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专题7.2　电场能的性质
1.物理观念：电势能、电势、电势差。
知道静电场中的电荷具有电势能。了解电势能、电势和电势差的含义。。
2.科学思维：电势差与电场强度的关系、电场中的图像。
（1）.掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系
（3）掌握利用图象分析静电场性质的方法，培养学生们通过“数形结合思想”分析问题的能力。
3.科学态度与责任：静电现象应用与安全。
了解生产生活中关于静电的利用与防护的实例。
【知识点一】电势高低、电势能大小的判断
1．电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的高低 正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
电场力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
2.电势能大小的判断
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大 负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 电场力做正功，电势能减小 电场力做负功，电势能增加
能量守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加
（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，三根等长的均匀带电的绝缘体棒组成了一个等边三角形，O点为该等边三角形的中心，三根绝缘棒带有相同的电荷量，其中a、c两棒带正电荷，b棒带负电荷。已知a棒上的电荷单独在O点产生的电场强度大小为E，电势为φ。则下列说法正确的是（　　）
A．O点处的电场强度大小为2E
B．O点处的电场强度大小为3E
C．O点处的电势为2φ
D．O点处的电势为3φ
（2023 武汉模拟）如图所示，两个半径均为R的半球壳Ⅰ和Ⅱ靠得很近，间距可忽略，两个半球壳均匀带有正电荷，电荷量均为q，O为球心，A为球壳外一点，AO＝L，AO垂直于两半球截面（图中阴影面），半球壳Ⅰ在A点的场强大小为 E1，静电力常量为k，规定距O点无限远处电势为零，则下列说法正确的是（　　）
A．O点场强大小为
B．半球壳Ⅰ在O点的场强方向水平向右
C．半球壳Ⅱ在A点的场强大小为E1
D．半球壳Ⅰ在A点的电势低于半球壳Ⅱ在A点的电势
（2023 渭南二模）在A、B两点放置电荷量分别为+q1和﹣q2的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线的中点，D是AB连线的中垂线上的另一点。则下列说法正确的是（　　）
A．q1＜q2
B．C点的电势高于D点的电势
C．若将一正电荷从C点移到无穷远点，电场力做负功
D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小
【知识点二】电势差与电场强度的关系
1．公式E＝的三点注意
（1）只适用于匀强电场．
（2）d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
（3）电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．纵向拓展
推论1　匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势，φC＝，如图甲所示．
推论2　匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），如图乙所示．
3．横向拓展
公式E＝只能适用于匀强电场的定量计算，但在非匀强电场中，可以用该式进行定性判断．
【技巧方法】应用E＝关系的解题思路
（2023 海淀区校级三模）有一静电场，其电势φ沿x轴方向变化的图线如图所示。一带负电粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，粒子沿x轴运动，电场中P、Q两点的坐标分别为1mm、4mm。下列说法正确的是（　　）
A．粒子经过P点和Q点加速度大小相等、方向相同
B．粒子经过P点与Q点时，动能相等
C．粒子经过P点与Q点时，静电力做功的功率相等
D．粒子在P点的电势能为正值
（2023 南昌二模）如图所示，在点电荷形成的电场中有A、B两点，其中A点的场强大小为EA，方向与AB连线成30°角，电势为φA；B点的场强大小为EB，方向与AB连线成60°角，电势为φB。则（　　）
A．EA＜EB，φA＜φB B．EA＜EB，φA＞φB
C．EA＞EB，φA＞φB D．EA＞EB，φA＜φB
（2023 通辽模拟）如图，A、B、C为匀强电场中直角三角形的三个顶点，电场方向与△ABC所在平面平行，已知AB＝40cm，AC＝50cm，∠B。现将电荷量为﹣6×10﹣6C的点电荷从A点移到B点，电场力做的功为﹣2.4×10﹣5J，从A点移到C点，电场力做的功为﹣6.0×10﹣5J，则（　　）
A．B点的电势低于C点的电势
B．电场强度的大小为10V/m
C．电场线的方向平行于AC
D．将该点电荷从B点移到C点，电荷的电势能会减小3.6×10﹣5J
【知识点三】电场线、等势线（面）及带电粒子的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线．
2．几种典型电场的等势线（面）
电场 等势线（面） 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 连线的中垂线上电势处处为零
等量同种（正）点电荷的电场 连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
【方法总结】带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧
1．判断速度方向
带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．
2．判断电场力（或电场强度）的方向
仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，且电场力方向一定与电场线或电场线的切线共线，再根据粒子的正负判断电场强度的方向．
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减
若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少：若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
4．判断受力大小、加速度大小变化
根据电场线分布疏密程度、等差等势面分布疏密程度与场源电荷相对位置进行分析．
（2023 天津模拟）如图所示，虚线为位于O位置的点电荷形成电场中的等势面，已知三个等势面的电势差关系为φ1﹣φ2＝φ2﹣φ3，图中的实线为一带负电的粒子进入该电场后的运动轨迹，与等势面相交于图中的a、b、c、d四点，已知该粒子仅受电场力的作用，则下列说法正确的是（　　）
A．O位置的点电荷带正电
B．该粒子在b点的加速度小于在a点的加速度
C．a、b、c、d四点中，该粒子在b处的电势能最小
D．该粒子从b点飞到c点动能的变化量等于从c点飞到d点动能的变化量
（2023 浙江模拟）静电透镜是利用静电场使带电粒子束会聚或发散的一种装置。其中某部分静电场的分布如图所示，曲线表示这个静电场在纸平面内的一簇等势线，等势线关于虚线轴OO′对称，且相邻两等势线的电势差相等。带电粒子a、b分别从A点、B点平行虚线轴射入电场，两粒子在虚线轴上某处相遇，则从射入电场到相遇过程中，下列说法正确的是（　　）
A．粒子b的加速度不断增加，速度不断减小
B．粒子a的加速度不断减小，电势能不断增加
C．粒子a、b的电性相同，电势能均不断减小
D．粒子a、b的电性不同，速度均不断减小
（2022 房山区一模）一个带电粒子（不计重力）射入一点电荷的电场中，粒子运动的轨迹如图实线bc所示，图中虚线是同心圆弧，表示电场中的等势面，下列判断正确的是（　　）
A．粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能
B．粒子在b点的速率一定大于在a点的速率
C．粒子在a点和c点的动能相等
D．粒子在b点所受的电场力小于在a点所受的电场力
【知识点四】电场中的四类图象问题
几种常见图象的特点及规律
v t图象 根据v t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ x图象 （1）电场强度的大小等于φ x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x图线存在极值，其切线的斜率为零； （2）在φ x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； （3）在φ x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
E x图象 （1）反映了电场强度随位移变化的规律；（2）E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向； （3）图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Ep x图象 （1）反映了电势能随位移变化的规律； （2）图线的切线斜率大小等于电场力大小； （3）进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
类型一　v－t图象
根据v－t图象的速度变化、斜率变化（即加速度大小的变化），可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
（2022秋 遂宁期末）如图甲所示，在两平行金属板间加有一交变电场，两极板间可以认为是匀强电场，当t＝0时，一带电粒子从左侧极板附近开始运动，其速度随时间变化关系如图乙图所示。带电粒子经过4T时间恰好到达右侧极板，（带电粒子的质量m、电量q、速度最大值vm、时间T为已知量）则下列说法正确的是（　　）
A．带电粒子在两板间做往复运动，周期为T
B．两板间距离d＝2vmT
C．两板间所加交变电场的周期为T，所加电压大小
D．若其他条件不变，该带电粒子从开始进入电场，该粒子不能到达右侧板
（2022秋 广州期末）如图甲，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点。将一带负电荷的粒子从a点处由静止释放，从a运动到b过程中的v﹣t图线如图乙所示。设a、b两点的电势分别为φa、φb，场强大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b两点的电势能分别为EPa、Epb，不计重力，则有（　　）
A．EPa＞Epb B．Ea＝Eb C．Ea＜Eb D．φa＞φb
（多选）（2023 兴庆区校级四模）一带负电粒子仅在电场力的作用下从A点沿直线运动到B点，速度由v1变为v2，其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．A、B两点的电势关系为φA＞φB
B．A点附近的等势面要比B点附近的等势面稀疏
C．A、B两点的电场强度大小关系为EA＞EB
D．粒子从A点到B点的过程中，可能两次经过同一个等势面
类型二　φ－x图象
1.在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
2.在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
3.在φ－x图象中可以判断电场类型，如下图所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场。
4.在φ－x图象中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。
（2023 道里区校级模拟）空间存在方向沿x轴的电场，x轴上各点电势φ的变化规律如图所示，其中B点电势为零，C点电势最低。下列说法正确的是（　　）
A．AC间电场方向沿x轴正方向
B．B点电场强度小于C点电场强度
C．将一正的试探电荷沿x轴从B点移动到D点，电场力一直做正功
D．负的试探电荷在A点的电势能大于在D点的电势能
（2023 厦门模拟）两点电荷M、N分别固定在x＝﹣20cm和坐标原点处，所形成电场的电势在x轴上的分布如图所示，图线与x轴交于x0处，x＝20cm处电势最低，取无穷远处电势为0，一正电荷q自x0处由静止释放，则（　　）
A．x0处的电场强度为0
B．电荷M、N所带电量大小之比为4：1
C．正电荷q运动的过程中，加速度先增大后减小
D．正电荷q运动的过程中，电势能先增大后减小
（2023 龙岩三模）如图所示，带电绝缘体球的球心为O，用r表示球内、外各点到球心的距离，其中A、B、C位置离球心的距离分别为r1、r2、r3，用φ表示球内、外各点电势，其φ﹣r图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．该绝缘体球带负电
B．A点的电场强度小于B点的电场强度
C．B点的电场强度大小为
D．负点电荷在B点的电势能比在C点的电势能小
类型三　E－x图象
1.E－x图象反映了电场强度随位移变化的规律，E＞0表示电场强度沿x轴正方向；E＜0表示电场强度沿x轴负方向。
2.在给定了电场的E－x图象后，可以由图线确定电场强度、电势的变化情况，
E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差（如下图所示），两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
3.在这类题目中，还可以由E－x图象画出对应的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。
（2023 青岛一模）在x轴上关于O点对称的M、N处各固定一等量点电荷，取x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上各点电场强度E随坐标x的变化曲线如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．两电荷连线中点O处的电势为零
B．x轴上从M点到N点电势先降低后升高
C．将一试探电荷从O点沿两电荷连线中垂线移动的过程中电场力不做功
D．将一正试探电荷从O点沿两电荷连线中垂线移动的过程中电势能先增大后减小
（多选）（2022秋 中山市期末）某静电场中x轴上电场强度E随x变化的关系如图所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。一带电荷量大小为q的粒子从坐标原点O沿x轴正方向运动，在x＝3x0处粒子速度变为零。假设粒子仅受电场力作用，E0和x0已知，则（　　）
A．粒子一定带负电
B．粒子的初动能不可能为零
C．粒子沿x轴正方向运动过程中电势能先增大后减小
D．粒子沿x轴正方向运动过程中在x0位置处速度最大
（多选）（2023 永安市校级开学）在某电场中一条直的电场线上建立x轴，x轴上0﹣x2间的电场强度的分布如图所示，沿x轴正向为电场强度的正方向，在在坐标原点处放一个质量为m，电荷量为q的正点电荷，该电荷仅在在电场力的作用下运动，则在粒子从x＝0运动到x＝x2的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．粒子先做加速运动后做减速运动
B．粒子运动的加速度先增大后减小
C．粒子运动到x＝x1处时，电势能减少了
D．粒子运动到x＝x1处的速度与运动到x＝x2处的速度之比为x1：x2
类型四　Ep－x图象
1.反映了电势能随位移变化的规律。
2.图线的切线斜率大小等于电场力大小。
3.进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况。
（2023 乐清市校级模拟）如图1所示，同号点电荷A、B绝缘置于水平气垫导轨上，A固定于导轨左端，B可在导轨上无摩擦滑动。将B在A附近某一位置由静止释放，由于能量守恒，可通过测量B在不同位置处的速度，得到B的势能随位置随x的变化规律（坐标原点位于A处），如图3曲线Ⅰ。若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度，如图2所示，则B的总势能曲线如图3中Ⅱ所示，图3中直线Ⅲ为曲线Ⅱ的渐近线，其斜率为α。B在x0处由静止释放，则（　　）
A．B在运动过程中动能最小位置为x1处
B．B在运动过程中势能最大位置为x2处
C．运动过程中B的最大位移大小为x0﹣x2
D．点电荷A、B电荷量之积时（k为静电力常量）
（2023春 海安市校级月考）如图1所示，平面直角坐标系xOy中，三个点电荷a、b、c分别固定于（0，r）、（0，﹣r）、（0，0）处，a、b、c电荷量分别为+Q、+Q、﹣Q。现有一电荷量为﹣q的点电荷d，在+x轴上从靠近坐标原点处由静止释放，不考虑重力及电荷d对原电场的影响，取无穷远处电势能为零，则在点电荷d的整个运动过程中，其瞬时速度v随时间t、电势能Ep随位置x变化的关系图像（图2）可能为（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
（2023 射洪市校级模拟）一带负电粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，则粒子在从x1向x3运动的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．在x1处粒子速度最大 B．在x2处粒子加速度最大
C．在x3处电势最高 D．在x2处电势为零
（2023 上海）空间中有一电场，电势分布如图所示，现放入一个负点电荷，随后向右移动此电荷，下列电荷电势能随位置变化的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2022 天津）如图所示，一正点电荷固定在圆心，M、N是圆上的两点，下列说法正确的是（　　）
A．M点和N点电势相同
B．M点和N点电场强度相同
C．负电荷由M点到N点，电势能始终增大
D．负电荷由M点到N点，电场力始终做正功
（多选）（2022 海南）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，设A点的电场强度为EA，电势为φA，B点的电场强度为EB，电势为φB，则有（　　）
A．EA＞EB B．EA＜EB C．φA＞φB D．φA＜φB
（2021 山东）如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为+q的点电荷；在区间，x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为﹣Q的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是（　　）
A．，释放后P将向右运动
B．，释放后P将向左运动
C．，释放后P将向右运动
D．，释放后P将向左运动
（2021 浙江）某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“＜”形导体右侧的电场线和等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是（　　）
A．实线表示电场线
B．离d点最近的导体表面电荷密度最大
C．“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零
（多选）（2021 天津）两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是（　　）
A．两点电荷可能是异种点电荷
B．A点的电场强度比B点的大
C．A点的电势高于B点的电势
D．电子运动到P点时动能最小
（2023 浙江）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为1.0×10﹣8C、质量为3.0×10﹣4kg的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（　　）
A．MC距离为5cm
B．电势能增加了J
C．电场强度大小为104N/C
D．减小R的阻值，MC的距离将变大
（2023 湖北）在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是（　　）
A．若φM＞φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B．若EM＜EN，则M点到电荷Q的距离比N点的近
C．若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则φM＜φN
D．若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM＞EN
（2023 全国）如图，两块大导体板水平相对放置，相距为d，电势分别为U0和﹣U0（U0＞0 ），长为L的绝缘细绳上端固定于上板，下端与质量为m的带正电小球连接，小球带电量为Q。重力加速度大小为g。小球在平衡位置附近摆动的周期是（　　）
A．2π B．2π
C．2π D．2π
（2023 上海）如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（　　）
A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0
C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0
（多选）（2023 山东）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（　　）
A．F′点与C′点的电场强度大小相等
B．B′点与E′点的电场强度方向相同
C．A′点与F′点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D．将试探电荷+q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
（多选）（2023 辽宁）图（a） 为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图（b）为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则（　　）
A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
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专题7.2　电场能的性质
1.物理观念：电势能、电势、电势差。
知道静电场中的电荷具有电势能。了解电势能、电势和电势差的含义。。
2.科学思维：电势差与电场强度的关系、电场中的图像。
（1）.掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系
（3）掌握利用图象分析静电场性质的方法，培养学生们通过“数形结合思想”分析问题的能力。
3.科学态度与责任：静电现象应用与安全。
了解生产生活中关于静电的利用与防护的实例。
【知识点一】电势高低、电势能大小的判断
1．电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的高低 正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
电场力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
2.电势能大小的判断
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大 负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 电场力做正功，电势能减小 电场力做负功，电势能增加
能量守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加
（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，三根等长的均匀带电的绝缘体棒组成了一个等边三角形，O点为该等边三角形的中心，三根绝缘棒带有相同的电荷量，其中a、c两棒带正电荷，b棒带负电荷。已知a棒上的电荷单独在O点产生的电场强度大小为E，电势为φ。则下列说法正确的是（　　）
A．O点处的电场强度大小为2E
B．O点处的电场强度大小为3E
C．O点处的电势为2φ
D．O点处的电势为3φ
【解答】解：AB．a棒上的电荷单独在O点产生的电场强度大小为E，由于ac带电棒完全相同，则两带电棒在O点产生的电场强度大小相同，另由于a棒关于过O点的中垂线对称，c棒关于过O点的中垂线对称，所以两个带正电的棒在O点的电场方向如图所示，
二个电场强度方向互成120°角，由平行四边形定则知，合场强大小大小也为E，方向垂直b棒向下，b棒上的负电荷单独在O点产生的电场强度大小也为E，方向垂直b棒向下，则三根棒在O点的合场强为2E，垂直b棒向下；故A正确，B错误；
CD．电势是标量，无方向，根据电势叠加可知，O点电势为+φ+φ﹣φ＝φ，所以O点的电势为φ，故CD错误。
故选：A。
（2023 武汉模拟）如图所示，两个半径均为R的半球壳Ⅰ和Ⅱ靠得很近，间距可忽略，两个半球壳均匀带有正电荷，电荷量均为q，O为球心，A为球壳外一点，AO＝L，AO垂直于两半球截面（图中阴影面），半球壳Ⅰ在A点的场强大小为 E1，静电力常量为k，规定距O点无限远处电势为零，则下列说法正确的是（　　）
A．O点场强大小为
B．半球壳Ⅰ在O点的场强方向水平向右
C．半球壳Ⅱ在A点的场强大小为E1
D．半球壳Ⅰ在A点的电势低于半球壳Ⅱ在A点的电势
【解答】解：A、半球壳靠的很近，形成类静电屏蔽，内部场强为零，故A错误；
B、根据对称性可以判断，半球壳Ⅰ在O点形成的电场强度方向水平向左，故B错误；
C、把两半球壳看成整体，根据点电荷电场强度
E
可知，在A点形成的电场强度
E
方向沿OA从O指向A，两半球壳在A点分别形成的电场强度方向均沿OA从O指向A，
则E＝E1+E2，
解得
E2E1，故C正确；
D、电势是标量，半球壳I和半球壳II电荷量相等，半球壳Ⅰ距A点距离近，形成的电势高，故D错误。
故选：C。
（2023 渭南二模）在A、B两点放置电荷量分别为+q1和﹣q2的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线的中点，D是AB连线的中垂线上的另一点。则下列说法正确的是（　　）
A．q1＜q2
B．C点的电势高于D点的电势
C．若将一正电荷从C点移到无穷远点，电场力做负功
D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小
【解答】解：A、同一电场中，电场线密集的地方，电场强度大，由图可知，A点附近电场强度大于B点附近的电场强度，C点的场强大于D点的场强，由点电荷场强公式可知q1＞q2，故A错误；
BD、根据电场线与等势面的关系，画出过C点的等势线，如图所示
根据沿电场线方向电势逐渐降低可知，C点的电势大于D点的电势，由Ep＝qφ可知，负电荷从C点移到D点，电场力做负功，电荷电势能增大，故B正确，D错误；
C、A点是正电荷，A的电荷量大于B点的负电荷电荷量，故C点电势大于零，若将一正电荷从C点移到无穷远点，电场力做正功，故C错误。
故选：B。
【知识点二】电势差与电场强度的关系
1．公式E＝的三点注意
（1）只适用于匀强电场．
（2）d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
（3）电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．纵向拓展
推论1　匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势，φC＝，如图甲所示．
推论2　匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），如图乙所示．
3．横向拓展
公式E＝只能适用于匀强电场的定量计算，但在非匀强电场中，可以用该式进行定性判断．
【技巧方法】应用E＝关系的解题思路
（2023 海淀区校级三模）有一静电场，其电势φ沿x轴方向变化的图线如图所示。一带负电粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，粒子沿x轴运动，电场中P、Q两点的坐标分别为1mm、4mm。下列说法正确的是（　　）
A．粒子经过P点和Q点加速度大小相等、方向相同
B．粒子经过P点与Q点时，动能相等
C．粒子经过P点与Q点时，静电力做功的功率相等
D．粒子在P点的电势能为正值
【解答】解：A、沿着电场线的方向电势降低，由图可知，在0～2mm内，电场线沿x轴负方向，粒子受到向右的电场力，加速度向右；在2～6mm区间，电场线沿x轴正方向，粒子受到向左的电场力，加速度向左；且φ﹣x图斜率绝对值表示电场强度的大小，由图可知，P点与Q点的电场强度大小，粒子经过P点和Q点受到的电场力大小不同，则加速度大小不同，方向相反，故A错误。
B、P点与Q点电势相同，粒子经过P点与Q点时电势能相等，根据能量守恒可知，动能相等，故B正确；
C、粒子经过P点与Q点时所受电场力不同，速率相同，根据功率的计算公式P＝Fv可知粒子经过P点与Q点时，静电力做功的功率不相等，故C错误；
D、根据电势能的定义Ep＝qφ，粒子带负电，在电势为正值的P点，粒子的电势能为负值，故D错误。
故选：B。
（2023 南昌二模）如图所示，在点电荷形成的电场中有A、B两点，其中A点的场强大小为EA，方向与AB连线成30°角，电势为φA；B点的场强大小为EB，方向与AB连线成60°角，电势为φB。则（　　）
A．EA＜EB，φA＜φB B．EA＜EB，φA＞φB
C．EA＞EB，φA＞φB D．EA＞EB，φA＜φB
【解答】解：将EA、EB延长相交，交点即为点电荷的位置，则A点比B点距点电荷较远，则EA＜EB；由电场的方向可知，场源电荷为负电荷，由于A点距点电荷较远，故有φ＞φ，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2023 通辽模拟）如图，A、B、C为匀强电场中直角三角形的三个顶点，电场方向与△ABC所在平面平行，已知AB＝40cm，AC＝50cm，∠B。现将电荷量为﹣6×10﹣6C的点电荷从A点移到B点，电场力做的功为﹣2.4×10﹣5J，从A点移到C点，电场力做的功为﹣6.0×10﹣5J，则（　　）
A．B点的电势低于C点的电势
B．电场强度的大小为10V/m
C．电场线的方向平行于AC
D．将该点电荷从B点移到C点，电荷的电势能会减小3.6×10﹣5J
【解答】解：A.根据电场力做功公式，点电荷从A点移到B点电场力做功WAB＝q（φA﹣φB）
A点移到C点，电场力做的功WAC＝q（φA﹣φC）
则WAB﹣WAC＝q（φA﹣φB）﹣q（φA﹣φC）＝q（φC﹣φB）
代入数据解得φB﹣φC＝6V
即B点的电势高于C点的电势，故A错误；
BC.设φC＝0，根据电场力做功公式，A点电势
B点的电势φB＝6V+φC＝6V+0V＝6V
将AC进行5等分，则D点与B点为等势点，如图所示：
根据数学知识
因此∠C＝53°
根据数学知识CD＝BC＝30cm，因此△CDB为等腰三角形，则∠DBC＝63.5°
所以∠ABF＝90°﹣63.5°＝26.5°
在直角△ABF中
根据数学知识
联立解得
电场线沿AF方向，不平行AC；
则该匀强电场的电场强度大小为
综上分析，故B正确，C错误；
D．根据电场力做功公式，将该点电荷从B点移到C点，电场力所做的功
则电荷的电势能会增加3.6×10﹣5J，故D错误。
故选：B。
【知识点三】电场线、等势线（面）及带电粒子的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线．
2．几种典型电场的等势线（面）
电场 等势线（面） 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 连线的中垂线上电势处处为零
等量同种（正）点电荷的电场 连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
【方法总结】带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧
1．判断速度方向
带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．
2．判断电场力（或电场强度）的方向
仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，且电场力方向一定与电场线或电场线的切线共线，再根据粒子的正负判断电场强度的方向．
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减
若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少：若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
4．判断受力大小、加速度大小变化
根据电场线分布疏密程度、等差等势面分布疏密程度与场源电荷相对位置进行分析．
（2023 天津模拟）如图所示，虚线为位于O位置的点电荷形成电场中的等势面，已知三个等势面的电势差关系为φ1﹣φ2＝φ2﹣φ3，图中的实线为一带负电的粒子进入该电场后的运动轨迹，与等势面相交于图中的a、b、c、d四点，已知该粒子仅受电场力的作用，则下列说法正确的是（　　）
A．O位置的点电荷带正电
B．该粒子在b点的加速度小于在a点的加速度
C．a、b、c、d四点中，该粒子在b处的电势能最小
D．该粒子从b点飞到c点动能的变化量等于从c点飞到d点动能的变化量
【解答】解：A．由带负电的粒子的运动轨迹可知，靠近点电荷时受到阻力作用，所以O位置的点电荷带负电，故A错误；
B．等差等势面的疏密表示场强强弱，b处的场强比a处大，由牛顿第二定律qE＝ma知，所以该粒子在b点的加速度大于在a点的加速度，故B错误；
C．由O位置的点电荷带负电，所以b点电势在a、b、c、d四点中最低，由Ep＝qφ，可知该粒子在b处的电势能最大，故C错误；
D．由动能定理可知，由动能定理得，该粒子从b点飞到c点动能的变化量为：
ΔEkbc＝qUbc
又Ubc＝（φ1﹣φ2）
联立解得：ΔEkbc＝q（φ1﹣φ2）
由动能定理得，该粒子从c点飞到d点动能的变化量为：
ΔEkcd＝qUcd
Ucd＝（φ2﹣φ3）
联立解得：ΔEkcd＝q（φ2﹣φ3）
由φ1﹣φ2＝φ2﹣φ3，可得
ΔEkbc＝ΔEkcd
所以该粒子从b点飞到c点动能的变化量等于从c点飞到d点动能的变化量，故D正确。
故选：D。
（2023 浙江模拟）静电透镜是利用静电场使带电粒子束会聚或发散的一种装置。其中某部分静电场的分布如图所示，曲线表示这个静电场在纸平面内的一簇等势线，等势线关于虚线轴OO′对称，且相邻两等势线的电势差相等。带电粒子a、b分别从A点、B点平行虚线轴射入电场，两粒子在虚线轴上某处相遇，则从射入电场到相遇过程中，下列说法正确的是（　　）
A．粒子b的加速度不断增加，速度不断减小
B．粒子a的加速度不断减小，电势能不断增加
C．粒子a、b的电性相同，电势能均不断减小
D．粒子a、b的电性不同，速度均不断减小
【解答】解：由于电场线与等势面垂直，经过AB的电场线如图所示：
AB.等势面的稀密表示场强的大小，等势面越密的地方场强越大，等势面越稀疏，场强越小；根据牛顿第二定律可知，带电粒子a的加速度不断减小，带电粒子b的加速度不断变大；由于带电粒子所受的电场力沿电场线的切线方向，并指向运动轨迹的凹侧，因此带电粒子a所受电场力与A点速度方向相反，电场力对粒子a做负功，动能减小，速度减小，电势能增大，带电粒子b所受电场力与B点速度方向相同，电场力对粒子b做正功，动能增大，速度增大，电势能减小，故A错误，B正确；
CD.假设交点为P，根据电场力做功公式W＝q（φ1﹣φ2），可得粒子a从A到P做功WAP＝qA（φA﹣φP）＜0，动能减小，速度减小，电势能增大，粒子b从B到P做功WBP＝qB（φB﹣φP）＞0，动能增大，速度最大，电势能减小，根据沿电场线电势逐渐降低，因此电势差（φA﹣φP）与（φB﹣φP）正负相反，所以粒子a与粒子b电性相同，故CD错误。
故选：B。
（2022 房山区一模）一个带电粒子（不计重力）射入一点电荷的电场中，粒子运动的轨迹如图实线bc所示，图中虚线是同心圆弧，表示电场中的等势面，下列判断正确的是（　　）
A．粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能
B．粒子在b点的速率一定大于在a点的速率
C．粒子在a点和c点的动能相等
D．粒子在b点所受的电场力小于在a点所受的电场力
【解答】解：AB、由图可知，粒子的运动轨迹向右弯曲，带电粒子所受的电场力方向向右，则带电粒子受到了静电排斥力作用，粒子从a到b过程中，电场力做负功，可知电势能增大，动能减小，则粒子在b点的电势能一定大于在a点的电势能，而粒子在b点的速率和动能一定小于在a点的速率和动能，故AB错误；
C、a、c两点处于同一等势面上，从a到c，电场力做功为零，则a、c两点动能相等，故C正确；
D、根据点电荷的等势面的特点可知，点电荷应在b点的左侧，点电荷到b点的距离小于到a点的距离，根据库仑定律可知，粒子在b点所受的电场力大于在a点所受的电场力，故D错误。
故选：C。
【知识点四】电场中的四类图象问题
几种常见图象的特点及规律
v t图象 根据v t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ x图象 （1）电场强度的大小等于φ x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x图线存在极值，其切线的斜率为零； （2）在φ x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； （3）在φ x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
E x图象 （1）反映了电场强度随位移变化的规律；（2）E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向； （3）图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Ep x图象 （1）反映了电势能随位移变化的规律； （2）图线的切线斜率大小等于电场力大小； （3）进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
类型一　v－t图象
根据v－t图象的速度变化、斜率变化（即加速度大小的变化），可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
（2022秋 遂宁期末）如图甲所示，在两平行金属板间加有一交变电场，两极板间可以认为是匀强电场，当t＝0时，一带电粒子从左侧极板附近开始运动，其速度随时间变化关系如图乙图所示。带电粒子经过4T时间恰好到达右侧极板，（带电粒子的质量m、电量q、速度最大值vm、时间T为已知量）则下列说法正确的是（　　）
A．带电粒子在两板间做往复运动，周期为T
B．两板间距离d＝2vmT
C．两板间所加交变电场的周期为T，所加电压大小
D．若其他条件不变，该带电粒子从开始进入电场，该粒子不能到达右侧板
【解答】解：A．速度—时间图像与坐标轴围成的面积表示位移，由图像可知位移不断增加，带电粒子在两板间做单向直线运动，故A错误；
B．由图像可知两板间距离为，故B正确；
C．速度—时间图像斜率表示加速度，由图像可知两板间所加交变电场的周期为，故C错误；
D．将图像向右平移，由图像可知位移不断增加，所以带电粒子从开始进入电场，该粒子能到达右侧板，故D错误。
故选：B。
（2022秋 广州期末）如图甲，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点。将一带负电荷的粒子从a点处由静止释放，从a运动到b过程中的v﹣t图线如图乙所示。设a、b两点的电势分别为φa、φb，场强大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b两点的电势能分别为EPa、Epb，不计重力，则有（　　）
A．EPa＞Epb B．Ea＝Eb C．Ea＜Eb D．φa＞φb
【解答】解：A、负电荷的速度增加，动能增加，由能量守恒知其电势能减小，则有EPa＞Epb，故A正确；
BC、因为速度图线的斜率不断变小，故负电荷的加速度变小，电场力变小，所以电场强度变小，即Ea＞Eb，故B、C错误；
D、负电荷从a运动到b，由图像得，负电荷做加速运动，故电场力向右，负电荷受到的电场力与场强方向相反，故场强向左，而沿场强方向，电势变小，故b点电势较大，即φa＜φb，故D错误；
故选：A。
（多选）（2023 兴庆区校级四模）一带负电粒子仅在电场力的作用下从A点沿直线运动到B点，速度由v1变为v2，其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．A、B两点的电势关系为φA＞φB
B．A点附近的等势面要比B点附近的等势面稀疏
C．A、B两点的电场强度大小关系为EA＞EB
D．粒子从A点到B点的过程中，可能两次经过同一个等势面
【解答】解：A．根据速度由v1变为v2，速度减小，电场力对负电荷做负功，电势能增加；根据EP＝qφ可知，负电荷在电势高的地方电势能小，则φA＞φB，故A正确；
BC．电场线密集的位置等势面密集，场强更大，则带电粒子受到的电场力更大，加速度大，在v﹣t图像中，斜率更大。A处斜率大于B处斜率，则电场强度的关系EA＞EB，A点附近的等势面要比B点附近的等势面密集，故B错误，C正确；
D．粒子从A点到B点的过程中，速度一直减小，则电势能一直增大，故不可能两次经过同一个等势面，故D错误。
故选：AC。
类型二　φ－x图象
1.在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
2.在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
3.在φ－x图象中可以判断电场类型，如下图所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场。
4.在φ－x图象中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。
（2023 道里区校级模拟）空间存在方向沿x轴的电场，x轴上各点电势φ的变化规律如图所示，其中B点电势为零，C点电势最低。下列说法正确的是（　　）
A．AC间电场方向沿x轴正方向
B．B点电场强度小于C点电场强度
C．将一正的试探电荷沿x轴从B点移动到D点，电场力一直做正功
D．负的试探电荷在A点的电势能大于在D点的电势能
【解答】解：A、根据电场线的特点，沿着电场线电势降低，结合图像可知A到C电势一直降低，说明AC间电场方向沿x轴正方向，故A正确；
B、根据电场强度与电势差的关系可知，φ﹣x图像的斜率表示电场强度，B点斜率大，电场强度大于C点电场强度，故B错误；
C、根据电场线的特点，沿着电场线电势降低，结合图像可知B到C电势一直降低，电场线由B指向C，从C到D电势升高，说明CD间电场线由D指向C，正电荷受力方向先是从B指向C，再从D指向C，所以正的试探电荷沿x轴从B点移动到D点电场力先做正功，后做负功，故C错误；
D、根据图像可知，A点电势高，根据电势能与电势的关系Ep＝φq可知，负电荷在电势高的地方电势能小，故D错误。
故选：A。
（2023 厦门模拟）两点电荷M、N分别固定在x＝﹣20cm和坐标原点处，所形成电场的电势在x轴上的分布如图所示，图线与x轴交于x0处，x＝20cm处电势最低，取无穷远处电势为0，一正电荷q自x0处由静止释放，则（　　）
A．x0处的电场强度为0
B．电荷M、N所带电量大小之比为4：1
C．正电荷q运动的过程中，加速度先增大后减小
D．正电荷q运动的过程中，电势能先增大后减小
【解答】解：A．φ﹣x图像，斜率表示电场强度，在x0处的图像斜率不为零，则电场强度也不为零，故A错误；
B．x＝20cm处图像斜率为零，则满足
所以电荷M、N所带电量大小之比为
故B正确；
C．一正电荷q自x0处由静止释放，根据电势变化情况可知，自x0处右侧场强方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向，场强先减小为零后反向增大再减小，根据牛顿第二定律，有
Eq＝ma
可知正电荷q运动的过程中，加速度先减小为零后反向增大再减小，故C错误；
D．一正电荷q自x0处由静止释放，正电荷会向电势低的方向运动，则电荷会沿着x轴正方向运动，因此正电荷的电势能先减小后增大，故D错误。
故选：B。
（2023 龙岩三模）如图所示，带电绝缘体球的球心为O，用r表示球内、外各点到球心的距离，其中A、B、C位置离球心的距离分别为r1、r2、r3，用φ表示球内、外各点电势，其φ﹣r图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．该绝缘体球带负电
B．A点的电场强度小于B点的电场强度
C．B点的电场强度大小为
D．负点电荷在B点的电势能比在C点的电势能小
【解答】解：A、根据φ﹣r图像可知，从O点向外电势逐渐降低，而顺着电场线方向电势是降低的，说明电场线是从O点向外的，而电场线也是从正电荷出发，终止于负电荷或者无限远的，可以判断该绝缘体球带正电，故A错误；
B、根据电场强度与电势差的关系可知，φ﹣r图像在某点的斜率表示那一点电场强度，本题A点的斜率大于B点的斜率，所以A点的电场强度大于B点的电场强度，故B错误；
C、φ﹣r图像在某点的斜率表示那一点电场强度，而不能代表B点斜率，故C错误；
D、根据φ﹣r图像可知，B点的电势比在C点的电势高，而根据电势能与电势的关系公式Ep＝φq可知，若是负电荷，点电势高的地方电势能小，故D正确。
故选：D。
类型三　E－x图象
1.E－x图象反映了电场强度随位移变化的规律，E＞0表示电场强度沿x轴正方向；E＜0表示电场强度沿x轴负方向。
2.在给定了电场的E－x图象后，可以由图线确定电场强度、电势的变化情况，
E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差（如下图所示），两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
3.在这类题目中，还可以由E－x图象画出对应的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。
（2023 青岛一模）在x轴上关于O点对称的M、N处各固定一等量点电荷，取x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上各点电场强度E随坐标x的变化曲线如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．两电荷连线中点O处的电势为零
B．x轴上从M点到N点电势先降低后升高
C．将一试探电荷从O点沿两电荷连线中垂线移动的过程中电场力不做功
D．将一正试探电荷从O点沿两电荷连线中垂线移动的过程中电势能先增大后减小
【解答】解：A、由图可知MO之间的电场强度为正，而ON之间的电场强度为负，可知MN处放置的为带正电的点电荷，O点电势不为0，x轴上从M点到N点的电势先降低后升高；故A错误，B正确；
C、将一试探电荷从O点沿两电荷连线中垂线移动的过程中电场力做功；故C错误；
D、将一正试探电荷从O点沿两电荷连线中垂线移动的过程中，电场做正功，电势能减小，故D错误；
故选：B。
（多选）（2022秋 中山市期末）某静电场中x轴上电场强度E随x变化的关系如图所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。一带电荷量大小为q的粒子从坐标原点O沿x轴正方向运动，在x＝3x0处粒子速度变为零。假设粒子仅受电场力作用，E0和x0已知，则（　　）
A．粒子一定带负电
B．粒子的初动能不可能为零
C．粒子沿x轴正方向运动过程中电势能先增大后减小
D．粒子沿x轴正方向运动过程中在x0位置处速度最大
【解答】解：A．由于x轴正方向为电场强度的正方向，则在x＝x0位置左侧的电场方向向右，该位置右侧电场方向向左，粒子在x＝3x0处粒子速度变为零，表明粒子在x＝x0位置右侧所受电场力方向向左，即粒子所受电场力方向与电场方向相同，则粒子带正电，故A错误；
B．令O点到x＝x0位置的电势差为U12，x＝x0位置到x＝3x0位置的电势差为U23，粒子的初动能为Ek0，根据动能定理可得：
qU12+qU23＝0﹣Ek0
电场强度E随x变化的关系图中，图像与x轴所围面积表示电势差，由此可知：
，
解得：
所以粒子的初动能不可能为零，故B正确；
C．根据上述分析可知粒子沿x轴正方向运动过程中，电场力先做正功，后做负功，根据功能关系可知电势能先减小后增大，故C错误；
D．根据上述分析可知粒子沿x轴正方向运动过程中在x0位置处加速度为零，速度最大，故D正确。
故选：BD。
（多选）（2023 永安市校级开学）在某电场中一条直的电场线上建立x轴，x轴上0﹣x2间的电场强度的分布如图所示，沿x轴正向为电场强度的正方向，在在坐标原点处放一个质量为m，电荷量为q的正点电荷，该电荷仅在在电场力的作用下运动，则在粒子从x＝0运动到x＝x2的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．粒子先做加速运动后做减速运动
B．粒子运动的加速度先增大后减小
C．粒子运动到x＝x1处时，电势能减少了
D．粒子运动到x＝x1处的速度与运动到x＝x2处的速度之比为x1：x2
【解答】解：A、0﹣x2间，电场强度均为正值，则点电荷受到的电场力一直沿x轴正方向，因此点电荷一直做加速运动，故A错误；
B、根据牛顿第二定律得：qE＝ma
解得：a
由图像得，场强E先增大后减小，则点电荷的加速度先增大后减小，故B正确；
C、点电荷从x＝0运动到x＝x1处过程中，电场力做功为WqE0x1
因此电势能减少了qE0x故C正确；
D、从x＝0运动到x＝x1的过程，由动能定理得：qE0x1mv12
从x＝0运动到x＝x2的过程，由动能定理得：qE0x2mv22
联立解得：v1：v2：
故D错误。
故选：BC。
类型四　Ep－x图象
1.反映了电势能随位移变化的规律。
2.图线的切线斜率大小等于电场力大小。
3.进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况。
（2023 乐清市校级模拟）如图1所示，同号点电荷A、B绝缘置于水平气垫导轨上，A固定于导轨左端，B可在导轨上无摩擦滑动。将B在A附近某一位置由静止释放，由于能量守恒，可通过测量B在不同位置处的速度，得到B的势能随位置随x的变化规律（坐标原点位于A处），如图3曲线Ⅰ。若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度，如图2所示，则B的总势能曲线如图3中Ⅱ所示，图3中直线Ⅲ为曲线Ⅱ的渐近线，其斜率为α。B在x0处由静止释放，则（　　）
A．B在运动过程中动能最小位置为x1处
B．B在运动过程中势能最大位置为x2处
C．运动过程中B的最大位移大小为x0﹣x2
D．点电荷A、B电荷量之积时（k为静电力常量）
【解答】解：AB、位置为x1处对应曲线Ⅱ的最低点，此位置B的势能最小，根据能量守恒定律可知，B在运动过程中动能与势能之和保持不变，则B在x1处动能最大，故AB错误；
C、由图像可知，B在x2处的总能量小于在x0处的总能量，所以B在x2处的速度不为零，运动过程中B的最大位移大小大于x0﹣x2，故C错误；
D、直线Ⅲ为曲线Ⅱ的渐近线，表示重力势能随位置变化关系为
Ep＝mgxsinθ＝αx
则α＝mgsinθ
当x＝x1时，B的动能最大，速度最大，有
则点电荷A、B电荷量之积为：，故D正确。
故选：D。
（2023春 海安市校级月考）如图1所示，平面直角坐标系xOy中，三个点电荷a、b、c分别固定于（0，r）、（0，﹣r）、（0，0）处，a、b、c电荷量分别为+Q、+Q、﹣Q。现有一电荷量为﹣q的点电荷d，在+x轴上从靠近坐标原点处由静止释放，不考虑重力及电荷d对原电场的影响，取无穷远处电势能为零，则在点电荷d的整个运动过程中，其瞬时速度v随时间t、电势能Ep随位置x变化的关系图像（图2）可能为（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【解答】解：点电荷d的受力分析如图
由库仑定律
Fa＝Fb
Fc
由牛顿第二定律
Fc﹣2Facosθ＝ma
整理可得
a（1﹣2cos3θ）
易得随着电荷d向右移动，θ减小，cosθ逐渐增大，电荷d先做加速度减小的加速运动，当cos时，加速度为零，此时它的速度达到最大值，然后电荷d做减速运动直至无穷远处，故v﹣t图像中②正确；
由电荷d的受力分析可知，设当x＝x1时，加速度为零，合力为零，此位置d的动能最大，电势能最小；当x＜x1时，合力方向向右，故当电荷d从靠近原点处向右移动时，电场力做正功，其电势能减小；当x＞x1时，合力方向向左，故当电荷d继续向右移动时，电场力做负功，其电势能增加直至无穷远处电势能为零，故Ep﹣x图像中④正确。故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023 射洪市校级模拟）一带负电粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，则粒子在从x1向x3运动的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．在x1处粒子速度最大 B．在x2处粒子加速度最大
C．在x3处电势最高 D．在x2处电势为零
【解答】解：A、带负电粒子只在电场力作用下运动，根据能量守恒可知动能与势能之和是恒定的。所以粒子在从x1向x3运动的过程中，在x3处的电势能最小，所以动能最大，即速度最大，故A错误。
B、根据电场力做功与电势能的关系：
W＝﹣ΔEP＝Ep0﹣Ep
解得：
Ep＝﹣W+Ep0＝﹣Fx+Ep0
即图像中的斜率表示电场力大小，在x2处图像的斜率为零，所以粒子加速度为零，故B错误。
C、根据Ep＝qφ可知，负电荷在电势低的地方电势能大，在电势高的地方电势能小，由图像知，在x3处的电势能最小，所以在x3处电势最高，故C正确。
D、根据公式φ可知，在x2处电势不为零，故D错误。
故选：C。
（2023 上海）空间中有一电场，电势分布如图所示，现放入一个负点电荷，随后向右移动此电荷，下列电荷电势能随位置变化的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由φ﹣s图像可知，电荷向右移动，电势逐渐降低，根据电势能公式Ep＝qφ，知负电荷的电势能逐渐增大，且电势能为负值，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2022 天津）如图所示，一正点电荷固定在圆心，M、N是圆上的两点，下列说法正确的是（　　）
A．M点和N点电势相同
B．M点和N点电场强度相同
C．负电荷由M点到N点，电势能始终增大
D．负电荷由M点到N点，电场力始终做正功
【解答】解：A、M点和N点位于同一等势线上，电势相同，故A正确；
B、M点和N点电场强度大小相等，方向不同，则电场强度不相同，故B错误；
CD、以点电荷为圆心的圆是一条等势线，则负电荷由M点到N点，电场力不做功，电势能不变，故CD错误。
故选：A。
（多选）（2022 海南）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，设A点的电场强度为EA，电势为φA，B点的电场强度为EB，电势为φB，则有（　　）
A．EA＞EB B．EA＜EB C．φA＞φB D．φA＜φB
【解答】解：AB、电场线的疏密程度表示电场强度的大小，B点电场线更密集，场强更大，故A错误，B正确；
CD、电场线从电势高的等势面指向电势低的等势面，由图可知，B点所在的等势面电势更高，则φA＜φB，故C错误，D正确；
故选：BD。
（2021 山东）如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为+q的点电荷；在区间，x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为﹣Q的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是（　　）
A．，释放后P将向右运动
B．，释放后P将向左运动
C．，释放后P将向右运动
D．，释放后P将向左运动
【解答】解：因为每个点电荷所受库仑力的合力均为零，对最上边的点电荷，其他三个电荷给它的受力分别是F1＝F3，F2，因为F1、F3大小相等，所以F1、F3的合力是，而Q对最上边点电荷的库仑力是k，则根据受力平衡有：k。解得：Q。由图乙可知，在区间，电场方向向左，所以电荷量是﹣Q的点电荷P将受向右的电场力，P将向右运动。故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2021 浙江）某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“＜”形导体右侧的电场线和等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是（　　）
A．实线表示电场线
B．离d点最近的导体表面电荷密度最大
C．“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零
【解答】解：A、电场线起于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），由图可知，图中的实线不是起于导体，也不是终止于导体，可知实线是等势线，故A错误；
B、等差等势线越密的地方，电场强度强度越强，d点场强较弱，可知离d点最近的导体表面电荷密度最小，故B错误；
C、电场强度方向与等势线垂直，由图可知，“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向不一定相同，故C错误；
D、a、b两点在同一条等势线上，ac两点的电势差和bc两点的电势差相等，电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零，故D正确。
故选：D。
（多选）（2021 天津）两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是（　　）
A．两点电荷可能是异种点电荷
B．A点的电场强度比B点的大
C．A点的电势高于B点的电势
D．电子运动到P点时动能最小
【解答】解：A、根据等势面的分布可知，两点电荷带同种电荷，故A错误；
B、等差等势面的疏密程度表示场强的强弱，A点的等差等势面疏，B点的等差等势面密，故A点的电场强度小，故B错误；
C、分析电子运动的轨迹可知，电场力指向轨迹的内侧，则电场力受到排斥力作用，故点电荷为负电荷，离点电荷越远，电势越高，故A点的电势高，故C正确；
D、电子从M点运动到P点的过程中，电场力做负功，动能减小，电子从P点运动到N点的过程中，电场力做正功，动能增大，故P点动能最小，故D正确。
故选：CD。
（2023 浙江）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为1.0×10﹣8C、质量为3.0×10﹣4kg的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（　　）
A．MC距离为5cm
B．电势能增加了J
C．电场强度大小为104N/C
D．减小R的阻值，MC的距离将变大
【解答】解：A、剪断细线，小球沿直线运动到M点，如图所示：
根据几何关系可得：MCcm＝10cm，故A错误；
B、根据几何关系可得电场力F和细线拉力T夹角为60°，在三个力所在的三角形中，根据正弦定理可得：
可得电场力大小为：Fmg3.0×10﹣4×10N10﹣3N
逆电场线方向的位移：x＝d﹣Lsin30°，其中：d＝10cm＝0.1m，L＝5cm＝0.05m
解得：x＝0.075m
克服电场力做的功为：W电＝Fx10﹣3×0.075JJ，所以电势能增加了J，故B正确；
C、电场强度的大小为：E，解得：E105N/C，故C错误；
D、电阻两端电压为零，电容器两板间的电压等于电源电动势，减小R的阻值，平行板间电压不变、电场强度不变，受力情况不变，运动情况不变，则MC的距离不变，故D错误。
故选：B。
（2023 湖北）在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是（　　）
A．若φM＞φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B．若EM＜EN，则M点到电荷Q的距离比N点的近
C．若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则φM＜φN
D．若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM＞EN
【解答】解：正点电荷产生的电场中，电场线的方向背离正电荷指向无穷远，如图所示：
A、若φM＞φN，根据沿电场线方向电势降低可知，M点到点电荷Q的距离比N点的近，故A错误；
B、若EM＜EN，根据E，可知M点到点电荷Q的距离比N点的远，故B错误；
C、若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则带负电的试探电荷的电势能减小，所处位置的电势升高，故有：φM＜φN，故C正确；
D、若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，说明带正电的试探电荷靠近Q运动，则N点距离点电荷Q近，有：EM＜EN，故D错误。
故选：C。
（2023 全国）如图，两块大导体板水平相对放置，相距为d，电势分别为U0和﹣U0（U0＞0 ），长为L的绝缘细绳上端固定于上板，下端与质量为m的带正电小球连接，小球带电量为Q。重力加速度大小为g。小球在平衡位置附近摆动的周期是（　　）
A．2π B．2π
C．2π D．2π
【解答】解：若上下导体板电势均为零时，由单摆周期公式可得，小球在平衡位置附近摆动的周期为
T0＝2π
由于上下导体板间有电势差，带电小球处于重力场和电场的双重作用中，故上述周期公式中的重力加速度g实际应为重力场和电场作用下的等效重力加速度g′
上下导体板间有电势差为U＝U0﹣（﹣U0）＝2U0
上下导体板间的电场强度为E
按照力的独立性原则，小球在重力场和电场共同作用下，产生的等效重力加速度g′应满足
g′＝g
联立各式解得
g′
代入单摆周期公式，可得小球在平衡位置附近摆动的周期为
T＝2π
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023 上海）如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（　　）
A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0
C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0
【解答】解：a为匀强电场，电场强度处处相等，方向相同，设场强大小为E，两个正电荷所受电场力之和为2Eq，方向竖直向上，负电荷所受电场力大小为2Eq，方向竖直向下，所以整个系统所受合力为零；b为非匀强电场，电场强度不相等，方向不同，所以两个正电荷所受电场力与负电荷所受电场力的合力不为零，整个系统的合力不为零，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（多选）（2023 山东）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（　　）
A．F′点与C′点的电场强度大小相等
B．B′点与E′点的电场强度方向相同
C．A′点与F′点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D．将试探电荷+q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
【解答】解：D．将六棱柱的上表面的一半拿出
如图所示，由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，D在F点产生的场强大小为A点在F点产生的场强大小的，合场强方向斜相右上角且与水平面的夹角大于三十度，所以在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确；
C．设A′点电势为φ，由等量异种电荷的电势分布可知
φA′＝φ＞0
φD′＝﹣φ＜0
φO′＝0
φF′＞0
因此
φA′﹣φF′＝φ﹣φF′＜φO′﹣φD′＝φ
即A′点与F′点的电势差小于O'点与D'点的电势差，故C正确；
AB．由等量异种电荷的对称性可知F′和C′电场强度大小相等，B′和E′电场强度方向不同（B′有向下的分量，E′有向上的分量），故A正确，B错误；
故选：ACD。
（多选）（2023 辽宁）图（a） 为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图（b）为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则（　　）
A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
【解答】解：AC、根据等量同种电荷周围电场线的分布情况可知，金属四极杆之间，在z轴上，电场线方向背离O点，在y轴上，电场线的方向指向O点，所以M点电场强度方向沿z轴正方向；根据沿电场线方向电势降低可知：φP＞φO＞φM，故A错误、C正确；
B、M点等势线比P点的等势线密，所以P点电场强度大小比M点的小，故B错误；
D、x轴到金属四极杆之间的距离相等，根据电势的叠加可知，x轴为等势面，根据EP＝qφ可知，沿x轴运动的带电粒子，电势能不变，故D正确。
故选：CD。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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