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专题4.3　圆周运动
1.物理观念：圆周运动、向心力、向心加速度、线速度、角速度。
（1）熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。
（2）掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。
2.科学思维：水平、竖直平面圆周运动模型。
会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型绳（杆）及轨道模型。
3.科学态度与责任：离心现象与行车安全。
能用圆周运动的知识解决以生活中的实际问题为背景的问题，体会物理学的应用价值感受物理学的学科魅力。
【知识点一】　描述圆周运动的物理量
1.描述圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
线速度（v） ①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ①v＝（定义式）＝（与周期的关系） ②单位：m/s
角速度（ω） ①描述物体绕圆心转动快慢的物理量 ②是矢量，但不研究其方向 ①ω＝（定义式）＝（与周期的关系） ②单位：rad/s ③ω与v的关系：v＝ωr
周期（T） 转速（n） 频率（f） ①周期是物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率 ②转速是单位时间内物体转过的圈数 ①T＝＝（与频率的关系） ②T的单位：s n的单位：r/s、r/min f的单位：Hz
向心加速度（an） ①描述线速度方向变化快慢的物理量 ②方向指向圆心 ①an＝＝ω2r＝r＝ωv ②单位：m/s2
总结提升：圆周运动各物理量间的关系
2.匀速圆周运动
（1）定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动.
（2）特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动.
（3）条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.
【方法总结】
在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量与等量之间的关系．分析此类问题有两个关键点：一是同一轮轴上的各点角速度相同；二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度大小相同．抓住这两点．然后根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论．
【必备知识】1.对an＝＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比.
2.常见的传动方式及特点
（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
（2）摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
（3）同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比.
（2023 天河区校级三模）如图所示为华附校园内的风杯式风速传感器，其感应部分由三个相同的半球形空杯组成，称为风杯。三个风杯对称地位于水平面内互成120°的三叉型支架末端，与中间竖直轴的距离相等。开始刮风时，空气流动产生的风力推动静止的风杯开始绕竖直轴在水平面内转动，风速越大，风杯转动越快。若风速保持不变，三个风杯最终会匀速转动，根据风杯的转速，就可以确定风速，则（　　）
A．若风速不变，三个风杯最终加速度为零
B．任意时刻，三个风杯转动的速度都相同
C．开始刮风时，风杯所受合外力沿水平方向指向旋转轴
D．风杯匀速转动时，其转动周期越大，测得的风速越小
【解答】解：A、根据题意，若风速不变，三个风杯最终做匀速圆周运动，其合外力不为零，由牛顿第二定律可知，其加速度不为零，故A错误；
B、三个风杯属于同轴转动，角速度相同，且三个风杯做圆周运动的半径相同，由v＝ωr可知，任意时刻三个风杯的线速度大小相同，方向不同，即速度不同，故B错误；
C、开始刮风时，风杯切向方向合力不为零，因此风杯所受合外力不指向旋转轴，故C错误；
D、当风杯匀速转动时，根据可知，其转动周期越大，测得的风速越小，故D正确。
故选：D。
（2023 昆明一模）图甲是市区中心的环岛路，A、B两车正在绕环岛做速度大小相等的匀速圆周运动，如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A．A、B两车的向心加速度大小相等
B．A车的角速度比B车的角速度大
C．A、B两车所受的合力大小一定相等
D．A车所受的合力大小一定比B车的大
【解答】解：ACD、两车的线速度v大小相等，由图可知rB＞rA，由可得A车的向心加速度大于B车向心加速度，匀速圆周运动合力全部提供向心力，两车的质量关系未知，由F＝man可知，两车的向心力即合力大小无法确定，故ACD错误；
B、由可知，A车的角速度大于B车角速度，故B正确。
故选：B。
（2023 台州二模）某款机械表中有两个相互咬合的齿轮A、B，如图所示，齿轮A、B的齿数之比为1：2，齿轮匀速转动时，则A、B齿轮的（　　）
A．周期之比T1：T2＝2：1
B．角速度之比为ω1：ω2＝2：1
C．边缘各点的线速度大小之比v1：v2＝1：2
D．转速之比为n1：n2＝1：2
【解答】解：C、齿轮A、B的齿数之比为1：2，可知齿轮A、B的半径之比为1：2；齿轮A、B相互咬合，可知边缘各点的线速度大小相等，即v1：v2＝1：1，故C错误；
B、根据v＝ωr可得齿轮A、B角速度之比为ω1：ω2＝r2：r1＝2：1，故B正确；
A、根据可得齿轮A、B周期之比为T1：T2＝ω2：ω1＝1：2，故A错误；
D、根据ω＝2πn可得齿轮A、B转速之比为n1：n2＝ω1：ω2＝2：1，故C错误；
故选：B。
【知识点二】　圆周运动的动力学问题
1.匀速圆周运动的向心力
（1）作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小.
（2）大小
Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv.
（3）方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力.
（4）来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.
2.离心运动和近心运动
（1）离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.
（2）受力特点（如图）
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动.
②当0③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动.
（3）本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力.
【方法总结】解决圆周运动问题的思路
【必备知识】匀速圆周运动的实例分析
运动模型 向心力的来源图示
圆锥摆模型 飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台（光滑）
（多选）（2023 香坊区校级模拟）某装置如图所示，两根轻杆OA、OB与小球及一小滑块通过光滑铰链连接，杆OA的A端与固定在竖直光滑杆上的光滑铰链相连。小球与小滑块的质量均为m，轻杆OA、OB长均为l，原长为l的轻质弹簧与滑块都套在该竖直杆上，弹簧连接在A点与小滑块之间。装置静止时，弹簧长为1.6l，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，以下说法正确的是（　　）
A．轻杆OA对小球的作用力方向沿OA杆向上，大小为
B．轻杆OB对小滑块的作用力方向沿OB杆向下，大小为
C．弹簧的劲度系数k
D．若小球绕杆以角速度ω在水平面内做匀速圆周运动，则弹簧将恢复原长
【解答】解：AB、设OA杆与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得：cosθ0.8
即θ＝37°
对球受力分析，球受重力、杆OA对球的作用力FA，OB对球的作用力FB，如图：
由平衡条件得：FA＝FBmg
OA杆对球的作用力方向沿杆斜向左上，OB杆对球的作用力方向沿杆斜向右上，则杆OB对滑块的作用力方向沿OB杆斜向右下，大小为FB′＝FBmg
故A错误，B正确；
C、对小滑块受力分析，如图1，由平衡条件得：T＝mg+FB′cos37°
由胡克定律得：T＝k（1.6l﹣l）
联立解得：k
故C正确；
D、小球在水平面内做匀速圆周运动，若弹簧恢复原长，分别对小球和滑块受力分析，如图2
对滑块，由平衡条件得：F2′cos60°＝mg
对小球，竖直方向，由平衡条件得：F2cos60°+mg＝F1cos60°
水平方向，由牛顿第二定律得：F2sin60°+F1sin60°＝mω2lsin60°
且F2′＝F2
联立解得：ω
故D错误。
故选：BC。
（2023 长春模拟）如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是（　　）
A．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹簧弹力和向心力
B．气嘴灯运动至最高点时处于超重状态
C．以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时LED灯越容易发光
D．以相同转速匀速行驶时，若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光
【解答】解：A．气嘴灯做圆周运动时，重物受重力和弹簧弹力，合力提供向心力，向心力是效果力，受力分析时不能加入分析，故A错误；
B．气嘴灯运动至最高点时，合力指向圆心向下，具有向下的加速度，处于失重状态，故B错误；
C．在最低点时，合力提供向心力有F﹣mg＝mω2r
可得F＝mg+mω2r
可知，以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时，弹簧的形变量较小，M和N不易接触，导致LED灯不容易发光，故C错误；
D．在最高点时，合力提供向心力有F+mg＝mω2r
解得F＝mω2r﹣mg
可知，以相同转速匀速行驶时，在最高点，弹簧的弹力小于最低点时弹簧弹力，则若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光，故D正确。
故选：D。
（2023 沧州一模）如图甲所示为杂技演员正在表演“巧蹬方桌”。某一小段时间内，表演者让方桌在脚上飞速旋转，同时完成“抛”“接”“腾空”等动作技巧。演员所用方桌（如图乙所示）桌面abcd是边长为1m的正方形，桌子绕垂直于桌面的中心轴线OO'做匀速圆周运动，转速约为2r/s，某时刻演员用力将桌子竖直向上蹬出，桌子边水平旋转边向上运动，上升的最大高度约为0.8m。已知重力加速度g取10m/s2，则桌子离开演员脚的瞬间，桌角a点的速度大小约为（　　）
A．4m/s B．4πm/s
C． D．
【解答】解：桌子在水平面内做匀速圆周运动，转速约为2r/s，桌角a点的线速度为v1＝2πnr，又，故
桌子被蹬出瞬间竖直向上的速度为v2，由竖直上抛运动规律可得，解得v2＝4m/s
则a点的合速度为，故C正确，ABD错误。
故选：C。
【知识点三】　水平面内圆周运动
三种临界情况
（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【方法总结】处理临界问题的解题步骤
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
（2023 宝山区二模）如图所示，M能在水平光滑滑杆上滑动，滑杆连架装在离心机上，用绳跨过光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，M离轴距离为r，且恰能做匀速圆周运动。若m增至原来的2倍，保持r不变，为使M仍能做匀速圆周运动，则离心机的角速度要变为原来的（　　）
A．1倍 B．倍 C．2倍 D．4倍
【解答】解：质量m增至原来的2倍，根据mg＝mrω2，可知向心力变为原来的2倍，r不变时，需要将ω变为原来的倍，才能使M仍能做匀速圆周运动。故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023 贵州模拟）如图甲所示，质量相等的物块A、B放在水平圆盘上，A、B和圆盘圆心O在同一直线上，让圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，当A刚要滑动时，转动的角速度为ω1，当B刚要滑动时，转动的角速度为ω2，若A、B在圆盘上的位置不变，用细线将A、B连接，细线刚好伸直，如图乙所示，让圆盘匀速转动，当A、B一起刚要滑动时，转动的角速度为ω3，两物块与盘面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列关系正确的是（　　）
A．ω1＞ω3＞ω2 B．ω1＜ω3＜ω2 C．ω1＜ω2 D．ω1＜ω3
【解答】解：设物体到圆心的距离为r，当物体刚要滑动时，最大静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律mgμ＝mω2r
可得
故当A刚要滑动时，转动的角速度为ω1
当B刚要滑动时，转动的角速度为ω2
用细线将A、B连接，当它们一起刚要滑动时，最大静摩擦力和拉力合力提供向心力，对B物体由牛顿第二定律
最大静摩擦力和拉力合力提供向心力，对A物体有
联立解得
因为，所以可得ω1＞ω3＞ω2
故A正确。
故选：A。
（2023 东城区模拟）如图所示，两根长度相同的细线悬挂两个相同的小球，小球在水平面上做角速度相同的匀速圆周运动，已知两细线与竖直方向的夹角分别为α和β，设上下两根细线的拉力分别为T1、T2，则为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设小球质量为m，对下面的小球隔离进行受力分析，小球受重力和下面绳子拉力为T2，做匀速圆周运动，竖直方向受力平衡，则T2
将两个小球看成一个整体进行受力分析，两球受重力和上面绳子拉力T1，做匀速圆周运动，竖直方向受力平衡，则T1
故
故A正确，BCD错误；
故选A。
【知识点四】　竖直面内的圆周运动
模型一　拱桥、凹桥模型
概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
（2023 滨海新区校级模拟）石拱桥是中国传统桥梁的四大基本形式之一。假设某拱形桥为圆的一部分，半径为R。一辆质量为m的汽车以速度v匀速率通过该桥，图中Q为拱形桥的最高点，圆弧PQS所对的圆心角为90°，PS关于QO对称，汽车运动过程中所受阻力大小恒定，重力加速度为g。下列说法正确的是 （　　）
A．汽车运动到P点时对桥面的压力大于mgcos45°
B．汽车运动到Q点时牵引力大于阻力
C．汽车运动到Q点时，桥面对汽车的支持力等于汽车重力
D．汽车从P点运动到S点过程中，其牵引力一定一直减小
【解答】解：A、汽车运动到P点时，重力垂直于桥面的分力等于mgcos45°，由于汽车在竖直平面内做匀速圆周运动，沿半径方向有向心加速度，所以汽车对桥面的压力小于mgcos45°，故A错误；
B、汽车在竖直平面内做匀速圆周运动，运动到Q点时牵引力等于阻力，故B错误；
C、由于汽车在竖直平面内做匀速圆周运动，所以汽车运动到Q点时桥面对汽车的支持力小于汽车重力，故C错误；
D、汽车从P点运动到Q点过程中，重力沿圆弧切线方向的分力一直减小，设汽车与Q之间圆弧所对圆心角为θ，其牵引力F＝mgsinθ+f，一直减小，汽车从Q点运动到S点过程中，重力沿圆弧切线方向的分力一直增大，其牵引力F＝f﹣mgsinθ一直减小，所以汽车从P点运动到S点过程中，其牵引力一定一直减小，故D正确；
故选：D。
（多选）（2021春 南山区校级期中）石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一、假设某拱形桥为圆的一部分，半径为R。一辆质量为m的汽车以速度v匀速通过该桥，图中Q为共形桥的最高点，圆弧PQS所对的圆心角为90°，P、S关于QO对称，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．汽车所受合力始终为0
B．汽车运动到Q点时，桥面对汽车的支持力小于汽车重力
C．汽车匀速运动的速度v越大，通过Q点时对桥面的压力越大
D．汽车从P点运动到S点所用的时间为
【解答】解：A、汽车做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，始终不为0，故A错误；
BC、汽车运动到Q点时，根据牛顿第二定律可得：mg﹣FN＝m，解得桥面对汽车的支持力FN＝mg﹣m，小于mg，当汽车的速度越大时，根据牛顿第三定律可知通过Q点时对桥面的压力越小，故B正确，C错误；
D、汽车从P点运动到S点所用的时间为t，故D正确。
故选：BD。
（多选）（2021春 涪城区校级期末）贵港城区为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，跨度为L，桥高为h，一辆质量为m的小汽车，在A端以速度v0冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中，克服桥面摩擦力做的功忽略不计，则（　　）
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为N＝mg﹣m
C．上桥过程中小汽车发动机做的功为mgh
D．小汽车到达桥顶时的速度不会大于
【解答】解：A、小汽车做圆周运动，在最高点合力提供向心力，方向指向圆心，所以加速度方向竖直向下，汽车处于失重状态，故A正确；
B、在最高点，根据向心力公式得：mg﹣N＝m
解得
N＝mg﹣m，但在其它位置，受到桥面的支持力大小不为mg﹣m，故B错误；
C、根据动能定理得：WF﹣mgh
解得WFmgh
故C错误；
D、在最高点，根据向心力公式得
mg﹣N＝m
当N＝0时，速度最大，即
故D正确。
故选：AD。
模型二　竖直面内圆周运动两类模型
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“轻绳模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“轻杆模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型 轻杆模型
实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件 v≥ v≥0
速度和 弹力关 系讨论 分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
【方法总结】处理临界问题的解题步骤
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
（2021 广东二模）如图，小明在游乐园乘坐摩天轮。已知摩天轮在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。当小明从最低点a处转动到水平位置d处的过程中，小明（　　）
A．对座舱的压力大小不变
B．所受合外力的大小逐渐变大
C．在水平方向的受力大小逐渐变大
D．在水平方向的受力大小保持不变
【解答】解：人做匀速圆周运动，所受到的合外力提供向心力，根据F＝mrω2，知人的向心力大小不变，则人所受到的合外力不变；人在运动的过程中受重力、支持力、静摩擦力，三个力的合力提供向心力，合力沿水平方向的分力等于人所受的摩擦力，合力沿竖直方向的分力等于重力和支持力的合力，合力的大小不变，由最低点a到d的运动过程中，沿竖直方向的分力逐渐减小，则人受到的支持力逐渐减小，结合牛顿第三定律可知，人对座舱的压力大小增大；合力沿水平方向的分力增大，所以摩擦力增大，在d处，合力等于摩擦力的大小，所以d处摩擦力最大。故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2021 浙江模拟）一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定大于v2大小，图乙中S1和S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，图乙中S1和S2的面积可能不等
【解答】解：AB、由对称性可知，在最高点左右两侧对称位置，小球沿水平方向分速度相同，那么在小球达到最高点时，其前后对称时刻的小球的水平分速度相等且最高点时刻水平分速度为正，在题图乙中t1时刻满足要求，所以t1时刻小球通过最高点，同理t3时刻小球通过最低点，故A正确，B错误；
CD、从t2到t3，小球重力做正功，一直在加速，在最低点时，速度最大，沿水平方向分速度也最大，即v2＞v1，另外根据对运动过程分析可得：S1和S2分别表示从最低点到最左边点以及从最左边点到最高点的水平位移大小，它们相等，因此S1和S2的面积相等，故CD错误．
故选：A。
（2021 金山区二模）如图，同一条过山车轨道上，一辆小车与多辆相同小车连接在一起分别以初速度v0进入圆轨道，若滑行到重心最高时速度分别为v1和v2。不计轨道和空气阻力，则v1、v2的大小关系是（　　）
A．v1＜v2
B．v1＞v2
C．v1＝v2
D．与小车数量有关，无法判断
【解答】解：小车在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，动能转化为重力势能；但一辆小车其重心位置在圆的最高点，多辆小车其重心位置比圆的最高点低，根据mgh可得，h小，最高点的速度大，所以v1＜v2，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2023 甲卷）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意质点做匀速圆周运动，所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比：Fn∝rn
运动周期与轨道半径成反比可知： 为常数）
解得：，其中 均为常数，r 的指数为3，故n＝3，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023 全国）如图，水平地面上放有一质量为M的⊥形支架。一质量为m的小球用长为l的轻绳连接在支架顶端，小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为g。已知小球运动到最低点时速度大小为v，此时地面受到的正压力大小为（　　）
A．Mg B．（M+m）g
C．（M+m）g+m D．（M+m）g﹣m
【解答】解：小球运动到最低点时，对小球进行受力分析，小球受竖直向下的重力和轻绳竖直向上的拉力，根据牛顿第二定律，T﹣mg＝m，对M受力分析，受竖直向下的重力、小球对绳子竖直向下的拉力和自身的重力，根据平衡条件F＝Mg+T＝（M+m）g+m，根据牛顿第三定律，地面受到的正压力与地面对M的支持力F大小相等，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2022 北京）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（　　）
A．小球的速度大小均发生变化
B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功
D．细绳的拉力大小均发生变化
【解答】解：ABD、在运行的天宫一号内，物体都处于完全失重状态，重力提供绕地球运动的向心力，仅由拉力提供向心力，给小球一个初速度，小球能做匀速圆周运动，拉力大小不变，所以速度大小不变，向心加速度大小不发生变化，故ABD错误；
C、不论在地面还是在“天宫”，细线拉力始终和速度垂直，所以不做功，故C正确。
故选：C。
（2022 浙江）下列说法正确的是（　　）
A．链球做匀速圆周运动过程中加速度不变
B．足球下落过程中惯性不随速度增大而增大
C．乒乓球被击打过程中受到的作用力大小不变
D．篮球飞行过程中受到空气阻力的方向与速度方向无关
【解答】解：A、做匀速圆周运动的链球加速度时刻指向圆心，方向时刻改变，故A错误；
B、惯性只与质量有关，不随速度增大而增大，故B正确；
C、乒乓球被击打过程中乒乓球的形变是变化的，其受到的作用力大小改变，故C错误；
D、篮球飞行过程中受到空气阻力的方向与速度方向相反，故D错误。
故选：B。
（2022 山东）无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3m的半圆弧BC与长8m的直线路径AB相切于B点，与半径为4m的半圆弧CD相切于C点，小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD。为保证安全，小车速率最大为4m/s，在ABC段的加速度最大为2m/s2，CD段的加速度最大为1m/s2。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为（　　）
A．，l＝8m
B．，l＝5m
C．，l＝5.5m
D．，l＝5.5m
【解答】解：小车在圆周轨道中有：a，代入数据解得：vBCm/s，vCD＝2m/s，小车保持速率不变依次经过BC和CD，所以为保证安全，小车的速度为v＝2m/s，从A到B，根据运动学规律有：v2＝2ax，将a＝2m/s2代入解得：x＝3m，则小车在AB段做匀速直线运动运动的最长距离l＝8m﹣x＝8m﹣3m＝5m，小车在AB段减速所用时间为t1，匀速所用时间t2，在圆周轨道运动时间为：t3，则小车从A到D所需最短时间t＝t1+t2+t3，联立代入数据解得：，故ACD错误，B正确；
故选：B。
（2022 福建）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领，500m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持，在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8m用时2s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10m的匀速圆周运动，速度大小为14m/s。已知武大靖的质量为73kg，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取10m/s2，tan22°＝0.40、tan27°＝0.51、tan32°＝0.62、tan37°＝0.75）。
【解答】解：（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前x1＝8m用时t1＝2s
根据位移—时间关系可得：x1
代入数据解得：a＝4m/s2；
（2）根据向心力的计算公式可得：Fn＝m73N＝1430.8N；
（3）设场地对武大靖的作用力大小为F，F与重力的合力提供向心力，如图所示：
根据几何关系可得：tanθ
代入数据解得：tanθ≈0.51
所以θ＝27°。
答：（1）求此过程加速度大小为4m/s2；
（2）此次过弯时所需的向心力大小为1430.8N；
（3）武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小为27°。
（2021 山东）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为细杆为轻质细杆，又因为其一端绕竖直光滑轴O转动，所以杆对球的力沿杆，即杆对球不做功，对小球完成一个完整的圆周运动过程，由动能定理得﹣f 2πL＝0，解得摩擦力f，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2021 甲卷）“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（　　）
A．10m/s2 B．100m/s2 C．1000m/s2 D．10000m/s2
【解答】解：根据匀速圆周运动的规律，ω＝2πn＝2π×50rad/s＝100πrad/s，r＝1cm＝0.01m，向心加速度为：an＝ω2r＝（100π）2×0.01m/s2＝100π2m/s2≈1000m/s2，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2022 辽宁）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度v＝9m/s时，滑过的距离x＝15m，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为R甲＝8m、R乙＝9m，滑行速率分别为v甲＝10m/s、v乙＝11m/s，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
【解答】解：（1）由v2＝2ax，解得：am/s2＝2.7m/s2，
（2）am/s2＝12.5m/s2，
am/s2，
则：，
T，
T，
因为，故甲先出弯道。
答：（1）加速度的大小为2.7m/s2；
（2）甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比为，甲运动员先出弯道。
（2023 江苏）“转碟”是传统的杂技项目。如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f。
【解答】解：根据线速度的计算公式可得发光物体的速度大小为：
v0＝ω0r
物体受到的摩擦力提供做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得：
f
答：发光物体的速度大小为ω0r，受到的静摩擦力大小为。
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专题4.3　圆周运动
1.物理观念：圆周运动、向心力、向心加速度、线速度、角速度。
（1）熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。
（2）掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。
2.科学思维：水平、竖直平面圆周运动模型。
会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型绳（杆）及轨道模型。
3.科学态度与责任：离心现象与行车安全。
能用圆周运动的知识解决以生活中的实际问题为背景的问题，体会物理学的应用价值感受物理学的学科魅力。
【知识点一】　描述圆周运动的物理量
1.描述圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
线速度（v） ①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ①v＝（定义式）＝（与周期的关系） ②单位：m/s
角速度（ω） ①描述物体绕圆心转动快慢的物理量 ②是矢量，但不研究其方向 ①ω＝（定义式）＝（与周期的关系） ②单位：rad/s ③ω与v的关系：v＝ωr
周期（T） 转速（n） 频率（f） ①周期是物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率 ②转速是单位时间内物体转过的圈数 ①T＝＝（与频率的关系） ②T的单位：s n的单位：r/s、r/min f的单位：Hz
向心加速度（an） ①描述线速度方向变化快慢的物理量 ②方向指向圆心 ①an＝＝ω2r＝r＝ωv ②单位：m/s2
总结提升：圆周运动各物理量间的关系
2.匀速圆周运动
（1）定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动.
（2）特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动.
（3）条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.
【方法总结】
在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量与等量之间的关系．分析此类问题有两个关键点：一是同一轮轴上的各点角速度相同；二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度大小相同．抓住这两点．然后根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论．
【必备知识】1.对an＝＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比.
2.常见的传动方式及特点
（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
（2）摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
（3）同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比.
（2023 天河区校级三模）如图所示为华附校园内的风杯式风速传感器，其感应部分由三个相同的半球形空杯组成，称为风杯。三个风杯对称地位于水平面内互成120°的三叉型支架末端，与中间竖直轴的距离相等。开始刮风时，空气流动产生的风力推动静止的风杯开始绕竖直轴在水平面内转动，风速越大，风杯转动越快。若风速保持不变，三个风杯最终会匀速转动，根据风杯的转速，就可以确定风速，则（　　）
A．若风速不变，三个风杯最终加速度为零
B．任意时刻，三个风杯转动的速度都相同
C．开始刮风时，风杯所受合外力沿水平方向指向旋转轴
D．风杯匀速转动时，其转动周期越大，测得的风速越小
（2023 昆明一模）图甲是市区中心的环岛路，A、B两车正在绕环岛做速度大小相等的匀速圆周运动，如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A．A、B两车的向心加速度大小相等
B．A车的角速度比B车的角速度大
C．A、B两车所受的合力大小一定相等
D．A车所受的合力大小一定比B车的大
（2023 台州二模）某款机械表中有两个相互咬合的齿轮A、B，如图所示，齿轮A、B的齿数之比为1：2，齿轮匀速转动时，则A、B齿轮的（　　）
A．周期之比T1：T2＝2：1
B．角速度之比为ω1：ω2＝2：1
C．边缘各点的线速度大小之比v1：v2＝1：2
D．转速之比为n1：n2＝1：2
【知识点二】　圆周运动的动力学问题
1.匀速圆周运动的向心力
（1）作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小.
（2）大小
Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv.
（3）方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力.
（4）来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.
2.离心运动和近心运动
（1）离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.
（2）受力特点（如图）
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动.
②当0③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动.
（3）本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力.
【方法总结】解决圆周运动问题的思路
【必备知识】匀速圆周运动的实例分析
运动模型 向心力的来源图示
圆锥摆模型 飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台（光滑）
（多选）（2023 香坊区校级模拟）某装置如图所示，两根轻杆OA、OB与小球及一小滑块通过光滑铰链连接，杆OA的A端与固定在竖直光滑杆上的光滑铰链相连。小球与小滑块的质量均为m，轻杆OA、OB长均为l，原长为l的轻质弹簧与滑块都套在该竖直杆上，弹簧连接在A点与小滑块之间。装置静止时，弹簧长为1.6l，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，以下说法正确的是（　　）
A．轻杆OA对小球的作用力方向沿OA杆向上，大小为
B．轻杆OB对小滑块的作用力方向沿OB杆向下，大小为
C．弹簧的劲度系数k
D．若小球绕杆以角速度ω在水平面内做匀速圆周运动，则弹簧将恢复原长
（2023 长春模拟）如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是（　　）
A．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹簧弹力和向心力
B．气嘴灯运动至最高点时处于超重状态
C．以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时LED灯越容易发光
D．以相同转速匀速行驶时，若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光
（2023 沧州一模）如图甲所示为杂技演员正在表演“巧蹬方桌”。某一小段时间内，表演者让方桌在脚上飞速旋转，同时完成“抛”“接”“腾空”等动作技巧。演员所用方桌（如图乙所示）桌面abcd是边长为1m的正方形，桌子绕垂直于桌面的中心轴线OO'做匀速圆周运动，转速约为2r/s，某时刻演员用力将桌子竖直向上蹬出，桌子边水平旋转边向上运动，上升的最大高度约为0.8m。已知重力加速度g取10m/s2，则桌子离开演员脚的瞬间，桌角a点的速度大小约为（　　）
A．4m/s B．4πm/s
C． D．
【知识点三】　水平面内圆周运动
三种临界情况
（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【方法总结】处理临界问题的解题步骤
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
（2023 宝山区二模）如图所示，M能在水平光滑滑杆上滑动，滑杆连架装在离心机上，用绳跨过光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，M离轴距离为r，且恰能做匀速圆周运动。若m增至原来的2倍，保持r不变，为使M仍能做匀速圆周运动，则离心机的角速度要变为原来的（　　）
A．1倍 B．倍 C．2倍 D．4倍
（2023 贵州模拟）如图甲所示，质量相等的物块A、B放在水平圆盘上，A、B和圆盘圆心O在同一直线上，让圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，当A刚要滑动时，转动的角速度为ω1，当B刚要滑动时，转动的角速度为ω2，若A、B在圆盘上的位置不变，用细线将A、B连接，细线刚好伸直，如图乙所示，让圆盘匀速转动，当A、B一起刚要滑动时，转动的角速度为ω3，两物块与盘面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列关系正确的是（　　）
A．ω1＞ω3＞ω2 B．ω1＜ω3＜ω2 C．ω1＜ω2 D．ω1＜ω3
（2023 东城区模拟）如图所示，两根长度相同的细线悬挂两个相同的小球，小球在水平面上做角速度相同的匀速圆周运动，已知两细线与竖直方向的夹角分别为α和β，设上下两根细线的拉力分别为T1、T2，则为（　　）
A． B． C． D．
【知识点四】　竖直面内的圆周运动
模型一　拱桥、凹桥模型
概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
（2023 滨海新区校级模拟）石拱桥是中国传统桥梁的四大基本形式之一。假设某拱形桥为圆的一部分，半径为R。一辆质量为m的汽车以速度v匀速率通过该桥，图中Q为拱形桥的最高点，圆弧PQS所对的圆心角为90°，PS关于QO对称，汽车运动过程中所受阻力大小恒定，重力加速度为g。下列说法正确的是 （　　）
A．汽车运动到P点时对桥面的压力大于mgcos45°
B．汽车运动到Q点时牵引力大于阻力
C．汽车运动到Q点时，桥面对汽车的支持力等于汽车重力
D．汽车从P点运动到S点过程中，其牵引力一定一直减小
（多选）（2021春 南山区校级期中）石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一、假设某拱形桥为圆的一部分，半径为R。一辆质量为m的汽车以速度v匀速通过该桥，图中Q为共形桥的最高点，圆弧PQS所对的圆心角为90°，P、S关于QO对称，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．汽车所受合力始终为0
B．汽车运动到Q点时，桥面对汽车的支持力小于汽车重力
C．汽车匀速运动的速度v越大，通过Q点时对桥面的压力越大
D．汽车从P点运动到S点所用的时间为
（多选）（2021春 涪城区校级期末）贵港城区为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，跨度为L，桥高为h，一辆质量为m的小汽车，在A端以速度v0冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中，克服桥面摩擦力做的功忽略不计，则（　　）
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为N＝mg﹣m
C．上桥过程中小汽车发动机做的功为mgh
D．小汽车到达桥顶时的速度不会大于
模型二　竖直面内圆周运动两类模型
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“轻绳模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“轻杆模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型 轻杆模型
实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件 v≥ v≥0
速度和 弹力关 系讨论 分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
【方法总结】处理临界问题的解题步骤
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
（2021 广东二模）如图，小明在游乐园乘坐摩天轮。已知摩天轮在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。当小明从最低点a处转动到水平位置d处的过程中，小明（　　）
A．对座舱的压力大小不变
B．所受合外力的大小逐渐变大
C．在水平方向的受力大小逐渐变大
D．在水平方向的受力大小保持不变
（2021 浙江模拟）一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定大于v2大小，图乙中S1和S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，图乙中S1和S2的面积可能不等
（2021 金山区二模）如图，同一条过山车轨道上，一辆小车与多辆相同小车连接在一起分别以初速度v0进入圆轨道，若滑行到重心最高时速度分别为v1和v2。不计轨道和空气阻力，则v1、v2的大小关系是（　　）
A．v1＜v2
B．v1＞v2
C．v1＝v2
D．与小车数量有关，无法判断
（2023 甲卷）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 全国）如图，水平地面上放有一质量为M的⊥形支架。一质量为m的小球用长为l的轻绳连接在支架顶端，小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为g。已知小球运动到最低点时速度大小为v，此时地面受到的正压力大小为（　　）
A．Mg B．（M+m）g
C．（M+m）g+m D．（M+m）g﹣m
（2022 北京）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（　　）
A．小球的速度大小均发生变化
B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功
D．细绳的拉力大小均发生变化
（2022 浙江）下列说法正确的是（　　）
A．链球做匀速圆周运动过程中加速度不变
B．足球下落过程中惯性不随速度增大而增大
C．乒乓球被击打过程中受到的作用力大小不变
D．篮球飞行过程中受到空气阻力的方向与速度方向无关
（2022 山东）无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3m的半圆弧BC与长8m的直线路径AB相切于B点，与半径为4m的半圆弧CD相切于C点，小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD。为保证安全，小车速率最大为4m/s，在ABC段的加速度最大为2m/s2，CD段的加速度最大为1m/s2。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为（　　）
A．，l＝8m
B．，l＝5m
C．，l＝5.5m
D．，l＝5.5m
（2022 福建）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领，500m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持，在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8m用时2s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10m的匀速圆周运动，速度大小为14m/s。已知武大靖的质量为73kg，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取10m/s2，tan22°＝0.40、tan27°＝0.51、tan32°＝0.62、tan37°＝0.75）。
（2021 山东）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（　　）
A． B． C． D．
（2021 甲卷）“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（　　）
A．10m/s2 B．100m/s2 C．1000m/s2 D．10000m/s2
（2022 辽宁）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度v＝9m/s时，滑过的距离x＝15m，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为R甲＝8m、R乙＝9m，滑行速率分别为v甲＝10m/s、v乙＝11m/s，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
（2023 江苏）“转碟”是传统的杂技项目。如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f。
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