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专题4.1　曲线运动　运动的合成与分解
1.物理观念：曲线运动、合运动、分运动。
（1）理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点.。
（2）知道合运动、分运动的确切含义并能在具体问题中加以区分与识别。
2.科学思维：运动的合成与分解、小船渡河模型、速度关联模型。
（1）理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
（2）会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题
3.科学态度与责任：运动合成与分解在生活实际中的应用。
能将具体问题情景通过构建物理模型转化为物理问题进而应用物理规律来解决，以此提升分析推理能力和模型构建能力。
【知识点一】曲线运动的条件及轨迹分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
3．特征
（1）运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动．
（2）动力学特征：做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上（做曲线运动的条件）．合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小．
（3）轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一侧弯曲．
（2023 黄埔区三模）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球运动路线垂直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被吹后（　　）
A．保持原运动方向继续前进
B．一定能沿吹气方向进入纸筒
C．偏离原运动方向滚向纸筒左侧
D．偏离原运动方向滚向纸筒右侧
（2023 海口一模）如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动轨迹的示意图，已知B为轨迹的最高点，则下列说法正确的是（　　）
A．质点在B点时的加速度方向与速度方向不垂直
B．质点在A点时的加速度比在B点时的加速度小
C．质点在C点时的速率大于在B点时的速率
D．质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减小
（2022 宜春模拟）图甲为2022年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛的场景。比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动。在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）可能正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【知识点二】运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【方法总结】化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用
1．分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动。
2．要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解。
【必备知识】1.运动性质的判断
加速度（或合外力）
加速度（或合外力）方向与速度方向
2.判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
（2023 三明模拟）如图是一种创新设计的“空气伞”，它的原理是从伞柄下方吸入空气将空气加速，并从顶部喷出，形成辐射状气流，从而改变周围雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨滴从气流上方某处下落并穿过气流区的运动轨迹，可能是下列哪一幅图（　　）
A． B． C． D．
（2023 辽宁模拟）在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始计时，以O为原点，设水平为x方向、竖直为y方向，重物x、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物（　　）
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．0～8s内的位移大小为40m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
（2023 嘉兴二模）如图所示，足球场上画了一条以O为原点，以x轴为对称轴的抛物线，A、B为该抛物线上的两点。体育老师要求学生在规定时间内不停顿地从抛物线的一端跑到另一端。小张同学按要求完成该运动的过程中，可以肯定的是（　　）
A．所受的合外力始终不为零
B．x轴方向的分运动是匀速运动
C．y轴方向的分运动是匀速运动
D．通过A、B两点时的加速度相等
【知识点三】小船渡河问题
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．两种渡河方式
方式 图示 说明
渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 当v水＜v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
渡河位 移最短 当v水＞v船时，如果船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝
【方法总结】小船渡河问题的分析思路
【技法提升】“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题
（多选）（2023 上饶模拟）一艘小船正在渡河，如图所示，在到达离河对岸60m处的P点时，其下游80m处有一危险水域，已知船在静水中的最大速度为6m/s，水流的速度大小为5m/s，P点离另一河岸的距离大于100m，下列说法正确的是（　　）
A．小船以最短时间渡河时，可以安全到达河岸
B．小船以最短时间渡河时，不能安全到达河岸
C．小船渡河的位移可能为60m
D．小船渡河的位移不可能为100m
（2022 市中区校级模拟）一条平直小河的河水由西向东流，水流速度的大小为v水＝4m/s，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向运动的规律满足x＝6t﹣0.05t2，且小船刚好到达河对岸，则小船在渡河的这段时间内的运动情况，下列说法正确的是（　　）
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中40s时的速度为m/s
C．小船在河水中40s时的位移为160m
D．小船到达河对岸时沿河岸方向运动的位移为240m
（2023 南岗区校级三模）如图所示，以岸边O点为原点建立空间直角坐标系，x轴沿河岸方向、y轴垂直河岸方向、z轴竖直向上。水速恒为vx＝5m/s，方向沿x轴正向。t＝0时刻开始，某船保持船头始终朝向y轴正方向运动至江心，船在y方向上的初速度为零，加速度为。船在x轴方向上的速度始终与水速相同。在t＝5s时，船员相对船体以vz＝10m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）t＝5s时船的位置坐标（x1，y1，z1）；
（2）石块到达最高点时的位置坐标（x2，y2，z2）。
【知识点四】关联速度问题模型
1.模型特点
与绳（杆）相连的物体运动方向与绳（杆）不在一条直线上.
2.明确合速度与分速度
合速度→绳（杆）拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.绳（杆）端关联速度分解问题的常见模型
情景图示 （注：A沿斜 面下滑）
分解图示
定量结论 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝ vBcos β vBsin α＝ vAcos α
基本思路 确定合速度（物体实际运动）→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
【方法总结】关联速度问题
因绳、杆的长度不能改变，则任意时刻沿绳、杆方向上的分速度大小必然相等，任意时刻沿绳、杆方向上的加速度分量大小也相等．把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分量，沿绳（或杆）方向的分速度大小相等．
（2023 静海区校级模拟）弹簧锁在关门时免去了使用钥匙的繁琐，为我们的生活带来了方便。缓慢关门时门锁的示意图如图所示，关门方向为图中箭头方向，锁舌所夹的角度为θ，若弹簧始终处于压缩状态，门的宽度视为远大于锁舌的尺寸，如图所在的瞬间，门边缘向内的速度为v，则下列说法错误的是（　　）
A．关门时弹簧弹力变大
B．如图时锁舌相对于门的速度为v1＝vcotθ
C．如果图中的θ变小，关门时会更费力
D．关门时锁舌对锁壳的弹力等于弹簧的弹力
（2023 凯里市校级模拟）如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时（　　）
A．木块a的速度大小为v
B．木块a的速度大小为
C．细线的拉力大于mgsinα
D．细线的拉力小于mgsinα
（2023 浙江模拟）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB，OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L（L＞R），当OB杆以角速度ω逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。在滑块向左滑动过程中（　　）
A．滑块A从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动
B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大
C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为
D．当β＝90°时，滑块的速度大小为
（2023 辽宁）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 乙卷）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2021 辽宁）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（　　）
A．75s B．95s C．100s D．300s
（多选）（2019 新课标Ⅱ）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v﹣t图象如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则（　　）
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
（2023 西城区校级模拟）三级跳远是速度、力量和平衡能力的结合。设运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地面水平、无杂物、无障碍，运动员每次起跳姿势不变且与地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，则运动员从A点开始起跳到D点的整个过程中均在竖直平面内运动，下列说法正确的是（　　）
A．每次运动到最高点时速度为0
B．每次起跳速度方向与水平方向的夹角相等
C．运动员在空中时的加速度恒定
D．从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量越来越大
（2023 昌平区模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（　　）
A．曲线运动的速度方向可以不变
B．匀变速曲线运动任意相等时间内速度的变化量相同
C．速率恒定的曲线运动，任意相等时间内速度的变化量相同
D．物体受到的合外力持续为零时，物体仍可以做曲线运动
（多选）（2023 乌鲁木齐模拟）如图所示，某商场的电动扶梯无人乘行时，扶梯沿着所在的斜面运转得很慢，有人站上扶梯时，它会先以大小为a的加速度沿斜面缓慢加速，再匀速运动。一质量为m的顾客乘扶梯上楼时，恰好经历了以上两个阶段。已知电动扶梯与水平面的夹角为37°，sin37°＝0.6，则（　　）
A．扶梯加速阶段，顾客对扶梯水平台阶的摩擦力大小为
B．扶梯加速阶段，顾客对扶梯水平台阶的摩擦力大小为
C．为保证顾客安全，匀速上行阶段扶梯扶手的速度应等于或略大于扶梯的速度
D．为保证顾客安全，匀速上行阶段扶梯扶手的速度应等于或略小于扶梯的速度
（多选）（2023 河南模拟）如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ＝60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O1的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从C点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为L时（图中D处），下列说法正确的是（　　）
A．小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力小于mg
B．小球下降最大距离为L（1）
C．小物块在D处的速度与小球速度大小之比为2：1
D．小物块在D处的速度v
（多选）（2023 雅安模拟）如图所示，水平面内固定两根足够长的光滑细杆P、Q，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。可视为质点的小球a、b质量均为m，a球套在水平杆P上，b球套在水平杆Q上，a、b两小球通过铰链用轻杆连接。在图示位置（轻杆与细杆Q的夹角为45°）给系统一瞬时冲量，使a、b球分别获得大小均为v、沿杆方向的初速度。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．b球能达的最大速度大小为2v
B．b球能达的最大速度大小为v
C．当轻杆与细杆Q的夹角为30°时，a、b两球的速度大小比为：1
D．当轻杆与细杆Q的夹角为30°时，a、b两球的速度大小比为：3
（多选）（2023 海淀区校级模拟）如图所示，用跨过光滑滑轮的轻质细绳将小船沿直线拖向岸边，已知拖动细绳的电动机功率恒为P，电动机卷绕绳子的轮子的半径R＝25cm，轮子边缘的向心加速度与时间满足a＝[2（2）t]2，小船的质量m＝3kg，小船受到阻力大小恒为f＝10×（1）N，小船经过A点时的速度大小v0m/s，滑轮与水面竖直高度h＝1.5m，则（　　）
A．小船过B点时速度为4m/s
B．小船从A点到B点的时间为（1）s
C．电动机功率P＝50W
D．小船过B点时的加速度为m/s2
（2022 湖南模拟）如图所示，在光滑的水平面内建有一直角坐标系xOy，一质量为m的小球在xOy坐标系内以大小为v0、方向与x轴正方向夹角为α的速度匀速运动，当小球运动到O点时对其施加大小为F、方向沿y轴负方向的恒力，重力加速度为g。则小球再次经过x轴时的横坐标为（　　）
A． B．
C． D．
（2022 岳麓区校级模拟）如图所示，某人通过跨过定滑轮的绳子将小车拉上倾角为α的光滑斜面，人拉动绳子的速度v恒定，下列说法正确的是（　　）
A．小车沿斜面上升的过程中，人对绳子拉力恒定
B．小车沿斜面上升的过程中，小车的动能先增大后减小
C．小车沿斜面上升的过程中，绳子对小车拉力的功率增大
D．当绳子与斜面斜边的夹角为β时，小车的速度为
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专题4.1　曲线运动　运动的合成与分解
1.物理观念：曲线运动、合运动、分运动。
（1）理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点.。
（2）知道合运动、分运动的确切含义并能在具体问题中加以区分与识别。
2.科学思维：运动的合成与分解、小船渡河模型、速度关联模型。
（1）理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
（2）会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题
3.科学态度与责任：运动合成与分解在生活实际中的应用。
能将具体问题情景通过构建物理模型转化为物理问题进而应用物理规律来解决，以此提升分析推理能力和模型构建能力。
【知识点一】曲线运动的条件及轨迹分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
3．特征
（1）运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动．
（2）动力学特征：做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上（做曲线运动的条件）．合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小．
（3）轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一侧弯曲．
（2023 黄埔区三模）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球运动路线垂直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被吹后（　　）
A．保持原运动方向继续前进
B．一定能沿吹气方向进入纸筒
C．偏离原运动方向滚向纸筒左侧
D．偏离原运动方向滚向纸筒右侧
【解答】解：一开始乒乓球向右运动，当乒乓球受到沿纸筒方向的吹气的力后，乒乓球参与了两个方向的分运动，会偏离原运动方向滚向纸筒右侧；由于惯性，乒乓球不可能吹气方向进入纸筒。故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 海口一模）如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动轨迹的示意图，已知B为轨迹的最高点，则下列说法正确的是（　　）
A．质点在B点时的加速度方向与速度方向不垂直
B．质点在A点时的加速度比在B点时的加速度小
C．质点在C点时的速率大于在B点时的速率
D．质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减小
【解答】解：AB、质点受重力作用做匀变速曲线运动，在最高点B时，速度方向与重力加速度的方向垂直，整个过程重力加速度保持不变，故AB错误；
C、质点从B点到C点，加速度方向与速度方向夹角小于90°，因此该过程质点的速度增大，所以质点在C点时的速率大于在B点时的速率，故C正确；
D、质点只受重力作用，加速度方向始终竖直向下，质点的速度方向沿运动轨迹的切线方向，质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角一直减小；从A到B的过程中，加速度与速度方向的夹角大于90°，质点做减速运动，从B到C的过程中，加速度与速度方向的夹角小于90°，质点做加速运动，速度增大，因此质点从A到C的过程中，速度先减小后增大，故D错误。
故选：C。
（2022 宜春模拟）图甲为2022年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛的场景。比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动。在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）可能正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，而后侧受摩擦力几乎不变，若冰壶按如图①的逆时针方向旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转。即①④正确。故B正确，ACD错误。
故选：B。
【知识点二】运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【方法总结】化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用
1．分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动。
2．要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解。
【必备知识】1.运动性质的判断
加速度（或合外力）
加速度（或合外力）方向与速度方向
2.判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
（2023 三明模拟）如图是一种创新设计的“空气伞”，它的原理是从伞柄下方吸入空气将空气加速，并从顶部喷出，形成辐射状气流，从而改变周围雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨滴从气流上方某处下落并穿过气流区的运动轨迹，可能是下列哪一幅图（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：AB．由于惯性，速度的方向不能发生突变，故AB错误；
CD．雨滴原来的运动方向沿是竖直方向向下，当受到水平方向的作用力后，水平方向做加速直线运动，竖直方向做加速直线运动，从受力点开始，合外力和速度成锐角，雨滴所做的运动的轨迹一定是向合外力方向发生弯曲；穿过气流区后，由于雨滴的速度方向斜向下，与重力不在同一直线上，雨滴仍做曲线运动，故C正确，D错误。
故选：C。
（2023 辽宁模拟）在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始计时，以O为原点，设水平为x方向、竖直为y方向，重物x、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物（　　）
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．0～8s内的位移大小为40m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
【解答】解：A．由图甲，x﹣t图像斜率代表速度，重物在水平方向做匀速直线运动，故A错误；
B．重物在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，所以重物的运动轨迹为抛物线，故B正确；
C．0～8s内水平方向位移为24m，v﹣t图像与时间轴围成的图形的面积代表位移，竖直方向位移
位移大小
故C错误；
D．重物加速度为
重物在相等时间内的速度变化量相等，故D错误。
故选：B。
（2023 嘉兴二模）如图所示，足球场上画了一条以O为原点，以x轴为对称轴的抛物线，A、B为该抛物线上的两点。体育老师要求学生在规定时间内不停顿地从抛物线的一端跑到另一端。小张同学按要求完成该运动的过程中，可以肯定的是（　　）
A．所受的合外力始终不为零
B．x轴方向的分运动是匀速运动
C．y轴方向的分运动是匀速运动
D．通过A、B两点时的加速度相等
【解答】解：A、学生沿抛物线运动，其做曲线运动，速度方向不断发生变化，即速度变化量不为零，加速度不为零，即学生所受外力的合力一定不为零，故A正确；
BC、根据曲线运动的条件可知，学生所受外力的合力方向指向抛物线的凹侧，但是具体方向不确定，因此x轴方向与y轴方向的分运动不能肯定是匀速运动，故BC错误；
D、根据上述，由于学生所受外力的合力大小与方向均不确定，因此通过A、B两点时的加速度不能确定是相等的，故D错误。
故选：A。
【知识点三】小船渡河问题
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．两种渡河方式
方式 图示 说明
渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 当v水＜v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
渡河位 移最短 当v水＞v船时，如果船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝
【方法总结】小船渡河问题的分析思路
【技法提升】“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题
（多选）（2023 上饶模拟）一艘小船正在渡河，如图所示，在到达离河对岸60m处的P点时，其下游80m处有一危险水域，已知船在静水中的最大速度为6m/s，水流的速度大小为5m/s，P点离另一河岸的距离大于100m，下列说法正确的是（　　）
A．小船以最短时间渡河时，可以安全到达河岸
B．小船以最短时间渡河时，不能安全到达河岸
C．小船渡河的位移可能为60m
D．小船渡河的位移不可能为100m
【解答】解：AB．根据题意可知，当船头正对河岸且以最大的静水速度航行时，渡河时间最短，最短时间为，此时，船沿河岸移动的距离为x＝v水tmin＝5×10m＝50m＜80m，不会到达危险水域，故小船以最短时间渡河时，可以安全到达河岸，故B错误，A正确；
C．船在静水中速度大于水流速度，则可以通过调整船头方向，让船速度斜向上，让船的合速度方向正对河岸，此时渡河位移最短，最短距离为河宽60m，故C正确；
D．通过调整船头方向，让船的合速度方向指向上游时，角度合适，位移可能是100m，此时还没有到达危险水域，能保证小船的安全，故D错误。
故选：AC。
（2022 市中区校级模拟）一条平直小河的河水由西向东流，水流速度的大小为v水＝4m/s，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向运动的规律满足x＝6t﹣0.05t2，且小船刚好到达河对岸，则小船在渡河的这段时间内的运动情况，下列说法正确的是（　　）
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中40s时的速度为m/s
C．小船在河水中40s时的位移为160m
D．小船到达河对岸时沿河岸方向运动的位移为240m
【解答】解：将小船在垂直河岸方向运动的规律x＝6t﹣0.05t2，与匀变速直线运动的公式：x比较可知，小船沿垂直河岸方向运动的初速度：v船0＝6m/s，加速度：a＝﹣0.1m/s2；可知小船在垂直河岸方向做匀减速直线运动；
A、小船在垂直河岸方向上做匀减速直线运动，在沿河岸方向上做匀速直线运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，故A错误；
B、小船在河水中在垂直河岸方向的速度：v船＝v船0+at＝6m/s﹣0.1×40m/s＝2m/s
船运动的合速度：vm/sm/s，故B错误；
C、40s内船沿垂直河岸方向的位移：6×40mm＝160m，沿河岸方向的位移：y＝v水t＝4×40m＝160m，所以船的合位移：m，故C错误；
D、小船刚好到达河对岸，则到达对岸时垂直于河岸方向的速度为零，所以运动的时间：s＝60s，该过程中小船沿河岸方向运动的位移为：y′＝v水t0＝4×60m＝240m，故D正确。
故选：D。
（2023 南岗区校级三模）如图所示，以岸边O点为原点建立空间直角坐标系，x轴沿河岸方向、y轴垂直河岸方向、z轴竖直向上。水速恒为vx＝5m/s，方向沿x轴正向。t＝0时刻开始，某船保持船头始终朝向y轴正方向运动至江心，船在y方向上的初速度为零，加速度为。船在x轴方向上的速度始终与水速相同。在t＝5s时，船员相对船体以vz＝10m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）t＝5s时船的位置坐标（x1，y1，z1）；
（2）石块到达最高点时的位置坐标（x2，y2，z2）。
【解答】解：（1）沿y方向做匀加速直线运动，则：
代入已知数据解得：y1＝50m
x方向做匀速直线运动，则x1＝vxt
代入已知条件解得：x1＝25m
所以t＝5s时船的位置坐标为（25m，50m，0）
（2）石块扔出瞬间，此时：vy＝ayt＝4×5m/s＝20m/s
石块到达最高点的时间：1s
此时x方向的位移：x2＝vx（t+t2）＝5（5+1）m＝30m
y方向的位移：y2＝y1+vyt2＝50m+20×1m＝70m
沿z方向的位移：m＝5m
所以石块到达最高点时的位置坐标（30m，70m，5m）
答：（1）t＝5s时船的位置坐标（25m，50m，0）；
（2）石块到达最高点时的位置坐标（30m，70m，5m）。
【知识点四】关联速度问题模型
1.模型特点
与绳（杆）相连的物体运动方向与绳（杆）不在一条直线上.
2.明确合速度与分速度
合速度→绳（杆）拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.绳（杆）端关联速度分解问题的常见模型
情景图示 （注：A沿斜 面下滑）
分解图示
定量结论 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝ vBcos β vBsin α＝ vAcos α
基本思路 确定合速度（物体实际运动）→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
【方法总结】关联速度问题
因绳、杆的长度不能改变，则任意时刻沿绳、杆方向上的分速度大小必然相等，任意时刻沿绳、杆方向上的加速度分量大小也相等．把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分量，沿绳（或杆）方向的分速度大小相等．
（2023 静海区校级模拟）弹簧锁在关门时免去了使用钥匙的繁琐，为我们的生活带来了方便。缓慢关门时门锁的示意图如图所示，关门方向为图中箭头方向，锁舌所夹的角度为θ，若弹簧始终处于压缩状态，门的宽度视为远大于锁舌的尺寸，如图所在的瞬间，门边缘向内的速度为v，则下列说法错误的是（　　）
A．关门时弹簧弹力变大
B．如图时锁舌相对于门的速度为v1＝vcotθ
C．如果图中的θ变小，关门时会更费力
D．关门时锁舌对锁壳的弹力等于弹簧的弹力
【解答】解：A．根据题意，分析弹簧锁的原理图可得：当关门时，弹簧逐渐被压缩，形变量变大，根据胡克定律：F＝kΔx可知关门时弹力变大，故A正确；
B．锁舌运动时的速度如图：
则有：
即可得：v1＝vcotθ，故B正确；
C．设关门时弹簧弹力为F2，锁壳对锁舌的作用力为F1，锁舌受到的摩擦力为f，关门时锁舌受力如图：
则缓慢关门时，仍然处于平衡状态
根据平衡条件则有：F2+f＝F1sinθ
F3＝F1cosθ
f＝μF3
故联立可解得：
可见如果图中的θ变小，F1会变大，关门时会更费力，故C正确；
D．由C选项分析可知关门时锁舌对锁壳的弹力大于弹簧的弹力，故D错误。
本题选错误的，故选：D。
（2023 凯里市校级模拟）如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时（　　）
A．木块a的速度大小为v
B．木块a的速度大小为
C．细线的拉力大于mgsinα
D．细线的拉力小于mgsinα
【解答】解：AB、将小球b的速度分解为沿绳方向的分速度v1和垂直于绳方向的分速度v2
由几何关系得，木块a的速度大小等于v1＝vcosβ
故AB错误；
CD、小球b向左做匀速直线运动，β逐渐减小，cosβ逐渐增大，则木块a的速度逐渐增大，即木块a做加速运动，对木块受力分析，沿斜面方向，细线的拉力大于mgsinα，故C正确，D错误。
故选：C。
（2023 浙江模拟）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB，OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L（L＞R），当OB杆以角速度ω逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。在滑块向左滑动过程中（　　）
A．滑块A从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动
B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大
C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为
D．当β＝90°时，滑块的速度大小为
【解答】解：设滑块的速度（合速度）大小为v，沿水平方向，如图将A点的速度分解为沿着杆的分速度和垂直杆的分速度
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度：
v1＝vcosα
BB点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图设B的线速度为v'，则
沿杆的分速度：
v'1＝V'cosθ＝V'cos（90°﹣β）＝V'sinβ
V'＝ωR
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即v1＝v'1
联立可得
在△AOB中，由正弦定理得
解得v＝ωsOAtanα
A.滑块A从右向左运动时，其速度v＝ωsOAtanα，随角度α变化而不均匀变化，角度α先增大后减小，根据正切函数的性质可知，滑块先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的减速运动，故A错误；
BC.当O杆OB与AB垂直时，α＝90°﹣β，sinβ＝cosα，则，滑块的速度不是最大，故B，C错误；
D.当β＝90°时，如图所示：
滑块的速度为：
，故D正确。
故选：D。
（2023 辽宁）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：篮球在空中的运动轨迹为曲线，物体做曲线运动的条件是所受合力方向与运动方向（即轨迹的切向方向）不共线，并且合力方向指向曲线轨迹的凹侧，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023 乙卷）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据曲线运动的特点可知，曲线运动速度方向沿运动轨迹的切线方向，合力方向指向运动轨迹的凹侧。小车做曲线运动，且动能一直增加，则小车所受合力方向与运动方向夹角为锐角，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2021 辽宁）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（　　）
A．75s B．95s C．100s D．300s
【解答】解：当静水速度与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时间为：
ts＝300s，故D正确，ABC错误；
故选：D。
（多选）（2019 新课标Ⅱ）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v﹣t图象如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则（　　）
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
【解答】解：A、根据图象与时间轴所围图形的面积表示竖直方向上位移的大小可知，第二次滑翔过程中的位移比第一次的位移大，故A错误；
B、由图象知，第二次的运动时间大于第一次运动的时间，由于第二次竖直方向下落距离大，合位移方向不变，所以第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，故B正确；
C、由图象知，第二次滑翔时的竖直方向末速度小，运动时间长，据加速度的定义式可知其平均加速度小，故C错误；
D、当竖直方向速度大小为v1时，第一次滑翔时图象的斜率大于第二次滑翔时图象的斜率，而图象的斜率表示加速度的大小，故第一次滑翔时速度达到v1时加速度大于第二次时的加速度，据mg﹣f＝ma可得阻力大的加速度小，故第二次滑翔时的加速度小，故其所受阻力大，故D正确。
故选：BD。
（2023 西城区校级模拟）三级跳远是速度、力量和平衡能力的结合。设运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地面水平、无杂物、无障碍，运动员每次起跳姿势不变且与地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，则运动员从A点开始起跳到D点的整个过程中均在竖直平面内运动，下列说法正确的是（　　）
A．每次运动到最高点时速度为0
B．每次起跳速度方向与水平方向的夹角相等
C．运动员在空中时的加速度恒定
D．从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量越来越大
【解答】解：A．运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，则运动员的运动可以分解为沿竖直方向的竖直上抛运动与水平方向的匀加速直线运动。每次运动到最高点时竖直方向速度为零，水平方向速度不为零，故A错误；
BD．由于运动员着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，由v2＝2gh
可知每次起跳高度相同，由
可知每次起跳在空中的时间相同，而在水平方向上受恒定的水平风力作用，因此每次起跳水平方向上都是匀加速直线运动，起跳时竖直分速度不变，而水平分速度越来越大，故每次起跳速度方向与水平方向的夹角不相等，且水平方向上Δvx＝at，可知从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量相同，故BD错误；
C．由于运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，因此运动员在空中时所受合外力不变，加速度不变，故C正确。
故选：C。
（2023 昌平区模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（　　）
A．曲线运动的速度方向可以不变
B．匀变速曲线运动任意相等时间内速度的变化量相同
C．速率恒定的曲线运动，任意相等时间内速度的变化量相同
D．物体受到的合外力持续为零时，物体仍可以做曲线运动
【解答】解：A、曲线运动的速度方向一定变，故A错误；
B、匀变速曲线运动，加速度不变，即相等时间，速度变化量相同，故B正确；
C、曲线运动速度的方向是变化的，速率恒定的曲线运动受到的合外力的方向一定与速度的方向始终垂直，则合外力的方向必定是变化的，则任意相等时间内速度的变化量一定不相同，故C错误；
D、物体做曲线运动的条件是物体所受的合外力和它速度方向不在同一直线上，所以物体受到的合外力持续为零时，物体不可能做曲线运动，故D错误。
故选：B。
（多选）（2023 乌鲁木齐模拟）如图所示，某商场的电动扶梯无人乘行时，扶梯沿着所在的斜面运转得很慢，有人站上扶梯时，它会先以大小为a的加速度沿斜面缓慢加速，再匀速运动。一质量为m的顾客乘扶梯上楼时，恰好经历了以上两个阶段。已知电动扶梯与水平面的夹角为37°，sin37°＝0.6，则（　　）
A．扶梯加速阶段，顾客对扶梯水平台阶的摩擦力大小为
B．扶梯加速阶段，顾客对扶梯水平台阶的摩擦力大小为
C．为保证顾客安全，匀速上行阶段扶梯扶手的速度应等于或略大于扶梯的速度
D．为保证顾客安全，匀速上行阶段扶梯扶手的速度应等于或略小于扶梯的速度
【解答】解：AB．扶梯沿斜面缓慢加速阶段，根据牛顿第二定律可求人受到的合力为：F合＝ma
则顾客对扶梯水平台阶的摩擦力大小：，故A错误，B正确；
CD．扶梯匀速上行阶段，此时，沿斜面向上的摩擦力作用与重力的下滑分力相平衡，故为保证顾客安全，匀速上行阶段扶梯扶手的速度应等于扶梯的速度，或略大于扶梯的速度，这样顾客的手相对扶手向下运动，顾客会受到向上的摩擦力作用，故C正确，D错误。
故选：BC。
（多选）（2023 河南模拟）如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ＝60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O1的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从C点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为L时（图中D处），下列说法正确的是（　　）
A．小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力小于mg
B．小球下降最大距离为L（1）
C．小物块在D处的速度与小球速度大小之比为2：1
D．小物块在D处的速度v
【解答】解：A．小物块刚释放时，小物块将加速下滑，O1左侧绳长缩短，O1右侧绳长伸长，小球要加速下降，加速度向下，小球处于失重状态，则轻绳对小球的拉力小于球的重力mg，故A正确；
B．当拉小物块的轻绳与直杆垂直时，小球下降的距离最大，由几何关系知：
小球下降最大距离为s＝L Lsin60°＝（1）L，故B正确；
C．小物块沿杆下滑距离L时（D处），设此时物块速度为v，由几何知识知△O1CD为等边三角形，将v分解为沿绳子方向和垂直绳子方向，如图所示
物块沿绳子方向的分速度等于小球的速度，则有vcosθ＝v球
可得v：v球＝1：cosθ＝1：cos60°＝1：2：1，故C正确；
D．小物块在D处的速度v，此时小球的速度大小为v球＝vcosθ
对滑块和小球组成的系统，根据机械能守恒定律有：
mgLsinθm
代入解得：v，故D错误。
故选：ABC。
（多选）（2023 雅安模拟）如图所示，水平面内固定两根足够长的光滑细杆P、Q，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。可视为质点的小球a、b质量均为m，a球套在水平杆P上，b球套在水平杆Q上，a、b两小球通过铰链用轻杆连接。在图示位置（轻杆与细杆Q的夹角为45°）给系统一瞬时冲量，使a、b球分别获得大小均为v、沿杆方向的初速度。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．b球能达的最大速度大小为2v
B．b球能达的最大速度大小为v
C．当轻杆与细杆Q的夹角为30°时，a、b两球的速度大小比为：1
D．当轻杆与细杆Q的夹角为30°时，a、b两球的速度大小比为：3
【解答】解：AB、当b球运动到两杆交点处时，速度达到最大，此时a球速度为零，对a、b和杆组成的系统，根据系统机械能守恒，有2 mv2
解得：vmv
故A错误，B正确；
CD、小球b沿轻杆方向的速度分量与小球a沿轻杆方向的速度分量大小相等，当轻杆与细杆的夹角为30°时，有：vbcos30°＝vacos60°
解得，a、b两球的速度大小比为va：vb：1
故C正确，D错误。
故选：BC。
（多选）（2023 海淀区校级模拟）如图所示，用跨过光滑滑轮的轻质细绳将小船沿直线拖向岸边，已知拖动细绳的电动机功率恒为P，电动机卷绕绳子的轮子的半径R＝25cm，轮子边缘的向心加速度与时间满足a＝[2（2）t]2，小船的质量m＝3kg，小船受到阻力大小恒为f＝10×（1）N，小船经过A点时的速度大小v0m/s，滑轮与水面竖直高度h＝1.5m，则（　　）
A．小船过B点时速度为4m/s
B．小船从A点到B点的时间为（1）s
C．电动机功率P＝50W
D．小船过B点时的加速度为m/s2
【解答】解：AB、由a得，沿绳子方向上的速度为：
v（2）t
小船经过A点时沿绳方向上的速度为：
v1＝v0cos30°v0，
小船经过B点时沿绳方向上的速度为：
v2＝vBcos45°vB，
作出沿绳速度的v﹣t图象，直线的斜率为：
（2）…①
沿绳位移即A到B图象与横轴所夹面积：
t＝（2）h…②
联立①②可解得：vB＝4m/s；t＝（1）s
故A正确，B错误；
C、小船从A点运动到B点，由动能定理：
Pt﹣fsmm③
由几何知识可知，s＝（1）h…④
联立③④可解得：P＝50（1）W，故C错误；
D、小船在B处，由牛顿第二定律得：
cos45°﹣f＝maB。
解得：aBm/s2，故D正确。
故选：AD。
（2022 湖南模拟）如图所示，在光滑的水平面内建有一直角坐标系xOy，一质量为m的小球在xOy坐标系内以大小为v0、方向与x轴正方向夹角为α的速度匀速运动，当小球运动到O点时对其施加大小为F、方向沿y轴负方向的恒力，重力加速度为g。则小球再次经过x轴时的横坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：力F作用后小球的加速度大小为：a
小球再次回到x轴经过的时间为：t
小球在沿x轴方向做匀速直线运动，再次经过x轴时的横坐标为：x＝v0cosα t
联立解得：x，故A正确、BCD错误。
故选：A。
（2022 岳麓区校级模拟）如图所示，某人通过跨过定滑轮的绳子将小车拉上倾角为α的光滑斜面，人拉动绳子的速度v恒定，下列说法正确的是（　　）
A．小车沿斜面上升的过程中，人对绳子拉力恒定
B．小车沿斜面上升的过程中，小车的动能先增大后减小
C．小车沿斜面上升的过程中，绳子对小车拉力的功率增大
D．当绳子与斜面斜边的夹角为β时，小车的速度为
【解答】解：AC、小车速度随β增大，加速度增大，所以，绳子拉力沿斜面上的分量增大，故绳子对小车拉力的功率增大，故A错误，C正确；
B、随着小车沿斜面向上运动，β增大，故小车速度增大，所以，小车的动能增大，故B错误；
D、根据小车的运动效果将小车速度分解为沿绳子收缩方向和垂直绳子方向，那么，由绳子方向速度为v可得：小车速度为v'，故D错误；
故选：C。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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