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专题5.1　开普勒定律 万有引力定律及其在天文学中的应用
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
（2）掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
【知识点一】开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律（周期定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
【技巧总结】应用开普勒行星运动定律的三点注意
（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
（3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
（2023 南通模拟）神舟十四号成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，航天员陈东等顺利进入天和核心舱。已知地球半径为R，空间站在距离地面高度h处做匀速圆周运动，同步卫星距离地面高度为空间站高度的90倍，地球自转周期为T。则空间站绕地运行周期为（　　）
A． B． C． D．
（2023 贵阳模拟）2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即天王星和太阳正好分处在地球的两侧，三者几乎成一条直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知此时地球到天王星和太阳的距离分别为r1、r2，地球的公转周期为T，则天王星公转周期约为（　　）
A． B．
C． D．
（2023 驿城区校级二模）如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ。则地球与行星绕太阳转动的（　　）
A．线速度比值为 B．角速度比值为
C．向心加速度比值为sinθ D．向心力比值为sin2θ
【知识点二】万有引力定律的理解与应用
1．万有引力定律
公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可
补偿法的应用技巧
对于形状不规则、缺损或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、规律的适用条件，不能直接应用公式求解，此时需要用另外一个物体和原物体组合在一起成为一个完整或对称的简单、规范的物理模型，整体可以应用相关规律求解，同时“补”上的物体的相关物理量也很好求，待求的物理量可以利用整体去掉“补”上的部分求得。
（2023春 蒙阴县期中）关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　）
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍
D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则
（2023春 长安区期中）开普勒认为所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的焦点上。如图所示，地球绕太阳运动的轨道就是一个椭圆，太阳处在焦点F上，OF距离为d，OB距离为R称为长半轴，OC距离为r称为短半轴，A点离太阳距离较近称为近日点，B点离太阳距离较远称为远日点。若已知太阳的质量为M，地球质量为m，万有引力常量为G，当地球在远日点B时，受到太阳的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
（2022春 成都期末）有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为（　　）
A． B． C． D．
【知识点三】星体表面的重力加速度
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
（1）在两极，向心力等于零，mg＝；
（2）除两极外，物体的重力都比万有引力小；
（3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．地球表面附近（脱离地面）的重力与万有引力
地球自转，物体所受的重力近似等于地球表面处的万有引力，即mg＝，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2.
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
物体在距地面一定高度h处时，mg′＝，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，故GM＝g′（R＋h）2.
（多选）（2023 南昌二模）中国空间站是我国建成的国家级太空实验室。下表是一些有关空间站和月球在轨运动的有关数据，两者均可视为绕地球做匀速圆周运动。利用万有引力常量和表中的信息可以估算出的是（　　）
物理量 空间站运动周期 空间站离地高度 月球公转周期 地球半径
数值 约1.5h 约为400km 约27.3天 约6400km
A．地球的质量 B．地球的平均密度
C．月球公转的线速度 D．月球表面的重力加速度
（2020 叙州区校级模拟）宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（　　）
A．0 B． C． D．
（2023 思明区二模）金星和火星均绕太阳做匀速圆周运动，金星半径是火星半径的n（n＜1）倍，金星质量为火星质量的k倍。忽略行星的自转，则下列说法正确的是（　　）
A．金星表面的重力加速度是火星的
B．金星的第一宇宙速度是火星的
C．金星绕太阳运动的加速度比火星大
D．金星绕太阳运动的周期比火星大
【知识点四】天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
质 量 的 计 算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
利用运 行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得 到中心 天体的 质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m G＝mr M＝
密 度 的计 算 利用天体表面 重力加速度 g、R mg＝ M＝ －
利用运 行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近 地卫星 只需测 出其运 行周期
利用天体 表面重力 加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ —
（2023 西城区校级模拟）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为（　　）
A．10 B．
C． D．
（2023 南关区校级模拟）在天文学领域有一名词叫洛希极限，它是一个距离，当质量分布均匀的两球形天体M和m（M＞m）的球心间的距离小于这个距离时，m会解体分散。若M的半径为R，M和m的平均密度分别为ρM和ρm，忽略天体可能的形变，理论上洛希极限d＝1.26R（）。已知太阳和地球的半径之比约为100，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，粗略计算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根据以上内容和日常的天文学知识，太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值最接近于（　　）
A．200 B．160 C．120 D．80
（2023 沈河区校级模拟）我国计划在2023年发射“嫦娥六号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥六号的质量为m，离月球中心的距离为r。根据以上信息可求出（　　）
A．月球的第一宇宙速度为
B．“嫦娥六号”绕月运行的动能为
C．月球的平均密度为
D．“嫦娥六号”绕月运行的周期为
【知识点五】天体追及相遇问题
1．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t＝2nπ（n＝1，2，3…）．
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t′＝（2n－1）π（n＝1，2，3…）．
（2023 郑州二模）太空电梯的原理与生活中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“索道”将其与地面相连。如图所示，假设有一长度为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步卫星轨道上的空间站a，整个太空电梯相对地面静止。卫星b与空间站a的运行方向相同，某时刻二者距离最近，已知地球半径为R，自转周期为T，下列说法正确的是（　　）
A．太空电梯各点均处于完全失重状态
B．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比
C．太空电梯靠近地球一端的角速度大于卫星b的角速度
D．若经过时间t之后，a、b第一次相距最远，则卫星b的周期为2t
（2023春 天宁区校级月考）如图所示，三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω．万有引力常量为G，则（　　）
A．卫星a和b下一次相距最近还需经过t
B．卫星c的机械能等于卫星b的机械能
C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c加速
D．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
（多选）（2023春 香坊区校级期中）如图所示，a是“天宫一号”飞行器、b、c是地球同步卫星，此时，a、b恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，若“天宫一号”飞行器a和卫星b、c均沿逆时针方向转动，“天宫一号”飞行器a的轨道半径为r，引力常量为G，则（　　）
A．“天宫一号”飞行器a的线速度大于卫星b的线速度
B．“天宫一号”飞行器a在轨运行的周期小于24小时
C．卫星c加速就一定能追上卫星b
D．从此时起再经时间a、b相距最近
（2023 湖北）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出（　　）
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
（2023 浙江）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1：2：4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（　　）
A．木卫一轨道半径为
B．木卫二轨道半径为r
C．周期T与T0之比为
D．木星质量与地球质量之比为
（2023 辽宁）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）
A．k3（）2 B．k3（）2
C．（）2 D．（）2
（2023 湖南）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其它物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（　　）
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
（2023 全国）一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动，轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　）
A．（1）3 B．（1）3
C．（1）3 D．（1）3
（2023 浙江）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（　　）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
（多选）（2022 重庆）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（　　）
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为
C．地球的平均密度约为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
（2021 全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，地面上的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，则地球质量约为（　　）
A．6×1018kg B．6×1020 kg C．6×1022 kg D．6×1024 kg
（2023 荔湾区校级四模）神舟十五号载人飞船入轨后，于2022年11月30日5时42分，成功对接于空间站天和核心舱前向端口，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是（　　）
A．天和舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
B．组合体绕地球做圆周运动的速度比地球同步卫星的大
C．组合体绕地球做圆周运动的速度略大于第一宇宙速度
D．宇航员在空间站中利用单摆周期公式可以完成空间站所在位置处重力加速度的测量
（2023 衡水二模）天文学家于2022年1月6日发现了小行星2022AE1，对其跟踪观察并完善其轨迹发现，小行星2022AE1的直径约为70m，质量m≈4×105t，运动轨迹为抛物线，它将会在2023年7月4日与地球擦肩而过。把地球看作半径为R的均质球体，忽略地球的自转，地球表面的重力加速度大小为g，预计小行星2022AE1距地心为8R时的速度大小为，方向与它和地心连线所成的角为30°，如图所示。已知小行星2022AE1的引力势能Ep，式中r为行星2022AE1到地心的距离，小行星2022AE1与地心的连线在任意相等时间内扫过的面积相等，忽略其他天体的影响，据此可推测出（　　）
A．小行星2022AE1与地心的连线在单位时间内扫过的面积为2R
B．小行星2022AE1距地球表面的最小距离为2R
C．小行星2022AE1的最大速度为
D．小行星2022AE1的最大加速度为
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专题5.1　开普勒定律 万有引力定律及其在天文学中的应用
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
（2）掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
【知识点一】开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律（周期定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
【技巧总结】应用开普勒行星运动定律的三点注意
（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
（3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
（2023 南通模拟）神舟十四号成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，航天员陈东等顺利进入天和核心舱。已知地球半径为R，空间站在距离地面高度h处做匀速圆周运动，同步卫星距离地面高度为空间站高度的90倍，地球自转周期为T。则空间站绕地运行周期为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设同步卫星距地面的高度为H，空间站的周期为T0，则由开普勒第三定律可得：
整理可得：
代入数据解得：，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2023 贵阳模拟）2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即天王星和太阳正好分处在地球的两侧，三者几乎成一条直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知此时地球到天王星和太阳的距离分别为r1、r2，地球的公转周期为T，则天王星公转周期约为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据开普勒第三定律：
解得，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023 驿城区校级二模）如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ。则地球与行星绕太阳转动的（　　）
A．线速度比值为 B．角速度比值为
C．向心加速度比值为sinθ D．向心力比值为sin2θ
【解答】解：由题图可知，当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切。
根据几何关系有R行＝R地sinθ
根据开普勒第三定律有：
B、角速度比值：，故B正确；
A、线速度比值：，故A错误；
C、向心加速度比值：sin2θ，故C错误；
D、行星和地球的质量未知，则向心力无法比较，故D错误。
故选：B。
【知识点二】万有引力定律的理解与应用
1．万有引力定律
公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可
补偿法的应用技巧
对于形状不规则、缺损或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、规律的适用条件，不能直接应用公式求解，此时需要用另外一个物体和原物体组合在一起成为一个完整或对称的简单、规范的物理模型，整体可以应用相关规律求解，同时“补”上的物体的相关物理量也很好求，待求的物理量可以利用整体去掉“补”上的部分求得。
（2023春 蒙阴县期中）关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　）
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍
D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则
【解答】解：A．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，宇宙中各物体之间均存在万有引力，故A错误；
B．万有引力公式只适用于两个可以看成质点的物体，r趋近于0时，不能看作质点，万有引力的公式不适用，故B错误；
C．由万有引力公式
当质量均变为原来的2倍，则万有引力会增加为原来的4倍，故C错误；
D．在地面上，有
h处有
联立解得
故D正确。
故选：D。
（2023春 长安区期中）开普勒认为所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的焦点上。如图所示，地球绕太阳运动的轨道就是一个椭圆，太阳处在焦点F上，OF距离为d，OB距离为R称为长半轴，OC距离为r称为短半轴，A点离太阳距离较近称为近日点，B点离太阳距离较远称为远日点。若已知太阳的质量为M，地球质量为m，万有引力常量为G，当地球在远日点B时，受到太阳的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当地球在远日点B时，地球的轨道半径为：r′＝R+d
根据万有引力定律可得，地球在远日点B时，
受到太阳的万有引力大小为：
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2022春 成都期末）有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在小球内部挖去一个半径为R的球体，挖去小球的质量为：m′，
挖去小球前球与质点的万有引力：F″，
被挖部分对质点的引力为：F′，
则剩余部分对m的万有引力F＝F″﹣F′。
故选：A。
【知识点三】星体表面的重力加速度
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
（1）在两极，向心力等于零，mg＝；
（2）除两极外，物体的重力都比万有引力小；
（3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．地球表面附近（脱离地面）的重力与万有引力
地球自转，物体所受的重力近似等于地球表面处的万有引力，即mg＝，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2.
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
物体在距地面一定高度h处时，mg′＝，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，故GM＝g′（R＋h）2.
（多选）（2023 南昌二模）中国空间站是我国建成的国家级太空实验室。下表是一些有关空间站和月球在轨运动的有关数据，两者均可视为绕地球做匀速圆周运动。利用万有引力常量和表中的信息可以估算出的是（　　）
物理量 空间站运动周期 空间站离地高度 月球公转周期 地球半径
数值 约1.5h 约为400km 约27.3天 约6400km
A．地球的质量 B．地球的平均密度
C．月球公转的线速度 D．月球表面的重力加速度
【解答】解：AB、已知空间站运动周期T、空间站离地高度h、地球半径R，根据万有引力提供向心力得：
Gm（R+h）
得地球质量为：M，可以求出地球的质量M。
由M＝ρ 可以求出地球的密度ρ，故AB正确；
C、月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
结合月球公转周期T月，可以求月球到地球的距离r，根据，可以求月球的公转的线速度，故C正确；
D、在月球表面上，由可知，因为月球质量未知、月球半径未知，无法求出月球表面的重力加速度，故D错误。
故选：ABC。
（2020 叙州区校级模拟）宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（　　）
A．0 B． C． D．
【解答】解：飞船在距地面高度为h处，由万有引力等于重力得：
解得：g
故选：B。
（2023 思明区二模）金星和火星均绕太阳做匀速圆周运动，金星半径是火星半径的n（n＜1）倍，金星质量为火星质量的k倍。忽略行星的自转，则下列说法正确的是（　　）
A．金星表面的重力加速度是火星的
B．金星的第一宇宙速度是火星的
C．金星绕太阳运动的加速度比火星大
D．金星绕太阳运动的周期比火星大
【解答】解：A、根据天体绕太阳做匀速圆周运动，万有引力等于重力得，得g，则金星表面和火星表面的重力加速度之比为，故A错误；
B、由，得第一宇宙速度表达式为v，则金星与火星的第一宇宙速度之比为，故B错误；
C、由公式，得行星的加速度为，由于金星轨道半径比火星轨道半径小，则金星绕太阳运动的加速度比火星大，故C正确；
D、金星和火星均绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得，得行星运行周期为
由于金星轨道半径比火星轨道半径小，则金星绕太阳运动的周期比火星小，故D错误。
故选：C。
【知识点四】天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
质 量 的 计 算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
利用运 行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得 到中心 天体的 质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m G＝mr M＝
密 度 的计 算 利用天体表面 重力加速度 g、R mg＝ M＝ －
利用运 行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近 地卫星 只需测 出其运 行周期
利用天体 表面重力 加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ —
（2023 西城区校级模拟）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为（　　）
A．10 B．
C． D．
【解答】解：在两极地区，万有引力等于物体的重力，则有，从而可以求得：M
在赤道处，万有引力和重力的合力提供圆周运动向心力，则有，
联立两式解得：
所以地球的密度：ρ
联立解得：ρ，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 南关区校级模拟）在天文学领域有一名词叫洛希极限，它是一个距离，当质量分布均匀的两球形天体M和m（M＞m）的球心间的距离小于这个距离时，m会解体分散。若M的半径为R，M和m的平均密度分别为ρM和ρm，忽略天体可能的形变，理论上洛希极限d＝1.26R（）。已知太阳和地球的半径之比约为100，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，粗略计算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根据以上内容和日常的天文学知识，太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值最接近于（　　）
A．200 B．160 C．120 D．80
【解答】解：地球绕太阳运动的周期T1＝365天，月球绕地球的运动周期T2＝30天，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，即r1≈400r2
根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M
解得太阳质量与地球质量之比为：M1：M2≈432351
根据密度计算公式可得：ρ，其中V，已知太阳和地球的半径之比约为100，则太阳和地球的密度之比：
ρ1：ρ2＝0.4323
洛希极限d＝1.26R（），月球的平均密度等于地球的平均密度，则太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值：
d1：d2≈80，故D正确、ABC错误。
故选：D。
（2023 沈河区校级模拟）我国计划在2023年发射“嫦娥六号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥六号的质量为m，离月球中心的距离为r。根据以上信息可求出（　　）
A．月球的第一宇宙速度为
B．“嫦娥六号”绕月运行的动能为
C．月球的平均密度为
D．“嫦娥六号”绕月运行的周期为
【解答】解：A、设月球的质量为M。在月球表面，忽略自转，根据重力等于万有引力有
解得：GM＝gR2
对于近月卫星，根据万有引力提供向心力，有
可得月球的第一宇宙速度为：，故A错误；
B、“嫦娥六号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力，有
解得：
“嫦娥六号”绕月运行的动能为：，故B正确；
C、由得月球的质量为，月球的平均密度为，故C错误；
D、“嫦娥六号”绕月运行时根据万有引力提供向心力，有
解得“嫦娥六号”绕月运行的周期为，故D错误。
故选：B。
【知识点五】天体追及相遇问题
1．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t＝2nπ（n＝1，2，3…）．
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t′＝（2n－1）π（n＝1，2，3…）．
（2023 郑州二模）太空电梯的原理与生活中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“索道”将其与地面相连。如图所示，假设有一长度为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步卫星轨道上的空间站a，整个太空电梯相对地面静止。卫星b与空间站a的运行方向相同，某时刻二者距离最近，已知地球半径为R，自转周期为T，下列说法正确的是（　　）
A．太空电梯各点均处于完全失重状态
B．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比
C．太空电梯靠近地球一端的角速度大于卫星b的角速度
D．若经过时间t之后，a、b第一次相距最远，则卫星b的周期为2t
【解答】解：A、对地球卫星有：mrω2，解得：ω可知，卫星轨道半径越大，角速度越小，由于太空电梯上（除a点）各质点的角速度与同步卫星的角速度相同，即“太空电梯”各质点的角速度小于与其处于同一轨道半径上卫星的角速度，则“太空电梯”上各质点做圆周运动所需的向心加速度小于该轨道卫星的向心加速度，卫星的向心力是全部由万有引力题供，但是太空电梯上各质点的向心力小于其万有引力，所以处于失重状态，但不是处于完全失重状态，故A错误；
B、根据线速度与角速度的关系有v＝ωr，由于太空电梯上各点的角速度等于地球自转的角速度，可知，太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成正比，故B错误；
C、根据ω可知，卫星轨道半径越大，角速度越小，由于太空电梯上各质点的角速度与同步卫星的角速度相同，所以太空电梯靠近地球一端的角速度大于卫星b的角速度，故C正确；
D、若经过时间t之后，a、b第一次相距最远，则有：ωat﹣ωbt＝π，即，解得：Tb，故D错误。
故选：C。
（2023春 天宁区校级月考）如图所示，三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω．万有引力常量为G，则（　　）
A．卫星a和b下一次相距最近还需经过t
B．卫星c的机械能等于卫星b的机械能
C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c加速
D．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
【解答】解：A、卫星b在地球的同步轨道上，所以卫星b和地球具有相同的周期和角速度。
由万有引力提供向心力，即mω2r
ω
a距离地球表面的高度为R，所以卫星a的角速度ωa
此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近，
（ωa﹣ω）t＝2π
t，故A正确；
B、卫星c与卫星b的轨道相同，所以速度是相等的，但由于不知道它们的质量的关系，所以不能判断出卫星c的机械能等于卫星b的机械能。故B错误；
C、让卫星c加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星c会做离心运动，离开原轨道，所以不能与b实现对接，故C错误；
D、卫星b绕地球做匀速圆周运动，7.9km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行做圆周运动所需的最小初始速度，11.2km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。所以发射卫星b时速度大于7.9km/s，而小于　11.2km/s，故D错误；
故选：A。
（多选）（2023春 香坊区校级期中）如图所示，a是“天宫一号”飞行器、b、c是地球同步卫星，此时，a、b恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，若“天宫一号”飞行器a和卫星b、c均沿逆时针方向转动，“天宫一号”飞行器a的轨道半径为r，引力常量为G，则（　　）
A．“天宫一号”飞行器a的线速度大于卫星b的线速度
B．“天宫一号”飞行器a在轨运行的周期小于24小时
C．卫星c加速就一定能追上卫星b
D．从此时起再经时间a、b相距最近
【解答】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有：m，解得：v，由于“天宫一号”飞行器a的轨道半径小于卫星b的轨道半径，所以“天宫一号”飞行器a的线速度大于卫星b的线速度，故A正确；
B、由万有引力提供向心力有mr，解得卫星的运行周期：T。由于“天宫一号”飞行器a的轨道半径小于卫星b的轨道半径，所以“天宫一号”飞行器a在轨运行的周期小于卫星b的周期，b、c是地球同步卫星，卫星b的周期为24小时，则“天宫一号”飞行器a在轨运行的周期小于24小时，故B正确；
C、根据卫星变轨原理可知，卫星c加速后做离心运动，将离开原轨道，则不能追上卫星b，故C错误；
D、由万有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，可知卫星的轨道半径越大，角速度越小，卫星a、b由相距最近至再次相距最近时，圆周运动转过的角度差为2π，则有ωat﹣ωbt＝2π，解得t，故D正确。
故选：ABD。
（2023 湖北）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出（　　）
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
【解答】解：A、根据开普勒第三定律可得k，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3：2，故A错误；
B、当火星与地球相距最远时，二者的速度方向相反，所以两者的相对速度最大，故B正确；
C、根据题中条件无法求解火星与地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；
D、根据A选项可知，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3：2，已知地球的公转周期为T1＝1年，则火星的公转周期为：T2≈1.8年。
设经过时间t出现下一次“火星冲日”，则有：（）t＝2π
解得：t＝2.25年
所以下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。
故选：B。
（2023 浙江）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1：2：4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（　　）
A．木卫一轨道半径为
B．木卫二轨道半径为r
C．周期T与T0之比为
D．木星质量与地球质量之比为
【解答】解：设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为r1、r2、r3，木卫三周期为T，公转轨道半径r3＝nr。
A、根据开普勒第三定律可得：，解得：r1，故A错误；
B、根据开普勒第三定律可得：，解得：r2，故B错误；
C、由于开普勒第三定律适用于同一个中心天体，不能根据开普勒第三定律计算周期T与T0之比；由于木星和地球质量关系不知道，无法计算T与T0之比，故C错误；
D、对于木卫三，根据万有引力提供向心力，则有：mnr，解得：M木
对于月球绕地球做匀速圆周运动时，有：m′r，解得：M地
所以木星质量与地球质量之比为：，故D正确。
故选：D。
（2023 辽宁）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）
A．k3（）2 B．k3（）2
C．（）2 D．（）2
【解答】解：对于质量为m的卫星绕中心天体做匀速圆周运动时，设其轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M
根据密度计算公式可得：ρ，其中V
联立解得：ρR3
所以有：
即：
其中：k，
解得：（）2，故D正确、ABC错误。
故选：D。
（2023 湖南）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其它物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（　　）
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
【解答】解：A、重力加速度是矢量，再不同地点指向不同，另外考虑恒星自转，两极处万有引力等于重力，而其它地方万有引力的一个分力等于重力，所以同一恒星表面任意位置的重力加速度不一定相同，故A错误；
B、根据两极处万有引力等于重力得：，解得：g，恒星坍缩后质量M不变，R变小，所以表面两极处的重力加速度一定比坍缩前的大，故B正确；
C、根据星球表面万有引力提供向心力推导第一宇宙速度，得：，v，质量M不变，R变小，所以恒星坍缩前后的第一宇宙速度变大，故C错误；
D、逃逸速度为第一宇宙速度的倍，又根据选项C可知：逃逸速度的表达式为v′，又质量M
联立解得：，中子星密度大于白矮星，但是半径不一定大于白矮星，所以不能确定中子星的逃逸速度是大于还是小于白矮星的逃逸速度，故D错误。
故选：B。
（2023 全国）一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动，轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　）
A．（1）3 B．（1）3
C．（1）3 D．（1）3
【解答】解：月球探测器绕月球做匀速圆周运动，月球对探测器的引力提供向心力，有：Gm（R+H）
解得：M
月球的体积为VπR3
则月球的平均密度ρ（1）3
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023 浙江）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（　　）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
【解答】解：由开普勒第三定律，其轨道半径r的三次方与周期T的平方的比值都相等，设地球外另一行星的周期为T'，则有：
则两次冲日时间间隔为t，则
可得：t
对火星和地球，代入数据得：t≈800天
对天王星和地球，代入数据得：t≈369天
故B正确，ACD错误。
故选：B。
（多选）（2022 重庆）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（　　）
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为
C．地球的平均密度约为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
【解答】解：A.漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供做匀速圆周运动的向心力，处于完全失重，视重为零，故A错误；
B.根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为
v
故B正确；
C.设空间站的质量为m，其所受万有引力提供向心力，有
Gm
则地球的平均密度约为
ρ
联立可得：ρ，
故C错误；
D.根据万有引力提供向心力，有
Gma
则空间站绕地球运动的向心加速度大小为
a＝G
地表的重力加速度为
g
联立可得：
即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍，故D正确；
故选：BD。
（2021 全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，地面上的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，则地球质量约为（　　）
A．6×1018kg B．6×1020 kg C．6×1022 kg D．6×1024 kg
【解答】解：根据公式可得kg＝6×1024kg，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 荔湾区校级四模）神舟十五号载人飞船入轨后，于2022年11月30日5时42分，成功对接于空间站天和核心舱前向端口，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是（　　）
A．天和舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
B．组合体绕地球做圆周运动的速度比地球同步卫星的大
C．组合体绕地球做圆周运动的速度略大于第一宇宙速度
D．宇航员在空间站中利用单摆周期公式可以完成空间站所在位置处重力加速度的测量
【解答】解：A、天和舱中的宇航员处于失重状态，地球对宇航员的引力指向地心，提供向心力，故A错误；
B、组合体做圆周运动的周期小于地球同步卫星的周期，根据万有引力提供向心力得：Gmr
解得：r
则组合体做圆周运动的半径小于地球同步卫星的半径，根据Gm得，v
则组合体绕地球做圆周运动的速度比地球同步卫星的大，故B正确；
C、地球第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，组合体绕地球做圆周运动时，运动半径r大于地球半径R，由v得，组合体绕地球做圆周运动的速度略小于第一宇宙速度，故C错误；
D、在空间站中处于完全失重状态，单摆不能正常工作，则不能用单摆周期公式完成空间站所在位置处重力加速度的测量，故D错误。
故选：B。
（2023 衡水二模）天文学家于2022年1月6日发现了小行星2022AE1，对其跟踪观察并完善其轨迹发现，小行星2022AE1的直径约为70m，质量m≈4×105t，运动轨迹为抛物线，它将会在2023年7月4日与地球擦肩而过。把地球看作半径为R的均质球体，忽略地球的自转，地球表面的重力加速度大小为g，预计小行星2022AE1距地心为8R时的速度大小为，方向与它和地心连线所成的角为30°，如图所示。已知小行星2022AE1的引力势能Ep，式中r为行星2022AE1到地心的距离，小行星2022AE1与地心的连线在任意相等时间内扫过的面积相等，忽略其他天体的影响，据此可推测出（　　）
A．小行星2022AE1与地心的连线在单位时间内扫过的面积为2R
B．小行星2022AE1距地球表面的最小距离为2R
C．小行星2022AE1的最大速度为
D．小行星2022AE1的最大加速度为
【解答】解：A、小行星与地心的连线在单位时间内扫过的面积为
，故A错误；
BC、小行星与地球最近时，此时加速度与速度均达到最大值，由机械能守恒定律可得：
因为小行星与地心的连线在单位时间内扫过的面积相同，则有
解得：rmin＝2R，
小行星2022AE1距地球球心的最小距离为2R，距地球表面的最小距离不等于2R，故B错误，C正确；
D、忽略地球自转时，地球表面物体所受万有引力等于重力，则有
小行星到地心的距离为2R时，根据牛顿第二定律可得：
解得：a，故D错误；
故选：C。
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