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专题7.1　电场力的性质
1.物理观念：静电现象、库仑力、电场、电场强度、电场线。
（1）通过实验，了解静电现象。能用原子结构模型分析静电现象。
（2）知道电场是一种物质。了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。会用电场线描述电场。
2.科学思维：电荷守恒定律、点电荷、库仑定律、电场的叠加原理。
（1）.知道点电荷模型。知道两个点电荷间相互作用的规律。
（2）了解静电现象，能用电荷守恒的观念分析静电现象
（3）掌握电场强度的概念和公式，会用平行四边形法则对电场进行叠加
3.科学探究：库仑力与电荷量及电荷间距离的关系
学会利用控制变量法探究库仑定律，并从中体会其中的科学思想和方法。
4.科学态度与责任：静电现象应用与安全。
了解生产生活中关于静电的利用与防护。
【知识点一】库仑定律的理解及其相关平衡问题
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
（1）同种电荷：F＜k；（2）异种电荷：F＞k.
【方法总结】完全相同的带电体接触后电荷的分配原则
1.若两带电体带同种电荷q1、q2，则接触后电荷量平均分配，即q1′＝q2′＝.
2.若两带电体带异种电荷q1、q2，则接触后电荷量先中和后平分，即q1′＝q2′＝，电性与带电荷量大的带电体相同．
【方法技巧】三个孤立共线点电荷平衡问题
（1）条件：每个点电荷所受合力为零．
（2）平衡规律
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
（2023 海南模拟）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（　　）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为
D．小球1与2的质量比为1：2
（2023 邯郸二模）如图所示，三条不可伸长的轻绳OA、OB、OC结于O点，质量为m，电荷量为+q1的小球a被轻绳OC系着，OC的长度为l，距O点正下方2l处固定一个电荷量为+q2的小球b。初始时，小球a在AO延长线上静止，由于a球不断漏电，小球a的位置不断下降，再次平衡时位于D点（图中未标出），OD与竖直方向夹角为60°。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球a下降过程中OC绳上张力一直增大
B．下降过程中绳OA上的最大张力为
C．下降过程中绳OB上的最大张力为
D．再次平衡时，球a带的电荷量为
（2023 台州二模）如图所示，两个质量分别为mA和mB的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为xA和xB，到滑轮的距离分别为lA和lB，且lA：lB＝1：2，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，两球电荷量分别为qA和qB。则（　　）
A．qA＞qB B．θ1＞θ2 C．mA：mB＝1：2 D．xA：xB＝1：2
【知识点二】库仑力作用下的平衡和变速运动
【必备知识】1.解题思路
（1）平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
（2）变速运动：若物体在包含库仑力作用下，做变速运动时，是非平衡状态，要用牛顿第二定律分析，当涉及多个带电体时，常用整体与隔离法。
2.特别提醒
注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向。
（2023 台州模拟）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态。已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为﹣6q，h，重力加速度为g，静电力常量为k。则（　　）
A．小球a的线速度为
B．小球b的角速度为
C．小球c的向心加速度大小为
D．外力F竖直向上，大小为
（2022 南昌县校级三模）如图所示，在粗糙的水平地面上，有一质量为M的半圆形绝缘凹槽，槽与地面接触部分粗糙，圆弧表面光滑，圆弧右上端有一带正电的小球A，底部固定一个带正电的小球B，两球质量都为m，一开始整个装置保持静止，后因小球A缓慢漏电而使其沿圆弧逐渐靠近小球B，在靠近的过程中，忽略小球A质量的变化，下列说法正确的是（　　）
A．凹槽受到地面的摩擦力大小增大
B．A、B两球间的库仑力大小变大
C．凹槽受到地面的支持力大小不变
D．A球受到的支持力大小变大
（多选）（2022 河北模拟）如图所示，绝缘光滑细杆与水平方向夹角为53°角，空间某点固定点电荷Q，点电荷Q到细杆最近点为B点，且BQ＝6m，将一带电圆环q套在细杆上，从与Q等高A处无初速度释放，C点是细杆上与A点关于B点的对称点，D点在Q点的正下方且是细杆的末端。已知点电荷与圆环带有同种性质的电荷，圆环刚释放时加速度大小为6.4m/s2，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　）
A．圆环到达C点的加速度大小为9.6m/s2
B．圆环到达C点的速度大小为10m/s
C．圆环刚离开细杆时加速度大小为11.5m/s2
D．圆环离开细杆后做匀变速运动
【知识点三】电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
（1）矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点场强的方向．
（2）唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷（场源电荷）及空间位置．
（3）叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和．
2．三个计算公式
3．电场强度的叠加（如图所示）
4．“等效法”“对称法”和“填补法”
（1）等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
（2）对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
（3）填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
（4）选用技巧
（1）点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法即可．
（2）均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
（3）计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
（2023 潍坊三模）如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ（σ＞0），其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ[1]，方向沿x轴。现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板后（如图乙所示），在其轴线上任意一点Q（坐标为x）处放置一个点电荷q0，则q0所受电场力的大小为（　　）
A．2πkσ0q0 B．2πkσ0q0
C．2πkσ0q0 D．2πkσ0q0
（2023 泰州模拟）如图所示，一固定的不带电金属球壳接地，半径为R，球心为A，将一带电量为+q的点电荷固定在离球心为2R的B点，D、E是AB连线上的两点，BD＝BE，BC与球壳相切于C点，球壳静电平衡时，C点的场强EC，下列说法正确的是（　　）
A．C点电势低于A点
B．D点电势低于E点
C．A点的场强
D．球上的感应电荷在C处的场强大小
（2023 永丰县校级一模）甲和乙图分别是半径为R、带电均匀的六分之四圆环和半圆环（两环的材料和横截面积相同），带有同种电荷，且两环上单位长度所带电荷量相等，它们的圆心分别是O1和O2。已知O1点的电场强度大小为E0，则O2点的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
【知识点四】电场线的理解和应用
1．电场线的应用
（1）在同一电场里，电场线越密的地方场强越大。
（2）电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向。
（3）沿电场线方向电势逐渐降低。
（4）电场线和等势面在相交处互相垂直。
2．两种等量点电荷的电场线
比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点为零，向外先变大后变小
连线上的电场强度 沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度最小 沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度为零
电场强度方向比较 A、A′、B、B′四点场强方向相同，垂直于BB′连线 A点场强方向向右，A′点场强方向向左，B点场强方向向上，B′点场强方向向下
（2023 重庆模拟）如图所示，实线是一簇由负点电荷产生的电场线。一带正电的粒子仅在电场力作用下通过电场，图中虚线为粒子的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。下列判断错误的是（　　）
A．a点场强大于b点场强
B．带电粒子从a到b电势能减小
C．带电粒子从a到b动能减小
D．a点电势小于b点电势
（2023 弋阳县校级一模）等量异种点电荷的电场线如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．A处和C处的电场强度可能相同
B．A处的电势比B处高
C．电子在C处由静止释放，可沿电场线运动到D处
D．电子在B处的电势能比在D处大
（2023 重庆模拟）如图所示，实线表示某静电场中的电场线，过M点的电场线是水平直线，虚线表示该电场中的一条竖直等势线，M、N、P是电场线上的点，Q是等势线上的点。一带正电的点电荷在M点由静止释放，仅在电场力作用下水平向右运动，则（　　）
A．点电荷一定向右做匀加速运动
B．点电荷在N点释放时的加速度比在P点释放时的加速度小
C．将一负点电荷从P点移到N点，电场力做正功
D．将一负点电荷从Q点沿等势线竖直向上射出，点电荷将沿等势线做直线运动
（2023 上海）三个大小相同的带电导体球x、y、z，带电量分别为+4μC、0μC和﹣10μC，让x与y先接触，然后让y与z接触，最终y所带的电荷量为（　　）
A．﹣4μC B．﹣3μC C．﹣2μC D．﹣1μC
（2022 上海）某原子核发生核反应时放出一个正电子，则原子核内多了一个（　　）
A．质子 B．中子 C．电子 D．核子
（2023 海南）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2cm，OB＝4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP＝n：1，试求Q1：Q2是多少（　　）
A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
（2023 全国）如图，两根相同的橡皮筋各有一端系于固定的挡板，另一端分别与带电量为q、﹣q的小球连接，小球静止在光滑水平绝缘板上，两橡皮筋位于同一水平直线上，橡皮筋的伸长量均为Δl。若缓慢地增加两球的电荷量，当电荷量增加至原来2倍时（两小球不会相碰），恰好平衡。则每条橡皮筋的伸长量（　　）
A．恰为2Δl B．大于2Δl但小于4Δl
C．恰为4Δl D．大于4Δl
（2020 浙江）如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝﹣q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　）
A．
B．弹簧伸长量为
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为
（2023 浙江）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（　　）
A． B．
C． D．
（2023 湖南）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q＞0，则三个点电荷的电荷量可能为（　　）
A．Q1＝q，Q2q，Q3＝q
B．Q1＝﹣q，Q2q，Q3＝﹣4q
C．Q1＝﹣q，Q2q，Q3＝﹣q
D．Q1＝q，Q2q，Q3＝4q
（2022 河北）如图，真空中电荷量为2q和﹣q（q＞0）的两个点电荷分别位于M点与N点，形成一个以MN延长线上O点为球心、电势为零的等势面（取无穷远处电势为零）。P为MN连线上的一点。S为等势面与直线MN的交点，T为等势面上一点。下列说法正确的是（　　）
A．P点电势低于S点电势
B．T点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q0从T点移到P点，静电力做正功
（2022 湖南）如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上。移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是（　　）
A．电场强度方向垂直指向a，电势减小
B．电场强度方向垂直指向c，电势减小
C．电场强度方向垂直指向a，电势增大
D．电场强度方向垂直指向c，电势增大
（2022 山东）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　）
A．正电荷， B．正电荷，
C．负电荷， D．负电荷，
（2022 浙江）某种气体一电子放大器的局部结构是由两块夹有绝缘介质的平行金属薄膜构成，其上存在等间距小孔，其中相邻两孔截面上的电场线和等势线的分布如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．a点所在的线是等势线
B．b点的电场强度比c点大
C．b、c两点间的电势差的值比a、c两点间的大
D．将电荷沿图中的线从d→e→f→g移动时电场力做功为零
（2022 北京）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。

（2023 乙卷）如图，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
（1）B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
（2）C点处点电荷的电荷量。
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专题7.1　电场力的性质
1.物理观念：静电现象、库仑力、电场、电场强度、电场线。
（1）通过实验，了解静电现象。能用原子结构模型分析静电现象。
（2）知道电场是一种物质。了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。会用电场线描述电场。
2.科学思维：电荷守恒定律、点电荷、库仑定律、电场的叠加原理。
（1）.知道点电荷模型。知道两个点电荷间相互作用的规律。
（2）了解静电现象，能用电荷守恒的观念分析静电现象
（3）掌握电场强度的概念和公式，会用平行四边形法则对电场进行叠加
3.科学探究：库仑力与电荷量及电荷间距离的关系
学会利用控制变量法探究库仑定律，并从中体会其中的科学思想和方法。
4.科学态度与责任：静电现象应用与安全。
了解生产生活中关于静电的利用与防护。
【知识点一】库仑定律的理解及其相关平衡问题
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
（1）同种电荷：F＜k；（2）异种电荷：F＞k.
【方法总结】完全相同的带电体接触后电荷的分配原则
1.若两带电体带同种电荷q1、q2，则接触后电荷量平均分配，即q1′＝q2′＝.
2.若两带电体带异种电荷q1、q2，则接触后电荷量先中和后平分，即q1′＝q2′＝，电性与带电荷量大的带电体相同．
【方法技巧】三个孤立共线点电荷平衡问题
（1）条件：每个点电荷所受合力为零．
（2）平衡规律
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
（2023 海南模拟）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（　　）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为
D．小球1与2的质量比为1：2
【解答】解：C、对小球2，由平衡条件，在水平方向上可得：Fb＝F库 cos30°，在竖直方向上可得：G＝F库 sin30°
解得细线b拉力大小为，故C错误；
BD、对小球1，由平衡条件，同理可得：
Fa sin30°＝F库 cos30°
m1g+F库sin30°＝Fa cos30°
解得细线a拉力大小为，
同时可得：m1g＝2G
又有m2g＝G
则小球1与2的质量比为m1：m2＝2：1，故B正确，D错误；
A、由上述分析只能得到库仑力的大小，由，可知不能确定小球1与小球2的带电量大小关系，故A错误。
故选：B。
（2023 邯郸二模）如图所示，三条不可伸长的轻绳OA、OB、OC结于O点，质量为m，电荷量为+q1的小球a被轻绳OC系着，OC的长度为l，距O点正下方2l处固定一个电荷量为+q2的小球b。初始时，小球a在AO延长线上静止，由于a球不断漏电，小球a的位置不断下降，再次平衡时位于D点（图中未标出），OD与竖直方向夹角为60°。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球a下降过程中OC绳上张力一直增大
B．下降过程中绳OA上的最大张力为
C．下降过程中绳OB上的最大张力为
D．再次平衡时，球a带的电荷量为
【解答】解：A、对球a受力分析如图所示，此三力组成的封闭三角形与△Oa′b相似。
根据几何关系可得：
，，因此OC绳上张力大小不变，故A错误；
D、初态：，末态：
根据库仑定律和几何关系可得：
，故D错误；
BC、对结点进行分析，绳OA、OB中的拉力F1和F2的合力大小恒为，小球a运动过程中F1和F2的合力从水平方向顺时针转到与水平方向成30°角，根据几何关系可知F1逐渐增大，F2也逐渐增大，故OA绳上最大张力为：
OB绳上的最大张力为：
，故C错误，B正确。
故选：B。
（2023 台州二模）如图所示，两个质量分别为mA和mB的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为xA和xB，到滑轮的距离分别为lA和lB，且lA：lB＝1：2，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，两球电荷量分别为qA和qB。则（　　）
A．qA＞qB B．θ1＞θ2 C．mA：mB＝1：2 D．xA：xB＝1：2
【解答】解：A．根据题意可知两球的电场力是相互作用力，所以无法比较两球电荷量的大小，故A错误；
B．绳子上的力处处相等，对绳子跨过定滑轮的结点受力分析可知：
T'cosθ1＝T'cosθ2
解得：θ1＝θ2，故B错误；
CD．对两球受力可知，如下图所示，根据相似三角形可得：
可得mA：mB＝2：1
xA：xB＝1：2
故C错误，D正确。
故选：D。
【知识点二】库仑力作用下的平衡和变速运动
【必备知识】1.解题思路
（1）平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
（2）变速运动：若物体在包含库仑力作用下，做变速运动时，是非平衡状态，要用牛顿第二定律分析，当涉及多个带电体时，常用整体与隔离法。
2.特别提醒
注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向。
（2023 台州模拟）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态。已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为﹣6q，h，重力加速度为g，静电力常量为k。则（　　）
A．小球a的线速度为
B．小球b的角速度为
C．小球c的向心加速度大小为
D．外力F竖直向上，大小为
【解答】解：ABC、a、b、c三小球电荷量相等，完全相同，受力相同，绕O点做半径为R的匀速圆周运动，线速度、角速度、加速度大小均相等，
设 db连线与水平方向的夹角为α，则cosα，则sinα，
对b球，根据牛顿第二定律和向心力得：kcosα﹣2k cos30°＝mmω2R＝ma
解得：v，，a，故AB错误，C正确；
D、小球d受到a、b、c三球的库仑引力、重力、竖直向上的外力F作用，由平衡条件得：F＝3ksinα+mg＝mg，故D错误。
故选：C。
（2022 南昌县校级三模）如图所示，在粗糙的水平地面上，有一质量为M的半圆形绝缘凹槽，槽与地面接触部分粗糙，圆弧表面光滑，圆弧右上端有一带正电的小球A，底部固定一个带正电的小球B，两球质量都为m，一开始整个装置保持静止，后因小球A缓慢漏电而使其沿圆弧逐渐靠近小球B，在靠近的过程中，忽略小球A质量的变化，下列说法正确的是（　　）
A．凹槽受到地面的摩擦力大小增大
B．A、B两球间的库仑力大小变大
C．凹槽受到地面的支持力大小不变
D．A球受到的支持力大小变大
【解答】解：AD．以A、B、凹槽整体受力分析可知，在水平方向上整体不受外力，也不受摩擦力，竖直方向上，小球A缓慢下移，可认为始终处于平衡态，故地面对凹槽的支持力等于三者重力，大小不变，故AD错误；
BC．对小球A受力分析，
由受力分析图可知力的矢量三角形与几何三角形相似，设半圆形凹槽半径为R，两小球之间距离为r，则有
重力、半径都是定值，所以A球受到的支持力N大小不变，由于两小球之间距离r减小，故库仑力F减小，故B错误，C正确。
故选：C。
（多选）（2022 河北模拟）如图所示，绝缘光滑细杆与水平方向夹角为53°角，空间某点固定点电荷Q，点电荷Q到细杆最近点为B点，且BQ＝6m，将一带电圆环q套在细杆上，从与Q等高A处无初速度释放，C点是细杆上与A点关于B点的对称点，D点在Q点的正下方且是细杆的末端。已知点电荷与圆环带有同种性质的电荷，圆环刚释放时加速度大小为6.4m/s2，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　）
A．圆环到达C点的加速度大小为9.6m/s2
B．圆环到达C点的速度大小为10m/s
C．圆环刚离开细杆时加速度大小为11.5m/s2
D．圆环离开细杆后做匀变速运动
【解答】解：A、设BQ距离d＝6m
由几何关系AQ＝7.5m，AB＝BC＝4.5m，DQ＝10m
圆环在A点刚释放时加速度大小为6.4m/s2，
由牛顿第二定律有
mgsin53°cos53°＝maA；
由于C点是细杆上与A点对于B点的对称点，设圆环到达C点加速度大小为aC，有
mgsin53°cos53°＝maC，
代入数据解得aC＝9.6m/s2，故A正确；
B、AC两点电势相同，由A点到C点过程，由动能定理有
mg AC sin53°mvC2
代入数据解得vC＝12m/s，故B错误；
C、设圆环刚离开细杆时加速度为aD，则有
mgmaD
代入数据解得aD＝11.5m/s2，故C正确；.
D、圆环离开细杆后，受重力和电场力作用，电场力是变力，故做非匀变速运动，故D错误。
故选：AC。
【知识点三】电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
（1）矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点场强的方向．
（2）唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷（场源电荷）及空间位置．
（3）叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和．
2．三个计算公式
3．电场强度的叠加（如图所示）
4．“等效法”“对称法”和“填补法”
（1）等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
（2）对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
（3）填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
（4）选用技巧
（1）点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法即可．
（2）均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
（3）计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
（2023 潍坊三模）如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ（σ＞0），其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ[1]，方向沿x轴。现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板后（如图乙所示），在其轴线上任意一点Q（坐标为x）处放置一个点电荷q0，则q0所受电场力的大小为（　　）
A．2πkσ0q0 B．2πkσ0q0
C．2πkσ0q0 D．2πkσ0q0
【解答】解：在Q点处的合场强E＝E1+E2，E1＝2πkσ（无穷大的带电圆盘在此处产生的场强），E2＝2πkσ[1]方向与E1相反。合成得
E＝2πkδ0方向与E1相同，q0在此处受的电场力就是2πkδ0q，故BCD错误，故A正确。
故选：A。
（2023 泰州模拟）如图所示，一固定的不带电金属球壳接地，半径为R，球心为A，将一带电量为+q的点电荷固定在离球心为2R的B点，D、E是AB连线上的两点，BD＝BE，BC与球壳相切于C点，球壳静电平衡时，C点的场强EC，下列说法正确的是（　　）
A．C点电势低于A点
B．D点电势低于E点
C．A点的场强
D．球上的感应电荷在C处的场强大小
【解答】解：A、处于静电平衡状态的导体是等势体，所以C点和A点电势相等，故A错误；
B、DE两点到+q的距离相等，则+q在DE两点的电势相等，D点到金属球壳的距离更小，由于金属球壳发生感应起电，金属球壳带负电，则感应电荷在D点的电势更低，则D点的电势低于E点，故B正确；
C、处于静电平衡状态得导体内部场强处处为零，故C错误；
D、由几何关系得，BC间的距离rR
点电荷+q在C点的场强大小E＝k
球壳是等势体，表面为等势面，则球壳表面的合场强垂直于球壳的切面，沿半径指向A，如图：
由几何关系得，感应电荷在C处的场强为E感
故D错误。
故选：B。
（2023 永丰县校级一模）甲和乙图分别是半径为R、带电均匀的六分之四圆环和半圆环（两环的材料和横截面积相同），带有同种电荷，且两环上单位长度所带电荷量相等，它们的圆心分别是O1和O2。已知O1点的电场强度大小为E0，则O2点的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：
根据图甲可知，E0＝2Ecos30°
在图乙中，E′＝E+2Ecos60°
联立解得：，故A正确，BCD错误；
故选：A。
【知识点四】电场线的理解和应用
1．电场线的应用
（1）在同一电场里，电场线越密的地方场强越大。
（2）电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向。
（3）沿电场线方向电势逐渐降低。
（4）电场线和等势面在相交处互相垂直。
2．两种等量点电荷的电场线
比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点为零，向外先变大后变小
连线上的电场强度 沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度最小 沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度为零
电场强度方向比较 A、A′、B、B′四点场强方向相同，垂直于BB′连线 A点场强方向向右，A′点场强方向向左，B点场强方向向上，B′点场强方向向下
（2023 重庆模拟）如图所示，实线是一簇由负点电荷产生的电场线。一带正电的粒子仅在电场力作用下通过电场，图中虚线为粒子的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。下列判断错误的是（　　）
A．a点场强大于b点场强
B．带电粒子从a到b电势能减小
C．带电粒子从a到b动能减小
D．a点电势小于b点电势
【解答】解：A．电场线的疏密表示电场强度的强弱，由图可知a点场强大于b点场强，故A正确；
BC．粒子的运动轨迹向左弯曲，说明粒子受到的电场力沿电场线向左，若粒子从a到b，电场力对粒子做负功，粒子的动能减小，电势能增大，故B错误，C正确；
D．根据顺着电场线方向，电势降低，可知a点电势小于b点电势，故D正确。
本题选错误的，
故选：B。
（2023 弋阳县校级一模）等量异种点电荷的电场线如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．A处和C处的电场强度可能相同
B．A处的电势比B处高
C．电子在C处由静止释放，可沿电场线运动到D处
D．电子在B处的电势能比在D处大
【解答】解：A．电场线的疏密程度反映了场强的大小，故A处的场强一定比C处大，故A错误；
B．根据沿着电场线的方向电势降低，可知B处的电势比A处高，故B错误；
C．C处到D处的电场线为曲线，电场线的切线方向是电子在电场中受到的电场力的反方向，而不是速度方向，电子若想沿电场线运动，那么必须电场线为直线，且电子的速度方向与电场线始终在一条直线上，故C错误；
D．由B处和C处电势相等，C处电势低于D处，可知B处的电势比D处低，而电子带负电，故电子在B处的电势能比在D处大，故D正确。
故选：D。
（2023 重庆模拟）如图所示，实线表示某静电场中的电场线，过M点的电场线是水平直线，虚线表示该电场中的一条竖直等势线，M、N、P是电场线上的点，Q是等势线上的点。一带正电的点电荷在M点由静止释放，仅在电场力作用下水平向右运动，则（　　）
A．点电荷一定向右做匀加速运动
B．点电荷在N点释放时的加速度比在P点释放时的加速度小
C．将一负点电荷从P点移到N点，电场力做正功
D．将一负点电荷从Q点沿等势线竖直向上射出，点电荷将沿等势线做直线运动
【解答】解：A．根据电场线的分布可知，该静电场不是匀强电场，所以点电荷在运动过程中受到的电场力不是恒定的，根据牛顿第二定律，点电荷运动的加速度也不是恒定的，所以点电荷向右做的不是匀加速运动，故A错误；
B．由图可知，N点电场线比P点电场线密集，所以N点的电场强度大于P点的电场强度，点电荷在N点受到的电场力大于P点处的电场力，所以点电荷在N点释放时的加速度比在P点释放时的加速度大，故B错误；
C．电势随电场方向逐渐减小，所以N点电势比P点高，将一负点电荷从P点移到N点，电势能减小，电场力做正功，C故正确；
D．将一负点电荷从Q点沿等势线竖直向上射出，由于电场方向垂直等势线，则点电荷受到的电场力方向与运动方向不在同一条直线上，所以点电荷做曲线运动，故D错误。
故选：C。
（2023 上海）三个大小相同的带电导体球x、y、z，带电量分别为+4μC、0μC和﹣10μC，让x与y先接触，然后让y与z接触，最终y所带的电荷量为（　　）
A．﹣4μC B．﹣3μC C．﹣2μC D．﹣1μC
【解答】解：x与y接触时，根据电荷守恒定律得：
2μC，故y所带的电荷量为+2μC；
y与z再接触时，两者带异种电荷，电荷先中和，余下的电荷再平分，由电荷守恒定律得：
4μC
最终y所带的电荷量为﹣4μC，故BCD错误，A正确。
故选：A。
（2022 上海）某原子核发生核反应时放出一个正电子，则原子核内多了一个（　　）
A．质子 B．中子 C．电子 D．核子
【解答】解：原子核出一个正电子是由核内质子转化而来的，设原子核内多出的未知粒子的质量数为A，核电荷数为z
质量数守恒，得：1＝0+A ①
核电荷数守恒，得：1＝1+z ②
由①②解得：A＝1，z＝0
所以原子核内多了一个中子，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023 海南）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2cm，OB＝4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP＝n：1，试求Q1：Q2是多少（　　）
A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【解答】解：对小球受力分析如图所示：
在△CHP中，根据正弦定理有
其中∠CPH＝∠OPB，∠CHP＝∠HPD＝∠APO
在△APO中，根据正弦定理
在△BPO中，根据正弦定理
根据库仑定律，
联立以上各式，解得Q1：Q2＝2n3：1
综上分析，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 全国）如图，两根相同的橡皮筋各有一端系于固定的挡板，另一端分别与带电量为q、﹣q的小球连接，小球静止在光滑水平绝缘板上，两橡皮筋位于同一水平直线上，橡皮筋的伸长量均为Δl。若缓慢地增加两球的电荷量，当电荷量增加至原来2倍时（两小球不会相碰），恰好平衡。则每条橡皮筋的伸长量（　　）
A．恰为2Δl B．大于2Δl但小于4Δl
C．恰为4Δl D．大于4Δl
【解答】解：设初始时带电量为q、﹣q的小球之间的距离为l，由于小球处于平衡状态，则有橡皮筋弹力等于小球之间的库仑力，即对任意小球有：
kΔl＝k
电荷量增大为原来的2倍时，设两个小球之间的距离为l′，橡皮筋的伸长量变为Δl′，当小球再次处于平衡状态时，对任意小球有：
kΔl′＝k4k
又因为小球相互吸引，相互靠近，所以两个小球之间的距离会小于初始距离，即：
l′＜l
因此：kΔl′＝4k4k4kΔl
所以：Δl′＞4Δl，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2020 浙江）如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝﹣q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　）
A．
B．弹簧伸长量为
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为
【解答】解：AD、对C分析，受重力、支持力和AB的库仑力，则AB的库仑力之和沿斜面向上，又B距离C近，给C的库仑力大，则C球带正电，设小球间距为a，
对C：kkMgsinα
对B：kkMgsinα
联立解得：qCq0
代入kkMgsinα
解得：a＝q0，故A正确，D错误；
对ABC用整体法，ABC受力平衡，即ABC受到的弹力等于重力的分力。即得弹簧伸长量Δx，故B错。
对BC用整体法，BC受力平衡，即BC受到库仑力等于重力分力，即得A受到的库仑力为2Mgsinα，故C错。
故选：A。
（2023 浙江）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为粒子在等势线上运动，则粒子的速度大小保持不变，粒子受到的电场力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：
联立解得：，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2023 湖南）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q＞0，则三个点电荷的电荷量可能为（　　）
A．Q1＝q，Q2q，Q3＝q
B．Q1＝﹣q，Q2q，Q3＝﹣4q
C．Q1＝﹣q，Q2q，Q3＝﹣q
D．Q1＝q，Q2q，Q3＝4q
【解答】解：AB、若三个点电荷同时带正电或者负电，则P点的场强不可能为零，故AB错误；
C、设P和Q1间的距离为r，则Q1和Q3在P点处的场强大小为：
解得：E
根据点电荷的场强公式可得Q2在P点处产生的场强大小为：
，则P点的场强不为零，故C错误；
D、同理可得，Q1和Q3在P点处的场强大小为：
解得：E
根据题意可知Q2产生的场强大小为：
，则P点处的场强为零，故D正确；
故选：D。
（2022 河北）如图，真空中电荷量为2q和﹣q（q＞0）的两个点电荷分别位于M点与N点，形成一个以MN延长线上O点为球心、电势为零的等势面（取无穷远处电势为零）。P为MN连线上的一点。S为等势面与直线MN的交点，T为等势面上一点。下列说法正确的是（　　）
A．P点电势低于S点电势
B．T点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q0从T点移到P点，静电力做正功
【解答】解：A、在直线MN上，左边正电荷在M右侧电场强度水平向右，右边负电荷在直线MN上电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知P点电势高于等势面与MN交点处电势，则P点电势高于S点电势，故A错误；
C、由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N左侧电场强度不可能为零，则N右侧，设MN距离为L，根据：
可知除无穷远处外，直线MN电场强度为零的点只有一个，故C错误；
D、由A选项的分析可知，T点电势低于P点电势，则正电荷在T点的电势能低于在P点的电势能，将正试探电荷从T点移到P点，电势能增大，静电力做负功，故D错误；
B、由于电场强度方向垂直等势面，可知T点的场强方向必过等势面的圆心，因为负电荷在零等势面内，T点电势高于球心O的电势，可知T点电场方向指向O点，故B正确。
故选：B。
（2022 湖南）如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上。移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是（　　）
A．电场强度方向垂直指向a，电势减小
B．电场强度方向垂直指向c，电势减小
C．电场强度方向垂直指向a，电势增大
D．电场强度方向垂直指向c，电势增大
【解答】解；四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边上，根据对称性可知O点场强为零，且b棒和d棒由于对称性，在O点产生的合场强为0，故a棒与c棒在O点产生的合场强也为0。因此移去a棒后，O点的场强可以认为是由c棒单独产生。c棒带正电，且由对称性可知，其在O点的场强应垂直指向a。电势是标量，若以无穷远处为电势零点，四根带正电的绝缘棒周围的电势均大于0，O点的电势等于所有棒在O点激发的电势的代数和，故移去a棒后O点的电势减小，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2022 山东）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　）
A．正电荷， B．正电荷，
C．负电荷， D．负电荷，
【解答】解：因为电荷在细圆环上均匀分布，所以弧长为ΔL的小圆弧上所带的电荷量为：
Q'
在ΔL足够小时，可以将取走的部分看作点电荷，细圆环带正电，根据圆环的对称性，可以得到取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷后，细圆环在O点产生的电场如图：
根据库仑定律及矢量的叠加可知细圆环在O点产生的合场强大小为：
E'＝E，方向水平向右
将q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零，所以点电荷q在O点产生的场强应向左，大小等于E'，故q为负电荷
根据库仑定律有：E'
解得：
故ABD错误，C正确；
故选：C。
（2022 浙江）某种气体一电子放大器的局部结构是由两块夹有绝缘介质的平行金属薄膜构成，其上存在等间距小孔，其中相邻两孔截面上的电场线和等势线的分布如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．a点所在的线是等势线
B．b点的电场强度比c点大
C．b、c两点间的电势差的值比a、c两点间的大
D．将电荷沿图中的线从d→e→f→g移动时电场力做功为零
【解答】解：A、电场线是发散的，等势线是封闭的，所以a所在的线是电场线，故A错误；
B、根据电场线的密集程度代表电场强度大小可知b点场强小于c点场强；故B错误；
C、根据等势线分布可知Ubc＝Uba+Uac，所以b、c两点间的电势差的值比a、c两点间的大，故C正确；
D、由图可知d点电势与g点电势不同，则将电荷沿图中的线从d→e→f→g移动时电场力做功不为0，故D错误；
故选：C。
（2022 北京）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。

【解答】解：（1）根据电场强度的公式可得：
则带电粒子受到的电场力为
F＝qE
（2）带电粒子从M板出发，到达N板的过程中，根据动能定理可得：
解得：v
（3）带电粒子在撤去电压前做匀加速直线运动，之后做匀速直线运动，则
其中，
t＝t1+t2
联立解得：t
答：（1）带电粒子所受的静电力的大小为；
（2）带电粒子到达N板时的速度大小为；
（3）该粒子从M板运动到N板经历的时间为。
（2023 乙卷）如图，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
（1）B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
（2）C点处点电荷的电荷量。
【解答】解：（1）C点的电荷在M点的场强沿CM所在直线，A点处点电荷和B点处点电荷在M点的场强沿AB所在直线，已知M点合电场强度方向竖直向下，则A、B两点处的点电荷在M点的合场强为零，即A和B点处的点电荷为等量同种电荷，则B点处点电荷的电荷量的绝对值为q；
C点处的点电荷在M点的场强方向沿CM向下，则C点处点电荷为正电荷；
C点电荷在N点的场强方向沿CB斜向右下，N点的合场强方向竖直向上，则A点处的点电荷和B点处的点电荷在N点的合场强斜向左上，A点处的点电荷在N点的场强沿AN斜向右上，B点处的点电荷在N点的场强沿BN斜向左上，则A、B两点处的点电荷均为正电荷；
（2）设三角形的边长为l，由几何关系得：ANl
BN＝CNl
A点电荷在N点的场强大小为EA＝k
方向沿AN斜向右上，B点电荷在N点的场强大小为EB＝k
方向沿BN斜向左上，设C点电荷的电荷量为Q，C点电荷在N点的场强大小为EC＝k
方向沿CB斜向右下，则B点电荷和C点电荷在N点的合场强大小斜向左上，大小为EBC
N点的合场强竖直向上，如图
由几何关系得：EBCtan30°＝EA
联立解得：Qq
答：（1）B点处点电荷的电荷量的绝对值为q，3个点电荷均为正电荷；
（2）C点处点电荷的电荷量为q。
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