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专题2.2　受力分析　共点力的平衡
1.物理观念：受力分析、平衡条件。
(1)能应用三大性质力的特点及物体的运动状态分析物体的受力情况建立相互作用观。
(2)理解平衡的标志词如静止、匀速直线、缓慢等并能结合平衡条件建立物理方程。
2.科学思维：整体法、隔离法、合成法、分解法、矢量三角形法、相似三角形法、拉密定理。
(1).能用整体法、隔离法、等分析多物体系的受力情况。
(2)会利用合成法、分解法求解静态平衡类问题。
(3)会用矢量三角形法、相似三角形法、拉密定理等分析动态平衡问题。
3.科学态度与责任：在生产、生活情境中，体验物理学技术的应用。
能用静力学的知识解决以生活中的实际问题为背景的问题，体会物理学的应用价值激发学生学习欲望。
【知识点一】　物体的受力分析
1.力学中的五种力
种类 大小 方向
重力 G＝mg(不同高度、纬度、星球，g不同) 竖直向下
弹簧弹力 F＝kx(x为形变量) 沿弹簧轴线
静摩擦力 0＜Ff静≤Ffmax 与相对运动趋势方向相反
滑动摩擦力 Ff滑＝μFN 与相对运动方向相反
万有引力 F＝G 沿质点间的连线
2.受力分析
(1)把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图的过程。
(2)一般步骤
3.整体法与隔离法
整体法 隔离法
概念 将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力或系统整体的加速度 研究系统内物体之间的相互作用力
4.受力分析的两个技巧
(1)除了根据力的性质和特点进行判断，假设法是判断弹力、摩擦力有无及方向的常用方法.
(2)善于转换研究对象，尤其是弹力、摩擦力的方向不易判定的情形，可以分析与其接触物体的受力，再应用牛顿第三定律判定.
【方法总结】
受力分析的4个易错点
1．不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆．
2．每一个力都应找出其施力物体，不能无中生有．
3．合力和分力不能重复考虑．
4．对整体进行受力分析时，组成整体的几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成外力，要在受力分析图中画出．
整体法和隔离法的使用技巧
1. 当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法．
2. 在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法．
3. 整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．
（多选）（2022秋 洛阳期末）如图所示，甲、乙两人分别乘坐两种电动扶梯，此时两电梯均匀速向上运转，则（　　）
A．甲受到三个力的作用
B．甲对扶梯没有摩擦力的作用
C．乙受到三个力的作用
D．扶梯对乙的作用力方向竖直向上
（2022 浙江）如图所示，鱼儿摆尾击水跃出水面，吞食荷花花瓣的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．鱼儿吞食花瓣时鱼儿受力平衡
B．鱼儿摆尾出水时浮力大于重力
C．鱼儿摆尾击水时受到水的作用力
D．研究鱼儿摆尾击水跃出水面的动作可把鱼儿视为质点
（2022 市中区校级开学）如图所示，水平地面上固定一斜面，斜面的倾角为α，小斜劈B上表面水平，放置在斜面上，物块A处于小斜劈的上表面，通过两端带有铰链的轻杆与物块C相连，物块C紧靠墙面，墙面的倾角为θ，已知轻杆跟墙面垂直，物块 A、B、C均静止，α＜θ，关于物块的受力，下列说法正确的是（　　）
A．物块A对B产生的摩擦力水平向右
B．小斜劈B可能不受斜面的摩擦力
C．物块C的受力个数可能是3个
D．A对B的压力大小可能等于 A、C的重力之和
【知识点二】　静态平衡问题
1．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态，即a＝0.
2．平衡条件：F合＝0或.
3．平衡条件的推论
如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反．
4．三种常用方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
【方法总结】
常用的数学工具
(1)力的三角形为直角三角形：三角函数、勾股定理等。
(2)力的三角形为斜三角形：三角形相似、正、余弦定理等。
（2023 九龙坡区模拟）某瓜子破壳机如图甲，将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜子即可破壳。破壳机截面如图乙，瓜子的剖面可视作顶角为θ的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B之间，并用竖直向下的恒力F按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破开，忽略瓜子自重，不计摩擦，则（　　）
A．若仅增大A、B距离，瓜子对圆柱体A的压力增大
B．若仅增大A、B距离，瓜子对圆柱体A的压力减小
C．若A、B距离不变，顶角θ越大，瓜子对圆柱体B的压力越小
D．若A、B距离不变，顶角θ越大，瓜子对圆柱体B的压力越大
（2023 厦门模拟）如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑特色之一。屋顶部分结构如图乙所示，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的椽子正中间。已知椽子间距离为d，与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，圆弧半径为d，忽略瓦片厚度，重力加速度为g，则每根椽子对瓦片的支持力大小为（　　）
A． B． C． D．mgcosθ
（2023 龙华区校级二模）如图所示，两个可视为质点的光滑小球a和b，先用一刚性轻细杆相连，再用两根细绳两端分别连接a、b，并将细绳悬挂在O点。已知小球a和b的质量之比，细绳Oa的长度是细绳Ob的长度的倍，两球处于平衡状态时，绳Oa上的拉力大小为Fa，绳Ob上的拉力大小为Fb。则Fa：Fb为（　　）
A． B． C． D．
【知识点三】　共点力作用下物体的动态平衡
1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小或方向发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2．分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程得出未知量与已知量的关系表达式； (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化； (2)确定未知量大小、方向的变化
相似三角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式； (2)确定未知量大小的变化情况
【方法总结】
动态问题求解的思路
（2023 枣强县校级模拟）如图所示，装御工人利用斜面将一质量为m、可近似为光滑的油桶缓慢地推到汽车上。在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由水平方向逐渐变为与水平方向成60°角斜向上，已知斜面的倾角为θ＝30°，重力加速度为g，则关于工人对油桶的推力大小，下列说法正确的是（　　）
A．不变 B．逐渐变小
C．逐渐变大 D．最小值为
（2023 南充模拟）《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1000kV的高压线上带电作业的过程，如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔上的O点，另一端固定在兜篮D上，另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制，身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动到处于O点正下方E点的电缆处，绳OD一直处于伸直状态。兜篮、王进及携带的设备总质量为m，可看作质点，不计一切阻力，重力加速度大小为g。从C点运动到E点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．绳OD的拉力一直变小
B．绳CD的拉力一直变大
C．绳OD、CD拉力的合力大于mg
D．绳CD与竖直方向的夹角为30°时，绳CD的拉力为mg
（2023 台州模拟）如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板BC上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索OA在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直，腿与竖直玻璃墙的夹角，β＝53°，在下降过程中β角保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板BC保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳OA与竖直玻璃墙的夹角α＝37°，连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，且与OA在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量m＝60kg，小木板的质量可忽略不计。工人在稳定且未擦墙时，下列说法正确的是（　　）
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，脚对墙的作用力增大
B．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，绳OA的弹力增大
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小为360N
D．此时若工人不触碰轻绳，绳AB的张力大小为600N
【知识点四】　平衡中的临界与极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。
2.极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
【方法总结】
解决极值问题和临界问题的方法
极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
（多选）（2016 泗阳县校级一模）如图所示，用轻绳吊一个重为G的小球，欲施一力F使小球在图示位置平衡（θ＜30°），下列说法正确的是（　　）
A．力F最小值为Gsinθ
B．若力F与绳拉力大小相等，力F方向与竖直方向必成θ角
C．若力F与G大小相等，力F方向与竖直方向可能成θ角
D．若力F与G大小相等，力F方向与竖直方向可能成2θ角
（2022 茂南区校级模拟）由于突发状况消防车要紧急通过被石墩挡住的车道，消防员决定把石墩拉开，已知该石墩的质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.75，重力加速度大小为g，消防员要将石墩水平匀速拉动，认为滑动摩擦力等于静摩擦力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，消防员的最小拉力与水平方向的夹角为（　　）
A．60° B．53° C．45° D．37°
（多选）（2023 黄山三模）筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”。如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，使小球静止，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ（μ＝tanθ），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不考虑小球转动，则（　　）
A．每根筷子与小球间的弹力大小可能为mg
B．增大筷子与小球间的弹力，则筷子与小球的摩擦力不一定减小
C．增大筷子与小球间的弹力，小球一定会向上运动
D．若将两筷子与竖直方向夹角减为0°，小球一定不能平衡
（2023 海口模拟）2023年2月18日，首届中国（海南）东坡文化旅游大会开幕式在海口举行。开幕式上悬挂了许多大红灯笼。如图所示，重力为G的灯笼用细绳悬挂，在水平风力F的作用下偏离竖直方向一定的角度，并保持静止，此时细绳对灯笼的拉力为FT，则（　　）
A．FT＝G
B．F与FT的合力与G相同
C．若F增大，灯笼重新平衡时，则FT也增大
D．若F增大，灯笼重新平衡时，则F与FT的合力也增大
（2023 泉州模拟）如图，建筑工地上工人用砖夹把四块砖夹住，并用竖直向上的拉力F匀加速提起，砖与砖、砖与砖夹之间未发生相对滑动，每块砖的重力大小均为G，砖夹的质量不计。若F＝6G，则在加速提起过程中第2、3块砖之间的摩擦力大小为（　　）
A．0 B．G C．2G D．3G
（2023 玉林三模）如图所示，质量为m的圆环A，跨过定滑轮的细绳一端系在圆环A上，另一端系一物块B。细绳对圆环A的拉力方向水平向左。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆环A与固定直杆间动摩擦因数μ＝0.5，直杆倾角θ＝37°，cos37°＝0.8，要保证A不向上滑动，所悬挂的物块B质量不能超过（　　）
A．2m B． C． D．
（2023 黄浦区二模）如图，一昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间的夹角为θ，且六条足都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，则足的股节部分受到的拉力（　　）
A．增大 B．减小
C．不变 D．先减小后增大
（2023 毕节市模拟）如图所示，甲、乙两人做“拔河”游戏。两人分别用伸平的手掌托起木板的一端，保持木板水平。在甲端的木板上放两块砖，然后各自缓慢向两侧拖拉。若两人的手与木板的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则在“拔河”过程中，下列判断正确的是（　　）
A．甲的手和木板间的摩擦力较大
B．乙的手和木板间的摩擦力较大
C．甲的手和木板间不会有相对滑动
D．甲、乙“拔河”的力属于作用力与反作用力
（2023 邯郸一模）如图所示，两直梯下端放在水平地面上，上端靠在竖直墙壁上，相互平行，均处于静止状态。梯子与墙壁之间均无摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．梯子越长、越重，所受合力越大
B．地面对梯子的作用力一定竖直向上
C．地面对梯子的作用力可能沿梯子向上
D．地面对梯子的作用力与水平面的夹角大于梯子的倾角
（2023 鞍山二模）如图，一根不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于点O′的固定光滑轴，悬挂一质量为M的物体。轻绳OO′段水平，长度为L，绳子上套一可沿绳滑动的轻环P。现在轻环上悬挂一质量为m钩码，平衡后，物体上升L，则物体与钩码的质量之比为（　　）
A． B． C． D．
（多选）（2023 鼓楼区校级二模）如图所示，粗糙水平面上放着一横截面为圆的柱状物体A，固定竖直挡板与A物体之间放着一横截面为圆的光滑柱体B。系统平衡时，A、B两物体的接触点恰为圆弧的中点，已知B物体的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．竖直挡板与B物体间的弹力大小为mg
B．A、B两物体之间的弹力大小为mg
C．若将A稍右移并固定，竖直挡板与B间的弹力将增大
D．若将A稍右移并固定，A、B之间的弹力将减小
（2023 辽宁二模）如图为一个简易模型，截面为一内壁光滑的顶角为40°的等腰三角形框架，内部有一个小球，质量为m，其半径略小于内接圆半径，三角形各边有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。此时AC边恰好处于水平状态，现使框架以C为轴在竖直面内顺时针缓慢转动，直到AC边竖直，则在转动过程中（　　）
A．AB边对球的弹力一直增大
B．AC边对球的弹力一直增大
C．BC边对球的弹力一直增大
D．AC边对球的弹力先变小后变大
（2023 香坊区校级一模）如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　）
A．L B．L C．L D．L
（2023 延庆区一模）顶端装有滑轮的粗糙斜面固定在地面上，A、B两物体通过细绳如图连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦）。现用水平力F作用于悬挂的物体B上，使其缓慢拉动一小角度，发现A物体仍然静止。则在此过程中说法不正确的是（　　）
A．水平力F一定变大
B．物体A所受斜面给的摩擦力一定变大
C．物体A所受斜面给的支持力一定不变
D．细绳对物体A的拉力一定变大
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专题2.2　受力分析　共点力的平衡
1.物理观念：受力分析、平衡条件。
(1)能应用三大性质力的特点及物体的运动状态分析物体的受力情况建立相互作用观。
(2)理解平衡的标志词如静止、匀速直线、缓慢等并能结合平衡条件建立物理方程。
2.科学思维：整体法、隔离法、合成法、分解法、矢量三角形法、相似三角形法、拉密定理。
(1).能用整体法、隔离法、等分析多物体系的受力情况。
(2)会利用合成法、分解法求解静态平衡类问题。
(3)会用矢量三角形法、相似三角形法、拉密定理等分析动态平衡问题。
3.科学态度与责任：在生产、生活情境中，体验物理学技术的应用。
能用静力学的知识解决以生活中的实际问题为背景的问题，体会物理学的应用价值激发学生学习欲望。
【知识点一】　物体的受力分析
1.力学中的五种力
种类 大小 方向
重力 G＝mg(不同高度、纬度、星球，g不同) 竖直向下
弹簧弹力 F＝kx(x为形变量) 沿弹簧轴线
静摩擦力 0＜Ff静≤Ffmax 与相对运动趋势方向相反
滑动摩擦力 Ff滑＝μFN 与相对运动方向相反
万有引力 F＝G 沿质点间的连线
2.受力分析
(1)把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图的过程。
(2)一般步骤
3.整体法与隔离法
整体法 隔离法
概念 将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力或系统整体的加速度 研究系统内物体之间的相互作用力
4.受力分析的两个技巧
(1)除了根据力的性质和特点进行判断，假设法是判断弹力、摩擦力有无及方向的常用方法.
(2)善于转换研究对象，尤其是弹力、摩擦力的方向不易判定的情形，可以分析与其接触物体的受力，再应用牛顿第三定律判定.
【方法总结】
受力分析的4个易错点
1．不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆．
2．每一个力都应找出其施力物体，不能无中生有．
3．合力和分力不能重复考虑．
4．对整体进行受力分析时，组成整体的几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成外力，要在受力分析图中画出．
整体法和隔离法的使用技巧
1. 当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法．
2. 在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法．
3. 整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．
（多选）（2022秋 洛阳期末）如图所示，甲、乙两人分别乘坐两种电动扶梯，此时两电梯均匀速向上运转，则（　　）
A．甲受到三个力的作用
B．甲对扶梯没有摩擦力的作用
C．乙受到三个力的作用
D．扶梯对乙的作用力方向竖直向上
【解答】解：AB、题图甲中，人处于匀速直线运动状态，受力平衡，受到重力和支持力，不受摩擦力，支持力FN＝G＝mg，故A错误，B正确；
C、题图乙中，人处于匀速直线运动状态，受力平衡，受到重力、斜面的支持力FN以及沿斜面向上的摩擦力三个力作用，故C正确；
D、扶梯对人有支持力和摩擦力，如图所示，根据共点力作用下的平衡可知，支持力和摩擦力的合力与重力等大反向，故扶梯对人的作用力竖直向上，故D正确。
故选：BCD。
（2022 浙江）如图所示，鱼儿摆尾击水跃出水面，吞食荷花花瓣的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．鱼儿吞食花瓣时鱼儿受力平衡
B．鱼儿摆尾出水时浮力大于重力
C．鱼儿摆尾击水时受到水的作用力
D．研究鱼儿摆尾击水跃出水面的动作可把鱼儿视为质点
【解答】解：A．鱼儿吞食花瓣时鱼儿受重力和花瓣对它的作用力，鱼儿有下坠的趋势，合力向下，受力不平衡，重力大于花瓣对它的作用力，故A错误；
B．鱼儿在摆尾出水时在水里的体积减小，浮力减小，鱼儿能够出水是因为摆尾击水时受水对它向上的冲击力加上浮力大于重力，并不是浮力大于重力。故B错误；
C．鱼儿摆尾击水时给水作用力的同时，根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小相等，作用在不同的物体上，所以鱼儿摆尾击水时受到水的作用力。故C正确。
D．研究鱼儿摆尾击水跃出水面的具体动作时不能把鱼儿视为质点，故D错误。
故选：C。
（2022 市中区校级开学）如图所示，水平地面上固定一斜面，斜面的倾角为α，小斜劈B上表面水平，放置在斜面上，物块A处于小斜劈的上表面，通过两端带有铰链的轻杆与物块C相连，物块C紧靠墙面，墙面的倾角为θ，已知轻杆跟墙面垂直，物块 A、B、C均静止，α＜θ，关于物块的受力，下列说法正确的是（　　）
A．物块A对B产生的摩擦力水平向右
B．小斜劈B可能不受斜面的摩擦力
C．物块C的受力个数可能是3个
D．A对B的压力大小可能等于 A、C的重力之和
【解答】解A.物体A受力情况如图
A受到B给的摩擦力水平向右，则A对B的摩擦力水平向左，故A错误；
B.物体B的受力情况可能受到重力、斜面支持力、A对B的压力、A对B的摩擦力，如下图
在这几个的作用下物体可以处于平衡状态，小斜劈B可能不受斜面的摩擦力，故B正确；
C.根据平衡条件可知物块C的受到重力、杆的支持力，墙面的弹力和摩擦力共四个力，故C错误；
D.墙面对C物体一定有弹力和摩擦力，A对B的压力大小不可能等于 A、C的重力之和，故D错误。
故选：B。
【知识点二】　静态平衡问题
1．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态，即a＝0.
2．平衡条件：F合＝0或.
3．平衡条件的推论
如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反．
4．三种常用方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
【方法总结】
常用的数学工具
(1)力的三角形为直角三角形：三角函数、勾股定理等。
(2)力的三角形为斜三角形：三角形相似、正、余弦定理等。
（2023 九龙坡区模拟）某瓜子破壳机如图甲，将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜子即可破壳。破壳机截面如图乙，瓜子的剖面可视作顶角为θ的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B之间，并用竖直向下的恒力F按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破开，忽略瓜子自重，不计摩擦，则（　　）
A．若仅增大A、B距离，瓜子对圆柱体A的压力增大
B．若仅增大A、B距离，瓜子对圆柱体A的压力减小
C．若A、B距离不变，顶角θ越大，瓜子对圆柱体B的压力越小
D．若A、B距离不变，顶角θ越大，瓜子对圆柱体B的压力越大
【解答】解：AB、瓜子处于平衡状态，若仅增大A、B距离，A、B对瓜子的弹力方向始终垂直于接触面，由平行四边形定则得已知竖直向下的F大小和方向均不变，两分力即两弹力的方向也不变，可得唯一解，故弹力的大小也不变，故AB错误；
CD、若A、B距离不变，顶角θ越大，则A、B对瓜子压力的夹角减小，合力大小和方向均不变，则由平行四边形定则可得两大小相等且与瓜子表面垂直的两弹力F夹角减小，则两弹力减小，即瓜子对圆柱体B的压力越小，故C正确，D错误。
故选：C。
（2023 厦门模拟）如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑特色之一。屋顶部分结构如图乙所示，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的椽子正中间。已知椽子间距离为d，与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，圆弧半径为d，忽略瓦片厚度，重力加速度为g，则每根椽子对瓦片的支持力大小为（　　）
A． B． C． D．mgcosθ
【解答】解：根据题意，作垂直平分一片瓦片且垂直于椽子的截面，截面及受力分析图如图所示
A、B分别为截面上瓦片与两根椽子的接触点，两根椽子对瓦片的支持力的合力与瓦片垂直于椽子向下的重力分力mgcosθ等大反向。由题意△OAB为等边三角形，α＝30°。瓦片静止，所受合力为零，根据平衡关系、结合几何关系，可得
2FNcosα＝mgcosθ
解得：FNmgcosθ
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 龙华区校级二模）如图所示，两个可视为质点的光滑小球a和b，先用一刚性轻细杆相连，再用两根细绳两端分别连接a、b，并将细绳悬挂在O点。已知小球a和b的质量之比，细绳Oa的长度是细绳Ob的长度的倍，两球处于平衡状态时，绳Oa上的拉力大小为Fa，绳Ob上的拉力大小为Fb。则Fa：Fb为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：对a、b受力分析，如图所示
在图中过O点作竖直线交ab于c点，则△Oac与小球a的矢量三角形相似，△Obc与小球b的矢量三角形相似，故有
又有：，
联立各式解得：
故ACD错误，B正确。
故选：B。
【知识点三】　共点力作用下物体的动态平衡
1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小或方向发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2．分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程得出未知量与已知量的关系表达式； (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化； (2)确定未知量大小、方向的变化
相似三角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式； (2)确定未知量大小的变化情况
【方法总结】
动态问题求解的思路
（2023 枣强县校级模拟）如图所示，装御工人利用斜面将一质量为m、可近似为光滑的油桶缓慢地推到汽车上。在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由水平方向逐渐变为与水平方向成60°角斜向上，已知斜面的倾角为θ＝30°，重力加速度为g，则关于工人对油桶的推力大小，下列说法正确的是（　　）
A．不变 B．逐渐变小
C．逐渐变大 D．最小值为
【解答】解：分析油桶的受力情况，油桶受重力、斜面的支持力和推力，因油桶缓慢地推向汽车上，处于动态平衡状态，由三角形定则作出力的动态变化过程，如图所示
当水平推力F由水平方向逐渐变为与水平方向成60°角斜向上的过程中，推力先变小后变大，最小时力F和支持力N垂直，即沿斜面方向，此时最小值为
Fmin＝mgsin30°
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 南充模拟）《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1000kV的高压线上带电作业的过程，如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔上的O点，另一端固定在兜篮D上，另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制，身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动到处于O点正下方E点的电缆处，绳OD一直处于伸直状态。兜篮、王进及携带的设备总质量为m，可看作质点，不计一切阻力，重力加速度大小为g。从C点运动到E点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．绳OD的拉力一直变小
B．绳CD的拉力一直变大
C．绳OD、CD拉力的合力大于mg
D．绳CD与竖直方向的夹角为30°时，绳CD的拉力为mg
【解答】解：AB．对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析如图所示
绳OD的拉力为F1，与竖直方向的夹角为θ，绳CD的拉力为F2，与竖直方向的夹角为α，根据几何关系可得：
θ+α+α＝90°
根据正弦定理可得
α增大，θ减小，则拉力F1增大，拉力F2减小，故AB错误；
C．王进处于平衡状态，因此可分析出此时的两绳拉力的合力等于mg，故C错误；
D．当α＝30°时，θ＝30°，则根据平衡状态可得：
2F2cos30°＝mg
解得：，故D正确。
故选：D。
（2023 台州模拟）如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板BC上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索OA在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直，腿与竖直玻璃墙的夹角，β＝53°，在下降过程中β角保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板BC保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳OA与竖直玻璃墙的夹角α＝37°，连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，且与OA在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量m＝60kg，小木板的质量可忽略不计。工人在稳定且未擦墙时，下列说法正确的是（　　）
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，脚对墙的作用力增大
B．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，绳OA的弹力增大
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小为360N
D．此时若工人不触碰轻绳，绳AB的张力大小为600N
【解答】解：对工人受力分析如图：
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，由相似三角形对应边成比例有
OA长度增加，OD、DE长度不变，所以F1不变，F2增加，即绳OA的弹力增大，脚对墙的作用力大小为F1sinβ，在下降过程中β角保持不变。所以脚对墙的作用力大小不变。故A错误；
B．由A选项得，OA长度增加，OD、DE长度不变，所以F1不变，F2增加，即绳OA的弹力增大，故B正确；
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小等于F2，由于α＝37°，β＝53°则
根据平衡条件有F2＝mgcosα＝60×10×0.8N＝480N
故C错误；
D．连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，所以绳AB的张力大小
根据平衡条件有
故D错误。
故选：B。
【知识点四】　平衡中的临界与极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。
2.极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
【方法总结】
解决极值问题和临界问题的方法
极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
（多选）（2016 泗阳县校级一模）如图所示，用轻绳吊一个重为G的小球，欲施一力F使小球在图示位置平衡（θ＜30°），下列说法正确的是（　　）
A．力F最小值为Gsinθ
B．若力F与绳拉力大小相等，力F方向与竖直方向必成θ角
C．若力F与G大小相等，力F方向与竖直方向可能成θ角
D．若力F与G大小相等，力F方向与竖直方向可能成2θ角
【解答】解：A、小球受到三个力，由于三个力中重力大小方向都一定，绳子拉力方向一定，大小未知，拉力F大小方向都未知，将重力按照另外两个力 的反方向分解，如图
由图象可知，当拉力F与绳子垂直时，拉力最小，有最小值mgsinθ，故A正确；
B、若力F与绳拉力大小相等，拉力与力F的合力必然在两个力的角平分线上，同时还要与重力方向相反并在一条直线上，故B正确；
CD、若力F与G大小相等，如果是三力平衡，则两力的合力必须与绳子在一条直线上，并且在两个力的角平分线上，故力F方向与竖直方向成2θ角；如果是二力平衡，拉力竖直向上；故C错误，D正确；
故选：ABD。
（2022 茂南区校级模拟）由于突发状况消防车要紧急通过被石墩挡住的车道，消防员决定把石墩拉开，已知该石墩的质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.75，重力加速度大小为g，消防员要将石墩水平匀速拉动，认为滑动摩擦力等于静摩擦力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，消防员的最小拉力与水平方向的夹角为（　　）
A．60° B．53° C．45° D．37°
【解答】解：拉力斜向上比较省力，设夹角为θ；由受力分析如图：
水平方向：Fcosθ μN＝0
竖直方向：mg Fsinθ N＝0
联立解得：F
其中tanα，解得：α＝53°
当sin（α+θ）＝1时，拉力取最小值，所以有：α+θ＝90°，则θ＝37°，故ABC错误、D正确。
故选：D。
（多选）（2023 黄山三模）筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”。如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，使小球静止，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ（μ＝tanθ），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不考虑小球转动，则（　　）
A．每根筷子与小球间的弹力大小可能为mg
B．增大筷子与小球间的弹力，则筷子与小球的摩擦力不一定减小
C．增大筷子与小球间的弹力，小球一定会向上运动
D．若将两筷子与竖直方向夹角减为0°，小球一定不能平衡
【解答】解：A．筷子对小球的压力最小时，小球恰好不下滑，最大静摩擦力方向沿筷子向上。
受力分析如图甲：
由平衡条件有2Nsinθ+2fcosθ＝mg，联立滑动摩擦力公式f＝μN
解得，当时，N＝mg，故A正确；
B．根据平衡条件2Nsinθ+2fcosθ＝mg，增大筷子与小球间的弹力N，当2Nsinθ＝mg时，摩擦力f＝0，故B正确；
C．筷子对小球的压力最大时，小球恰好不上滑，最大静摩擦力方向沿筷子向下。
受力分析如图乙：
由平衡条件得2N′sinθ＝2f′cosθ+mgf′＝μN′，联立μ＝tanθ，解得，即增大筷子与小球间的弹力，小球不会向上运动，故C错误；
D．若将两筷子与竖直方向夹角减为0°，两根筷子对小球的摩擦力之和等于小球的重力时，小球能平衡，故D错误。
故选：AB。
（2023 海口模拟）2023年2月18日，首届中国（海南）东坡文化旅游大会开幕式在海口举行。开幕式上悬挂了许多大红灯笼。如图所示，重力为G的灯笼用细绳悬挂，在水平风力F的作用下偏离竖直方向一定的角度，并保持静止，此时细绳对灯笼的拉力为FT，则（　　）
A．FT＝G
B．F与FT的合力与G相同
C．若F增大，灯笼重新平衡时，则FT也增大
D．若F增大，灯笼重新平衡时，则F与FT的合力也增大
【解答】解：AB．对灯笼受力分析，如图所示
灯笼处于静止状态，所受合力为零，则F与FT的合力必与G等大反向，由力的平行四边形定则可知，FT大于G，故AB错误；
C．根据平衡条件，有
若F增大，灯笼重新平衡时，FT也增大，故C正确；
D．若F增大，灯笼重新平衡时，F与FT的合力仍与重力G等大反向，则F与FT的合力不变，故D错误。
故选：C。
（2023 泉州模拟）如图，建筑工地上工人用砖夹把四块砖夹住，并用竖直向上的拉力F匀加速提起，砖与砖、砖与砖夹之间未发生相对滑动，每块砖的重力大小均为G，砖夹的质量不计。若F＝6G，则在加速提起过程中第2、3块砖之间的摩擦力大小为（　　）
A．0 B．G C．2G D．3G
【解答】解：把砖和砖夹看作一个整体，由牛顿第二定律可得：F﹣4G＝4ma，代入数据可得加速度
把2、3两块砖看作一个整体，整体受到向下的重力和竖直向上的摩擦力，设1、4分别对2、3两块砖的摩擦力为f，由牛顿第二定律可得：2f﹣2G＝2ma，代入数据可得
隔离2，设3对2的摩擦力为f′，方向竖直向上，由牛顿第二定律可得：f+f′﹣G＝ma
代入数据，可得f′＝0，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023 玉林三模）如图所示，质量为m的圆环A，跨过定滑轮的细绳一端系在圆环A上，另一端系一物块B。细绳对圆环A的拉力方向水平向左。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆环A与固定直杆间动摩擦因数μ＝0.5，直杆倾角θ＝37°，cos37°＝0.8，要保证A不向上滑动，所悬挂的物块B质量不能超过（　　）
A．2m B． C． D．
【解答】解：对物体B，由平衡条件可得绳子拉力为：T＝mBg
对圆环A受力分析，如图
当圆环刚要上滑时，由平衡条件可得
沿杆的方向，有：Tcosθ＝mgsinθ+fm
垂直于杆的方向，有：N＝Tsinθ+mgcosθ
又fm＝μN
联立解得mB＝2m
即悬挂的物块B质量不能超过2m，BCD错误，A正确。
故选：A。
（2023 黄浦区二模）如图，一昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间的夹角为θ，且六条足都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，则足的股节部分受到的拉力（　　）
A．增大 B．减小
C．不变 D．先减小后增大
【解答】解：设昆虫的质量为m，每条股节部分受到的拉力均为T，则由平衡条件得：6Tsinθ＝mg
解得：
当昆虫稍微伸直足时，角θ变大，sinθ增大，则足的股节部分受到的拉力T将减小，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 毕节市模拟）如图所示，甲、乙两人做“拔河”游戏。两人分别用伸平的手掌托起木板的一端，保持木板水平。在甲端的木板上放两块砖，然后各自缓慢向两侧拖拉。若两人的手与木板的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则在“拔河”过程中，下列判断正确的是（　　）
A．甲的手和木板间的摩擦力较大
B．乙的手和木板间的摩擦力较大
C．甲的手和木板间不会有相对滑动
D．甲、乙“拔河”的力属于作用力与反作用力
【解答】解：AB．在游戏过程中，由于甲、乙两人在保持木板水平的前提下，缓慢向两侧拖拉木板，表明木板和两块砖处于动态平衡状态，即木板和两块砖所受的合外力为零。
对木板与两块砖整体分析，竖直方向受重力和甲乙两手竖直向上的支持力；水平方向受甲对木板水平向左的摩擦力、乙对木板水平向右的摩擦力，由平衡条件知，两摩擦力等大反向，故AB错误；
D．甲、乙“拔河”的力，即甲手对木板向左的摩擦力与乙手对木板向右的摩擦力，两力都作用在木板上，是一对平衡力，故D错误；
C．由于甲端木板上放两块砖，则甲手与木板间弹力大于乙手与木板间弹力，即甲手与木板间最大静摩擦力大于乙手与木板间最大静摩擦力。
在缓慢拖拉过程中，摩擦力不可能大于乙手与木板间最大静摩擦力，则摩擦力一定小于甲手与木板间最大静摩擦力，即甲手和木板间不会有相对滑动，故C正确。
故选：C。
（2023 邯郸一模）如图所示，两直梯下端放在水平地面上，上端靠在竖直墙壁上，相互平行，均处于静止状态。梯子与墙壁之间均无摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．梯子越长、越重，所受合力越大
B．地面对梯子的作用力一定竖直向上
C．地面对梯子的作用力可能沿梯子向上
D．地面对梯子的作用力与水平面的夹角大于梯子的倾角
【解答】解：梯子受力示意图如下图：
A．梯子静止，处于平衡状态，合力为零，故A错误；
B．如上图所示，梯子受地面的支持力FB且竖直向上，受地面的摩擦力f且水平向左，根据平行四边形定则，地面对梯子的作用力为支持力与摩擦力的合力，方向不可能竖直向上，故B错误；
C．如上图所示，梯子静止，则合力为零，合力矩为零。假设地面对梯子的作用力沿梯子向上，则梯子对A点的合力矩不为零，此时合力矩等于重力产生的力矩，梯子将转动，与已知梯子静止矛盾，故假设不成立，故C错误；
D．如上图所示，梯子静止，合力矩为零。此时重力对A点产生顺时针方向的力矩，则地面对梯子的作用力对A点必产生逆时针方向的力矩，即地面对梯子的作用力与水平面的夹角大于梯子的倾角，故D正确。
故选：D。
（2023 鞍山二模）如图，一根不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于点O′的固定光滑轴，悬挂一质量为M的物体。轻绳OO′段水平，长度为L，绳子上套一可沿绳滑动的轻环P。现在轻环上悬挂一质量为m钩码，平衡后，物体上升L，则物体与钩码的质量之比为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：重新平衡后，由于OO'长为L，物体上升高度L，说明绳子在光滑轴左侧总长度为2L，则轻环左右两边绳长均为L，平衡后位置及受力如图所示：
所以，sinθ，故绳子与竖直方向夹角为θ＝30°，则环两边绳子的夹角为60°，由平衡条件可知，环两边绳子拉力的合力与mg等大反向，故有
2Mgcosθ＝mg
代入数据可解得，故ABC错误；故D正确；
故选：D。
（多选）（2023 鼓楼区校级二模）如图所示，粗糙水平面上放着一横截面为圆的柱状物体A，固定竖直挡板与A物体之间放着一横截面为圆的光滑柱体B。系统平衡时，A、B两物体的接触点恰为圆弧的中点，已知B物体的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．竖直挡板与B物体间的弹力大小为mg
B．A、B两物体之间的弹力大小为mg
C．若将A稍右移并固定，竖直挡板与B间的弹力将增大
D．若将A稍右移并固定，A、B之间的弹力将减小
【解答】解：AB、对B物体受力分析，如图：
设两圆心连线与水平方向夹角为θ，竖直挡板对B物体的弹力为N1，A对B的弹力为N2，由题意可知，θ＝45°
由平衡条件得：N1mg
N2mg
故A正确，B错误；
CD、若将A稍右移并固定，θ减小，sinθ减小，tanθ减小，竖直挡板对B物体的弹力增大，A对B的弹力增大，故C正确，D错误。
故选：AC。
（2023 辽宁二模）如图为一个简易模型，截面为一内壁光滑的顶角为40°的等腰三角形框架，内部有一个小球，质量为m，其半径略小于内接圆半径，三角形各边有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。此时AC边恰好处于水平状态，现使框架以C为轴在竖直面内顺时针缓慢转动，直到AC边竖直，则在转动过程中（　　）
A．AB边对球的弹力一直增大
B．AC边对球的弹力一直增大
C．BC边对球的弹力一直增大
D．AC边对球的弹力先变小后变大
【解答】解：在转动过程中，刚开始转动角度较小时，受力分析如图1，末状态受力分析如图2
AC边弹力FAC垂直于边AC，BC边弹力FBC垂直于边BC，由几何关系可知：
∠1＝180°﹣∠C＝140°
在转动过程中，∠1不变，∠2由锐角变为钝角，∠3由钝角变为直角，由正弦定理可得：
故AB边始终没有弹力，根据数学知识可知，FBC一直增大，FAC先变大后变小，故ABD错误，C正确；
故选：C。
（2023 香坊区校级一模）如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　）
A．L B．L C．L D．L
【解答】解：对小球A受力分析，小球A受到重力mg，拉力T和库仑力F，如图：
设OB间距离为h，A的电荷量为q，B的电荷量为Q，由库仑定律得：F＝k
由三角形相似得：
将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，小球A此时的电荷量为q′
由库仑定律得：F′
由三角形相似得：
联立解得：L′L
故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023 延庆区一模）顶端装有滑轮的粗糙斜面固定在地面上，A、B两物体通过细绳如图连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦）。现用水平力F作用于悬挂的物体B上，使其缓慢拉动一小角度，发现A物体仍然静止。则在此过程中说法不正确的是（　　）
A．水平力F一定变大
B．物体A所受斜面给的摩擦力一定变大
C．物体A所受斜面给的支持力一定不变
D．细绳对物体A的拉力一定变大
【解答】解：AD、对物块B受力分析，如图所示，
由平衡条件得：F＝mgtanθ
T
当B被拉动一个小角度后，θ增大，则力F增大，T增大，则细绳对物体A的拉力T增大，故AD正确；
B、A受到斜面的摩擦力根据初始状态的不同，可能增大也可能减小，故B错误；
C、对A物体受力分析，由平衡条件得，斜面对A的支持力等于重力垂直于斜面方向的分析，缓慢拉动物体B，对A所受的支持力没有影响，支持力不变，故C正确；
本题要求选错误的，
故选：B。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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