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专题4.2　抛体运动
1.物理观念：平抛运动、斜抛运动。
(1)掌握平抛运动的规律，会用运动的合成与分解方法分析平抛运动。
(2)会处理平抛运动中的临界、极值问题。
(3)能定性分析斜抛运动。
2.科学思维：平抛斜面、圆弧面模型。
(1)知道常见的四类斜面平抛模型并能区分不同类型的斜面倾角的物理含义。
(2)会利用运动合成与分解的思想分析几种常见的平抛圆弧组合模型。
3.科学态度与责任：平抛运动在生活实际中的应用。
能将具体问题情景通过构建物理模型转化为物理问题进而应用物理规律来解决，以此提升分析推理能力和模型构建能力。
【知识点一】平抛运动基本规律的应用
1．飞行时间
由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝.
推导：
→xB＝
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有
tan θ＝2tan α.
推导：
→tan θ＝2tan α
（2023 赣州二模）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。将一质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点）从空中O点以速度v0＝3m/s水平抛出，经过轨迹上的P点时速度方向与水平方向夹角为53°，如图甲所示。现沿小球运动轨迹铺设一条光滑轨道，如图乙所示，让小球从O点由静止释放开始沿轨道下滑，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，则（　　）
A．小球下滑到P处时的速度大小为4m/s
B．小球从O点下滑到P点的时间为0.4s
C．O、P两点的水平距离为0.8m
D．在P点处，小球对轨道的压力为N
【解答】解：AC、根据平抛运动的规律可知：
vy＝v0tan53°＝3m/s＝4m/s
在竖直方向上：
根据几何关系可得：
联立解得：y＝0.8m；x＝1.2m；t＝0.4s；
即op间的水平距离为1.2m，竖直距离为0.8m，
小球沿光滑轨道下滑到P点，根据动能定理可得：
解得：v＝4m/s，故A正确，C错误；
B、若OP轨道为光滑倾斜轨道，由匀加速直线运动的规律可得：
解得：t'，由于轨道为圆形轨道，所以所以小球从O点下滑到P点的时间大于0.4s，故B错误；
D、在P点对小球进行受力分析，如图所示：
当小球平抛时：
当小球滑到P点时，根据牛顿第二定律可得：
解得在P点处，小球对轨道的压力为：
，故D错误。
故选：A。
（2023 五华区校级模拟）为迎接2022年北京冬奥会，运动员都进行了刻苦的训练。某滑雪运动员在训练过程中，从倾角为37°的倾斜直雪道顶端以4.00m/s的速度水平飞出，落在雪道上，然后继续沿雪道下滑。若空气阻力忽略不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则他在空中运动的时间为（　　）
A．0.4s B．0.6s C．0.8s D．1.0s
【解答】解：根据斜面上平抛运动特点
可得t＝0.6s，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 浙江模拟）某天，小陈同学放学经过一座石拱桥，他在桥顶A处无意中把一颗小石子水平沿桥面向前踢出，他惊讶地发现小石子竟然几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，但是又始终没有与桥面接触。他一下子来了兴趣，跑上跑下量出了桥顶高OA＝3.2m，桥顶到桥底的水平距离OD＝6.4m。这时小陈起一颗小石，在A处，试着水平抛出小石头，欲击中桥面上两块石板的接缝B处（B点的正下方B'是OD的中点），小陈目测小石头抛出点离A点高度为1.65m，下列说法正确的是（　　）
A．石拱桥为圆弧形石拱桥
B．小陈踢出的小石头速度约为6.4m/s
C．小陈抛出的小石头速度约为4.6m/s
D．先后两颗小石子在空中的运动时间之比为2：1
【解答】解：A、石头做平抛运动，石子几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，且始终没有与桥面接触，则石拱桥为抛物线形石拱桥，故A错误；
B、石头做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向：OD＝v1t1
竖直方向：OA
代入数据联立解得：t1＝0.8s
v1＝8m/s
故B错误；
C、小陈踢出的石子经过B点时，水平方向的位移为总位移的，则时间为总时间的，A和B竖直方向的距离为hABg（t1）2OA3.2m＝0.8m
小陈抛出的小石头做平抛运动，水平方向的位移为：OD＝v2t2
竖直方向位移为：h+hAB
代入数据解得：t2＝0.7s
v2m/s≈4.6m/s
故C正确；
D、先后两颗小石子在空中的运动时间之比为：t1：t2＝0.8：0.7＝8：7
故D错误。
故选：C。
【知识点二】斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动.
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cosθ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sinθ，F合y＝mg.
【方法总结】斜上抛运动解决思路
1. 采用运动的分解法研究斜上抛运动，根据斜上抛运动过程中加速度不变是分析问题的基础题。
2.不计空气阻力，在空中做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，根据水平方向的运动规律求解。
3.斜上抛运动到最高点时只有水平速度，竖直速度为零。
（2023 沈阳三模）某篮球运动员正在进行投篮训练，若将篮球视为质点，忽略空气阻力，篮球的运动轨迹可简化如图，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为45°，在C点的速度大小为v0且与水平方向夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．篮球在B点的速度为零
B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．A、B两点的高度差为
D．A、C两点的水平距离为
【解答】解：A．因为B是篮球运动轨迹的最高点，篮球在B点，竖直速度为零，只有水平速度。则有
故A错误；
B．从B点到C点，篮球的运动时间为
故B错误；
C．vAy＝vAsin45°
vAx＝vAcos45°
所以：vAy＝vAx＝vx
A、B两点的高度差为
h
故C正确；
D．A、C两点的水平距离为：
故D错误。
故选：C。
（2023 雁塔区校级模拟）某同学练习推铅球，在如图所示的某次投掷中，设铅球的出手点为A，运动中的最高点为B，落地点为C。若铅球在A、B、C三点的速度大小之比为2：1：3。不计一切阻力，则铅球上升和下降的时间之比为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得设vA＝2v，vB＝v，vC＝3v，铅球的初速度方向与水平方向的夹角为θ，则2vcosθ＝v，解得θ＝60°，
铅球上升的时间t1，铅球下降的时间t2，解得故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 潮州二模）图甲是北京冬奥会单板滑雪大跳台比赛项目中运动员在空中姿态的合成图。比赛场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域四个部分。运动员进入起跳台后的运动可简化成如图乙所示，先以水平初速度v0从A点冲上圆心角为a的圆弧跳台，从B点离开跳台，C点为运动轨迹最高点，之后落在着陆坡上的E点。若忽略运动过程中受到的一切阻力并将运动员及其装备看成质点，则下列说法正确的是（　　）
A．运动员在C点速度为0
B．运动员下降过程中的加速度不变
C．a越大，运动员落在着陆坡上的速度越大
D．运动员离开B点后的上升过程中处于超重状态
【解答】解：A，曲线的最高点时，物体还有水平方向的分速度，故A错误；
B，在下降过程中，只受重力作用，故加速度的大小方向都不变，故B正确；
C，因为在AB弧上运动时，没有能量损失，故a的大小不影响着陆的速度大小，故C错误；
D，离开B点后，有竖直向下的加速度，应处在失重状态，故D错误。
故选：B。
【知识点三】平抛运动的临界和极值问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
【方法总结】极限法在平抛运动临界问题中的应用
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。
（2023 雨花区校级一模）如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：小球做斜抛运动，由于到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，根据逆向思维，可知小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则：，因为，则竖直位移：，而：，所以：，解得小球在A点正上方的水平速度为：，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023 贵阳模拟）如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O点水平击出。第一只球落在自己一方场地上A处弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计。则第一只球与第二只球被击出时的速度之比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：3
【解答】解：由题可知，两种情况下，球都做平抛运动，由竖直方向的位移—时间公式可得：
得：
因此可知，球两次平抛运动的时间相等，
第一只球之后从A点反弹，由于球与地面的碰撞时弹性的，故此时小球会做向右上方的斜抛运动（竖直方向的运动上可视为竖直上抛运动），
由对称性可知，A处碰撞的小球上升到高度h再落地，运动的总时间为3t，
故可知两次运动时间之比为3：1。
又因为球在水平方向做匀速直线运动，则有：
水平位移相等，则第一只球与第二只球被击出时的速度之比为1：3。
故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023 青羊区校级模拟）如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3m的高处将排球以30m/s的速度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为9m。球网的高度为2m，对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3m的排球，起跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2。已知球员A、B的连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（　　）
A．排球运动到球网正上方的时间为0.3s
B．球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球
C．若球员B未拦到排球则排球不会出界
D．若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为2.6m
【解答】解：A、排球做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，则排球运动到球员B位置的时间
故A正确；
B、排球竖直方向做自由落体运动，该段时间排球下落的高度
此时排球离地高度h3＝H﹣h＝3m﹣0.45m＝2.55m＞h1＝2.3m
故球员B在球网前直立伸直手臂拦不到排球，故B错误；
CD、竖直方向，由位移—时间公式得：
代入数据解得，排球从被击出到落地的时间
排球运动的水平距离x＝vt2＝30m＝6m＞18m
排球将出界，故CD错误。
故选：A。
【知识点四】有约束条件的平抛运动问题
【问题1】　对着竖直墙壁平抛
（2023 湛江二模）如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h＝1.8m。篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为5m，水平分速度大小v＝10m/s，要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。篮筐离地面的高度为（　　）
A．2.85m B．3.05m C．3.25m D．3.5m
【解答】解：篮球做斜抛运动，逆过程处理，上升阶段看作平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有：x＝vt，可得篮球从抛出运动到篮筐的时间：，篮球到篮筐时竖直方向的速度为零，竖直方向则有：，代入数据，解得H＝3.05m，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023 上饶模拟）如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为v1、v2，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB＝BC，则v1：v2为（　　）
A．2：1 B． C． D．
【解答】解：小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向：
水平方向：x＝v0t
联立解得：
所以
又因为
所以
故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 福州二模）如图，某次小明同学在家中对着竖直墙壁打乒乓球，将球从A点斜向上击出，球垂直在墙上的O点后，反向弹回正好落在A点正下方的B点。忽略球的旋转及空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A．球在上升阶段和下降阶段的加速度不同
B．球从A点到O点的运动时间等于从O点到B点的运动时间
C．球刚离开A点时的水平速度大小大于刚到达B点时的水平速度大小
D．球刚离开A点时的速度大小一定大于刚到达B点时的速度大小
【解答】解：A．球在上升阶段和下降阶段只受重力，加速度均为重力加速度g，故A错误；
B．将球从A到O点逆过程看作平抛运动，根据
则球从A点到O点运动时间小，故B错误；
C．反弹后水平位移等于反弹之前水平位移，
反弹之前水平速度大于反弹后水平速度，球刚离开A点时水平速度大，故C正确；
D．
球在离开A点竖直速度小于刚到达B点时竖直速度，则球刚离开A点时速度大小不一定大于刚到达B点时速度大小，故D错误。
故选：C。
【问题2】　曲面内的平抛问题
（2022 怀化一模）如图所示，在竖直的平面直角坐标系xOy中，一无阻挡的抛物线边界y＝x2把平面分为两部分，在y轴上A处有一质点小球以v0＝2m/s的初速度垂直于y轴射出，已知OA＝5m，不计空气阻力，g＝10m/s2，则（　　）
A．小球到达边界的时间为
B．小球到达边界的位置为（，2m）
C．小球到达x轴时速度方向与x轴负方向成30°
D．经过足够长的时间，小球速度方向可能和y轴平行
【解答】解：AB．小球做平抛运动，则其坐标分别为x＝﹣v0t，，其中y0＝5
联立解得：，又由于：y＝x2
可得：x＝﹣2m，y＝4m，故与边界交点坐标为（﹣2m，4m），
达到边界的时间为：，故A正确，B错误；
C．小球下落OA高度时，竖直方向的速度大小为m/s＝10m/s
到达x轴时速度方向与水平方向的夹角，即θ不为30°，故C错误；
D．根据可知，由于有初速度，故小球速度不可能与y轴平行，故D错误。
故选：A。
（2022 咸阳一模）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环AC和倾角为θ＝60°的斜面BC相接于C点，A、B两点与圆环AC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球初速度大小之比为：1
B．若仅增大两球质量，则两球不再相碰
C．若乙球速度大小变为原来的一半，则恰能落在斜面的中点D
D．若乙球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环AC
【解答】解：A、甲乙两球从等高处做平抛运动恰好在C点相碰，则时间相等，水平方向有，x1＝v1t＝R，
所以甲、乙两球初速度大小之比为：1，故A正确；
B、两球运动时间与质量无关，故改变质量，两球仍会相碰，故B错误；
C、若v2大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于乙球会碰到斜面，下落高度减小，时间减小，所以乙球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C错误；
D、若乙球垂直击中圆环AC，则落点时速度的反向延长线过圆心O，由几何关系有，
（落点和圆心连线与OC夹角为α），解得v2'≠2v2，故D错误。
故选：A。
（多选）（2022 云南二模）如图，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O竖直高度为0.5R的A点以水平初速度v0向右抛出一个质量为m的小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点（图中未画出）；当v0大小不同时，小球的落点B也不同．重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是（　　）
A．当v0大小不同时，小球从A点运动到B点的时间可能相同
B．当时，小球可以经过O点
C．当时，A、B两点位于一条直径上
D．当时，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大
【解答】解：A、当v0大小不同时，小球的落点B可能位于同一水平面上，所以运动时间可能相同，故A正确；
B、运动过程中经过O点，满足竖直方向，水平方向，解得，故B错误；
C、若A、B两点位于一条直径上，满足：，解得，故C正确；
D、当B点位于O点正下方时，满足，解得，此时小球运动的时间最长，则由Δv＝gt，可知此时速度变化量最大，故D正确。
故选：ACD。
【知识点五】斜面平抛模型
1．斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，解答这类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度规律；
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
2．常见的模型及处理方法如下：
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝
在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v＝－2a1d得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
（2023 黄山一模）如图所示，可视为质点的小球A、B分别同时从倾角为37°的光滑斜面顶端水平抛出和沿斜面下滑，平抛初速度大小为vA＝5m/s，下滑初速度vB未知，两小球恰好在斜面底端相遇，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（　　）
A．斜面长5m
B．B球初速度
C．相遇前，A、B两球始终在同一高度
D．相遇前两小球最远相距
【解答】解：A．设斜面长为L，小球A做平抛运动
小球A的竖直位移，
水平位移Lcos37°＝vAt
代入数据联立解得A球在空中运动的时间，
斜面的长度，故A错误；
B．小球B沿斜面做匀加速运动，根据牛顿第二定律mgsin37°＝ma
解得小球B的加速度a＝6m/s2
根据运动学公式，小球B的位移
代入数据联立解得B球的初速度vB＝4m/s，故B错误；
C．经历时间t1，A球的竖直分位移
经历时间t1，B球体的竖直分位移
代入数据化简得
若两球始终在同一高度，则有y1＝y2，即
解得
由于t1＝t，因此在相遇前，A、B两不在同一高度，C错误；
D．将小球A的初速度和加速度沿斜面方向分解
沿斜面方向的初速度vA0＝vAcos37°＝5×0.8m/s＝4m/s
沿斜面方向的加速度
由于，可见小球A、B沿斜面方向的运动情况始终相同，这就将A、B两球相距最远的问题转化为小球A离斜面最远的问题
小球A垂直与斜面方向的初速度vA1＝vAsin37°＝5×0.6m/s＝3m/s
小球A垂直斜面方向的加速度
根据运动学公式，小球A离斜面的最远距离
即相遇前两小球最远相距，故D正确。
故选：D。
（多选）（2023 湖北模拟）如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度v0沿水平方向飞行，先后释放A、B两颗炸弹，分别击中倾角为θ的山坡上的M点和N点，释放A、B两颗炸弹的时间间隔为Δt1，此过程中飞机飞行的距离为s1；击中M、N的时间间隔为Δt2，M、N两点间水平距离为S2，且A炸弹到达山坡的M点位移垂直斜面，B炸弹是垂直击中山坡N点的。不计空气阻力，下列正确的是（　　）
A．A炸弹在空中飞行的时间为
B．
C．
D．
【解答】解：A、A炸弹到达山坡的M点位移垂直斜面，将位移分解到水平和竖直方向如图所示：
由几何关系得：
解得：t1
故A正确；
BD、释放A、B两颗炸弹的时间间隔为Δt1，此过程中飞机飞行的距离为s1，该过程飞机做匀速直线运动，即
击中M、N的时间间隔为Δt2，炸弹水平方向的运动与飞机运动相同，M、N两点间水平距离为s2，即飞机飞行的距离为s2，则满足
所以
故B错误，D正确；
C、B炸弹垂直击中山坡N点，将速度分解到水平和竖直方向如上图
由几何关系得：tanθ
解得：t1
由时间关系得t1﹣Δt1＝t2﹣Δt2
解得：Δt1＝Δt2
故C错误；
故选：AD。
（多选）（2023 上饶模拟）如图所示，将两小球A、B从直角三角形斜面（足够长）的顶端分别向左、向右水平抛出，两小球分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为α，β，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．将A球先后以v0A与2v0A的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上的时间之比为1：2
B．将A球先后以v0A与2v0A的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上的速度方向不同
C．将A、B两小球分别以v0的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的时间之比为tanβ：tanα
D．将A、B两小球分别以v0的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的下落高度之比为tan2α：tan2β
【解答】解：AC、将A球先后以v0A与2v0A的速度向左水平抛出，A球两次都落在斜面上，根据合位移与水平方向夹角的正切表达式有：，可得，所以两次A球落在斜面上的时间之比为t1：t2＝v0A：2v0A＝1：2；同理，将A、B两小球分别以v0的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的时间之比为：；故A正确，C错误；
B、将A球先后以v0A与2v0A的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上，设合速度与水平方向夹角为θ，根据平抛运动的推论可知，合位移方向与合速度方向的关系，有tanθ＝2tanα，所以，A球两次落在斜面上的速度方向相同；故B错误；
D、将A、B两小球分别以v0的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的下落高度之比为；故D正确。
故选：AD。
（2023 湖南）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（　　）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
【解答】解：A、两谷粒均做抛体运动，故加速度均相同，故A错误，
BC、根据图b可知谷粒2从最高点到P点的运动时间大于谷粒1从O点到P点的运动时间，又因为谷粒2从最高点到P点水平位移小于谷粒1从O到P点的水平位移，所以谷粒2在最高点的速度小于v1，故B正确，C错误，
D、两谷粒从O到P的位移相同，飞行时间不同，所以平均速度不相等，故D错误。
故选：B。
（2022 广东）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　）
A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于
【解答】解：当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹和小积木在竖直方向上都做自由落体，在竖直方向上保持相对静止，因此子弹将击中P点，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故击中的时间为t，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（多选）（2022 山东）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取10m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）
A．v＝5m/s B．v＝3m/s C．d＝3.6m D．d＝3.9m
【解答】解：设网球飞出时的速度为v0，
根据运动学公式可知竖直方向2g （H﹣h）
代入数据得
v0y＝12m/s
运动时间t
根据速度的分解有：v0x
排球水平方向到P点的距离
x0x＝v0xt
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
v0x1v0x
平行墙面的速度分量
v0x2v0x
反弹后，垂直墙面的速度分量
v0x3＝0.75v0x1
则反弹后的网球速度大小为
vx
联立代入数据解得：vx＝3m/s
网球落到地面的时间t'
着地点到墙壁的距离d＝v0x3t'
代入数据解得：d＝3.9m
故BD正确，AC错误；
故选：BD。
（多选）（2022 河北）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心，R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管、其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中，依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．若h1＝h2，则v1：v2＝R2：R1
B．若v1＝v2，则h1：h2＝R12：R22
C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则ω1＝ω2
【解答】解：A、若h1＝h2，根据竖直方向上自由落体的运动特点可知，水的运动时间相等，在水平方向上，x＝vt，则v1：v2＝R1：R2，故A错误；
B、若v1＝v2，根据水平方向的运动特点可知，t1：t2＝R1：R2，结合竖直方向自由落体的公式可知，h1：h2＝R12：R22，故B正确；
C、若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，因为旋转的时间相同，则喷出的水量相等，但因为外圈的花盆数量比内圈数量多，则落入每个花盆的水量不相同，故C错误；
D、若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同的话，应该这样解释：设每浇一个花盆经历时间t，出水口截面积为S，喷嘴转过的角度为θ，转动的角速度为ω，水柱扫过的弧长为l，则：出水量V＝Svt，根据A选项的解析，若h1＝h2，则v1：v2＝R1：R2。所以要保证落入每个花盆的水量（V）相同的话，必有ω1＝ω2。故D正确；
故选：BD。
（2023 南昌二模）如图所示，运动员将排球以速度v从M点水平击出，排球飞到P点时，被对方运动员击回，球又斜向上飞出后落到M点正下方的N点。已知N点与P点等高，轨迹的最高点Q与M等高，且NP＝2MN。排球在运动过程中不计空气阻力，则排球击回时的速度大小为（　　）
A．v B． C． D．
【解答】解：排球从M到P做平抛运动，设运动时间为t，则有
水平方向：NP＝vt
竖直方向：MNgt2
又有：NP＝2MN
联立方程，解得：t
排球从P到Q过程，因为Q与M等高，所以从P到Q所用时间等于从M到P所用时间t，则有
水平方向：NP＝vPxt
竖直方向：MN
联立上述方程，解得：vPx，vPy＝v
P点初速度为：vP
代入数据，解得：vPv
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（多选）（2023 南通模拟）在无风的环境里将一塑料球以一定的初速度v0水平抛出，球受到的空气阻力与速度大小成正比，该球运动过程中水平方向的速度vx随时间t、水平方向的位移x的变化规律，竖直方向的速度vy随时间t、竖直方向的位移y的变化规律可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：AB、塑料球水平方向受空气阻力作用，由牛顿第二定律有：
塑料球水平方向速度逐渐减小，则其水平方向加速度逐渐减小，所以vx﹣t图像的斜率逐渐减小。结合vx﹣t图像中图线与时间轴所围面积表示位移，易知vx随水平位移x的变化率也是逐渐变小的，故A错误，B正确；
CD、塑料球竖直方向受空气阻力作用，由牛顿第二定律有：
塑料球竖直方向速度逐渐增大，则其竖直方向加速度逐渐减小，所以vy﹣t图像的斜率逐渐减小。结合vy﹣t图像中图线与坐标轴所围面积表示位移，易知vy随竖直位移y的变化率也是逐渐变小的，故C错误，D正确。
故选：BD。
（2023 福州模拟）如图在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为10m，不考虑空气阻力，g取10m/s2。篮球（　　）
A．在空中做变加速曲线运动
B．在最高点时动能为零
C．投出后在空中飞行时间为1s
D．进筐的速度大小是10m/s
【解答】解：A、篮球在空中只受重力的作用，所以篮球的运动是匀变速曲线运动，故A错误；
B、斜抛运动在最高点的速度方向沿水平方向，速度不为零，动能也不为零，故B错误；
C、将篮球的运动看成逆向的平抛运动，则
x＝vxt
x＝10m
联立解得：s；，故C错误；
D、进筐的速度大小为：
代入数据解得：v＝10m/s，故D正确；
故选：D。
（2023 荔湾区校级四模）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也．宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也．”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（　　）
A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长
C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大
D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙小
【解答】解：根据题意，设位移与水平方向的夹角为θ，速度与水平方向的夹角为α，
则由平抛运动规律有：
AB．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，则有：h甲＞h乙
根据，可得：
则可知，甲所投的箭在空中运动时间长，
又根据x＝v0t可知，两人的水平距离相同，甲所投的箭在空中运动时间长，则甲所投箭的初速度较小，故AB错误；
CD．若箭在竖直方向下落的高度相等，则箭在空中运动时间相等，且有：x甲＜x乙
根据x＝v0t可知，则甲所投箭的初速度较小，
又根据v＝gt可知，甲、乙所射箭落入壶口时竖直速度相等，
则由可得，甲所射箭落入壶口时速度比乙小，故C错误，D正确。
故选：D。
（2023 张家口二模）如图所示，一个倾角为45°的斜面与一个圆弧对接，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　）
A．小球初速度不同，则运动时间一定不同
B．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同
C．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直
D．小球落到圆弧面上时位置越高，末速度越大
【解答】解：A、平抛运动的时间由下落的高度决定。若小球落到斜面与圆弧面上时的下落高度相同，则小球平抛运动的时间相同，故A错误；
B、设斜面倾角为θ，小球落到斜面上时速度与水平方向夹角为α，则，；故tanα＝2tanθ，只要是小球落在斜面上时，其速度方向一定相同，故B正确；
C、小球落到圆弧面上时，若落点速度方向与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线通过圆心，但由平抛运动规律知，速度的反向延长线应通过水平位移的中点，又因为水平位移的中点不可能是圆心，所以小球落到圆弧面上时，其速度方向不可能与该处圆的切线垂直，故C错误；
D．设小球的初速度为v0运动时间为t，则小球落到圆弧面上时速度大小为，当v0越大时落点位置越高，但t越小，v不一定大，故D错误。
故选：B。
（2023 河南模拟）近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，目前已有多所冰雪特色学校，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，现有两名滑雪运动员（均视为质点）从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1：v2＝2：1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．他们飞行时间之比为t1：t2＝1：2
B．他们飞行的水平位移之比为x1：x2＝2：1
C．他们速度变化之比为Δv1：Δv2＝2：1
D．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1：s2＝2：1
【解答】解：A、运动员从跳台a处水平飞出后，在空中做平抛运动，设初速度为v0，飞行时间为t，斜坡的倾角为θ。
运动员在空中做平抛运动，落到斜坡上时则有，解得，可得他们飞行时间之比为t1：t2＝v1：v2＝2：1，故A错误；
B、运动员飞行的水平位移为x＝v0t，则他们飞行的水平位移之比为，故B错误；
C、运动员的速度变化为Δvy＝gt，因为他们飞行时间之比为t1：t2＝2：1，则他们速度变化之比为Δv1：Δv2＝t1：t2＝2：1，故C正确；
D、将运动员的运动沿斜坡方向和垂直斜坡方向分解，可知运动员在空中离坡面的最大距离为，则他们在空中离坡面的最大距离之比为，故D错误。
故选：C。
（2023 新课标）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【解答】解：根据平抛运动规律可知竖直方向有
2gh
结合题意石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ，可知抛出速度的最小值满足，如图：
tanθ
解得
v0
答：抛出速度的最小值为。
（2022 甲卷）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【解答】解：因为每相邻两个小球之间被删去了3个影像，所以每相邻两个小球之间有4次闪光间隔，即相邻两个小球之间的时间为：
t＝4×0.05s＝0.2s
因为第一个小球为抛出点，所以第一段运动对应的竖直位移大小为：
第二段运动对应的竖直位移大小为：
0.6m
设小球抛出时的初速度大小为v，则s1可以表示为：
同理s2可以表示为：
因为s1：s2＝3：7，联立解得：
v
答：抛出瞬间小球的速度大小为。
（2022 北京）体育课上，甲同学在距离地面高h1＝2.5m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0＝8.0m/s；乙同学在离地h2＝0.7m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m＝0.3kg，取重力加速度g＝10m/s2。不计空气阻力。求：
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。
【解答】解：（1）排球做平抛运动，则在竖直方向上：
水平方向上：x＝v0t
联立解得：x＝4.8m
（2）在竖直方向上，vy＝gt
则排球被垫起前瞬间的速度大小为
联立解得：v＝10m/s
tanθ
即θ＝37°
即方向与水平方向的夹角为37°
（3）根据动量定理得：
I＝Ft＝mv′﹣mv
其中，v'＝10m/s，方向与排球垫起前的速度方向相反
联立解得：
I＝6N s
答：（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离为4.8m；
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小为10m/s，方向与水平方向的夹角为37°；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小为6N s。
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专题4.2　抛体运动
1.物理观念：平抛运动、斜抛运动。
(1)掌握平抛运动的规律，会用运动的合成与分解方法分析平抛运动。
(2)会处理平抛运动中的临界、极值问题。
(3)能定性分析斜抛运动。
2.科学思维：平抛斜面、圆弧面模型。
(1)知道常见的四类斜面平抛模型并能区分不同类型的斜面倾角的物理含义。
(2)会利用运动合成与分解的思想分析几种常见的平抛圆弧组合模型。
3.科学态度与责任：平抛运动在生活实际中的应用。
能将具体问题情景通过构建物理模型转化为物理问题进而应用物理规律来解决，以此提升分析推理能力和模型构建能力。
【知识点一】平抛运动基本规律的应用
1．飞行时间
由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝.
推导：
→xB＝
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有
tan θ＝2tan α.
推导：
→tan θ＝2tan α
（2023 赣州二模）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。将一质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点）从空中O点以速度v0＝3m/s水平抛出，经过轨迹上的P点时速度方向与水平方向夹角为53°，如图甲所示。现沿小球运动轨迹铺设一条光滑轨道，如图乙所示，让小球从O点由静止释放开始沿轨道下滑，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，则（　　）
A．小球下滑到P处时的速度大小为4m/s
B．小球从O点下滑到P点的时间为0.4s
C．O、P两点的水平距离为0.8m
D．在P点处，小球对轨道的压力为N
（2023 五华区校级模拟）为迎接2022年北京冬奥会，运动员都进行了刻苦的训练。某滑雪运动员在训练过程中，从倾角为37°的倾斜直雪道顶端以4.00m/s的速度水平飞出，落在雪道上，然后继续沿雪道下滑。若空气阻力忽略不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则他在空中运动的时间为（　　）
A．0.4s B．0.6s C．0.8s D．1.0s
（2023 浙江模拟）某天，小陈同学放学经过一座石拱桥，他在桥顶A处无意中把一颗小石子水平沿桥面向前踢出，他惊讶地发现小石子竟然几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，但是又始终没有与桥面接触。他一下子来了兴趣，跑上跑下量出了桥顶高OA＝3.2m，桥顶到桥底的水平距离OD＝6.4m。这时小陈起一颗小石，在A处，试着水平抛出小石头，欲击中桥面上两块石板的接缝B处（B点的正下方B'是OD的中点），小陈目测小石头抛出点离A点高度为1.65m，下列说法正确的是（　　）
A．石拱桥为圆弧形石拱桥
B．小陈踢出的小石头速度约为6.4m/s
C．小陈抛出的小石头速度约为4.6m/s
D．先后两颗小石子在空中的运动时间之比为2：1
【知识点二】斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动.
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cosθ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sinθ，F合y＝mg.
【方法总结】斜上抛运动解决思路
1. 采用运动的分解法研究斜上抛运动，根据斜上抛运动过程中加速度不变是分析问题的基础题。
2.不计空气阻力，在空中做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，根据水平方向的运动规律求解。
3.斜上抛运动到最高点时只有水平速度，竖直速度为零。
（2023 沈阳三模）某篮球运动员正在进行投篮训练，若将篮球视为质点，忽略空气阻力，篮球的运动轨迹可简化如图，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为45°，在C点的速度大小为v0且与水平方向夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．篮球在B点的速度为零
B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．A、B两点的高度差为
D．A、C两点的水平距离为
（2023 雁塔区校级模拟）某同学练习推铅球，在如图所示的某次投掷中，设铅球的出手点为A，运动中的最高点为B，落地点为C。若铅球在A、B、C三点的速度大小之比为2：1：3。不计一切阻力，则铅球上升和下降的时间之比为（　　）
A． B． C． D．
（2023 潮州二模）图甲是北京冬奥会单板滑雪大跳台比赛项目中运动员在空中姿态的合成图。比赛场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域四个部分。运动员进入起跳台后的运动可简化成如图乙所示，先以水平初速度v0从A点冲上圆心角为a的圆弧跳台，从B点离开跳台，C点为运动轨迹最高点，之后落在着陆坡上的E点。若忽略运动过程中受到的一切阻力并将运动员及其装备看成质点，则下列说法正确的是（　　）
A．运动员在C点速度为0
B．运动员下降过程中的加速度不变
C．a越大，运动员落在着陆坡上的速度越大
D．运动员离开B点后的上升过程中处于超重状态
【知识点三】平抛运动的临界和极值问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
【方法总结】极限法在平抛运动临界问题中的应用
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。
（2023 雨花区校级一模）如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为（　　）
A． B． C． D．
（2023 贵阳模拟）如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O点水平击出。第一只球落在自己一方场地上A处弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计。则第一只球与第二只球被击出时的速度之比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：3
（2023 青羊区校级模拟）如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3m的高处将排球以30m/s的速度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为9m。球网的高度为2m，对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3m的排球，起跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2。已知球员A、B的连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（　　）
A．排球运动到球网正上方的时间为0.3s
B．球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球
C．若球员B未拦到排球则排球不会出界
D．若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为2.6m
【知识点四】有约束条件的平抛运动问题
【问题1】　对着竖直墙壁平抛
（2023 湛江二模）如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h＝1.8m。篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为5m，水平分速度大小v＝10m/s，要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。篮筐离地面的高度为（　　）
A．2.85m B．3.05m C．3.25m D．3.5m
（2023 上饶模拟）如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为v1、v2，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB＝BC，则v1：v2为（　　）
A．2：1 B． C． D．
（2023 福州二模）如图，某次小明同学在家中对着竖直墙壁打乒乓球，将球从A点斜向上击出，球垂直在墙上的O点后，反向弹回正好落在A点正下方的B点。忽略球的旋转及空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A．球在上升阶段和下降阶段的加速度不同
B．球从A点到O点的运动时间等于从O点到B点的运动时间
C．球刚离开A点时的水平速度大小大于刚到达B点时的水平速度大小
D．球刚离开A点时的速度大小一定大于刚到达B点时的速度大小
【问题2】　曲面内的平抛问题
（2022 怀化一模）如图所示，在竖直的平面直角坐标系xOy中，一无阻挡的抛物线边界y＝x2把平面分为两部分，在y轴上A处有一质点小球以v0＝2m/s的初速度垂直于y轴射出，已知OA＝5m，不计空气阻力，g＝10m/s2，则（　　）
A．小球到达边界的时间为
B．小球到达边界的位置为（，2m）
C．小球到达x轴时速度方向与x轴负方向成30°
D．经过足够长的时间，小球速度方向可能和y轴平行
（2022 咸阳一模）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环AC和倾角为θ＝60°的斜面BC相接于C点，A、B两点与圆环AC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球初速度大小之比为：1
B．若仅增大两球质量，则两球不再相碰
C．若乙球速度大小变为原来的一半，则恰能落在斜面的中点D
D．若乙球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环AC
（多选）（2022 云南二模）如图，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O竖直高度为0.5R的A点以水平初速度v0向右抛出一个质量为m的小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点（图中未画出）；当v0大小不同时，小球的落点B也不同．重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是（　　）
A．当v0大小不同时，小球从A点运动到B点的时间可能相同
B．当时，小球可以经过O点
C．当时，A、B两点位于一条直径上
D．当时，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大
【知识点五】斜面平抛模型
1．斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，解答这类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度规律；
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
2．常见的模型及处理方法如下：
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝
在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v＝－2a1d得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
（2023 黄山一模）如图所示，可视为质点的小球A、B分别同时从倾角为37°的光滑斜面顶端水平抛出和沿斜面下滑，平抛初速度大小为vA＝5m/s，下滑初速度vB未知，两小球恰好在斜面底端相遇，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（　　）
A．斜面长5m
B．B球初速度
C．相遇前，A、B两球始终在同一高度
D．相遇前两小球最远相距
（多选）（2023 湖北模拟）如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度v0沿水平方向飞行，先后释放A、B两颗炸弹，分别击中倾角为θ的山坡上的M点和N点，释放A、B两颗炸弹的时间间隔为Δt1，此过程中飞机飞行的距离为s1；击中M、N的时间间隔为Δt2，M、N两点间水平距离为S2，且A炸弹到达山坡的M点位移垂直斜面，B炸弹是垂直击中山坡N点的。不计空气阻力，下列正确的是（　　）
A．A炸弹在空中飞行的时间为
B．
C．
D．
（多选）（2023 上饶模拟）如图所示，将两小球A、B从直角三角形斜面（足够长）的顶端分别向左、向右水平抛出，两小球分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为α，β，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．将A球先后以v0A与2v0A的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上的时间之比为1：2
B．将A球先后以v0A与2v0A的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上的速度方向不同
C．将A、B两小球分别以v0的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的时间之比为tanβ：tanα
D．将A、B两小球分别以v0的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的下落高度之比为tan2α：tan2β
（2023 湖南）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（　　）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
（2022 广东）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　）
A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于
（多选）（2022 山东）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取10m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）
A．v＝5m/s B．v＝3m/s C．d＝3.6m D．d＝3.9m
（多选）（2022 河北）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心，R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管、其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中，依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．若h1＝h2，则v1：v2＝R2：R1
B．若v1＝v2，则h1：h2＝R12：R22
C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则ω1＝ω2
（2023 南昌二模）如图所示，运动员将排球以速度v从M点水平击出，排球飞到P点时，被对方运动员击回，球又斜向上飞出后落到M点正下方的N点。已知N点与P点等高，轨迹的最高点Q与M等高，且NP＝2MN。排球在运动过程中不计空气阻力，则排球击回时的速度大小为（　　）
A．v B． C． D．
（多选）（2023 南通模拟）在无风的环境里将一塑料球以一定的初速度v0水平抛出，球受到的空气阻力与速度大小成正比，该球运动过程中水平方向的速度vx随时间t、水平方向的位移x的变化规律，竖直方向的速度vy随时间t、竖直方向的位移y的变化规律可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 福州模拟）如图在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为10m，不考虑空气阻力，g取10m/s2。篮球（　　）
A．在空中做变加速曲线运动
B．在最高点时动能为零
C．投出后在空中飞行时间为1s
D．进筐的速度大小是10m/s
（2023 荔湾区校级四模）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也．宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也．”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（　　）
A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长
C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大
D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙小
（2023 张家口二模）如图所示，一个倾角为45°的斜面与一个圆弧对接，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　）
A．小球初速度不同，则运动时间一定不同
B．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同
C．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直
D．小球落到圆弧面上时位置越高，末速度越大
（2023 河南模拟）近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，目前已有多所冰雪特色学校，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，现有两名滑雪运动员（均视为质点）从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1：v2＝2：1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．他们飞行时间之比为t1：t2＝1：2
B．他们飞行的水平位移之比为x1：x2＝2：1
C．他们速度变化之比为Δv1：Δv2＝2：1
D．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1：s2＝2：1
（2023 新课标）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
（2022 甲卷）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
（2022 北京）体育课上，甲同学在距离地面高h1＝2.5m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0＝8.0m/s；乙同学在离地h2＝0.7m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m＝0.3kg，取重力加速度g＝10m/s2。不计空气阻力。求：
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。
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