线，与阻值为R的电阻和内阻不计的电流表串接起来，如图丙所示。金属圆环的电阻为R0，圆环两端点a、b间的距离可忽略不计，除金属圆环外其他部分均在磁场外。此时金属圆环中的自由电子受到的感生电场力F即为非静电力。若电路中电流表显示的示数为I，电子的电荷量为e，求：
a.金属环中感应电动势E感大小；
b.金属圆环中自由电子受到的感生电场力F的大小。
（3）直流电动机的工作原理可以简化为如图丁所示的情景。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场，两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。电阻不计。电阻为R的金属杆ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道端点MP间接有内阻不计、电动势为E的直流电源。杆ab的中点O用水平绳系一个静置在地面上、质量为m的物块，最初细绳处于伸直状态（细绳足够长）。闭合电键S后，杆ab拉着物块由静止开始做加速运动。由于杆ab切割磁感线，因而产生感应电动势E'，且E'同电路中的电流方向相反称为反电动势，这时电路中的总电动势等于直流电源电动势E和反电动势E'之差。
a.请分析杆ab在加速的过程中所受安培力F如何变化，并求杆的最终速度vm；
b.当电路中的电流为I时，请证明电源的电能转化为机械能的功率为E'I。
类型2 动生电动势作电源
（多选）（2023 道里区校级模拟）如图所示为法拉第圆盘发电机，半径为r的铜质圆盘绕其中心O的竖直轴以恒定角速度ω顺时针转动（从上向下看），空间中存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆盘平面和磁感线垂直，两电刷C、D分别与铜盘中心轴和边缘接触，两电刷间接有阻值为R的电阻，下列说法正确的是（　　）
A．O点电势比D点高
B．通过R电流方向由下至上
C．发电机电动势为E
D．发电机电动势为E＝Br2ω
（多选）（2023 合肥模拟）一个圆形金属框和三根相同的导体棒OA、OC、OD焊接成如图所示的形状，金属框的阻值忽略不计，导体棒的阻值均为r，长度均为R，且互成120°，以O为圆心、R为半径的90°扇形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，使金属框绕O点以角速度ω逆时针匀速转动，下列说法正确的是（　　）
A．OA棒内的电流方向一直为从O指向A
B．当OA棒在磁场中时，AO两点间的电势差为
C．OA棒内的最大电流为
D．每转一周，三根导体棒所产总热量为
（2023 江苏二模）如图甲所示，一条南北走向的小路，路口设有出入道闸，每侧道闸金属杆长L，当有车辆通过时杆会从水平位置匀速转过90°直到竖起，所用时间为t。此处地磁场方向如图乙所示，B为地磁场总量，BH为地磁场水平分量，Bx、By、Bz分别为地磁场在x、y、z三个方向上的分量大小。则杆在转动升起的过程中，两端电势差的大小计算表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【知识点二】电磁感应中的图像问题
电磁感应中常见的图象问题
图象类型 (1)随时间变化的图象，如B t图象、Φ t图象、E t图象、I t图象 (2)随位移变化的图象，如E x图象、I x图象 (所以要先看坐标轴：哪个物理量随哪个物理量变化要弄清)
问题类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象(画图象) (2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量(用图象)
应用知识 四个规律 左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律
六类公式 (1)平均电动势E＝n (2)平动切割电动势E＝Blv (3)转动切割电动势E＝Bl2ω (4)闭合电路欧姆定律I＝ (5)安培力F＝BIl (6)牛顿运动定律的相关公式等
（2023 重庆模拟）如图所示，在y轴与直线x＝L之间区域有垂直纸面向外的匀强磁场，在直线x＝L与直线x＝2L之间区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。现有一直径为L的圆形导线框，从图示位置开始，在外力F（未画出）的作用下沿x轴正方向匀速穿过磁场区域。线框中感应电流（逆时针方向为正方向）与导线框移动的位移x的变化关系图像中正确的（　　）
A． B．
C． D．
（2023 岳麓区校级模拟）如图所示，一正方形金属框，边长为，电阻为R，匀强磁场区域Ⅰ、Ⅲ的磁感应强度大小为2B，方向垂直纸面向内，匀强磁场区域Ⅱ、Ⅳ的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，正方形金属框匀速穿过磁场区域，速度大小为v，方向向右，与磁场边界垂直，产生的感应电流与时间的关系图像为（电流正方向为逆时针方向）（　　）
A． B．
C． D．
（2023 昌平区二模）如图1所示，矩形导线框abcd固定在变化的磁场中，线框平面与磁场垂直。线框中产生的感应电流如图2所示（规定电流沿abcd为正）。若规定垂直纸面向里为磁场正方向，能够产生如图所示的电流的磁场为（　　）
A． B．
C． D．
（2023 南岗区校级四模）如图所示，边长为L的单匝均匀金属线框置于光滑水平桌面上，在拉力作用下以恒定速度通过宽度为D、方向竖直向下的有界匀强磁场，线框的边长L小于有界磁场的宽度D，在整个过程中线框的ab边始终与磁场的边界平行，若以I表示通过线框的电流（规定逆时针为正）、F表示拉力、P表示拉力的功率、Uab表示线框ab两点间的电势差，则下列反映这些物理量随时间变化的图像中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 五华区校级模拟）如图所示，一个平行于纸面的等腰直角三角形导线框，水平向右匀速运动，穿过宽度为d的匀强磁场区域，三角形两直角边长度为2d，线框中产生随时间变化的感应电流i，下列图形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 沙坪坝区校级模拟）空间中存在如图所示的磁场，Ⅰ、Ⅱ区域的宽度均为2R，磁感应强度均为B（Ⅰ区域垂直纸面向里，Ⅱ区域垂直纸面向外），半径为R的圆形导线框在外力作用下以速度v匀速通过磁场区域，设任意时刻导线框中电流为I（逆时针为正），导线框所受安培力为F（向左为正），从导线框刚进入Ⅰ区域开始将向右运动的位移记为x，则下列图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 浙江）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（　　）
A．电源电动势E0
B．棒消耗的焦耳热Mgl
C．从左向右运动时，最大摆角小于
D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
（2023 辽宁）如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）（2023 甲卷）一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离。如图（a）所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图（b）所示。则（　　）
A．小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B．下落过程中，小磁体的N极、S极上下顺倒了8次
C．下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
（2023春 成都期末）如图，电阻不计的光滑平行金属导轨竖直放置，金属导轨足够长，下端接一电阻R，整个空间存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场。t＝0时刻，将一金属杆ab以初速度v0竖直向上抛出，t＝t1时金属杆ab又返回到出发位置，金属杆ab在运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触。下列图像能正确描述在0～t1这段时间内金属杆ab的速度与时间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
（2022秋 李沧区校级期末）由螺线管、电阻和水平放置的平行板电容器组成的电路如图（a）所示。其中，螺线管匝数为N，横截面积为S1；电容器两极板间距为d，极板面积为S2，板间介质为空气（可视为真空，介电常数为1）。螺线管位于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B随时间t变化的B﹣t图像如图（b）所示。一电荷量为q的颗粒在t1～t2时间内悬停在电容器中，重力加速度大小为g，静电力常量为k，电容器电容为。则（　　）
A．颗粒带正电
B．颗粒质量为
C．t1～t2时间内，a点电势高于b点电势
D．电容器极板带电量大小为
（2022秋 南岗区校级期末）在如图甲所示的电路中，电阻R1＝R2＝R，圆形金属线圈半径为r1，线圈导线的电阻也为R，半径为r2（r2＜r1）的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计。t＝0时闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是（　　）
A．线圈中产生的感应电动势的大小为
B．电容器下极板带负电
C．t0时间内流过R1的电量为
D．稳定后线圈两端的电压为
（2022秋 青浦区校级期末）如图甲所示，单匝矩形线圈abcd垂直固定在匀强磁场中，规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。以向下方向为安培力正方向，下列关于bc段导线受到的安培力F随时间变化的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023春 洛阳期末）如图所示为一简易发电机的原理图，光滑圆形导轨置于磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，导轨半径l＝0.4m，磁场方向垂直于导轨所在平面。长为l的导体棒ab的电阻r＝0.1Ω，a端在圆心处，b端与导轨相接，导体棒以ω＝30rad/s的角速度绕a端匀速转动，运动过程中与导轨接触良好。a、b端用导线连接R＝0.4Ω的电阻，导线不影响导体棒的运动，其它电阻不计。求：
（1）导体棒ab两端的电压；
（2）导体棒克服安培力做功的功率。
（2022秋 邢台期末）如图所示，半径为L的小圆与半径为3L的圆形金属导轨拥有共同的圆心，在小圆与导轨之间的环形区域存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。现将一长度为3L的导体棒置于磁场中，让其一端O点与圆心重合，另一端A点与圆形导轨接触良好。在O点与导轨间接入一阻值为R的电阻，导体棒以角速度ω绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动，导体棒的电阻为r，其他部分电阻不计，下列说法正确的是（　　）
A．A点的电势比O点的电势低
B．电阻R两端的电压为4BL2ω
C．在导体棒旋转一周的时间内，通过电阻R的电荷量为
D．在导体棒旋转一周的时间内，电阻R产生的焦耳热为
（2022秋 鼓楼区校级期末）如图，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R（指拉直时两端的电阻），磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A铰链连接的长度为2a、电阻为的导体棒AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v。此时AB两端的电压大小为（　　）
A．Bav B． C． D．
（2023 新课标）一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1＝2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
（2023 浙江）如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的两轻质横杆组成，且L 2l。线框通有恒定电流I0，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置半径远小于a，面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度ω匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量By与时间的近似关系如图2所示，图中B0已知。
（1）求0到时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经时间角速度减小量为，设线框与圆环的能量转换效率为k，求Δω的值（当0＜x 1，有（1﹣x）2≈1﹣2x）。
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专题13.3　电磁感应中的电路及图像问题
科学思维：电磁感应规律的理解和应用。
楞次定律、闭合电路欧姆定律、右手定则、左手定则等综合分析电磁感应中电路与图象问题
【知识点一】电磁感应中的电路问题
1．电源：切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．对应的感应电动势分别为E＝Blv、E＝n.
2．电流：闭合电路中的感应电流I可由闭合电路的欧姆定律求出，即I＝，路端电压U＝IR＝E－Ir.
3．电势：在外电路中，电流由高电势流向低电势；在内电路中，电流由低电势流向高电势．
4．通过导体的电荷量：q＝Δt＝Δt＝n··Δt＝n.
5．“三步走”分析电磁感应中的电路问题
类型1 感生电动势作电源
（多选）（2023 长沙模拟）如图所示，固定的均匀矩形铝框abcd，长度为2L，宽度为L，左边边长为L的正方形区域abef内存在与铝框平面垂直的匀强磁场。已知铝的电阻率为ρ，单位体积内的自由电子数为n，电子的电荷量为e。某时刻起，磁感应强度以变化率均匀增加。则（　　）
A．空间中产生顺时针方向的恒定电场
B．铝框中的自由电子受到电场力的作用顺时针方向定向移动形成电流
C．自由电子定向移动的平均速率
D．一个电子沿铝框运动一周，电场力做功W＝ekL2
【解答】解：AB、磁感应强度以变化率均匀增加，穿过铝框的磁通量向里增大，根据楞次定律，变化的磁场产生逆时针方向的电场，铝框中的自由电子在电场力的作用下顺时针方向定向移动形成电流，故A错误，B正确；
C、铝框中产生的感应电动势为
由E＝IR，I＝neSv，得：，故C正确；
D、一个电子沿铝框运动一周，电场力做功为W＝eE＝ekL2，故D正确。
故选：BCD。
（2023 岳阳模拟）如图所示，半径为r的圆形区域内存在方向竖直向上，磁感应强度大小随时间变化的匀强磁场中，关系为B＝kt（k＞0且为常量）。现将单位长度电阻为R、半径为x的金属圆环放入这个磁场中，圆环与磁场边界为同心圆。下列说法正确的是（　　）
A．若x为2r时，圆环产生的感应电动势大小为4kπr2
B．从上往下看，金属圆环中的电流沿顺时针方向，且电流随时间均匀增大
C．若x分别为和2r时，圆环中产生的感应电动势的比值为1：4
D．若x分别为和2r时，单位时间内圆环中产生焦耳热的比值为1：1
【解答】解：A．若x为2r时，有效面积为S＝πr2，根据法拉第电磁感应定律可得圆环产生的感应电动势大小为，故A错误；
B．由楞次定律可得，金属圆环中的电流沿顺时针方向，由于感应电动势为定值，则感应电流也为定值，故B错误；
CD．若x为，根据法拉第电磁感应定律可得圆环产生的感应电动势大小为
若x分别为和2r时，圆环中产生的感应电动势的比值为：
单位时间内圆环中产生焦耳热为，其中，则，故C正确，D错误。
故选：C。
（2023 海淀区校级三模）在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。
（1）利用图甲所示的电路可以产生动生电动势。设匀强磁场的磁感应强度为B，金属棒ab的长度为L，在外力作用下以速度v水平向右匀速运动。此时金属棒中电子所受洛伦兹力f沿棒方向的分力f1即为“电源”内部的非静电力。设电子的电荷量为e，求电子从棒的一端运动到另一端的过程中f1做的功。
（2）均匀变化的磁场会在空间激发感生电场，该电场为涡旋电场，其电场线是一系列同心圆，单个圆上的电场强度大小处处相等，如图乙所示。在某均匀变化的磁场中，将一个半径为r的金属圆环置于相同半径的电场线位置处。从圆环的两端点a、b引出两根导线，与阻值为R的电阻和内阻不计的电流表串接起来，如图丙所示。金属圆环的电阻为R0，圆环两端点a、b间的距离可忽略不计，除金属圆环外其他部分均在磁场外。此时金属圆环中的自由电子受到的感生电场力F即为非静电力。若电路中电流表显示的示数为I，电子的电荷量为e，求：
a.金属环中感应电动势E感大小；
b.金属圆环中自由电子受到的感生电场力F的大小。
（3）直流电动机的工作原理可以简化为如图丁所示的情景。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场，两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。电阻不计。电阻为R的金属杆ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道端点MP间接有内阻不计、电动势为E的直流电源。杆ab的中点O用水平绳系一个静置在地面上、质量为m的物块，最初细绳处于伸直状态（细绳足够长）。闭合电键S后，杆ab拉着物块由静止开始做加速运动。由于杆ab切割磁感线，因而产生感应电动势E'，且E'同电路中的电流方向相反称为反电动势，这时电路中的总电动势等于直流电源电动势E和反电动势E'之差。
a.请分析杆ab在加速的过程中所受安培力F如何变化，并求杆的最终速度vm；
b.当电路中的电流为I时，请证明电源的电能转化为机械能的功率为E'I。
【解答】解：（1）电子一方向随金属棒一起运动，另一方向在金属棒内沿与电流方向的反方向运动，电子所受洛伦兹力如图所示；
金属棒中电子所受洛伦兹力f沿棒方向的分力f1＝evB
沿棒方向的分力f1做功：W1＝f1L＝evBL；
（2）a、根据闭合电路的欧姆定律可得金属环中的感应电动势大小为：E感＝I（R0+R）；
b、金属环中电子从a沿环运动到b过程中，感生电场力F做的功：WF＝F 2πr，
感生电动势：E感
解得：F；
（3）a、杆ab在加速的过程中，杆切割磁感线的速度v增大，杆切割磁感线产生的感应电动势E'＝BLv，故E'增大，回路中的电流为：
I
可知，电路中的电流I减小，杆所受安培力F＝BIL减小。
设细绳的拉力为T，杆的质量为m0，对杆根据牛顿第二定律可得：F﹣T＝m0a
物块以相同的加速度大小向上做加速运动，对物块根据牛顿第二定律可得：T﹣mg＝ma
解得：F＝mg+（m+m0）a
F减小，杆的加速度a减小，当F＝mg时，a为零，此时杆达到最终速度vm。
此时杆上产生的感应电动势E'＝BLvm
所以有：B L＝mg
解得：vm；
b、由I得：IR＝E﹣E′
两边同乘以I，经整理得EI＝I2R+E'I
由上式可以看出，电源提供的电能（功率为EI），一部分转化为了电路中产生的焦耳热（热功率为I2R），另一部分即为克服反电动势做功（功率为E'I）消耗的电能，这部分能量通过电磁感应转化为了杆和物块的机械能。
答：（1）电子从棒的一端运动到另一端的过程中f1做的功为evBL；
（2）a.金属环中感应电动势E感大小为I（R0+R）；
b.金属圆环中自由电子受到的感生电场力F的大小为；
（3）a.杆ab在加速的过程中所受安培力F逐渐减小，杆的最终速度为；
b.证明见解析。
类型2 动生电动势作电源
（多选）（2023 道里区校级模拟）如图所示为法拉第圆盘发电机，半径为r的铜质圆盘绕其中心O的竖直轴以恒定角速度ω顺时针转动（从上向下看），空间中存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆盘平面和磁感线垂直，两电刷C、D分别与铜盘中心轴和边缘接触，两电刷间接有阻值为R的电阻，下列说法正确的是（　　）
A．O点电势比D点高
B．通过R电流方向由下至上
C．发电机电动势为E
D．发电机电动势为E＝Br2ω
【解答】解：AB、圆盘转动时，相当于每条半径都在切割磁感线，根据右手定则，磁感线穿过掌心，大拇指指向运动方向，四指所指方向为感应电流的方向，四指所在这一端相当于正极，可知O点电势比D点电势高，通过电阻R电流方向由上至下，故A正确，B错误；
CD、圆盘边缘点的线速度v＝ωr，发电机产生的电动势，故C正确，D错误。
故选：AC。
（多选）（2023 合肥模拟）一个圆形金属框和三根相同的导体棒OA、OC、OD焊接成如图所示的形状，金属框的阻值忽略不计，导体棒的阻值均为r，长度均为R，且互成120°，以O为圆心、R为半径的90°扇形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，使金属框绕O点以角速度ω逆时针匀速转动，下列说法正确的是（　　）
A．OA棒内的电流方向一直为从O指向A
B．当OA棒在磁场中时，AO两点间的电势差为
C．OA棒内的最大电流为
D．每转一周，三根导体棒所产总热量为
【解答】解：A、当OA在磁场区域切割磁感线时，由右手定则知OA中电流方向从O指向A，当其他两棒切割磁感线时，通过OA的电流方向从A指向O，两种情况下电流方向不同，故A错误；
BC、当OA棒在磁场中切割磁感线时，OA是电源，通过OA的电流达到最大，OB与OC是外电路的两个并联电阻，此时OA上的电动势为：
则AO两端的电势差即路端电压：
此时OA（电源）上电流为：，故B正确，C错误；
D、每根导体棒转过磁场区域时间内，闭合回路产生的焦耳热为：Q0＝EIt
则每转一周，三根导体棒所产总热量为：，故D正确。
故选：BD。
（2023 江苏二模）如图甲所示，一条南北走向的小路，路口设有出入道闸，每侧道闸金属杆长L，当有车辆通过时杆会从水平位置匀速转过90°直到竖起，所用时间为t。此处地磁场方向如图乙所示，B为地磁场总量，BH为地磁场水平分量，Bx、By、Bz分别为地磁场在x、y、z三个方向上的分量大小。则杆在转动升起的过程中，两端电势差的大小计算表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可知，杆从水平位置匀速转过90°直到竖起，所用时间为t，可知金属杆的角速度为：
由于小路沿南北方向，则金属杆转动过程切割Bx磁场分量，则金属杆两端电势差的大小为：
联立解得：，故BCD错误，A正确。
故选：A。
【知识点二】电磁感应中的图像问题
电磁感应中常见的图象问题
图象类型 (1)随时间变化的图象，如B t图象、Φ t图象、E t图象、I t图象 (2)随位移变化的图象，如E x图象、I x图象 (所以要先看坐标轴：哪个物理量随哪个物理量变化要弄清)
问题类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象(画图象) (2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量(用图象)
应用知识 四个规律 左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律
六类公式 (1)平均电动势E＝n (2)平动切割电动势E＝Blv (3)转动切割电动势E＝Bl2ω (4)闭合电路欧姆定律I＝ (5)安培力F＝BIl (6)牛顿运动定律的相关公式等
（2023 重庆模拟）如图所示，在y轴与直线x＝L之间区域有垂直纸面向外的匀强磁场，在直线x＝L与直线x＝2L之间区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。现有一直径为L的圆形导线框，从图示位置开始，在外力F（未画出）的作用下沿x轴正方向匀速穿过磁场区域。线框中感应电流（逆时针方向为正方向）与导线框移动的位移x的变化关系图像中正确的（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设导线框匀速运动的速度为v，导线框电阻为R。
在0≤x＜L过程，导线框进入左侧磁场，导线框的磁通量向外增大，根据楞次定律可知，感应电流为顺时针方向（负方向），导线框切割磁感线的有效长度先增大后减小，根据闭合电路欧姆定律，有，可知导线框的电流先增大后减小，此过程中的最大电流为
在L≤x＜2L过程，导线框从左侧磁场进入右侧磁场，导线框的磁通量从向外减小到向里增大，根据楞次定律可知，感应电流为逆时针方向（正方向），又因为导线框切割磁感线的有效长度先增大后减小，根据闭合电路的欧姆定律，有，可知导线框的电流先增大后减小，此过程中的最大电流为；
在2L≤x＜3L过程，导线框离开右侧磁场，导线框的磁通量垂直于线框平面向里，且减小，根据楞次定律可知，感应电流为顺时针方向（负方向），导线框切割磁感线的有效长度先增大后减小，根据闭合电路欧姆定律，有，可知导线框的电流先增大后减小，且此此过程中的最大电流为，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023 岳麓区校级模拟）如图所示，一正方形金属框，边长为，电阻为R，匀强磁场区域Ⅰ、Ⅲ的磁感应强度大小为2B，方向垂直纸面向内，匀强磁场区域Ⅱ、Ⅳ的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，正方形金属框匀速穿过磁场区域，速度大小为v，方向向右，与磁场边界垂直，产生的感应电流与时间的关系图像为（电流正方向为逆时针方向）（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：在0～过程中，线圈进入磁场Ⅰ，有效长度逐渐增加，当全部进入磁场Ⅰ时，即t时感应电流大小为：I1，方向为逆时针方向；
在～过程中，线圈从Ⅰ进入磁场Ⅱ，有效长度逐渐减小，感应电流逐渐减小，当线圈全部进入磁场Ⅱ时，即t时刻，感应电流：I2，方向逆时针方向；
在～过程中，线圈从Ⅱ进入磁场Ⅲ，有效长度逐渐减小后反向增加，感应电流逐渐减小后反向增加，当线圈全部进入磁场Ⅲ时，即t时刻，感应电流I3，方向顺时针方向；
在～过程中，线圈从Ⅲ进入磁场Ⅳ，有效长度逐渐减小，感应电流逐渐减小，当线圈全部进入磁场Ⅳ时整个线圈也全部进入磁场，此时即t时刻感应电流：I4＝0，方向顺时针方向；
以后整个线圈开始出离磁场，当t时，感应电流大小为：I5，方向为顺时针方向，对比图像可知，只有选项A正确，故A正确、BCD错误。
故选：A。
（2023 昌平区二模）如图1所示，矩形导线框abcd固定在变化的磁场中，线框平面与磁场垂直。线框中产生的感应电流如图2所示（规定电流沿abcd为正）。若规定垂直纸面向里为磁场正方向，能够产生如图所示的电流的磁场为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由图可知，0﹣t1内，线圈中的电流的大小与方向都不变，根据法拉第电磁感应定律可知，线圈中的磁通量的变化率相同，故0﹣t1内磁场与时间的关系是一条斜线。
又由于0﹣t1时间内电流的方向为正，由楞次定律可知，电路中感应电流的磁场的方向向里，与原磁场的方向相同，所以是向里的磁场减小，或向外的磁场增大；
故C正确，ABD错误；
故选：C。
（2023 南岗区校级四模）如图所示，边长为L的单匝均匀金属线框置于光滑水平桌面上，在拉力作用下以恒定速度通过宽度为D、方向竖直向下的有界匀强磁场，线框的边长L小于有界磁场的宽度D，在整个过程中线框的ab边始终与磁场的边界平行，若以I表示通过线框的电流（规定逆时针为正）、F表示拉力、P表示拉力的功率、Uab表示线框ab两点间的电势差，则下列反映这些物理量随时间变化的图像中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、线框中的感应电流大小为I，大小保持不变，由楞次定律可知，线框进入磁场时感应电流为逆时针方向（正值），离开磁场时电流为顺时针方向（负值），故A错误；
BC、由于线框匀速运动，故满足F＝BIL，进出磁场时线框所受安培力均向左，大小恒定，故拉力F均向右，大小恒定，当线框完全进入磁场后，拉力应为0，拉力的功率为P＝Fv。进出磁场时功率相同，故B错误，C正确；
D、进入磁场时ab边切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，ab两点间电压为路端电压，即UabE；离开磁场时cd边相当于电源，ab只是外电路的一部分，此时ab两点间的电压为U'abE；当线框完全在磁场中运动时，虽无感应电流，但ab、cd均向右切割磁感线，ab间电压等于电动势E，对比图像可知D图错误，故D错误。
故选：C。
（2023 五华区校级模拟）如图所示，一个平行于纸面的等腰直角三角形导线框，水平向右匀速运动，穿过宽度为d的匀强磁场区域，三角形两直角边长度为2d，线框中产生随时间变化的感应电流i，下列图形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：在时间内，线框进入磁场时磁通量向里增加，根据楞次定律可知，感应电流的磁场向外，因此感应电流沿逆时针方向。随着线框的运动，导线切割磁感线有效长度均匀减小，产生的感应电动势均匀减小，感应电流均匀减小；
在时间内，穿过线框的磁通量向里减小，根据楞次定律知，感应电流沿顺时针方向，穿过线框的磁通量均匀减小，产生的感应电流不变；
在时间内，时间内，穿过线框的磁通量向里减少，根据楞次定律知，感应电流沿顺时针方向，线框有效切割长度均匀减小，产生的感应电动势均匀减小，感应电流均匀减小，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 沙坪坝区校级模拟）空间中存在如图所示的磁场，Ⅰ、Ⅱ区域的宽度均为2R，磁感应强度均为B（Ⅰ区域垂直纸面向里，Ⅱ区域垂直纸面向外），半径为R的圆形导线框在外力作用下以速度v匀速通过磁场区域，设任意时刻导线框中电流为I（逆时针为正），导线框所受安培力为F（向左为正），从导线框刚进入Ⅰ区域开始将向右运动的位移记为x，则下列图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：B.当圆环在磁场I区域向右运动过程中，设圆环切割磁感线的等效长度为1，则有，整理得l＝2，则圆环产生的感应电动势为E＝Blv，感应电流为I，可知电流与位移不成线性相关，故B错误；
A、当圆环圆心运动到Ⅰ、Ⅱ区域的边界时，此时产生的感应电流大小为I'，即x＝3R的电流大小为x＝R的电流的两倍，方向沿着顺时针方向，故A错误；
CD.通过分析可知，除了x＝2R、x＝4R、x＝6R三个特殊位置，电流为0，受力为0，在0＜x＜6R区域内，圆环受力方向水平向左，若圆环在x＝R位置受力为F0，则圆环在x＝3R处，由于电流变为2倍，圆环左右半圆均受力，因此圆环受力为4F0，故C错误，D正确；
故选：D。
（2023 浙江）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（　　）
A．电源电动势E0
B．棒消耗的焦耳热Mgl
C．从左向右运动时，最大摆角小于
D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
【解答】解：A、以棒为研究对象，画出前视的受力图，如图所示：
根据平衡条件可得：F安＝Mgtanθ，其中：F安＝BIL
解得：I
电源电动势E0＝IR，故A错误；
B、假设棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中，达到最低点时速度为零，则棒的重力势能减少：ΔEp＝Mgl（1﹣cosθ），解得：ΔEpMgl，根据能量守恒定律可知棒消耗的焦耳热Mgl；由于棒达到最低点时的速度不为零，则完成一次振动过程中，棒消耗的焦耳热小于Mgl，故B错误；
C、棒从右侧开始运动达到最左侧过程中，回路中有感应电流，导体棒上会产生焦耳热，所以达到左侧最高点时，棒的最大摆角小于；从左向右运动时，根据右手定则可知，电流反向通过二极管，由于二极管具有单向导电性，所以回路中没有电流，则棒从左向右运动时，最大摆角小于，故C正确；
D、棒第一次经过最低点向左摆动过程中，回路中有感应电流，棒的机械能有损失，所以第二次经过最低点时的速度小于第二次经过最低点的速度，根据E＝BLv可知，第二次经过最低点时感应电动势大小小于第一次经过最低点的感应电动势大小，故D错误。
故选：C。
（2023 辽宁）如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设导体棒长为L，匀速转动的角速度为ω，线速度大小为v，t时刻导体棒相对竖直轴OP转动的角度为θ，如图1所示：
在t时刻导体棒的线速度沿垂直磁场方向的分速度大小v1＝vcosθ，其中：θ＝ωt
由法拉第电磁感应定律可得：u＝BLv1＝BLvcosωt
可知导体棒两端的电势差u随时间t按余弦规律变化，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（多选）（2023 甲卷）一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离。如图（a）所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图（b）所示。则（　　）
A．小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B．下落过程中，小磁体的N极、S极上下顺倒了8次
C．下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
【解答】解：A、从图（b）可知，线圈中电流的最大值随着时间的增加而越来越大，由闭合电路欧姆定律I（E为单匝线圈产生的瞬时电动势、R为电路总电阻）可知，线圈中感应电动势的最大值Emax越来越大，根据法拉第电磁感应定律E可知，S不变，则越来越大，可知小磁体在玻璃管内下降速度越来越快，故A正确；
B、从图（b）可知，电流的方向反复改变了8次，这是由于小磁体下落通过每一匝线圈过程中，对单匝线圈来说，其磁通量都是先增加后减小，由楞次定律可知，每一个单匝线圈中感应电动势、感应电流的方向也会由正方向变到负方向，而不是小磁体的N、S极上下颠倒，故B错误；
C、从图（b）可知，小磁体下落过程中，线圈中的电流，大小在变，方向会变，最大值也在变，所以线圈受到的安培力会一直在变、且最大值逐渐增大，由牛顿第三定律可知，线圈给小磁体的作用力也一直在变、且最大值逐渐增大，即小磁体受到的电磁阻力一直在变，故C错误；
D、从图（b）可知，小磁体通过线圈下部过程中线圈中电流最大值大于小磁体通过线圈上部过程中线圈中电流最大值，由闭合电路欧姆定律I可知，小磁体通过线圈下部过程中线圈中产生的感应电动势最大值要相对更大，根据法拉第电磁感应定律E可知，与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大，故D正确。
故选：AD。
（2023春 成都期末）如图，电阻不计的光滑平行金属导轨竖直放置，金属导轨足够长，下端接一电阻R，整个空间存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场。t＝0时刻，将一金属杆ab以初速度v0竖直向上抛出，t＝t1时金属杆ab又返回到出发位置，金属杆ab在运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触。下列图像能正确描述在0～t1这段时间内金属杆ab的速度与时间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律有：F安＝BIL＝B L
竖直向上的过程中金属棒受到两个竖直向下的力—重力与安培力，做减速运动
根据牛顿第二定律有：
解得：
所以金属杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，直到速度为0；
同理，竖直向下的过程中，有：
解得：
随着金属杆ab的速度增加，金属杆做加速度逐渐减小的加速运动。由于安培力做负功，返回时速度的大小应该比v0小，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2022秋 李沧区校级期末）由螺线管、电阻和水平放置的平行板电容器组成的电路如图（a）所示。其中，螺线管匝数为N，横截面积为S1；电容器两极板间距为d，极板面积为S2，板间介质为空气（可视为真空，介电常数为1）。螺线管位于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B随时间t变化的B﹣t图像如图（b）所示。一电荷量为q的颗粒在t1～t2时间内悬停在电容器中，重力加速度大小为g，静电力常量为k，电容器电容为。则（　　）
A．颗粒带正电
B．颗粒质量为
C．t1～t2时间内，a点电势高于b点电势
D．电容器极板带电量大小为
【解答】解：A、由楞次定律可知，电容器上板带正电，下板带负电，板间场强向下。对颗粒，由平衡条件可知，颗粒所受电场力向上，与场强方向相反，则颗粒带负电，故A错误；
B、由法拉第电磁感应定律可得电容器板间电压，对颗粒，由平衡条件可知，联立解得，故B错误；
C、t1～t2时间内，螺线管中产生恒定的电动势，则电路中无电流，则a、b两点电势相等，故C错误；
D、电容器的电容为，两板间的电势差为，联立解得电容器极板带电量大小：，故D正确。
故选：D。
（2022秋 南岗区校级期末）在如图甲所示的电路中，电阻R1＝R2＝R，圆形金属线圈半径为r1，线圈导线的电阻也为R，半径为r2（r2＜r1）的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计。t＝0时闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是（　　）
A．线圈中产生的感应电动势的大小为
B．电容器下极板带负电
C．t0时间内流过R1的电量为
D．稳定后线圈两端的电压为
【解答】解：A、由法拉第电磁感应定律知，线圈中产生的感应电动势为，故A错误；
B、由楞次定律知线圈中的感应电流方向沿顺时针方向，金属线圈相当于电源，电源内部的电流从负极流向正极，则电容器的下极板带正电，上极板带负电，故B错误；
C、由闭合电路欧姆定律得线圈中感应电流为，t0时间内流过R1的电量为，故C错误；
D、稳定后线圈两端的电压为U＝I（R1+R2），故D正确；
故选：D。
（2022秋 青浦区校级期末）如图甲所示，单匝矩形线圈abcd垂直固定在匀强磁场中，规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。以向下方向为安培力正方向，下列关于bc段导线受到的安培力F随时间变化的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据法拉第电磁感应定律有：E S
结合闭合电路欧姆定律可知：I
bc段导线受到的安培力F＝BIL＝B
B﹣t图像的斜率即为，由此可知0～3s内感应电流大小不变，根据楞次定律可判断电流方向为顺时针方向，由左手定则可判断出bc段导线受到的安培力方向先向下后向上，大小先减小后增大（与磁感应强度B成正比）；同理3～6s内，电流方向为逆时针方向，bc段导线受到的安培力方向先向下后向上，大小先减小后增大。故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023春 洛阳期末）如图所示为一简易发电机的原理图，光滑圆形导轨置于磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，导轨半径l＝0.4m，磁场方向垂直于导轨所在平面。长为l的导体棒ab的电阻r＝0.1Ω，a端在圆心处，b端与导轨相接，导体棒以ω＝30rad/s的角速度绕a端匀速转动，运动过程中与导轨接触良好。a、b端用导线连接R＝0.4Ω的电阻，导线不影响导体棒的运动，其它电阻不计。求：
（1）导体棒ab两端的电压；
（2）导体棒克服安培力做功的功率。
【解答】解：（1）导体棒转动切割磁感应线产生的感应电动势为：E＝BlBl
代入数据解得：E＝1.2V
回路中的电流：IA＝2.4A
导体棒ab两端的电压：U＝IR＝2.4×0.4V＝0.96V；
（2）导体棒克服安培力做功的功率等于电源总功率，即：P＝EI＝1.2×2.4W＝2.88W。
答：（1）导体棒ab两端的电压为0.96V；
（2）导体棒克服安培力做功的功率为2.88W。
（2022秋 邢台期末）如图所示，半径为L的小圆与半径为3L的圆形金属导轨拥有共同的圆心，在小圆与导轨之间的环形区域存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。现将一长度为3L的导体棒置于磁场中，让其一端O点与圆心重合，另一端A点与圆形导轨接触良好。在O点与导轨间接入一阻值为R的电阻，导体棒以角速度ω绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动，导体棒的电阻为r，其他部分电阻不计，下列说法正确的是（　　）
A．A点的电势比O点的电势低
B．电阻R两端的电压为4BL2ω
C．在导体棒旋转一周的时间内，通过电阻R的电荷量为
D．在导体棒旋转一周的时间内，电阻R产生的焦耳热为
【解答】解：A．由右手定则可知，外电路中感应电流由A流向O，则O点电势比A点电势低，故A错误；
B．根据拉法第电磁感应定律可得：
感应电动势为：
根据欧姆定律可得，电阻两端的电压为：
，故B错误；
C．电路中电流为
周期为
在导体棒旋转一周的时间内，通过电阻的电荷量为，故C正确；
D．在导体棒旋转一周的时间内，电阻产生的焦耳热为，故D错误。
故选：C。
（2022秋 鼓楼区校级期末）如图，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R（指拉直时两端的电阻），磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A铰链连接的长度为2a、电阻为的导体棒AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v。此时AB两端的电压大小为（　　）
A．Bav B． C． D．
【解答】解：当摆到竖直位置时，导体棒产生的感应电动势为E＝B 2a2Ba Bav
外电路的电阻为
干路电流为
AB两端的电压U＝IR′
联立解得：U，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2023 新课标）一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1＝2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
【解答】解：（1）根据法拉第电磁感应定律可得，金属框进入磁场过程中，设运动的时间为t，感应电动势的平均值为：
其中，
根据电荷量的定义式可知，金属框进入磁场过程中流过金属框的电荷量为：
根据楞次定律可知，金属框进入磁场和离开磁场的过程中电流方向相反，但安培力始终水平向左，设两个过程中的电荷量的绝对值之和为q，则
对整个过程，选择水平向右的方向为正方向，设金属框的初速度为v0，对金属框根据动量定理可得：
联立解得：v0
（2）设金属框进入磁场的末速度为v1，因为导轨电阻忽略不计，此时金属框上下部分被短路，根据电路构造可知此时电路中的总电阻为：
R总
金属框进入磁场的过程中，以水平向右为正方向，则
解得：
根据能量守恒定律可得：
根据电阻的比值关系可得此过程中电阻R1产生的热量为：
联立解得：
金属框完全在磁场中过程，金属框的左右两边框同时切割磁感线，可等效为两个电源并联和R1构成回路，此时回路的为：
R总1＝R1
假设金属框的右边能够到达磁场右边界，且速度为v2，以水平向右为正方向，根据动量定理可得：
解得：v2＝0
可知金属框的右边恰好能到达磁场右边界，根据能量守恒定律可得此过程产生的总热量为：
此过程中电阻R1产生的热量为：
联立解得：
整个过程中电阻R1产生的热量为：
Q总＝QR1+QR1′
代入数据解得：Q总
答：（1）金属框的初速度大小为；
（2）金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量为。
（2023 浙江）如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的两轻质横杆组成，且L 2l。线框通有恒定电流I0，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置半径远小于a，面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度ω匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量By与时间的近似关系如图2所示，图中B0已知。
（1）求0到时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经时间角速度减小量为，设线框与圆环的能量转换效率为k，求Δω的值（当0＜x 1，有（1﹣x）2≈1﹣2x）。
【解答】解：（1）由电流定义式得：q
由闭合电路欧姆定律得：
由法拉第电磁感应定律得：
0到时间内圆环的磁通量变化量的绝对值为：ΔΦ＝B0S﹣（﹣B0S）＝2B0S
联立解得：q；
（2）在时间内，圆环的磁通量不变，故圆环中的感应电流为零；
在时间内，感应电动势为：E S
沿y轴正方向看，由楞次定律判断感应电流为顺时针方向，故为负值，则此时间内感应电流为：
I；
（3）由图（2）的对称性可知，圆环中电流的有效值可用半个周期时间内的热等效求得，则有
I2RI有2R
解得：I有；
（4）已知经时间角速度减小量为，则此时间内线框的动能减小量为：
ΔEk 2m（ωl）2 2m[（ω﹣Δω）l]2＝mω2l2[1﹣（1）2]＝mω2l2[1﹣（1）2]＝mω2l2 22mωl2Δω
此时间内圆环产生的焦耳热为：Q＝I有2R
已知线框与圆环的能量转换效率为k，则有：Q＝kΔEk
解得：Δω。
答：（1）0到时间内，流过圆环横截面的电荷量q为；
（2）在时间内，圆环中的电流与时间的关系为：时间内电流为零，时间内电流为；
（3）圆环中电流的有效值为；
（4）Δω的值为。
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