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专题5.2　人造卫星　宇宙速度 双星模型
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
（2）掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
【知识点一】宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85 min.
【必备知识】宇宙速度与运动轨迹的关系
（1）v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
（2）7.9 km/s（3）11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
（4）v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
（2023 沧州一模）科幻电影《流浪地球》中，地球需借助木星的“引力弹弓”效应加速才能成功逃离太阳系。然而由于行星发动机发生故障使得地球一度逼近木星的“洛希极限”，险象环生。“洛希极限”是一个距离，可粗略认为当地球与木星的球心间距等于该值时，木星对地球上物体的引力约等于其在地球上的重力，地球将会倾向碎散。已知木星的“洛希极限”，其中R木为木星的半径，约为地球半径R的11倍。则根据上述条件可估算出（　　）
A．木星的第一宇宙速度约为7.9km/s
B．木星的第一宇宙速度约为16.7km/s
C．木星的质量约为地球质量的倍
D．木星的密度约为地球密度的倍
【解答】解：AB．由万有引力提供向心力得：
可知木星的第一宇宙速度为：
代入数据得：v1＝39000m/s＝39km/s，故AB错误。
CD．由题目中的条件可知，地球到达木星的“洛希极限”时有
又有
其中
R木＝11R
解得：
代入数据得：
又有
则有

代入数据得：
故C错误，D正确；
故选：D。
（2023 王益区校级一模）“开普勒”太空望远镜在银河系中找到一千多颗可能是行星的星体，其中有54颗处于适合生命存在的“宜居星体带”。若其中某颗星体的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面重力加速度的倍。已知近地卫星绕地球运动的线速度约为7.9km/s。若忽略星体自转，则该星体的第一宇宙速度约为多大（　　）
A．1.97km/s B．3.95km/s C．15.8km/s D．31.6km/s
【解答】解：星体的第一宇宙速度及近星体卫星的速度，根据牛顿第二定律得
忽略星体自转，在星体表面
星体质量
因为星体与地球的密度相同，得出g与R成正比：
联立得
所以
则
故选：B。
（2023 聊城一模）材料的力学强度是材料众多性能中被人们极为看重的一种性能，目前已发现的高强度材料碳纳米管的抗拉强度是钢的100倍，密度是钢的，这使得人们有望在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”。当航天员乘坐“太空电梯”时，地球引力对航天员产生的加速度a与r的关系用图乙中图线A表示，航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系用图线B表示，其中r为航天员到地心的距离，R为地球半径。关于相对地面静止在不同高度的航天员，下列说法正确的是（　　）
A．航天员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度
B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径
C．随着r增大，航天员运动的线速度一直减小
D．随着r增大，航天员受到电梯舱的弹力减小
【解答】解：A、电梯舱内的航天员与地球一起同轴转动，当r＝R时电梯中的航天员受到万有引力和电梯的弹力的合力提供向心力，又因为第一宇宙速度是贴近星球表面运动时，万有引力全部提供向心力时的线速度，即上式中FN＝0时匀速圆周运动的线速度，因此航天员在r＝R处的线速度小于第一宇宙速度；故A错误；
B、由公式可知，随着r增大，航天员受到电梯舱的弹力减小；当，此时电梯舱对航天员的弹力为零，只由万有引力提供向心力，r＝r0，r0为同步卫星的轨道半径；故B正确；
C、由于电梯舱内的航天员与地球一起同轴转动，所以角速度相等，根据v＝ωr，可知随着r增大，线速度增大；故C错误；
D、当r＞r0时，随着r继续增大，宇航员需要的向心力增大，由，可知FN反向增大，所以随着r从小于r0到大于r0逐渐增大的过程中，航天员受到电梯舱的弹力先减小为零后反向增大；故D错误。
故选：B。
【知识点二】卫星运行参量的分析
1．物理量随轨道半径变化的规律
2．极地卫星和近地卫星
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
3．同步卫星的六个“一定”
（2023 东城区校级三模）2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功。载人飞船的预定轨道是近地点高度为200km，远地点高度为356km的轨道。飞船在预定轨道运行过程中，根据已有的知识可以判断（　　）
A．飞船在近地点的加速度小于在远地点的加速度
B．飞船在近地点的速度小于在远地点的速度
C．飞船从近地点到远地点运行过程中动量逐渐减小
D．飞船从远地点到近地点运行过程中机械能逐渐增大
【解答】解：A、对飞船绕地球转动时，根据牛顿第二定律得：
变形解得：，由于在近地点到球心的距离小于远地点到球心的距离，所以飞船在近地点的加速度大于在远地点的加速度，故A错误；
BC、根据开普勒第二定律，相等时间内飞船与球心的连线扫过的面积相等，所以飞船在近地点的速度大于在远地点的速度，飞船从近地点到远地点运行过程中，速度逐渐减小，动量逐渐减小，故B错误，C正确；
D、飞船从远地点到近地点运行过程中机械能守恒，故D错误。
故选：C。
（2023 兴庆区校级四模）2023年春节贺岁片《流浪地球2》中提出太空电梯，太空电梯验证着中国科幻“上九天揽月”的宏大设想。“太空电梯”的主体结构为一根缆绳：一端连接地球赤道上某一固定位置，另一端连接地球同步卫星，且缆绳延长线通过地心。用太空电梯运送物体过程中，当物体停在a、b两个位置时，以地心为参考系，下列说法正确的是（　　）
A．物体在a、b位置均处于完全失重状态
B．物体在a、b位置线速度大小与该点离地球球心距离成正比
C．物体在a处向心加速度大于物体在b处向心加速度
D．若有一个轨道高度与a相同的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则其环绕地球的周期大于停在a处物体的周期
【解答】解：A、太空电梯上各点随地球一起做匀速圆周运动，只有位置达到地球同步卫星的高度的点才处于完全失重状态，物体在a、b位置其向心加速度都小于各自位置的重力加速度，所以物体在a、b位置不是处于完全失重状态，故A错误；
B、物体在a、b位置的角速度与地球自转角速度相同，由v＝ωr可知，物体在a、b位置线速度大小与该点离地球球心距离成正比，故B正确；
C、由a＝ω2r可知，物体在a处向心加速度小于物体在b处向心加速度，故C错误；
D、由开普勒第三定律可知，卫星轨道半径越小，周期越小，所以若有一个轨道高度与a相同的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则其环绕地球的周期小于停在a处物体的周期，故D错误。
故选：B。
（2023 包河区校级模拟）在地球赤道某处有一天文观测站，观测站一名观测员一次偶然机会发现一颗人造卫星从观测站的正上方掠过，然后他就对这颗卫星进行跟踪，发现这颗卫星每两天恰好有四次从观测站的正上方掠过。若地球自转周期为T，假设卫星做匀速圆周运动且运行方向与地球自转方向相同，地球半径为R，地球表面加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．卫星周期为
B．卫星轨道半径为
C．卫星运行速度小于地球同步卫星速度
D．卫星加速度小于地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度
【解答】解：A、由于每两天恰有4次经过，所以卫星的周期为，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力可得：
解得：
而GM＝gR2
解得：r，故B正确；
C、由于卫星周期小于同步卫星周期，所以速度大于同步卫星速度，故C错误；
D、卫星的加速度大于同步卫星加速度，而同步卫星加速度大于地球赤道上物体的加速度，所以卫星加速度大于地球赤道上物体的加速度，故D错误，
故选：B。
【知识点三】近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题
三种匀速圆周运动的参量比较
近地卫星 （r1、ω1、v1、a1） 同步卫星 （r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球 自转的物体 （r3、ω3、v3、a3）
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
线速度 由G＝m得 v＝，故v1＞v2 由v＝rω得 v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心 加速度 由G＝ma得 a＝，故a1＞a2 由a＝ω2r得 a2＞a3
a1＞a2＞a3
轨道半径 r2＞r3＝r1
角速度 由G＝mω2r得 ω＝，故ω1＞ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
【技巧总结】研究卫星运行熟悉“三星一物”
（1）同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
（2）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
（3）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
（4）赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力（或者说由万有引力的分力充当向心力），它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
（2023 海口模拟）在近地空间有一些重要航天器不停绕地飞行，例如天宫二号距地面高度约为393km，量子科学实验卫星距地面高度约为500km，哈勃望远镜距地面高度约为612km。若它们均可视为绕地球做圆周运动，则（　　）
A．天宫二号的角速度小于哈勃望远镜的角速度
B．哈勃望远镜的周期大于量子科学实验卫星的周期
C．天宫二号的线速度小于量子科学实验卫星的线速度
D．哈勃望远镜的加速度大于量子科学实验卫星的加速度
【解答】解：A、根据牛顿第二定律，对飞行器有：
变形求得：
由于天宫二号的高度小于哈勃望远镜的高度，故天宫二号的角速度大于哈勃望远镜的角速度，故A错误；
B、根据开普勒第三定律：c，哈勃望远镜的高度大于量子科学实验卫星的高度，所以哈勃望远镜的周期大于量子科学实验卫星的周期，故B正确；
C、根据牛顿第二定律，对任一飞行器有：
变形得到：，由于天宫二号的高度小于量子科学实验卫星的高度，所以天宫二号的线速度大于量子科学实验卫星的线速度，故C错误；
D、根据：
变形得到：，由于哈勃望远镜的高度大于量子科学实验卫星的高度，所以哈勃望远镜的加速度小于量子科学实验卫星的加速度，故D错误。
故选：B。
（2023春 香坊区校级期中）1970年4月24日，中国成功发射第一颗人造地球卫星“东方红”1号。“东方红”1号的发射成功，使中国成为世界上第五个独立自主研制和发射人造地球卫星的国家，标志着中国在宇航技术研究方面取得了历史性的重大突破。假设人造地球卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，它们的质量之比为mA：mB＝1：2，它们的轨道半径之比rA：rB＝2：1，则下面的结论正确的是（　　）
A．它们受到地球的引力之比为FA：FB＝1：4
B．它们的运行速度大小之比为
C．它们的运行周期之比为
D．它们的运行加速度之比为aA：aB＝1：8
【解答】解：A、根据万有引力公式求解：FA：FB，代入质量之比mA：mB＝1：2，轨道半径之比rA：rB＝2：1，解得FA：FB＝1：8，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力得：，解得v，所以1：，故B正确；
C、根据万有引力提供向心力得：，解得T＝2π，2：1，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力得：，解得a，aA：aB1：4，故D错误。
故选：B。
（2023春 安徽期中）国产科幻大片《流浪地球2》中的“太空电梯”给观众带来了强烈的视觉震撼。如图所示，“太空电梯”由地面基站、箱体、同步轨道上的空间站和配重以及分别连接地面基站与空间站的缆绳1、空间站和配重的缆绳2组成，缆绳相对地面静止，箱体可以沿缆绳将人和货物从地面运送到空间站。下列说法正确的是（　　）
A．地面基站可以建设在青藏高原上
B．配重的向心加速度小于同步空间站的向心加速度
C．箱体在地面基站还未运动时，缆绳1中的张力为零
D．若同步空间站和地面基站间的缆绳1断开，空间站将做离心运动
【解答】解：A、同步轨道上的空间站心须位于赤道正上方，则地面基站不能建设在青藏高原上，应建设在赤道上，故A错误；
B、配重与同步空间站角速度相同，配重轨道半径大，由a＝ω2r分析可知配重向心加速度更大，故B错误；
C、对于空间站，地球的万有引力提供向心力。对配重分析，配重向心加速度更大，万有引力不够提供向心力，所以缆绳2对配重产生拉力，再对空间站受力分析，可知缆绳2与缆绳1拉力大小相等，且不为零，故C错误；
D、缆绳1断开，配重速度较大，做离心运动，同时带动空间站做离心运动，故D正确。
故选：D。
【知识点四】卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
（2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1（4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1【技巧总结】航天器变轨问题的“三点”注意
（1）航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。
（2）同一航天器在一个确定的圆（椭圆）轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
（3）航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
（2023春 润州区校级期中）在电影《流浪地球》中，科学家利用固定在地面的万台超级聚变发动机瞬间点火，使地球在地球轨道Ⅰ上的B点加速，进入运输轨道，再在运输轨道上的A点瞬间点火，从而进入木星轨道Ⅱ、关于地球的运动，下列说法中正确的是（　　）
A．在运输轨道上A点的速度大于B点的速度
B．在地球轨道Ⅰ上B点的加速度小于在运输轨道上B点的加速度
C．在木星轨道Ⅱ上的周期大于在运输轨道上的周期
D．在木星轨道Ⅱ上的机械能等于在运输轨道上的机械能
【解答】解：A．根据开普勒第二定律可知，在运输轨道上A点的速度小于B点的速度，故A错误；
B．根据牛顿第二定律可得ma，解得a，所以在地球轨道Ⅰ上B点的加速度等于在运输轨道上B点的加速度，故B错误；
C．根据开普勒第三定律可知k，木星轨道Ⅱ上的轨道半径大于在运输轨道上运动的半长轴，所以在木星轨道Ⅱ上的周期大于在运输轨道上的周期，故C正确；
D．在运输轨道上的A点瞬间点火，机械能增加，从而进入木星轨道Ⅱ，则在木星轨道Ⅱ上的机械能大于在运输轨道上的机械能，故D错误。
故选：C。
（2023 房山区一模）我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同时将A、B两颗卫星送入预定轨道。A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．A卫星在P点的加速度大于B卫星在P点的加速度
B．A卫星在轨道1的速度小于B卫星在轨道3的速度
C．B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速
D．B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功
【解答】解：A、两卫星在P点时，根据万有引力产生加速度，
整理可得：
由于两卫星在P点到地心的距离相等，显然两卫星的加速度相同，故A错误；
B、由题知，轨道1和轨道3都是圆轨道，则有：
整理可得：
由于B卫星在轨道3上运动的轨道半径大于A卫星在轨道1上运动的轨道半径，所以B卫星在轨道3上运动的速度小于A卫星在轨道1上运动的速度，故B错误；
C、卫星从低轨道运动到高轨道，需要做离心运动，即在轨道相切点点火加速实现，所以B卫星在Q点变轨进入轨道3时需要向后喷气加速，故C错误；
D、B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中速度减少，则动能减小，故引力做负功，故D正确。
故选：D。
（2023春 温州期中）“嫦娥五号”从距月面高度为100km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥五号”下列说法正确的是（　　）
A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需增大速度才能进入轨道Ⅱ
B．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，速度越来越大
C．沿轨道Ⅰ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
D．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
【解答】解：A、沿轨道Ⅰ运动至P、变轨到轨道Ⅱ，从高轨变到低轨，做近心运动，需要制动减速，故A错误；
B、在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程，是从远月点到近月点的过程，万有引力做正功，速度增大，故B正确；
C、沿轨道Ⅱ运行时，根据，得到，离球心距离r越大，加速度越小，故P点的加速度应小于Q点的加速度，故C错误；
D、由图得Ⅱ轨道的半长轴小于Ⅰ轨道的轨道半径，根据开普勒第三定律，半长轴a越大，周期T越大，故沿轨道Ⅰ运行的周期大于沿轨道Ⅱ运行的周期，故D错误。
故选：B。
【知识点五】双星或多星模型
1．双星模型
（1）模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
（2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
2．多星模型
（1）模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
（2）三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图5甲所示）．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）．
（3）四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）．
（2023春 润州区校级期中）人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则（　　）
A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量
B．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力
C．两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越大
D．两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越小
【解答】解：AB、两个黑洞A、B组成双星系统，两者周期相同，各自由相互的万有引力提供向心力，黑洞A和B的向心力大小相等。设黑洞A、B的轨道半径分别为rA、rB，由牛顿第二定律得
对A，有GmArA
对B，有GmBrB
又rA+rB＝L
联立解得：，M＝mA+mB
因为rA＞rB，所以mA＜mB，即黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量，故A正确，B错误；
CD、两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越小，两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越大，故CD错误。
故选：A。
（2023春 高邮市期中）LAMOST黑洞猎手计划研究团队发现了一颗质量大约为1.2倍太阳质量的中子星，与一颗大约0.6倍太阳质量的红矮星组成了双星系统，绕它们连线上某点旋转。则下列说法正确的是（　　）
A．中子星与红矮星的向心力之比大约为2：1
B．中子星与红矮星的角速度之比大约为1：2
C．中子星与红矮星的转动半径之比大约为2：1
D．中子星与红矮星的线速度之比大约为1：2
【解答】解：A、双星系统中，星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，故A错误；
B、双星系统中两天体的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，故B错误；
C、设中子星质量为M，红矮星质量为m，相距L，根据万有引力提供向心力有：Mr1ω2
mr2ω2
联立解得中子星与红矮星的转动半径之比大约为1：2，故C错误；
D、根据v＝ωr，双星系统角速度相等，中子星与红矮星的线速度之比大约为1：2，故D正确。
故选：D。
（2023 丰台区二模）两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个亮度周期性变化的光点，这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以某速度撞击该双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞击后双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是（　　）
A．被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大
B．被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大
C．被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小
D．小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变
【解答】解：A、撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短，可知双星系统的运动周期变小，故A错误；
BC、双设双星之间的距离为L，星靠相互间的万有引力提供向心力，所以MRmr
联立解得：T2，则两个小行星中心连线的距离减小，引力对双星做正功，双星的引力势能减小，故C正确，B错误。
D、小行星质量越大，其惯性越大，运动的轨道越不容易被改变，故D错误；
故选：C。
（多选）（2023 海南）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（　　）
A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期
C．飞船在1轨道速度大于2轨道
D．飞船在1轨道加速度大于2轨道
【解答】解：A、飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要点火加速做离心运动才能完成，故A正确；
BCD、飞船做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得：
可得，，
可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故B错误，CD正确。
故选：ACD。
（2022 天津）2022年3月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400公里左右的轨道上运行，其运动视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000公里左右的地球静止轨道卫星（同步卫星），则该卫星（　　）
A．授课期间经过天津正上空
B．加速度大于空间站的加速度
C．运行周期大于空间站的运行周期
D．运行速度大于地球的第一宇宙速度
【解答】解：A、中继卫星是地球同步卫星，只能定点于赤道正上方，所以该卫星不可能经过天津正上空，故A错误；
BC、根据万有引力提供向心力，有：Gma＝mr，解得：a，T＝2π，因为该卫星的轨道半径比空间站的大，所以该卫星的加速度小于空间站的加速度，周期大于空间站的运行周期，故B错误，C正确；
D、第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，则知该卫星的速度小于第一宇宙速度，故D错误。
故选：C。
（2023 黄埔区三模）一颗在赤道平面内自西向东绕地球做圆周运动的近地卫星P，在某时刻处于地面上一标志性建筑物Q的正上方，P做圆周运动的半径可近似看作地球半径，周期为85min，考虑地球自转，则（　　）
A．P的角速度大小小于Q角速度大小
B．P的向心加速度大小等于Q的向心加速度大小
C．经过5分钟，P处于Q的东侧
D．经过85分钟，P处于Q的正上方
【解答】解：A、赤道平面内的建筑物Q与地球同步卫星的角速度相同，因rP＜r同，则由卫星的角速度公式ω可知，P的角速度大小大于地球同步卫星的角速度，则P的角速度大小大于Q的角速度大小，故A错误；
B、因rP＜r同，由卫星的加速度公式可知，P的向心加速度大小大于同步卫星的向心加速度，而由a＝ω2r可知，地球同步卫星的向心加速度大于Q的向心加速度，则P的向心加速度大小大于Q的向心加速度，故B错误；
C、因P比Q转动更快，则经过5分钟，P处于Q的东侧，故C正确；
D、经过85分钟，P转动一圈回到起点，而Q转动较慢，则P不能在Q的正上方，故D错误。
故选：C。
（2023 漳州模拟）2022年7月24日，中国空间站间天实验舱发射成功。中国空间站组建完成后，将从空间站中释放伴随卫星。如图所示，空间站在离地高度约400km的圆轨道绕地球运行，伴随卫星在椭圆轨道上绕地球运行，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随卫星在P处时位于空间站正上方，伴随卫星轨道半长轴与空间站轨道半径相等，仅考虑地球的引力作用。则（　　）
A．空间站的角速度小于地球同步卫星的角速度
B．空间站的线速度介于7.9km/s到11.2km/s之间
C．伴随卫星运行到P点时，线速度比空间站的大
D．伴随卫星绕地球的运行周期与空间站绕地球的运行周期相等
【解答】解：A、卫星绕地球运行时，由可得，知轨道半径越小，角速度越大，因此空间站的角速度大于地球同步卫星的角速度，故A错误；
B、第一宇宙速度是最大运行速度，因此空间站的线速度小于7.9km/s，故B错误；
C、伴随卫星过P点做近心运动，所以伴随卫星在P点线速度小于过P点的外切圆轨道的线速度。由，可得可知外切圆轨道的线速度小于空间站的线速度。所以伴随卫星运行到P点时，线速度比空间站的小，故C错误；
D、由开普勒第三定律可知，伴随卫星绕地球的运行周期与空间站绕地球的运行周期相等，故D正确。
故选：D。
（2023 河北区二模）据中国载人航天工程办公室消息，中国空间站已全面建成，我国载人航天工程“三步走”发展战略已从构想成为现实。目前，空间站组合体在轨稳定运行，神舟十五号航天员乘组状态良好，计划于今年6月返回地面。空间站绕地球飞行的轨道可视为圆轨道。空间站运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km。则空间站的（　　）
A．角速度比地球同步卫星的小
B．周期比地球同步卫星的长
C．线速度比地球同步卫星的小
D．向心加速度比地球同步卫星的大
【解答】解：A、根据万有引力提供向心力有：mω2r，解得：ω，空间站运动半径小，角速度比地球同步卫星的大，故A错误；
B．根据万有引力提供向心力有：mr，解得：T，空间站运动半径小，周期比地球同步卫星的短，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力有：m，解得：v，空间站运动半径小，线速度比地球同步卫星的大，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力有：ma，解得：a，空间站运动半径小，向心加速度比地球同步卫星的大，故D正确。
故选：D。
（2023 青羊区校级模拟）2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其中a卫星为圆轨道，距离地面高度ha＝2R，b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为v1，b卫星在近地点M时线速度大小为v2，在远地点N时线速度大小为v3，地球半径为R，P点为两个轨道的交点。下列说法正确的是（　　）
A．b卫星远地点N距离地心距离为R
B．b卫星从N点运动到M点的时间为
C．v1＞v2＞v3
D．a卫星在P点受到地球的引力大于b卫星在N点受到地球的引力
【解答】解：A、设b卫星运行的椭圆轨道半长轴为a0，根据开普勒第三定律有：
解得：a0＝3R
设近地点M距离地面高度为h0，由几何关系有：h0+2h0+2R＝2a0＝6R
代入数据解得：，故b卫星远地点N距离地面高度为，故A错误；
B、对卫星a有：m 3R
在地球表面上的物体m′有：
联立以上几式解得：
故b卫星从N点运动到M点时间为：，故B正确；
C、同一椭圆轨道上从N点到M点，根据开普勒第二定律可知v2＞v3。按离心运动的原理，卫星b由N点运动到P点时速度在增大，分析可知若在P点点火加速可进入圆形a轨道，可得v1＞v3；同理，根据近心运动的原理，卫星b在近地点M减速可进入以M点高度所在处的圆轨道，根据万有引力公式可知当卫星围绕地球做圆周运动时轨道越高，速度越小，所以可知卫星a的速度小于M点高度所在处的圆轨道的速度。即卫星b在近地点M的速度大于卫星a的速度，所以有v2＞v1＞v3，故C错误；
D、根据万有引力公式，a、b两卫星在P点时到地球的距离相等，由于两卫星的质量关系未知，所以无法判断受到地球引力大小关系，故D错误。
故选：B。
（2023 中山区校级模拟）北京时间2022年11月29日23：08，航天员费俊龙、邓清明、张陆搭乘“神舟十五号”载人飞船前往中国“T”字基本构型空间站（如题图所示），于11月30日07：33打开舱门入驻。空间站内航天员一天可以观测到16次日出，空间站绕地球运行的轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　）
A．空间站定点于我国上空某高度处，相对地面静止
B．空间站内航天员不受地球引力作用而处于失重状态
C．空间站与地球同步卫星的轨道半径之比约为1：16
D．“神舟十五号”载人飞船由低轨道加速，与高轨道的空间站完成对接后，飞船的动能比之前处于低轨道时要小
【解答】解：A、空间站的周期为T空h＝1.5h，地球同步卫星的运行周期T同＝24h，所以空间站不是地球同步卫星，不能相对地面静止，故A错误；
B、空间站绕地球做匀速圆周运动，空间站内航天员受地球引力作用，由地球引力提供向心力，处于完全失重状态，故B错误；
C、由开普勒第三定律得
空间站与地球同步卫星的轨道半径之比为：，故C错误；
D、由，解得，则由低轨道加速，与高轨道的空间站完成对接后，由于r增大，则v减小，故飞船的动能比之前处于低轨道时要小，故D正确。
故选：D。
（2023 深圳模拟）现有一航天器A，通过一根金属长绳在其正下方系一颗绳系卫星B，一起在赤道平面内绕地球做自西向东的匀速圆周运动。航天器A、绳系卫星B以及地心始终在同一条直线上。不考虑稀薄的空气阻力，不考虑绳系卫星与航天器之间的万有引力，金属长绳的质量不计，下列说法正确的是（　　）
A．正常运行时，金属长绳中拉力为零
B．绳系卫星B的线速度大于航天器A的线速度
C．由于存在地磁场，金属长绳上绳系卫星A端电势高于航天器B端电势
D．若在绳系卫星B的轨道上存在另一颗独立卫星C，其角速度小于绳系卫星B的角速度
【解答】解：A、假设是独立卫星或者是独立航天器，根据万有引力提供向心力得：，解得，说明轨道半径大，角速度小，而本题航天器A、绳系卫星B以及地心始终在同一条直线上，说明航天器A与绳系卫星B角速度相同，则金属长绳中拉力一定不为0，故A错误；
B、根据v＝ωr可知，角速度相同的情况下，轨道半径小则线速度小，所以绳系卫星B的线速度小于航天器A的线速度，故B错误；
C、地磁场在赤道处的方向是从南指向北，航天器A、金属长绳、绳系卫星B做自西向东的运动，根据右手定则判断金属长绳上绳系卫星A端电势高于航天器B端电势，故C正确；
D、根据选项A的分析可知，绳系卫星B受到向外的绳的拉力，合力小于万有引力，角速度小于，独立卫星C是万有引力提供向心力，其角速度为于，大于绳系卫星B的角速度，故D错误。
故选：C。
（2023 魏县校级二模）“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．B星球的轨道半径为
B．A星球运行的周期为
C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1：m2
D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零
【解答】解：A、由于“双星系统”在相同时间转过的角度相等，则两星球的周期与角速度均相同，设两星球运行的角速度为ω，A星球和B星球轨道半径分别为r1、r2，根据牛顿第二定律，对A星球有，对B星球有；解得：r1：r2＝m2：m1，又由于r1+r2＝L，解得，，故A错误；
B、根据，，解得，故B正确；
C、A星球和B星球的线速度大小之比：，故C错误；
D、O点处质量为m的质点受到B星球的万有引力：
受到A星球的万有引力：
则有，故该质点受到两星球的引力之和不为零，故D错误。
故选：B。
（2023 宁河区校级模拟）某载人宇宙飞绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，则下列说法正确的是（　　）
A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．宇航员不受地球引力的作用，呈现漂浮状态
D．地球的平均密度为
【解答】解：A、由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过α角，所需的时间为：
由于宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，即飞船在地球的阴影的时间为，则：
所以：
设宇宙飞船离地球表面的高度h，根据几何关系可得：
可得宇宙飞船离地面的高度：h＝R，故A错误；
B、飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，而地球自转一圈时间为T0，所以一天内飞船经历“日全食”的次数为：，故B错误；
C、宇航员在宇宙飞船中处于完全失重状态，但宇航员仍受地球引力的作用，地球引力提供所需的向心力，故C错误；
D、对宇宙飞船，根据万有引力提供向心力得：
又因为：r＝R+h＝2R，解得：
则根据密度公式可求地球的平均密度为：，故D正确。
故选：D。
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专题5.2　人造卫星　宇宙速度 双星模型
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
（2）掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
【知识点一】宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85 min.
【必备知识】宇宙速度与运动轨迹的关系
（1）v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
（2）7.9 km/s（3）11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
（4）v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
（2023 沧州一模）科幻电影《流浪地球》中，地球需借助木星的“引力弹弓”效应加速才能成功逃离太阳系。然而由于行星发动机发生故障使得地球一度逼近木星的“洛希极限”，险象环生。“洛希极限”是一个距离，可粗略认为当地球与木星的球心间距等于该值时，木星对地球上物体的引力约等于其在地球上的重力，地球将会倾向碎散。已知木星的“洛希极限”，其中R木为木星的半径，约为地球半径R的11倍。则根据上述条件可估算出（　　）
A．木星的第一宇宙速度约为7.9km/s
B．木星的第一宇宙速度约为16.7km/s
C．木星的质量约为地球质量的倍
D．木星的密度约为地球密度的倍
（2023 王益区校级一模）“开普勒”太空望远镜在银河系中找到一千多颗可能是行星的星体，其中有54颗处于适合生命存在的“宜居星体带”。若其中某颗星体的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面重力加速度的倍。已知近地卫星绕地球运动的线速度约为7.9km/s。若忽略星体自转，则该星体的第一宇宙速度约为多大（　　）
A．1.97km/s B．3.95km/s C．15.8km/s D．31.6km/s
（2023 聊城一模）材料的力学强度是材料众多性能中被人们极为看重的一种性能，目前已发现的高强度材料碳纳米管的抗拉强度是钢的100倍，密度是钢的，这使得人们有望在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”。当航天员乘坐“太空电梯”时，地球引力对航天员产生的加速度a与r的关系用图乙中图线A表示，航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系用图线B表示，其中r为航天员到地心的距离，R为地球半径。关于相对地面静止在不同高度的航天员，下列说法正确的是（　　）
A．航天员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度
B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径
C．随着r增大，航天员运动的线速度一直减小
D．随着r增大，航天员受到电梯舱的弹力减小
【知识点二】卫星运行参量的分析
1．物理量随轨道半径变化的规律
2．极地卫星和近地卫星
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
3．同步卫星的六个“一定”
（2023 东城区校级三模）2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功。载人飞船的预定轨道是近地点高度为200km，远地点高度为356km的轨道。飞船在预定轨道运行过程中，根据已有的知识可以判断（　　）
A．飞船在近地点的加速度小于在远地点的加速度
B．飞船在近地点的速度小于在远地点的速度
C．飞船从近地点到远地点运行过程中动量逐渐减小
D．飞船从远地点到近地点运行过程中机械能逐渐增大
（2023 兴庆区校级四模）2023年春节贺岁片《流浪地球2》中提出太空电梯，太空电梯验证着中国科幻“上九天揽月”的宏大设想。“太空电梯”的主体结构为一根缆绳：一端连接地球赤道上某一固定位置，另一端连接地球同步卫星，且缆绳延长线通过地心。用太空电梯运送物体过程中，当物体停在a、b两个位置时，以地心为参考系，下列说法正确的是（　　）
A．物体在a、b位置均处于完全失重状态
B．物体在a、b位置线速度大小与该点离地球球心距离成正比
C．物体在a处向心加速度大于物体在b处向心加速度
D．若有一个轨道高度与a相同的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则其环绕地球的周期大于停在a处物体的周期
（2023 包河区校级模拟）在地球赤道某处有一天文观测站，观测站一名观测员一次偶然机会发现一颗人造卫星从观测站的正上方掠过，然后他就对这颗卫星进行跟踪，发现这颗卫星每两天恰好有四次从观测站的正上方掠过。若地球自转周期为T，假设卫星做匀速圆周运动且运行方向与地球自转方向相同，地球半径为R，地球表面加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．卫星周期为
B．卫星轨道半径为
C．卫星运行速度小于地球同步卫星速度
D．卫星加速度小于地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度
【知识点三】近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题
三种匀速圆周运动的参量比较
近地卫星 （r1、ω1、v1、a1） 同步卫星 （r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球 自转的物体 （r3、ω3、v3、a3）
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
线速度 由G＝m得 v＝，故v1＞v2 由v＝rω得 v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心 加速度 由G＝ma得 a＝，故a1＞a2 由a＝ω2r得 a2＞a3
a1＞a2＞a3
轨道半径 r2＞r3＝r1
角速度 由G＝mω2r得 ω＝，故ω1＞ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
【技巧总结】研究卫星运行熟悉“三星一物”
（1）同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
（2）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
（3）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
（4）赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力（或者说由万有引力的分力充当向心力），它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
（2023 海口模拟）在近地空间有一些重要航天器不停绕地飞行，例如天宫二号距地面高度约为393km，量子科学实验卫星距地面高度约为500km，哈勃望远镜距地面高度约为612km。若它们均可视为绕地球做圆周运动，则（　　）
A．天宫二号的角速度小于哈勃望远镜的角速度
B．哈勃望远镜的周期大于量子科学实验卫星的周期
C．天宫二号的线速度小于量子科学实验卫星的线速度
D．哈勃望远镜的加速度大于量子科学实验卫星的加速度
（2023春 香坊区校级期中）1970年4月24日，中国成功发射第一颗人造地球卫星“东方红”1号。“东方红”1号的发射成功，使中国成为世界上第五个独立自主研制和发射人造地球卫星的国家，标志着中国在宇航技术研究方面取得了历史性的重大突破。假设人造地球卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，它们的质量之比为mA：mB＝1：2，它们的轨道半径之比rA：rB＝2：1，则下面的结论正确的是（　　）
A．它们受到地球的引力之比为FA：FB＝1：4
B．它们的运行速度大小之比为
C．它们的运行周期之比为
D．它们的运行加速度之比为aA：aB＝1：8
（2023春 安徽期中）国产科幻大片《流浪地球2》中的“太空电梯”给观众带来了强烈的视觉震撼。如图所示，“太空电梯”由地面基站、箱体、同步轨道上的空间站和配重以及分别连接地面基站与空间站的缆绳1、空间站和配重的缆绳2组成，缆绳相对地面静止，箱体可以沿缆绳将人和货物从地面运送到空间站。下列说法正确的是（　　）
A．地面基站可以建设在青藏高原上
B．配重的向心加速度小于同步空间站的向心加速度
C．箱体在地面基站还未运动时，缆绳1中的张力为零
D．若同步空间站和地面基站间的缆绳1断开，空间站将做离心运动
【知识点四】卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
（2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1（4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1【技巧总结】航天器变轨问题的“三点”注意
（1）航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。
（2）同一航天器在一个确定的圆（椭圆）轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
（3）航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
（2023春 润州区校级期中）在电影《流浪地球》中，科学家利用固定在地面的万台超级聚变发动机瞬间点火，使地球在地球轨道Ⅰ上的B点加速，进入运输轨道，再在运输轨道上的A点瞬间点火，从而进入木星轨道Ⅱ、关于地球的运动，下列说法中正确的是（　　）
A．在运输轨道上A点的速度大于B点的速度
B．在地球轨道Ⅰ上B点的加速度小于在运输轨道上B点的加速度
C．在木星轨道Ⅱ上的周期大于在运输轨道上的周期
D．在木星轨道Ⅱ上的机械能等于在运输轨道上的机械能
（2023 房山区一模）我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同时将A、B两颗卫星送入预定轨道。A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．A卫星在P点的加速度大于B卫星在P点的加速度
B．A卫星在轨道1的速度小于B卫星在轨道3的速度
C．B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速
D．B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功
（2023春 温州期中）“嫦娥五号”从距月面高度为100km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥五号”下列说法正确的是（　　）
A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需增大速度才能进入轨道Ⅱ
B．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，速度越来越大
C．沿轨道Ⅰ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
D．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
【知识点五】双星或多星模型
1．双星模型
（1）模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
（2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
2．多星模型
（1）模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
（2）三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图5甲所示）．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）．
（3）四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）．
（2023春 润州区校级期中）人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则（　　）
A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量
B．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力
C．两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越大
D．两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越小
（2023春 高邮市期中）LAMOST黑洞猎手计划研究团队发现了一颗质量大约为1.2倍太阳质量的中子星，与一颗大约0.6倍太阳质量的红矮星组成了双星系统，绕它们连线上某点旋转。则下列说法正确的是（　　）
A．中子星与红矮星的向心力之比大约为2：1
B．中子星与红矮星的角速度之比大约为1：2
C．中子星与红矮星的转动半径之比大约为2：1
D．中子星与红矮星的线速度之比大约为1：2
（2023 丰台区二模）两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个亮度周期性变化的光点，这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以某速度撞击该双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞击后双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是（　　）
A．被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大
B．被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大
C．被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小
D．小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变
（多选）（2023 海南）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（　　）
A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期
C．飞船在1轨道速度大于2轨道
D．飞船在1轨道加速度大于2轨道
（2022 天津）2022年3月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400公里左右的轨道上运行，其运动视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000公里左右的地球静止轨道卫星（同步卫星），则该卫星（　　）
A．授课期间经过天津正上空
B．加速度大于空间站的加速度
C．运行周期大于空间站的运行周期
D．运行速度大于地球的第一宇宙速度
（2023 黄埔区三模）一颗在赤道平面内自西向东绕地球做圆周运动的近地卫星P，在某时刻处于地面上一标志性建筑物Q的正上方，P做圆周运动的半径可近似看作地球半径，周期为85min，考虑地球自转，则（　　）
A．P的角速度大小小于Q角速度大小
B．P的向心加速度大小等于Q的向心加速度大小
C．经过5分钟，P处于Q的东侧
D．经过85分钟，P处于Q的正上方
（2023 漳州模拟）2022年7月24日，中国空间站间天实验舱发射成功。中国空间站组建完成后，将从空间站中释放伴随卫星。如图所示，空间站在离地高度约400km的圆轨道绕地球运行，伴随卫星在椭圆轨道上绕地球运行，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随卫星在P处时位于空间站正上方，伴随卫星轨道半长轴与空间站轨道半径相等，仅考虑地球的引力作用。则（　　）
A．空间站的角速度小于地球同步卫星的角速度
B．空间站的线速度介于7.9km/s到11.2km/s之间
C．伴随卫星运行到P点时，线速度比空间站的大
D．伴随卫星绕地球的运行周期与空间站绕地球的运行周期相等
（2023 河北区二模）据中国载人航天工程办公室消息，中国空间站已全面建成，我国载人航天工程“三步走”发展战略已从构想成为现实。目前，空间站组合体在轨稳定运行，神舟十五号航天员乘组状态良好，计划于今年6月返回地面。空间站绕地球飞行的轨道可视为圆轨道。空间站运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km。则空间站的（　　）
A．角速度比地球同步卫星的小
B．周期比地球同步卫星的长
C．线速度比地球同步卫星的小
D．向心加速度比地球同步卫星的大
（2023 青羊区校级模拟）2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其中a卫星为圆轨道，距离地面高度ha＝2R，b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为v1，b卫星在近地点M时线速度大小为v2，在远地点N时线速度大小为v3，地球半径为R，P点为两个轨道的交点。下列说法正确的是（　　）
A．b卫星远地点N距离地心距离为R
B．b卫星从N点运动到M点的时间为
C．v1＞v2＞v3
D．a卫星在P点受到地球的引力大于b卫星在N点受到地球的引力
（2023 中山区校级模拟）北京时间2022年11月29日23：08，航天员费俊龙、邓清明、张陆搭乘“神舟十五号”载人飞船前往中国“T”字基本构型空间站（如题图所示），于11月30日07：33打开舱门入驻。空间站内航天员一天可以观测到16次日出，空间站绕地球运行的轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　）
A．空间站定点于我国上空某高度处，相对地面静止
B．空间站内航天员不受地球引力作用而处于失重状态
C．空间站与地球同步卫星的轨道半径之比约为1：16
D．“神舟十五号”载人飞船由低轨道加速，与高轨道的空间站完成对接后，飞船的动能比之前处于低轨道时要小
（2023 深圳模拟）现有一航天器A，通过一根金属长绳在其正下方系一颗绳系卫星B，一起在赤道平面内绕地球做自西向东的匀速圆周运动。航天器A、绳系卫星B以及地心始终在同一条直线上。不考虑稀薄的空气阻力，不考虑绳系卫星与航天器之间的万有引力，金属长绳的质量不计，下列说法正确的是（　　）
A．正常运行时，金属长绳中拉力为零
B．绳系卫星B的线速度大于航天器A的线速度
C．由于存在地磁场，金属长绳上绳系卫星A端电势高于航天器B端电势
D．若在绳系卫星B的轨道上存在另一颗独立卫星C，其角速度小于绳系卫星B的角速度
（2023 魏县校级二模）“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．B星球的轨道半径为
B．A星球运行的周期为
C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1：m2
D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零
（2023 宁河区校级模拟）某载人宇宙飞绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，则下列说法正确的是（　　）
A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．宇航员不受地球引力的作用，呈现漂浮状态
D．地球的平均密度为
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