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专题6.1　功与功率　机车启动问题
1.物理观念：功和功率
理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
2.科学思维：变力做功、机车启动模型
（1）能应用图像法、微元法、动能定理等计算变力做功问题培养分析、推理和综合能力。
（2）会分析、解决机车启动的两类问题
3.科学态度与责任：
会利用功能知识初步分析生产生活中的现象，体会物理学的应用价值。
【知识点一】功的分析与计算
1．计算功的方法
（1）对于恒力做功利用W＝Flcos α；
（2）对于变力做功可利用动能定理（W＝ΔEk）；
（3）对于机车启动问题中的定功率启动问题，牵引力的功可以利用W＝Pt.
2．合力功计算方法
（1）先求合外力F合，再用W合＝F合 lcos α求功．
（2）先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
3．几种力做功比较
（1）重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无关．
（2）滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关．
（3）摩擦力做功有以下特点：
①单个摩擦力（包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值．
③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffx相对．
【技巧总结】1．功的正负的判断方法
（1）恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。
（2）曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。适用于F合为恒力的过程。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3…求合外力做的功。
4 求解恒力做功的两个关键
（1）恒力做功大小只与F、l、α这三个量有关，与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关，也与物体运动的路径无关．
（2）F与l必须具备同时性，即l必须是力F作用过程中物体的位移.
（2022 闵行区二模）图1为一男士站立在履带式自动扶梯上匀速上楼，图2为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼。下列关于两人受到的力以及做功情况正确的是（　　）
A．图1中支持力对人不做功
B．两人受到电梯的作用力的方向不相同
C．图2中支持力对人不做功
D．图2中摩擦力对人做负功
【解答】解：A、图中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，故A正确；
B、两人均做匀速运动，故电梯对人的作用力与重力等大反向，故方向均为竖直向上的，故B错误；
C、图2中，人匀速上楼，支持力向上，与速度方向为锐角，则支持力做正功，故C错误；
D、由于人受力平衡，支持力与重力平衡，人不受静摩擦力，摩擦力不做功，故D错误。
故选：A。
（2021 东莞市校级模拟）“愤怒的小鸟”曾是一款非常流行的游戏。故事也相当有趣，如图甲，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒。该游戏完全按照实际的抛体运动规律设计，设支架高度为h，支架到肥猪堡垒的水平距离为l，不计空气阻力。设某次小鸟被弹弓沿水平方向弹出，模拟图如图乙所示（g＝10m/s2）。关于小鸟从弹弓上由静止开始到击中肥猪堡垒的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．整个过程弹弓的弹力一直对小鸟做正功
B．整个过程弹弓的弹力一直对小鸟不做功
C．整个过程弹弓的弹力一直对小鸟做负功
D．小鸟离开弹弓后速度增加量的方向一直是竖直向下的
【解答】解：ABC、小鸟在和弹弓接触的过程中，力和位移方向相同，故力做正功，而当小鸟离开弹弓后，弹力对小鸟不再做功，故ABC错误；
D、由于小鸟离开弹弓后只受重力，加速度竖直向下，故其速度增加量的方向一直是竖直向下的，故D正确。
故选：D。
（2023 惠州模拟）惠州罗浮山风景区于2022年1月启用新索道，如图所示，质量为M的吊厢通过悬臂固定悬挂在缆绳上，吊厢水平底板上放置一质量为m的货物。若某段运动过程中，在缆绳牵引下吊厢载着货物一起斜向上加速运动，且悬臂和吊厢处于竖直方向，重力加速度为g，则（　　）
A．吊厢水平底板对货物的支持力不做功
B．吊厢水平底板对货物的摩擦力做正功
C．悬臂对吊厢的作用力方向与缆绳方向平行且斜向上
D．悬臂对吊厢的作用力大小等于（M+m）g
【解答】解：A、吊厢水平底板对货物的支持力竖直向上，与速度方向的夹角小于90°，根据W＝FLcosθ可知支持力对货物做正功，故A错误；
B、在缆绳牵引下吊厢载着货物一起斜向上加速运动，水平方向存在分加速度，对水平方向分析可知，可知吊厢水平底板对货物的摩擦力水平向右，与速度方向的夹角小于90°，根据W＝FLcosθ可知摩擦力对货物做正功，故B正确；
CD、以吊厢和货物为整体，设加速度大小为a，缆绳与水平方向夹角为θ，则有Fy﹣（M+m）g＝（M+m）asinθ，Fx＝（M+m）acosθ，则悬臂对吊厢的作用力大小为，悬臂对吊厢的作用力与水平方向的夹角为α，则有，可知悬臂对吊厢的作用力方向与缆绳方向不平行，故CD错误。
故选：B。
【知识点二】功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
（1）利用P＝.
（2）利用P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算方法
（1）P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
（2）P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
（3）P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
（2023 江门一模）人利用手推车搬运货物，手推车沿水平方向以速度v做匀速直线运动，如图所示，已知推力F斜向下且与水平方向夹角θ，下列说法正确的是（　　）
A．手推车受到的支持力大小力Fsinθ
B．手推车受到的阻力大小Fcosθ
C．推力的功率为Fv
D．无论推力与水平方向夹角多大，都可以推车前进
【解答】解：AB.由题知，手推车沿水平方向以速度v做匀速直线运动，且推力F斜向下且与水平方向夹角为θ，
则有Fsinθ+mg＝FN
Fcosθ＝f＝μFN，故A错误，B正确；
C.推力的功率为P＝Fvcosθ，故C错误；
D.当推力在水平方向的分力小于手推车的水平方向的阻力时，将不能推车前进，故D错误；
故选：B。
（2023 湖北模拟）如图所示，质量为1kg的物体在力F＝8N的作用下，由静止开始从倾角为37°的光滑斜面底端向上运动，6s后撤去力F0，取物体在斜面底端的重力势能为零，且g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则下列说法正确的是（　　）
A．力F做的功为360J
B．物体的最大重力势能为480J
C．物体回到斜面底端时重力的功率为144W
D．物体回到斜面底端时重力的功率为240W
【解答】解：A.由牛顿第二定律可知F﹣mgsinθ＝ma，由题可求得6s上行位移s，代入数据解得s＝36m，则力F做功W＝Fs，代入数据解得W＝288J，故A错误；
B.力F做的功就等于系统内增加的机械能，当物体上升到最高点时，动能为零，所以物体的最大重力势能等于力F做的功为288J，故B错误；
CD.根据功能关系，系统内增加的机械能等于力F做的功，当下到斜面底端时，重力势能为零，所以动能为，代入数据解得v＝24m/s，重力的功率为P＝mgvsinθ，代入数据解得P＝144W；故C正确，D错误；
故选：C。
（2023 浙江模拟）11月8日在珠海航展上歼﹣20表演了双机盘旋、双机水平交叉、大仰角转弯脱离等精彩动作。飞机从水平平飞经一段圆弧转入竖直向上爬升，如图所示，假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变，发动机推力方向沿轨迹切线，飞机所受升力垂直于机身，空气阻力大小不变，则飞机沿圆弧运动时（　　）
A．飞机发动机推力大小不变
B．飞机所受升力大小保持不变
C．飞机克服重力做功功率变大
D．飞机所受的升力就等于向心力
【解答】解：ABD、对飞机进行受力分析，受力分析如图
设重力与半径方向夹角为θ，则沿半径方向：
F升﹣mgcosθ＝m
沿切线方向：
F推﹣mgsinθ﹣f＝0
解得：F升＝mmgcosθ，F推＝mgsinθ+f
在爬升过程中，θ变大，F升减小，F推增大，向心力等于升力与重力分力之和，故ABD错误；
C、克服重力做功的功率P＝mgvcos（90°﹣θ）＝mgvsinθ，θ变大，克服重力做功的功率变大，故C正确；
故选：C。
【知识点三】变力做功的分析和计算
分析方法及案例
方法 以例说法
应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl（1－cos θ）＝0，得WF＝mgl（1－cos θ）
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝Ff·2πR
等效转换法 恒力F把物块从位置A拉到位置B，绳子对物块做功W＝F·（－）
图象法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
方法1　用动能定理求变力做功
【要点诠释】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功.因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
（2023春 思明区校级期中）如图所示，将一质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于O点，水平拉力F将小球从平衡位置P缓慢地拉至轻绳与竖直方向夹角为θ处。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的重力势能增加了mglcosθ
B．拉力F所做的功为Flsinθ
C．拉力F所做的功为mgl（1﹣cosθ）
D．轻绳的拉力所做的功为mgl
【解答】解：A、小球上升的高度为h＝l（1﹣cosθ），重力对小球做的功WG＝﹣mgl（1﹣cosθ），所以小球的重力势能增加mgl（1﹣cosθ），故A错误；
BCD、小球从平衡位置P点缓慢地移动到Q点的过程中，轻绳的拉力所做的功为0，根据动能定理可得：WF﹣WG＝0，解得拉力F所做的功：WF＝mgl（1﹣cosθ），故C正确，BD错误。
故选：C。
（2023春 余姚市校级期中）某同学在操场上踢足球，足球质量为m，该同学将足球以速度v0从地面上的A点踢起，最高可以到达离地面高度为h的B点位置，从A到B足球克服空气阻力做的功为W，选地面为零势能的参考平面，则下列说法中正确的是（　　）
A．足球从A到B机械能守恒
B．该同学对足球做的功等于
C．足球在A点处的机械能为
D．足球在B点处的动能为
【解答】解：A．由题意可知，运动过程中，空气阻力对足球做负功，则足球从A到B机械能不守恒，故A错误；
B．根据题意，设该同学对足球做的功等于W1，由动能定理有
0，故B错误；
C．选地面为零势能面，足球在A点处的机械能为
故C错误；
D．由题意，由动能定理有
﹣mgh﹣W＝EkBm
解得
故D正确。
故选：D。
方法2　利用微元法求变力做功
【要点诠释】将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
（2023春 湖北期中）近年来，随着国家乡村振兴战略深入实施，绝大部分农村在农业生产中基本实现了机械化，极大的提高了农业生产效率。如图所示为一农业展览馆中展示的上个世纪七八十年代农村农业生产中驴拉磨（将食物磨成粉浆）的情景。假设在驴拉磨的过程中，驴对磨杆的拉力大小为300N，半径r为0.5m，转动一周为5s，则下列说法正确的是（　　）
A．驴拉磨一周过程中拉力做功为0
B．驴拉磨一周过程中拉力做功为350πJ
C．驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为60πW
D．驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为65πW
【解答】解：AB、驴对磨杆的拉力大小为300N，方向与速度方向一致，所以拉力做正功，又因为驴拉磨一周运动的路程为x＝2π×0.5m＝πm
所以驴拉磨一周做功为W＝Fx＝300×πJ＝300πJ，故AB错误；
CD、驴拉磨转动一周时间为5s，转动过程中拉力做功的平均功率为，故C正确，D错误。
故选：C。
方法3　“转化法”求变力做功
【要点诠释】通过转换研究的对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解，如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功问题。
（多选）（2022春 淄博期中）如图所示，光滑水平平台上有一质量为m的物块A，系在物块A上的轻绳跨过光滑轻质定滑轮，连接物块B。现以速度v匀速拖动物块B，使其从平台的右边缘正下方向右移动距离x，平台边缘离物块B的竖直高度始终为h，在此过程中（忽略滑轮和物块B的大小，轻绳一直处于伸直状态）（　　）
A．物块A不可能做匀速运动
B．绳子拉力对物块A做的功为
C．绳子拉力对物块A做的功为mv2
D．物体A移动的距离为
【解答】解：A、将B的速度分解成沿绳的速度v1与垂直于绳的速度v2，vA＝v1＝vcosθ，cosθ，所以物块AA不做匀速运动，故A正确；
BC、通过对A项分析，由动能定理得：绳子拉力对物块A做的功等于物块A的动能，即为，故B正确，C错误；
D、整个过程中与B相连的绳子末端移动的距离为，所以A移动的距离也为，故D错误；
故选：ABD。
方法4　用F－x图象求变力做功
【要点诠释】在F－x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形）。
（2022秋 石景山区期末）如图（a），质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；
（2）如图（a），若篮球反弹至最高处h时，运动员向下拍球，对篮球施加一个向下的压力F，持续作用至h0高度处撤去，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h高度处，力F的大小随高度y的变化如图（b）所示，其中h已知，求F0的大小；
（3）在篮球与地球相互作用的过程中，我们认为地球始终保持静止不动。请你运用所学知识分析说明建立这种模型的合理性。
【解答】解：（1）篮球自由下落，设碰地前瞬间的速率为v1，与地面碰撞后离地瞬间的速率为v2，由运动学公式可得：
2gH
2gh
则篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比为：
v2：v1：：；
（2）篮球能够反弹至h高度，压力F做的功WF等于第一次碰撞过程中损失的机械能，则有：
WF＝mg（H﹣h）
根据F﹣y图像与横轴围成的面积表示功，可得压力F做的功为：
WF（h﹣h0）
解得：F0；
（3）假设质量为m的篮球以一定的速度撞击质量为M静止的地球，撞击过程篮球的速度变化量大小为Δv，撞击后地球的速度大小为v，以地球获得的速度的方向为正方向，两者相互作用过程，可认为满足动量守恒，由动量守恒定律可得：
Mv﹣mΔv＝0
解得：v
由于地球质量M远大于篮球质量m，故地球速度接近于零，可认为地球保持静止不动。
答：（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比为：；
（2）F0的大小为；
（3）分析说明见解答。
【知识点四】机车启动问题
1．模型一　以恒定功率启动
（1）动态过程
（2）这一过程的P t图象和v t图象如图所示：
2．模型二　以恒定加速度启动
（1）动态过程
（2）这一过程的P t图象和v t图象如图所示：
3．三个重要关系式
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
（2）机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束时功率最大，速度不是最大，即v＝＜vm＝.
（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度．
（2023 历下区校级模拟）某款质量m＝1000kg的汽车沿平直公路从静止开始做直线运动，其v﹣t图像如图所示。汽车在0～t1时间内做匀加速直线运动，t1～50s内汽车保持额定功率不变，50s～70s内汽车做匀速直线运动，最大速度vm＝40m/s，汽车从70s末开始关闭动力减速滑行，t2时刻停止运动。已知，t1＝10s，汽车的额定功率为80kW，整个过程中汽车受到的阻力大小不变。下列说法正确的是（　　）
A．t1时刻的瞬时速度10m/s
B．汽车在t1～50s内通过的距离x＝1300m
C．t2为80s
D．阻力大小为1000N
【解答】解：AD．根据题意可知，当汽车以额定功率行驶时，牵引力等于阻力时，速度最大，则有
解得：
根据题意，设t1时刻，汽车的速度为v1则，此时的牵引力为
设汽车在0～t1时间内做匀加速直线运动的加速度为a1，则有v1＝a1t1
由牛顿第二定律有F1﹣f＝ma1
联立解得v1＝20m/s，故AD错误；
B．t1～50s内，由动能定理有
解得x＝1300m，故B正确；
C．由牛顿第二定律可得，关闭发动机之后，加速度为
由运动学公式v＝v0+a2t可得vm＝a2（t2﹣70）
解得t2＝90s，故C错误。
故选：B。
（2023 未央区校级模拟）我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为2×103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（　　）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为1×103N
D．汽车在车速为5m/s时，功率为6×104W
【解答】解：B．由图知，当越大时，汽车速度v越小，故当汽车从启动到速度为10m/s前，汽车以恒定加速度启动，汽车匀加速运动的加速度为2m/s2，故B错误；
A．汽车匀加速运动的末速度
解得
v＝10m/s
匀加速运动的时间
故A正确；
C．由图可知汽车的最大速度为
vmax＝30m/s
此时汽车的加速度为零，汽车做匀速直线运动，有
F牵min＝f
又P＝F牵minvmax
当时，v＝10m/s，a＝2m/s2，此时对汽车由牛顿第二定律有
f＝ma
联立各式，代入数据解得
f＝2×103N，P＝6×104W
故C错误；
D．汽车在车速为5m/s时，处于恒定加速度启动阶段，a＝2m/s2，此时对汽车由牛顿第二定律有
F牵﹣f＝ma
代入数据得
F牵＝6×103N
车速为5m/s时，功率为
P′＝F牵v5＝6×103×5W＝3×104W
故D错误。
故选：A。
（2023 海口一模）在通往某景区的公路上，一辆小汽车沿倾角为θ的斜坡向上由静止启动，在前20s内做匀加速直线运动，第20s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小恒为车重的，sinθ＝0.1，重力加速度g＝10m/s2。则汽车的最大速为（　　）
A．25m/s B．28m/s C．30m/s D．35m/s
【解答】解：汽车做匀加速直线运动的加速度大小am/s2＝1m/s2
由牛顿第二定律得：F﹣0.1mg﹣mgsinθ＝ma，解得汽车匀加速直线运动阶段受到的牵引力：F＝3×103N
第20s末达到额定功率，则额定功率为Pm＝Fv＝3×103×20W＝6×104W
汽车达到最大速度时，所受合力为零，则F'﹣0.1mg﹣mgsinθ＝0，得F'＝2000N
最大速度vmm/s＝30m/s，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 温州模拟）2021年10月25日，如图甲所示的全球最大“上回转塔机”成功首发下线，又树立了一面“中国高端制造”的新旗帜。若该起重机某次从t＝0时刻由静止开始向上提升质量为m的物体，其a﹣t图像如图乙所示，t1时达到额定功率，t1～t2时间内起重机保持额定功率运动，重力加速度为g，不计其它阻力，下列说法正确的是（　　）
A．0～t1时间内物体处于失重状态
B．t1～t2时间内物体做减速运动
C．0～t1时间内重力对物体做功为
D．t1～t2时间内起重机额定功率为（mg+ma0）a0t1
【解答】解：A、0～t1时间内物体向上做匀加速直线运动，加速度竖直向上，物体处于超重状态，故A错误；
B、由图像可知t1～t2时间内物体的加速度为正，物体仍做加速运动，只是做加速度减小的加速运动，故B错误；
C、0～t1时间内物体向上做匀加速直线运动，t1时刻物体的位移为
重力对物体做功
故C错误；
D、t1时刻物体所受到的牵引力为F，由牛顿第二定律有：F﹣mg＝ma0
解得：F＝mg+ma0
t1时刻物体的速度为v＝a0t1
起重机额定功率为P＝Fv＝（mg+ma0）a0t1
故D正确。
故选：D。
（2022 福建）福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，如图（a）所示。承启楼外楼共四层，各楼层高度如图（b）所示，同一楼层内部通过直径约50m的圆形廊道连接，若将质量为100kg的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口M处，再用100s沿廊道运送到N处，如图（c）所示，重力加速度大小取10m/s2，则（　　）
A．该物资从二楼地面被运送到四楼M处的过程中，克服重力所做的功为5400J
B．该物资从M处被运送到N处的过程中，克服重力所做的功为78500J
C．从M处沿圆形廊道运动到N处，位移大小为78.5m
D．从M处沿圆形廊道运动到N处，平均速率为0.5m/s
【解答】解：A、该物资从二楼地面被运送到四楼M处的过程中，克服重力所做的功为W＝mgh＝100×10×2×2.7J＝5400J，故A正确；
B、MN两点高度相同，所以物资从M处被运送到N处的过程中，重力不做功，故B错误；
C、从M处沿圆形廊道运动到N处，位移大小为50m，故C错误；
D、平均速率v，代入数据解得：v＝0.785m/s，故D错误；
故选：A。
（2021 浙江）中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为2.4×103kg/m3，假设泵车的泵送系统以150m3/h的输送量给30m高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为（　　）
发动机最大输出功率（kW） 332 最大输送高度（m） 63
整车满载质量（kg） 5.5×104 最大输送量（m3/h） 180
A．1.08×107J B．5.04×107J C．1.08×108J D．2.72×108J
【解答】解：泵车的泵送排量为150m3/h，则1小时输送的混凝土的体积为
V＝150×1m3＝150m3
则在1小时时间内输送的混凝土质量为
m＝ρV＝2.4×103×150kg＝3.6×105kg
将混凝土恰好输送到30m高处，泵送系统对混凝土做的功最少，泵送系统对混凝土做的功至少为
W＝mgh＝3.6×105×10×30J＝1.08×108J
故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023 山东）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（　　）
A． B． C． D．nmgωRH
【解答】解：每个水筒中水的重力为G＝mg
水筒的线速度为v＝ωR
t时间内，装水的水筒个数为N＝nvt＝nωRt
筒车对灌入稻田的水做功的功率为P
故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 山东）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为S1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为S2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设物体与地面间的动摩擦因数为μ，小车达到额定功率时速度为v，小车拖动物体运动过程中，由牛顿第二定律得：F﹣f﹣μmg＝（M+m）a1
由匀变速直线运动位移—速度公式得：v2＝2a1S1
额定功率P0＝Fv
轻绳从物体上脱落后，物体做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得：μmg＝ma2
由匀变速直线运动位移—速度公式得：v2＝2a2（S2﹣S1）
联立解得：P0
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023 湖北）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可知两节动车功率分别为
P1＝f1v1
P2＝f2v2
当把它们编组后
P1+P2＝（f1+f2）v
联立解得
v
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（多选）（2022 广东）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有（　　）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【解答】解：AB、在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，则小车的牵引力等于小车受到的摩擦力，因此
从M到N过程中，小车摩擦力做功为Wf＝﹣40×20J＝﹣800J，即小车克服摩擦力做功800J，故AB正确；
C、从P到Q的过程中，根据功能关系可知，重力势能的增加量为ΔEp＝mgΔh＝50×10×20×sin30°J＝5000J，故C错误；
D、在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶，则
代入数据解得：f2＝35N
则此过程中，小车摩擦力做功为Wf2＝f2s＝﹣35×20J＝﹣700J，即小车克服摩擦力做功为700J，故D正确；
故选：ABD。
（2021 北京）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（　　）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
【解答】解：汽车做匀速率运动，受力平衡，重力与阻力均不变，所以每一阶段的牵引力不变，汽车的输出功率不变。
设上下坡的夹角为θ，汽车受到的摩擦力为f，
在ab段，根据受力平衡可得，F1＝f+mgsinθ，此时的功率为P1＝F1v＝（f+mgsinθ）v，
在bc段，根据受力平衡可得，F2＝f，此时的功率为P2＝F2v＝fv，
在cd段，根据受力平衡可得，F3＝f﹣mgsinθ，此时的功率为P3＝F3v＝（f﹣mgsinθ）v，
所以P1＞P2＞P3，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2021 湖南）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（　　）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2﹣Pt
【解答】解：A、若动车组做匀加速启动，则加速度不变，而速度增大，则阻力也增大，要使合力不变则牵引力也将增大，故A错误；
B、若动车组输出功率均为额定值，则其加速a，随着速度增大，加速度减小，所以动车组做加速度减小的加速运动，故B错误；
C、当动车组的速度增大到最大vm时，其加速度为零，则有：，若总功率变为2.25P，则同样有：，联立两式可得：vm′，故C正确；
D、对动车组根据动能定理有：4Pt﹣Wf，所以克服阻力做的功Wf＝4Pt，故D错误。
故选：C。
（2023 南岗区校级四模）某品牌电动自行车的主要技术参数如表所示。已知小明同学的质量为60kg，当他骑该车行驶时，他和车所受的空气阻力大小与瞬时速率成正比，比例系数为k1。设行驶过程中车子所受路面的阻力大小恒定。
整车质量（含电池） 30kg
最大载重 150kg
电动机额定输出功率 350W
（1）若车子的驱动力为55N、速率为4m/s时，车子匀速行驶；若车子的驱动力为135N、速率为2m/s时，小明和车子的加速度为1m/s2。求行驶过程中车子所受路面的阻力大小和比例系数k1；
（2）若车传动与变速系统因内部机件摩擦而损耗的功率与车的瞬时速率成正比，比例系数k2＝10kg m/s2。当车子以额定输出功率在非机动车道上匀速行驶时，判断该车是否符合在非机动车道上行驶的最高限速15km/h这一道路法规要求，通过计算说明理由。
【解答】解：（1）由题意可知，小明和车的总质量m＝30kg+60kg＝90kg，当驱动力F1＝55N时，受到的阻力f＝k1v1，
车子匀速行驶，由平衡条件有：F1﹣k1v1﹣f＝0
代入数据得：55﹣4k1﹣f＝0 ①
车子加速行驶加速度为1m/s2时，由牛顿第二定律得
F2﹣k1v2﹣f＝ma
代入数据得：135﹣2k1﹣f＝90×1 ②
联立①②解得：f＝35N，k1＝5kg s﹣1
（2）车子牵引力功率P牵＝P额﹣P损＝P额﹣k2v3＝350﹣10v3
又P牵＝F3v3
匀速行驶时，F3﹣f﹣k1v3＝0
联立以上三式得：35﹣5v3＝0
解得：v3＝5m/s（负值舍去）
由于v3＝5m/s＝18km/h＞15km/h，故不符合要求。
答：（1）行驶过程中车子所受路面的阻力大小为35N，比例系数k1为5kg s﹣1。
（2）该车不符合道路法规要求，理由见解析。
（2023 河西区校级模拟）近段时间，针对佩洛西窜访台湾，我解放军在台海周边6个区域组织了航母编队威慑演练。如图甲，我国山东舰航母上的舰载机采用滑跃式起飞，甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分组成，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB平滑连接的一段斜面，模型简化图如图乙所示，BC长为L，BC与AB间夹角为α。若舰载机从A点处由静止开始以加速度a做初速度为零的匀加速直线运动，经时间t达到B点，进入BC保持恒定功率加速，在C点刚好达到起飞速度v。已知舰载机的总质量为m（忽略滑行过程中的质量变化），舰载机在甲板上运动时受到甲板的摩擦力和空气阻力之和看作恒力，大小为其重力的k倍，重力加速度为g。求：
（1）舰载机的最小额定功率；
（2）舰载机在BC段运行的最长时间。
【解答】解：（1）舰载机运动到B点且达到额定功率时，对应功率最小，设为Pmin，从A点到B点，根据运动学公式有v1＝at
由牛顿第二定律有：F﹣kmg＝ma
在B点处有：Pmin＝Fv1
联立解得：Pmin＝mat（a+kg）
（2）舰载机在BC段运行的最长时间设为tmax，根据动能定理有：
解得：
答：（1）舰载机的最小额定功率为mat（a+kg）；
（2）舰载机在BC段运行的最长时间。
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专题6.1　功与功率　机车启动问题
1.物理观念：功和功率
理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
2.科学思维：变力做功、机车启动模型
（1）能应用图像法、微元法、动能定理等计算变力做功问题培养分析、推理和综合能力。
（2）会分析、解决机车启动的两类问题
3.科学态度与责任：
会利用功能知识初步分析生产生活中的现象，体会物理学的应用价值。
【知识点一】功的分析与计算
1．计算功的方法
（1）对于恒力做功利用W＝Flcos α；
（2）对于变力做功可利用动能定理（W＝ΔEk）；
（3）对于机车启动问题中的定功率启动问题，牵引力的功可以利用W＝Pt.
2．合力功计算方法
（1）先求合外力F合，再用W合＝F合 lcos α求功．
（2）先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
3．几种力做功比较
（1）重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无关．
（2）滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关．
（3）摩擦力做功有以下特点：
①单个摩擦力（包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值．
③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffx相对．
【技巧总结】1．功的正负的判断方法
（1）恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。
（2）曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。适用于F合为恒力的过程。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3…求合外力做的功。
4 求解恒力做功的两个关键
（1）恒力做功大小只与F、l、α这三个量有关，与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关，也与物体运动的路径无关．
（2）F与l必须具备同时性，即l必须是力F作用过程中物体的位移.
（2022 闵行区二模）图1为一男士站立在履带式自动扶梯上匀速上楼，图2为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼。下列关于两人受到的力以及做功情况正确的是（　　）
A．图1中支持力对人不做功
B．两人受到电梯的作用力的方向不相同
C．图2中支持力对人不做功
D．图2中摩擦力对人做负功
（2021 东莞市校级模拟）“愤怒的小鸟”曾是一款非常流行的游戏。故事也相当有趣，如图甲，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒。该游戏完全按照实际的抛体运动规律设计，设支架高度为h，支架到肥猪堡垒的水平距离为l，不计空气阻力。设某次小鸟被弹弓沿水平方向弹出，模拟图如图乙所示（g＝10m/s2）。关于小鸟从弹弓上由静止开始到击中肥猪堡垒的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．整个过程弹弓的弹力一直对小鸟做正功
B．整个过程弹弓的弹力一直对小鸟不做功
C．整个过程弹弓的弹力一直对小鸟做负功
D．小鸟离开弹弓后速度增加量的方向一直是竖直向下的
（2023 惠州模拟）惠州罗浮山风景区于2022年1月启用新索道，如图所示，质量为M的吊厢通过悬臂固定悬挂在缆绳上，吊厢水平底板上放置一质量为m的货物。若某段运动过程中，在缆绳牵引下吊厢载着货物一起斜向上加速运动，且悬臂和吊厢处于竖直方向，重力加速度为g，则（　　）
A．吊厢水平底板对货物的支持力不做功
B．吊厢水平底板对货物的摩擦力做正功
C．悬臂对吊厢的作用力方向与缆绳方向平行且斜向上
D．悬臂对吊厢的作用力大小等于（M+m）g
【知识点二】功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
（1）利用P＝.
（2）利用P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算方法
（1）P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
（2）P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
（3）P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
（2023 江门一模）人利用手推车搬运货物，手推车沿水平方向以速度v做匀速直线运动，如图所示，已知推力F斜向下且与水平方向夹角θ，下列说法正确的是（　　）
A．手推车受到的支持力大小力Fsinθ
B．手推车受到的阻力大小Fcosθ
C．推力的功率为Fv
D．无论推力与水平方向夹角多大，都可以推车前进
（2023 湖北模拟）如图所示，质量为1kg的物体在力F＝8N的作用下，由静止开始从倾角为37°的光滑斜面底端向上运动，6s后撤去力F0，取物体在斜面底端的重力势能为零，且g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则下列说法正确的是（　　）
A．力F做的功为360J
B．物体的最大重力势能为480J
C．物体回到斜面底端时重力的功率为144W
D．物体回到斜面底端时重力的功率为240W
（2023 浙江模拟）11月8日在珠海航展上歼﹣20表演了双机盘旋、双机水平交叉、大仰角转弯脱离等精彩动作。飞机从水平平飞经一段圆弧转入竖直向上爬升，如图所示，假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变，发动机推力方向沿轨迹切线，飞机所受升力垂直于机身，空气阻力大小不变，则飞机沿圆弧运动时（　　）
A．飞机发动机推力大小不变
B．飞机所受升力大小保持不变
C．飞机克服重力做功功率变大
D．飞机所受的升力就等于向心力
【知识点三】变力做功的分析和计算
分析方法及案例
方法 以例说法
应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl（1－cos θ）＝0，得WF＝mgl（1－cos θ）
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝Ff·2πR
等效转换法 恒力F把物块从位置A拉到位置B，绳子对物块做功W＝F·（－）
图象法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
方法1　用动能定理求变力做功
【要点诠释】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功.因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
（2023春 思明区校级期中）如图所示，将一质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于O点，水平拉力F将小球从平衡位置P缓慢地拉至轻绳与竖直方向夹角为θ处。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的重力势能增加了mglcosθ
B．拉力F所做的功为Flsinθ
C．拉力F所做的功为mgl（1﹣cosθ）
D．轻绳的拉力所做的功为mgl
（2023春 余姚市校级期中）某同学在操场上踢足球，足球质量为m，该同学将足球以速度v0从地面上的A点踢起，最高可以到达离地面高度为h的B点位置，从A到B足球克服空气阻力做的功为W，选地面为零势能的参考平面，则下列说法中正确的是（　　）
A．足球从A到B机械能守恒
B．该同学对足球做的功等于
C．足球在A点处的机械能为
D．足球在B点处的动能为
方法2　利用微元法求变力做功
【要点诠释】将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
（2023春 湖北期中）近年来，随着国家乡村振兴战略深入实施，绝大部分农村在农业生产中基本实现了机械化，极大的提高了农业生产效率。如图所示为一农业展览馆中展示的上个世纪七八十年代农村农业生产中驴拉磨（将食物磨成粉浆）的情景。假设在驴拉磨的过程中，驴对磨杆的拉力大小为300N，半径r为0.5m，转动一周为5s，则下列说法正确的是（　　）
A．驴拉磨一周过程中拉力做功为0
B．驴拉磨一周过程中拉力做功为350πJ
C．驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为60πW
D．驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为65πW
方法3　“转化法”求变力做功
【要点诠释】通过转换研究的对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解，如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功问题。
（多选）（2022春 淄博期中）如图所示，光滑水平平台上有一质量为m的物块A，系在物块A上的轻绳跨过光滑轻质定滑轮，连接物块B。现以速度v匀速拖动物块B，使其从平台的右边缘正下方向右移动距离x，平台边缘离物块B的竖直高度始终为h，在此过程中（忽略滑轮和物块B的大小，轻绳一直处于伸直状态）（　　）
A．物块A不可能做匀速运动
B．绳子拉力对物块A做的功为
C．绳子拉力对物块A做的功为mv2
D．物体A移动的距离为
方法4　用F－x图象求变力做功
【要点诠释】在F－x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形）。
（2022秋 石景山区期末）如图（a），质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；
（2）如图（a），若篮球反弹至最高处h时，运动员向下拍球，对篮球施加一个向下的压力F，持续作用至h0高度处撤去，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h高度处，力F的大小随高度y的变化如图（b）所示，其中h已知，求F0的大小；
（3）在篮球与地球相互作用的过程中，我们认为地球始终保持静止不动。请你运用所学知识分析说明建立这种模型的合理性。
【知识点四】机车启动问题
1．模型一　以恒定功率启动
（1）动态过程
（2）这一过程的P t图象和v t图象如图所示：
2．模型二　以恒定加速度启动
（1）动态过程
（2）这一过程的P t图象和v t图象如图所示：
3．三个重要关系式
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
（2）机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束时功率最大，速度不是最大，即v＝＜vm＝.
（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度．
（2023 历下区校级模拟）某款质量m＝1000kg的汽车沿平直公路从静止开始做直线运动，其v﹣t图像如图所示。汽车在0～t1时间内做匀加速直线运动，t1～50s内汽车保持额定功率不变，50s～70s内汽车做匀速直线运动，最大速度vm＝40m/s，汽车从70s末开始关闭动力减速滑行，t2时刻停止运动。已知，t1＝10s，汽车的额定功率为80kW，整个过程中汽车受到的阻力大小不变。下列说法正确的是（　　）
A．t1时刻的瞬时速度10m/s
B．汽车在t1～50s内通过的距离x＝1300m
C．t2为80s
D．阻力大小为1000N
（2023 未央区校级模拟）我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为2×103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（　　）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为1×103N
D．汽车在车速为5m/s时，功率为6×104W
（2023 海口一模）在通往某景区的公路上，一辆小汽车沿倾角为θ的斜坡向上由静止启动，在前20s内做匀加速直线运动，第20s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小恒为车重的，sinθ＝0.1，重力加速度g＝10m/s2。则汽车的最大速为（　　）
A．25m/s B．28m/s C．30m/s D．35m/s
（2023 温州模拟）2021年10月25日，如图甲所示的全球最大“上回转塔机”成功首发下线，又树立了一面“中国高端制造”的新旗帜。若该起重机某次从t＝0时刻由静止开始向上提升质量为m的物体，其a﹣t图像如图乙所示，t1时达到额定功率，t1～t2时间内起重机保持额定功率运动，重力加速度为g，不计其它阻力，下列说法正确的是（　　）
A．0～t1时间内物体处于失重状态
B．t1～t2时间内物体做减速运动
C．0～t1时间内重力对物体做功为
D．t1～t2时间内起重机额定功率为（mg+ma0）a0t1
（2022 福建）福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，如图（a）所示。承启楼外楼共四层，各楼层高度如图（b）所示，同一楼层内部通过直径约50m的圆形廊道连接，若将质量为100kg的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口M处，再用100s沿廊道运送到N处，如图（c）所示，重力加速度大小取10m/s2，则（　　）
A．该物资从二楼地面被运送到四楼M处的过程中，克服重力所做的功为5400J
B．该物资从M处被运送到N处的过程中，克服重力所做的功为78500J
C．从M处沿圆形廊道运动到N处，位移大小为78.5m
D．从M处沿圆形廊道运动到N处，平均速率为0.5m/s
（2021 浙江）中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为2.4×103kg/m3，假设泵车的泵送系统以150m3/h的输送量给30m高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为（　　）
发动机最大输出功率（kW） 332 最大输送高度（m） 63
整车满载质量（kg） 5.5×104 最大输送量（m3/h） 180
A．1.08×107J B．5.04×107J C．1.08×108J D．2.72×108J
（2023 山东）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（　　）
A． B． C． D．nmgωRH
（2023 山东）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为S1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为S2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2023 湖北）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）（2022 广东）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有（　　）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
（2021 北京）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（　　）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
（2021 湖南）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（　　）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2﹣Pt
（2023 南岗区校级四模）某品牌电动自行车的主要技术参数如表所示。已知小明同学的质量为60kg，当他骑该车行驶时，他和车所受的空气阻力大小与瞬时速率成正比，比例系数为k1。设行驶过程中车子所受路面的阻力大小恒定。
整车质量（含电池） 30kg
最大载重 150kg
电动机额定输出功率 350W
（1）若车子的驱动力为55N、速率为4m/s时，车子匀速行驶；若车子的驱动力为135N、速率为2m/s时，小明和车子的加速度为1m/s2。求行驶过程中车子所受路面的阻力大小和比例系数k1；
（2）若车传动与变速系统因内部机件摩擦而损耗的功率与车的瞬时速率成正比，比例系数k2＝10kg m/s2。当车子以额定输出功率在非机动车道上匀速行驶时，判断该车是否符合在非机动车道上行驶的最高限速15km/h这一道路法规要求，通过计算说明理由。
（2023 河西区校级模拟）近段时间，针对佩洛西窜访台湾，我解放军在台海周边6个区域组织了航母编队威慑演练。如图甲，我国山东舰航母上的舰载机采用滑跃式起飞，甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分组成，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB平滑连接的一段斜面，模型简化图如图乙所示，BC长为L，BC与AB间夹角为α。若舰载机从A点处由静止开始以加速度a做初速度为零的匀加速直线运动，经时间t达到B点，进入BC保持恒定功率加速，在C点刚好达到起飞速度v。已知舰载机的总质量为m（忽略滑行过程中的质量变化），舰载机在甲板上运动时受到甲板的摩擦力和空气阻力之和看作恒力，大小为其重力的k倍，重力加速度为g。求：
（1）舰载机的最小额定功率；
（2）舰载机在BC段运行的最长时间。
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