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专题1.2　运动图像问题　追及相遇问题
1.物理观念：匀速直线运动、匀变速直线运动、非匀变速直线运动模型。追及、相遇。
(1)知道常见直线运动的特点能结合图像语言将其转化为对应的运动模型。
(2)能结合图像、情景建构追及相遇模型树立运动观。
2.科学思维：在特定情境中运用图像解决问题。
(1).能将图像语言转变为匀变速直线运动模型进而运用匀变速直线运动的规律进行求解-----转换思维
(2)能将多物体运动的具体情景转化为情景图、函数图像并利用图像解决问题------分析问题解决问题
3..科学态度与责任：以生产、生活实际为背景的匀变速直线运动规律的应用。
能将以生产、生活，交通运输实际为背景的情景试题运用匀变速直线运动的特点去情境化建立物理模型并用相关规律求解，以此体会物理学科分析问题的科学方法同时感悟物理知识在生产、生活中的应用。
【知识点一】　运动图象的理解
1.两类图象的比较
x t图象 v t图象
轴 纵轴——位移 横轴——时间 纵轴——速度 横轴——时间
线 运动物体的位移与时间的关系 运动物体的速度与时间的关系
斜率 某点的斜率表示该点的瞬时速度 某点的斜率表示该点的加速度
点 两线交点表示两物体相遇 两线交点表示两物体该时刻速度相同
面积 无意义 图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
截距 在纵轴上的截距表示t＝0时的位移 在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
2.三点说明
(1)x t图象与v t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；
(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
3、非常规图象
(1)a－t图象
由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
(2)－t图象
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示．
(3)v2－x图象
由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a.
(4)x－v图象
x与v的关系式：2ax＝v2－v02，图象表达式：x＝v2－v02.
（2023 苏州三模）一物块在水平外力作用下由静止开始沿光滑水平面做直线运动，其速度v随位移x变化的图像如图所示，下列关于物块速度v随时间t、加速度a随速度v变化的图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 云阳县模拟）某一小车从静止开始在水平方向上做直线运动，其运动过程中的加速度随时间变化关系如图所示，则关于小车的运动下列说法中正确的是（　　）
A．小车做先加速后减速，再加速再减速的单向直线运动
B．小车做往复直线运动，速度反向时刻为1s、3s末
C．小车做往复直线运动，且可以运动到出发点的另一侧
D．小车运动过程中的最大速度为2.5m/s
（2023 长沙二模）图像法、微元累积法是常用的物理研究方法。如图所示某质点沿直线运动，运动速率的倒数与位移x的关系（OA与AA'距离相等），关于质点的运动，下列说法正确的是（　　）
A．质点做匀变速直线运动
B．图线斜率等于质点运动的加速度
C．图线与轴围成的面积没有实际的物理意义
D．质点从C运动到C′所用的运动时间是从O运动到C所用时间的3倍
【知识点二】　运动图象的应用
1．读图
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．
（2023 甲卷）一小车沿直线运动，从t＝0开始由静止匀加速至t＝t1时刻，此后做匀减速运动，到t＝t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 兴庆区校级四模）2023年1月16日时速600公里的常导磁悬浮列车亮相《奇妙中国》，传说中的贴地飞行梦想成真，如图所示为常导磁悬浮列车进站时的图像，进站过程可视为匀变速直线运动。下列说法正确的是（　　）
A．常导磁悬浮列车在时的速度为
B．阴影部分的面积表示常导磁悬浮列车在时间内通过的位移
C．常导磁悬浮列车在t0时刻安全停靠到站台
D．常导磁悬浮列车进站时的加速度大小为
（2023 思明区校级模拟）用速度传感器记录电动车直线运动过程的运动信息，其速度随时间变化的规律如图所示，由图像可知电动车（　　）
A．a、b两状态速度的方向相反
B．a、b两状态加速度大小相等
C．t＝80秒时回到t＝0时刻的位置
D．a至c过程中加速度逐渐减小
【知识点三】　追及相遇问题
题型一　与运动学图像相结合的追及相遇问题---数形结合思想
1.根据两个物体的v－t图象分析追及相遇问题：
(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.
(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.
2.根据两个物体的运动状态作出v－t图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情况，分阶段画出v－t图象，再通过定量计算分析得出结果.
利用v－t图象分析追及相遇问题更直观、简捷.
（2023 鼓楼区校级三模）甲、乙两车在高速公路相邻的直车道上行驶t＝0时刻，甲车在前，乙车在后，两车的速度—时间图像如图所示，则（　　）
A．t＝20s时两车可能相遇
B．0～10s内甲车的平均速度是乙车的2倍
C．0～20s内甲车的加速度是乙车的2倍
D．0～20s内甲车的位移比乙车的大150m
（多选）（2023 甘肃二模）假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前乙车在后，速度均为v0＝30m/s。甲、乙两车相距x0＝100m，在t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（　　）
A．0～3s内两车间距逐渐增大
B．t＝6s时两车距离最近，且最近距离为10m
C．6～9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大
D．两车在0～9s内会相撞
（2023 岳阳一模）歼﹣20是我国自主研制的新一代隐身战斗机，具有隐身好、机动性强、战斗力强等特点。在某次模拟演习中，歼﹣20巡航时发现前方5km处有一敌机正在匀速逃跑。歼﹣20立即加速追赶，在追赶的过程中两飞机的v﹣t图像如图所示。则下面说法正确的是（　　）
A．歼﹣20追上敌机的最短时间为14s
B．歼﹣20加速时的加速度大小为50m/s2
C．在追上敌机前，歼﹣20与敌机的最大距离为900m
D．在追击的过程中，歼﹣20的最大速度为700m/s
题型二　以实际相结合的追及相遇模型
1．追及、相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过题干或画运动示意图得到．
2．追及、相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB.
3．解题思路和方法

（2023 万年县校级一模）大雾天气会影响驾驶员安全驾驶，因此开车在路上时如遇大雾应该保持车距、控制车速。某大雾天，一辆小汽车在水平直线公路上以72km/h速度匀速行驶，突然发现前方一货车正以36km/h速度匀速行驶。小汽车驾驶员经过1s反应时间后开始刹车（假设在反应时间内汽车的车速不变），刹车的加速度大小为2m/s2，小汽车恰好没撞上货车，那么小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为（　　）
A．30m B．35m C．40m D．45m
（2022秋 南岸区校级期末）一辆长L0＝1.5m的自行车正以v＝3m/s的速度向前行驶，在其车尾后方s0＝20m远处的另一条车道上有一辆长L＝3m的小轿车正以v0＝10m/s同向行驶。由于小轿车要在前方50m站点处停车接受检查，便在此时开始刹车使之做匀减速运动，结果车头恰停在站点处。不考虑小轿车的再次启动，则下列说法正确的是（　　）
A．小轿车刹车的加速度大小为2m/s2
B．从小轿车开始刹车计时，小轿车（车头）从后方追至自行车车尾所需的时间为3s
C．两车第一次错车所需时间为3s
D．两车第二次错车时间为s
（多选）（2023 洪山区校级模拟）电子设备之间在一定距离范围内可以通过蓝牙连接进行数据交换，已经配对过的两电子设备，当距离小于某一值时，会自动连接；一旦超过该值时，蓝牙信号便会立即中断，无法正常通讯。某次实验中，分别安装在甲、乙两小车上的两电子设备已通过蓝牙配对成功，其正常通讯的有效距离为d＝10m。两车运动路线在同一条直线上（两车略微错开，不会相撞）。如图所示，甲车以v1＝1m/s的初速度经过O点，向右做加速度大小a1＝0.1m/s2的匀加速直线运动。同时乙车以初速度v2＝6m/s向右经过O点左侧6m处，并立即以a2＝0.4m/s2的加速度刹车，停车后开始以a2＝0.4m/s2的加速度向左运动。以此时刻为计时起点，忽略蓝牙信号连接延迟，下列说法正确的是（　　）
A．t＝4s时信号第一次中断
B．t＝16s时信号第一次恢复
C．信号第二次中断时，甲在O右边55m处
D．从信号第一次恢复到信号第二次中断，甲的位移为20m
（2023 香坊区校级模拟）在奥运会男子双人跳板决赛中，中国选手谢思埸、王宗源获得冠军。从运动员离开跳板开始计时，跳水过程中运动员重心的v﹣t图像如图所示，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，运动员的运动轨迹视为直线。则下列说法正确的是（　　）
A．运动员在入水前做的是自由落体运动
B．运动员在t＝2s时已浮出水面
C．运动员双脚离开跳板后重心上升的高度为0.2m
D．运动员在1～2s内的位移大小可能为8m
（2023 桃城区校级模拟）甲、乙两物体做同向直线运动，计时开始时都位于坐标原点处，从计时开始两物体运动的v2﹣x图像（速度的平方与位移关系图像）如图所示。已知乙做匀加速运动的加速度为a，根据图像所提供的信息，下列说法正确的是（　　）
A．两物体在x0处相遇
B．甲的速度为
C．甲、乙速度相等的时刻为
D．甲与乙的最大距离为x0
（2023 潍坊模拟）在足球训练场上，某球员将足球以初速度v0踢出后，立即从静止开始沿直线加速向足球追去，经一段时间后追上了还在向前滚动的足球。球员和足球这一运动过程的v﹣t图像如图所示，关于这一过程的判断正确的是（　　）
A．球员的速度变大，加速度变大
B．球员的最大速度可能等于v0
C．球员的平均速度一定小于
D．t0时刻球员追上足球
（2023 海口模拟）两架无人机a、b同时从同一地点竖直向上直线飞行，速度v随时间t变化的关系如图所示，则（　　）
A．15s时，b在a的上方
B．0～10s，a的加速度小于b加速度
C．0～20s，b处于失重状态
D．0～30s，a、b的平均速度相等
（2023 黄埔区三模）在一次足球比赛中，队友甲示意队友乙向前跑。当队友乙在图中位置以某一速度匀速前跑时，队友甲将足球从静止瞬间踢起，足球轨迹如图所示且刚好落在队友乙的脚下。用v表示队友乙与足球的水平速度，s表示水平位移。速率越大，空气阻力越大，从踢起足球到落地，下列图像大致能反映乙和球的运动情况的是（　　）
A． B．
C． D．
（2022 榆林二模）2021年7月，云南的亚洲象北上引发人们关注，有关部门已采取措施引导象群返回了原栖息地．象群经过某一平直路段时，一小象因贪玩落后象群里的象妈妈40m处时才察觉，于是小象立刻由静止开始以大小为1m/s2的加速度追赶象妈妈．若象妈妈以大小为1m/s的速度匀速前行，小象达到最大速度4m/s后的速度保持不变．下列说法正确的是（　　）
A．从小象开始追赶象妈妈起，经2s它们相距最远
B．小象追赶象妈妈的过程中，与象妈妈的最远距离为41m
C．从小象开始追赶象妈妈起，经15s小象追上象妈妈
D．小象追赶象妈妈过程中的位移大小为56m
（2022 吉林二模）甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v﹣t图象如图所示，图中ΔOPQ和ΔOQT的面积分别为S1和S2（S1＜S2）计时开始时，甲、乙两车相距S在两车运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．若甲车在乙车前方且S0＝S1，两车相遇2次
B．若甲车在乙车前方且S0＞S1，两车相遇2次
C．若乙车在甲车前方且S0＝S2，两车不会相遇
D．若乙车在甲车前方且S0＝S1，甲车追上乙车前，在T时刻相距最远
（2022 阜宁县校级模拟）如图甲所示。竖直面内θ＝30°的倾斜轨道与相同材料足够长的水平轨道平滑连接，质量m＝0.9kg的物块B静止在水平轨道的最左端.t＝0时刻，物块A由倾斜轨道上端从静止下滑，一段时间后与B发生碰撞，物块A运动的v﹣t图像如图乙所示，已知碰后物块B的速度为1m/s。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。
（1）求物块A与轨道间的动摩擦因数μ1；
（2）求物块A在前3s内，克服摩擦力做的功；
（3）若要保证两物块再次相碰，求物块B与轨道间的摩擦因数μ2应满足的条件。
（2022 晋中二模）我国5G技术和应用居世界前列，无人驾驶汽车是利用先进的5G技术制造的汽车。在不少大城市已经使用无人驾驶公交车。无人驾驶汽车上配有主动刹车系统，当车速超过30km/h时，汽车主动刹车系统会启动预判：车载电脑通过雷达采集数据在t0＝0.6s内进行分析预判，若预判汽车以原速度行驶后可能会发生事故，汽车会立即主动刹车。现有一无人驾驶汽车正以v1＝36km/h的速度匀速行驶，在它的正前方相距L＝20m处有一大货车正以v2＝28.8km/h的速度匀速行驶。若取重力加速度g＝10m/s2，问：
（1）预判结束时，两车之间的距离。
（2）若预判结束时，汽车立即开始以a＜4m/s2的加速度刹车，同时大货车开始减速行驶，且刹车时大货车所受阻力与车重的比值可k＝0.32，则要使两车不相撞，求汽车加速度a的取值范围。（计算出的数据请保留3位有效数字）
（2022 海南一模）如图所示，水平路面上质量M＝4×103kg的卡车车厢中部放有质量m＝2×103kg的货物，已知货物前端距车厢前壁的距离为l＝2.5m，货物与车厢底部的动摩擦因数μ＝0.5，假设货物与车厢之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）要使货物不在车厢内滑动，求卡车加速运动的最大加速度；
（2）若卡车以v0＝10m/s的速度匀速行驶时，突遇紧急情况刹车，刹车过程卡车所受阻力为其对地压力的，试通过计算判断货物是否会与车厢前壁发生碰撞。
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专题1.2　运动图像问题　追及相遇问题
1.物理观念：匀速直线运动、匀变速直线运动、非匀变速直线运动模型。追及、相遇。
(1)知道常见直线运动的特点能结合图像语言将其转化为对应的运动模型。
(2)能结合图像、情景建构追及相遇模型树立运动观。
2.科学思维：在特定情境中运用图像解决问题。
(1).能将图像语言转变为匀变速直线运动模型进而运用匀变速直线运动的规律进行求解-----转换思维
(2)能将多物体运动的具体情景转化为情景图、函数图像并利用图像解决问题------分析问题解决问题
3..科学态度与责任：以生产、生活实际为背景的匀变速直线运动规律的应用。
能将以生产、生活，交通运输实际为背景的情景试题运用匀变速直线运动的特点去情境化建立物理模型并用相关规律求解，以此体会物理学科分析问题的科学方法同时感悟物理知识在生产、生活中的应用。
【知识点一】　运动图象的理解
1.两类图象的比较
x t图象 v t图象
轴 纵轴——位移 横轴——时间 纵轴——速度 横轴——时间
线 运动物体的位移与时间的关系 运动物体的速度与时间的关系
斜率 某点的斜率表示该点的瞬时速度 某点的斜率表示该点的加速度
点 两线交点表示两物体相遇 两线交点表示两物体该时刻速度相同
面积 无意义 图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
截距 在纵轴上的截距表示t＝0时的位移 在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
2.三点说明
(1)x t图象与v t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；
(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
3、非常规图象
(1)a－t图象
由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
(2)－t图象
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示．
(3)v2－x图象
由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a.
(4)x－v图象
x与v的关系式：2ax＝v2－v02，图象表达式：x＝v2－v02.
（2023 苏州三模）一物块在水平外力作用下由静止开始沿光滑水平面做直线运动，其速度v随位移x变化的图像如图所示，下列关于物块速度v随时间t、加速度a随速度v变化的图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由v﹣x图像可知：
则有 k，解得：a＝kv
可知位移增大，速度增大，加速度随速度的增大且与速度成正比，结合v﹣t图像的斜率表示加速度，可知v﹣t图线的切线斜率增大，a﹣v图线是过原点的直线，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 云阳县模拟）某一小车从静止开始在水平方向上做直线运动，其运动过程中的加速度随时间变化关系如图所示，则关于小车的运动下列说法中正确的是（　　）
A．小车做先加速后减速，再加速再减速的单向直线运动
B．小车做往复直线运动，速度反向时刻为1s、3s末
C．小车做往复直线运动，且可以运动到出发点的另一侧
D．小车运动过程中的最大速度为2.5m/s
【解答】解：ABC、由a﹣t图像可知，0～1s内，小车沿正向做加速度增大的加速直线运动，1s～2s内小车沿正向做加速度减小的减速直线运动，由对称性知2s末小车速度恰好减为零，2s～3s内小车沿负向做加速度增大的加速度直线运动，3s～4s内小车沿负向做加速度减小的减速直线运动，4s末小车速度恰好减到零，接着周而复始；由于速度的变化也是对称的，所以正向位移和负向位移相等，即4s末小车回到初始位置，所以小车做往复直线运动，在一个周期（周期为4s）内，0﹣2s内与2﹣4s内速度反向，故ABC错误；
D、由上分析可知，小车在1s末或3s末速度达到最大，结合a﹣t图线与时间轴所围的面积表示速度的变化，所以最大速度为，故D正确。
故选：D。
（2023 长沙二模）图像法、微元累积法是常用的物理研究方法。如图所示某质点沿直线运动，运动速率的倒数与位移x的关系（OA与AA'距离相等），关于质点的运动，下列说法正确的是（　　）
A．质点做匀变速直线运动
B．图线斜率等于质点运动的加速度
C．图线与轴围成的面积没有实际的物理意义
D．质点从C运动到C′所用的运动时间是从O运动到C所用时间的3倍
【解答】解：A、图像是一条过原点的倾斜直线，可知与x成正比，则图像的斜率
即有
假设质点做匀变速运动，则有
解得：
可知，如果质点做匀变速运动，加速度一定，则为一个定值，即速度v一定，而实际上，根据图像可知，随质点位移的增大，质点的速度减小，质点做减速直线运动，可知假设不成立，质点做的是加速度变化的变速直线运动，故A错误；
B、图像的斜率，v的单位是m/s，x的单位是m，根据单位运算可知，斜率k的单位为s/m2，而加速度的单位为m/s2，可知，图线斜率不等于质点运动的加速度，故B错误；
C、根据微元法可知，图像与横轴所围图形的面积表示时间，故C错误；
D、由于三角形OBC的面积
S1OC OA
根据上述，该面积体现了从O到C所用的时间，同理，从O到C'所用的时间
根据题意有OA＝AA'，OC＝CC'，OA'＝2OA
解得：S2＝3S1，则质点从C运动到C′所用的运动时间是从O运动到C所用时间的3倍，故D正确.
故选：D。
【知识点二】　运动图象的应用
1．读图
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．
（2023 甲卷）一小车沿直线运动，从t＝0开始由静止匀加速至t＝t1时刻，此后做匀减速运动，到t＝t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：AC、小车沿直线运动，先匀加速后匀减速，从0～t2位移一直增加，速度一直沿正方向，在x﹣t图像上斜率不等于负值，故AC错误；
BD、小车在t2时刻速度为零，x﹣t图像上斜率为零，故B错误，D正确。
故选：D。
（2023 兴庆区校级四模）2023年1月16日时速600公里的常导磁悬浮列车亮相《奇妙中国》，传说中的贴地飞行梦想成真，如图所示为常导磁悬浮列车进站时的图像，进站过程可视为匀变速直线运动。下列说法正确的是（　　）
A．常导磁悬浮列车在时的速度为
B．阴影部分的面积表示常导磁悬浮列车在时间内通过的位移
C．常导磁悬浮列车在t0时刻安全停靠到站台
D．常导磁悬浮列车进站时的加速度大小为
【解答】解：ACD、常导磁悬浮列车进站过程可视为匀变速运动，根据位移—时间公式变形得：
可知图像的斜率为，纵轴截距为v0，因此常导磁悬浮列车的加速度大小为a，初速度为b，根据速度—时间关系式v＝v0﹣at
代入数据可得在时的速度为0，因此常导磁悬浮列车在时刻安全停靠到站台，故AC错误，D正确。
B、为时间内的平均速度，所以时间内常导磁悬浮列车的位移为，故B错误。
故选：D。
（2023 思明区校级模拟）用速度传感器记录电动车直线运动过程的运动信息，其速度随时间变化的规律如图所示，由图像可知电动车（　　）
A．a、b两状态速度的方向相反
B．a、b两状态加速度大小相等
C．t＝80秒时回到t＝0时刻的位置
D．a至c过程中加速度逐渐减小
【解答】解：A、a、b两状态速度均为正值，则速度方向均为正方向，故A错误；
B、速度—时间图像斜率表示加速度，由图知，a、b两状态加速度大小不等，故B错误；
C、电动车在运动过程速度一直为正，运动方向为正方向，保持不变，t＝80秒时离出发点最远，没有回到t＝0时刻的位置，故C错误；
D、速度—时间图像斜率表示加速度，由图象可知，从a至c过程中加速度逐渐减小，故D正确。
故选：D。
【知识点三】　追及相遇问题
题型一　与运动学图像相结合的追及相遇问题---数形结合思想
1.根据两个物体的v－t图象分析追及相遇问题：
(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.
(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.
2.根据两个物体的运动状态作出v－t图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情况，分阶段画出v－t图象，再通过定量计算分析得出结果.
利用v－t图象分析追及相遇问题更直观、简捷.
（2023 鼓楼区校级三模）甲、乙两车在高速公路相邻的直车道上行驶t＝0时刻，甲车在前，乙车在后，两车的速度—时间图像如图所示，则（　　）
A．t＝20s时两车可能相遇
B．0～10s内甲车的平均速度是乙车的2倍
C．0～20s内甲车的加速度是乙车的2倍
D．0～20s内甲车的位移比乙车的大150m
【解答】解：A、v﹣t图像与坐标轴所围面积表示位移，由图像得，0～20s内甲车的位移大于乙车的位移，由题意可知t＝0时，甲车在前，乙车在后，则t＝20s时，甲车一定在乙车的前方，故A错误；
B、由图像得，t＝0时，甲车的速度为15m/s，乙车的速度为0，t＝10s时，甲车的速度为22.5m/s，乙车的速度为15m/s
匀变速直线运动的平均速度是初末速度的平均值，则0～10s内甲车的平均速度为m/s＝18.75m/s
乙车的平均速度为m/s＝7.5m/s
则甲车的平均速度不是乙车的2倍，故B错误；
C、v﹣t图像的斜率表示加速度，由图像得，甲车的加速度a甲m/s2＝0.75m/s2
乙车的加速度a甲m/s2＝1.5m/s2＝2a甲
则乙车的加速度是甲的加速度的两倍，故C错误；
D、v﹣t图像与坐标轴所围面积表示位移，由图像得，0～20s内甲车的位移为x甲20m＝450m
乙车的位移为x乙20m＝300m
甲车的位移比乙车的位移多Δx＝x甲﹣x乙＝450m﹣300m＝150m，故D正确。
故选：D。
（多选）（2023 甘肃二模）假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前乙车在后，速度均为v0＝30m/s。甲、乙两车相距x0＝100m，在t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（　　）
A．0～3s内两车间距逐渐增大
B．t＝6s时两车距离最近，且最近距离为10m
C．6～9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大
D．两车在0～9s内会相撞
【解答】解：A．由图可知0～3s内，甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，甲车在乙车前面，则两车间距逐渐减小，故A错误；
B．根据题意作出两车的速度—时间图象，如图：
由图可知t＝6s时两车速度相等，阴影部分面积代表0～6s内两车的位移差为，即两车在t＝6s时距离最近，最近距离为s＝x0﹣Δx＝100m﹣90m＝10m，故B正确；
CD．由图可看出6～9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，由于6s时甲在前距离乙车10m的位置，故在0～9s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故C正确，D错误。
故选：BC。
（2023 岳阳一模）歼﹣20是我国自主研制的新一代隐身战斗机，具有隐身好、机动性强、战斗力强等特点。在某次模拟演习中，歼﹣20巡航时发现前方5km处有一敌机正在匀速逃跑。歼﹣20立即加速追赶，在追赶的过程中两飞机的v﹣t图像如图所示。则下面说法正确的是（　　）
A．歼﹣20追上敌机的最短时间为14s
B．歼﹣20加速时的加速度大小为50m/s2
C．在追上敌机前，歼﹣20与敌机的最大距离为900m
D．在追击的过程中，歼﹣20的最大速度为700m/s
【解答】解：B．v﹣t图像中图线斜率表示加速度，由，故B正确；
A．前14s内歼﹣20与敌机的位移分别为
x敌＝v1t＝400×14m＝5600m，则Δx＝x我﹣x敌＝700m＜5km，
因此歼﹣20在第14s末并未追上敌机，所以最短时间大于14s；故A错误；
C．当歼﹣20与敌机速度相同时，即在第6s末，歼﹣20与敌机的距离最大，根据v﹣t图像图线与x轴的面积表示位移可得歼﹣20与敌机的最大距离为 ，故C错误；
D．由图可知在第14s末歼﹣20达到最大速度，即800m/s，故D错误。
故选B。
题型二　以实际相结合的追及相遇模型
1．追及、相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过题干或画运动示意图得到．
2．追及、相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB.
3．解题思路和方法

（2023 万年县校级一模）大雾天气会影响驾驶员安全驾驶，因此开车在路上时如遇大雾应该保持车距、控制车速。某大雾天，一辆小汽车在水平直线公路上以72km/h速度匀速行驶，突然发现前方一货车正以36km/h速度匀速行驶。小汽车驾驶员经过1s反应时间后开始刹车（假设在反应时间内汽车的车速不变），刹车的加速度大小为2m/s2，小汽车恰好没撞上货车，那么小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为（　　）
A．30m B．35m C．40m D．45m
【解答】解：小汽车的初速度v0＝72km/h＝20m/s
货车的速度为v＝36km/h＝10m/s
小汽车恰好没撞上货车，即小汽车与货车速度相等时，恰好追上货车，设两车共速时间为t，有：v0﹣at＝v
代入数据解得：t＝5s
小汽车位移为x1＝v0Δt+v0tat2
货车的位移为x2＝v（Δt+t）
小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为Δx＝x1﹣x2
代入数据联立解得：Δx＝35m
故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2022秋 南岸区校级期末）一辆长L0＝1.5m的自行车正以v＝3m/s的速度向前行驶，在其车尾后方s0＝20m远处的另一条车道上有一辆长L＝3m的小轿车正以v0＝10m/s同向行驶。由于小轿车要在前方50m站点处停车接受检查，便在此时开始刹车使之做匀减速运动，结果车头恰停在站点处。不考虑小轿车的再次启动，则下列说法正确的是（　　）
A．小轿车刹车的加速度大小为2m/s2
B．从小轿车开始刹车计时，小轿车（车头）从后方追至自行车车尾所需的时间为3s
C．两车第一次错车所需时间为3s
D．两车第二次错车时间为s
【解答】解：A、设小轿车的加速度大小为a，由匀变速直线运动位移—速度公式得：v02＝2ax
代入数据解得：a＝1m/s2
故A错误；
B、设从小轿车开始刹车计时，小轿车（车头）从后方追至自行车车尾所需的时间为t1，则两车位移之差等于s0，由位移—时间公式得：v0t1at12﹣vt1＝s0
代入数据解得：t1＝4s或10s（为第二次相遇的时间，舍去）
故B错误；
C、设从小轿车开始刹车计时，小轿车（车尾）到达自行车车头所需的时间为t2，则两车位移之差等于L+L0+s0，由位移—时间公式得：v0t2at22﹣vt2＝L+L0+s0
代入数据解得：t2＝7s
两车第一次错车所需时间为Δt1＝t2﹣t1＝7s﹣4s＝3s
故C正确；
D、汽车做匀减速直线运动的时间t3s＝10s
由B得，此时，小轿车（车头）和自行车车尾第二次相遇，采用逆向思维，汽车可逆向看作初速度为0的匀加速直线运动，设两次错车的时间为t，由位移—时间公式得：at2+L+L0＝vt
代入数据解得：t＝3s
故D错误。
故选：C。
（多选）（2023 洪山区校级模拟）电子设备之间在一定距离范围内可以通过蓝牙连接进行数据交换，已经配对过的两电子设备，当距离小于某一值时，会自动连接；一旦超过该值时，蓝牙信号便会立即中断，无法正常通讯。某次实验中，分别安装在甲、乙两小车上的两电子设备已通过蓝牙配对成功，其正常通讯的有效距离为d＝10m。两车运动路线在同一条直线上（两车略微错开，不会相撞）。如图所示，甲车以v1＝1m/s的初速度经过O点，向右做加速度大小a1＝0.1m/s2的匀加速直线运动。同时乙车以初速度v2＝6m/s向右经过O点左侧6m处，并立即以a2＝0.4m/s2的加速度刹车，停车后开始以a2＝0.4m/s2的加速度向左运动。以此时刻为计时起点，忽略蓝牙信号连接延迟，下列说法正确的是（　　）
A．t＝4s时信号第一次中断
B．t＝16s时信号第一次恢复
C．信号第二次中断时，甲在O右边55m处
D．从信号第一次恢复到信号第二次中断，甲的位移为20m
【解答】解：AB、设经过t时间甲、乙两车第一次距离达到10米，则：x乙1﹣x甲1＝d+x0
其中：x乙1＝v2ta2t2
x甲1＝v1ta1t2
代入数据联立解得：t＝4s或16s
则4s时信号第一次中断，16s时信号第一次恢复，故AB正确；
C、设经过t′时间，信号第二次中断，此时乙在甲左侧10m处，则：x甲2﹣x乙2＝d﹣x0
其中：x乙2＝v2t′a2t′2
x甲2＝v1t′a1t′2
代入数据联立解得：t′＝（10+2）s或（10﹣2）s（舍去）
x甲2＝（20.8+4）m≈42.34m
故C错误；
D、信号第一次恢复时，甲的位移为x甲1＝v1ta1t2＝1×16m0.1×162m＝28.8m
则从信号第一次恢复到信号第二次中断，甲的位移为Δx甲＝x甲2﹣x甲1＝42.34m﹣28.8m＝13.54m
故D错误。
故选：AB。
（2023 香坊区校级模拟）在奥运会男子双人跳板决赛中，中国选手谢思埸、王宗源获得冠军。从运动员离开跳板开始计时，跳水过程中运动员重心的v﹣t图像如图所示，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，运动员的运动轨迹视为直线。则下列说法正确的是（　　）
A．运动员在入水前做的是自由落体运动
B．运动员在t＝2s时已浮出水面
C．运动员双脚离开跳板后重心上升的高度为0.2m
D．运动员在1～2s内的位移大小可能为8m
【解答】解：A、运动员离开跳板时有向上的初速度，在入水前先是竖直上抛，后是自由落体运动，故A错误；
B、运动员在t＝2s时速度减为零，此时人处于水下的最深处，没有浮出水面，故B错误；
C、在0～0.2s运动员向上运动，由hgt2可知运动员双脚离开跳板后上升的高度为h10×（0.2）2m＝0.2m，故C正确。
D、根据匀变速运动v﹣t图像的面积表示位移，运动员在1～2s内入水下落过程，向下减速且加速度减小，位移大小xm＝4m，故D错误。
故选：C。
（2023 桃城区校级模拟）甲、乙两物体做同向直线运动，计时开始时都位于坐标原点处，从计时开始两物体运动的v2﹣x图像（速度的平方与位移关系图像）如图所示。已知乙做匀加速运动的加速度为a，根据图像所提供的信息，下列说法正确的是（　　）
A．两物体在x0处相遇
B．甲的速度为
C．甲、乙速度相等的时刻为
D．甲与乙的最大距离为x0
【解答】解：A、由图像可知，甲做匀速运动，乙开始时做匀加速运动，在x0处速度相等，则当甲、乙运动相等的位移x0时，运动时间不相等，即两物体不在同一时刻到达x0处，则两物体不在x0处相遇，A错误；
B、设甲的速度为v0，在0～x0位移内乙的加速度为a，由匀加速直线运动规律可得：
解得，故B错误；
C、由匀变速直线运动的速度—时间关系v0＝at，解得甲、乙速度相等的时刻为：，故C错误；
D、根据分析可知当甲、乙的速度相等时，相距最远，最远的距离为：，故D正确。
故选：D。
（2023 潍坊模拟）在足球训练场上，某球员将足球以初速度v0踢出后，立即从静止开始沿直线加速向足球追去，经一段时间后追上了还在向前滚动的足球。球员和足球这一运动过程的v﹣t图像如图所示，关于这一过程的判断正确的是（　　）
A．球员的速度变大，加速度变大
B．球员的最大速度可能等于v0
C．球员的平均速度一定小于
D．t0时刻球员追上足球
【解答】解：A、由图可知，球员的速度变大。根据v﹣t图像的斜率表示加速度，可知球员的加速度变小，故A错误；
B、球员做加速度减小的加速直线运动，足球做匀减速直线运动，球员追上足球时两者位移相等，根据v﹣t图像与时间轴所围的面积表示位移，由图像可知，球员的最大速度可能等于足球的最大速度v0，故B正确；
C、球员与足球的位移相等，时间相等，球员与足球的平均速度相等，均为，故C错误；
D、t0时刻球员与足球速度相同，此时相距最远，故D错误。
故选：B。
（2023 海口模拟）两架无人机a、b同时从同一地点竖直向上直线飞行，速度v随时间t变化的关系如图所示，则（　　）
A．15s时，b在a的上方
B．0～10s，a的加速度小于b加速度
C．0～20s，b处于失重状态
D．0～30s，a、b的平均速度相等
【解答】解：A、两架无人机a、b同时从同一地点竖直向上直线飞行，0～15s内，由a图像与时间轴围成面积比b的大，则a的位移大，所以15s时，a在b的上方，故A错误；
B、v﹣t图像的斜率表示加速度，0～10s内，由a图像的斜率比b的大，则a的加速度大于b加速度，故B错误；
C、v﹣t图像的斜率表示加速度，0～20s，b的加速度向上，则b处于超重状态，故C错误；
D、0～30s，a、b的图像与时间轴围成面积相同，即位移相同，时间相同，所以平均速度相等，故D正确。
故选：D。
（2023 黄埔区三模）在一次足球比赛中，队友甲示意队友乙向前跑。当队友乙在图中位置以某一速度匀速前跑时，队友甲将足球从静止瞬间踢起，足球轨迹如图所示且刚好落在队友乙的脚下。用v表示队友乙与足球的水平速度，s表示水平位移。速率越大，空气阻力越大，从踢起足球到落地，下列图像大致能反映乙和球的运动情况的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可知，球在水平方向只受到了阻力的作用，所以根据牛顿第二定律可知球的水平方向的加速度减小，故球的水平速度逐渐减小，所以水平方向上，球做加速度减小的减速运动，而乙做匀速直线运动；s﹣t图像的斜率表示速度，球做加速度减小的减速运动，即球的速度减小，即球的位移—时间图像斜率会变小；乙做匀速直线运动，位移随时间均匀增加。故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2022 榆林二模）2021年7月，云南的亚洲象北上引发人们关注，有关部门已采取措施引导象群返回了原栖息地．象群经过某一平直路段时，一小象因贪玩落后象群里的象妈妈40m处时才察觉，于是小象立刻由静止开始以大小为1m/s2的加速度追赶象妈妈．若象妈妈以大小为1m/s的速度匀速前行，小象达到最大速度4m/s后的速度保持不变．下列说法正确的是（　　）
A．从小象开始追赶象妈妈起，经2s它们相距最远
B．小象追赶象妈妈的过程中，与象妈妈的最远距离为41m
C．从小象开始追赶象妈妈起，经15s小象追上象妈妈
D．小象追赶象妈妈过程中的位移大小为56m
【解答】解：A、当小象与象群的速度相等时，它们相距最远，时间为：s＝1s，故A错误；
B、小象追赶象妈妈的过程中，与象妈妈的最远距离为：xm40m+1×1mm＝40.5m，故B错误；
C、小象达到最大速度的时间：s＝4s；
该过程中的位移：m＝8m＜x0
可知此时小象没有追上象妈妈，设再经过时间t3追上，则：x1+vmt3＝x0+v（t2+t3）
代入数据可得：t3＝12s
所以小象追上象妈妈的时间：t＝t2+t3＝4s+12s＝16s，故C错误；
D、小象追赶象妈妈过程中的位移大小为：x＝x1+vmt3＝8m+4×12m＝56m，故D正确。
故选：D。
（2022 吉林二模）甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v﹣t图象如图所示，图中ΔOPQ和ΔOQT的面积分别为S1和S2（S1＜S2）计时开始时，甲、乙两车相距S在两车运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．若甲车在乙车前方且S0＝S1，两车相遇2次
B．若甲车在乙车前方且S0＞S1，两车相遇2次
C．若乙车在甲车前方且S0＝S2，两车不会相遇
D．若乙车在甲车前方且S0＝S1，甲车追上乙车前，在T时刻相距最远
【解答】解：由图线可知在T时间内，甲车前进了S2，乙车前进了S1+S2，所以乙车甲车多走S1。
A、若甲车在乙车前方且S0＝S1，在T时刻乙车恰好追上甲车，但由于T时刻后甲车的速度比乙车的大，所以甲车与乙车只能相遇一次，故A错误；
B、若甲车在乙车前方且S0＞S1，在T时刻甲车没有追上乙车，但由于T时刻后甲车的速度比乙车的大，所以甲车与乙车不会相遇，故B错误；
CD、若乙车在甲车前方且S0＝S2，在T时刻之前，二者的距离越来越大，在T时刻之后，甲车的速度大于乙车，二者的距离越来越小，所以甲车追上乙车前，在T时刻相距最远，故C错误、D正确。
故选：D。
（2022 阜宁县校级模拟）如图甲所示。竖直面内θ＝30°的倾斜轨道与相同材料足够长的水平轨道平滑连接，质量m＝0.9kg的物块B静止在水平轨道的最左端.t＝0时刻，物块A由倾斜轨道上端从静止下滑，一段时间后与B发生碰撞，物块A运动的v﹣t图像如图乙所示，已知碰后物块B的速度为1m/s。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。
（1）求物块A与轨道间的动摩擦因数μ1；
（2）求物块A在前3s内，克服摩擦力做的功；
（3）若要保证两物块再次相碰，求物块B与轨道间的摩擦因数μ2应满足的条件。
【解答】解：（1）A沿倾斜轨道下滑的加速度大小为 a1
根据牛顿第二定律可得：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma，解得
（2）物块A与物块B碰撞后，速度反向，沿斜面向上运动的加速度大小为，解得
上滑的时间t′＝0.5s，故碰撞后反弹的速度为v′＝a2t′＝8×0.5m/s＝4m/s
在碰撞过程中，根据动量守恒定律可得：mAv0＝mAv′+mvB，解得mA＝0.1kg
故上滑和下滑通过的路程s
故在前3s内克服摩擦力做功W＝μmAgcos30°×s
（3）物体A再次返回到斜面底端的速度为v，xA4×0.5m＝1m，xA，代入得：1，v＝2m/s，在沿斜面向上运动的时间为t1，
在沿斜面向下运动的时间为t2＝1s，再经过时间t两物块相碰，则：v﹣μ1gt＝vB﹣μ2g（t+t1+t2）
联立解得t+1.5μ1gt＝4.5，t，代入得μ2＝0.068
所以若要保证两物块再次相碰，物块B与轨道间的摩擦因数0＜μ2≤0.068
答：（1）求物块A与轨道间的动摩擦因数为
（2）物块A在前3s内，克服摩擦力做的功为2.175J
（3）若要保证两物块再次相碰，求物块B与轨道间的摩擦因数0＜μ2≤0.068
（2022 晋中二模）我国5G技术和应用居世界前列，无人驾驶汽车是利用先进的5G技术制造的汽车。在不少大城市已经使用无人驾驶公交车。无人驾驶汽车上配有主动刹车系统，当车速超过30km/h时，汽车主动刹车系统会启动预判：车载电脑通过雷达采集数据在t0＝0.6s内进行分析预判，若预判汽车以原速度行驶后可能会发生事故，汽车会立即主动刹车。现有一无人驾驶汽车正以v1＝36km/h的速度匀速行驶，在它的正前方相距L＝20m处有一大货车正以v2＝28.8km/h的速度匀速行驶。若取重力加速度g＝10m/s2，问：
（1）预判结束时，两车之间的距离。
（2）若预判结束时，汽车立即开始以a＜4m/s2的加速度刹车，同时大货车开始减速行驶，且刹车时大货车所受阻力与车重的比值可k＝0.32，则要使两车不相撞，求汽车加速度a的取值范围。（计算出的数据请保留3位有效数字）
【解答】解：（1）由题意可知v1＝36km/h＝10m/s，v2＝28.8km/h＝8m/s，在t0＝0.6s内，汽车和大货车行驶的位移分别为
x1＝v1t0＝10×0.6m＝6m
x2＝v2t0＝8×0.6m＝4.8m
预判结束时，两车之间的距离为
x0＝L﹣x1+x2＝20m﹣6m+4.8m＝18.8m
（2）设汽车刹车总时间为t1，则有
0＝v1﹣at1
解得t1＞2.5s
大货车减速时的加速度大小为
a'＝kg＝0.32×10m/s2＝3.2m/s2
大货车刹车总时间为
所以大货车先停下来。
设汽车的刹车位移为x3，大货车的刹车位移为x4，根据运动学规律有
要使两车不相撞，应满足
x3≤x4+x0
联立代入数据解得1.74m/s2≤a＜4.00m/s2
答：（1）预判结束时，两车之间的距离为18.8m。
（2）汽车加速度a的取值范围为1.74m/s2≤a＜4.00m/s2。
（2022 海南一模）如图所示，水平路面上质量M＝4×103kg的卡车车厢中部放有质量m＝2×103kg的货物，已知货物前端距车厢前壁的距离为l＝2.5m，货物与车厢底部的动摩擦因数μ＝0.5，假设货物与车厢之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）要使货物不在车厢内滑动，求卡车加速运动的最大加速度；
（2）若卡车以v0＝10m/s的速度匀速行驶时，突遇紧急情况刹车，刹车过程卡车所受阻力为其对地压力的，试通过计算判断货物是否会与车厢前壁发生碰撞。
【解答】解：（1）设卡车行驶的最大加速度为a，对货物，由牛顿第二定律可得
μmg＝ma
代入数据解得a＝5m/s2
（2）设车厢减速运动的加速度大小为a1，则由牛顿第二定律可得
代入数据解得
卡车停止运动时向前行驶的距离为
代入数据解得x1＝6.25m
假设货物最终停止运动，则减速过程中向前滑动的距离为
代入数据解得x2＝10m
因x2﹣x1＝10m﹣6.25m＝3.75m＞l＝2.5m
故货物会与车厢前壁发生碰撞。
答：（1）要使货物不在车厢内滑动，卡车加速运动的最大加速度为5m/s2；
（2）若卡车以v0＝10m/s的速度匀速行驶时，突遇紧急情况刹车，刹车过程卡车所受阻力为其对地压力的，通过计算可知货物会与车厢前壁发生碰撞。
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