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专题10.3 机械振动机械波相关实验
科学探究：探究单摆的运动、用单摆测重力加速度。
通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。
【知识点一】探究单摆周期与摆长之间的关系、用单摆测量重力加速度
1.实验目的
（1）练习使用秒表和刻度尺。
（2）探究影响单摆运动周期的因素。
（3）学会用单摆测定当地重力加速度。
2.实验原理
测摆长l和周期T，由T＝2π→g＝。
3.实验器材
中心带有孔的小钢球、细线（长约1 m）、米尺、游标卡尺、秒表。
4.实验步骤
（1）做单摆
将细线穿过中心带有孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架上，让摆球自然下垂。
（2）测摆长
用米尺量出摆线长l′（精确到毫米），用游标卡尺测出摆球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。
（3）测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于5°），然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
（4）改变摆长，重做几次实验。
5.数据处理
（1）公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再算出g的平均值。
（2）图像法：作出l－T2图像求g值。
6.误差分析
产生原因 减小方法
偶然误差 测量时间（单摆周期）及摆长时产生误差 ①多次测量求平均值 ②计时从摆球经过平衡位置时开始
系统误差 主要来源于单摆模型本身 ①摆球要选体积小，密度大的 ②最大摆角要小于5°
7.注意事项
（1）摆线要选1 m左右，不要过长或过短。
（2）悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
（3）单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
（4）要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
（2023 西城区校级模拟）某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中。
①该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 cm；同学用秒表记录的时间如图2所示，则秒表的示数为 s；
②如果某同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为L1（不计摆球半径），测得周期为T1：第二次量得悬线长为L2，测得周期为T2.根据上述数据，可求得g值为 。
A．
B．
C．
D．
该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2﹣L的关系图象如图3所示理论上T2﹣L是一条过坐标原点的直线，根据图中数据，可算出重力加速度其值为 m/s2（取π2＝9.86，结果保留三位有效数字），仅考虑该数据处理方法，他得到的加速度g与真实值相比 （填偏大、偏小或相同）
③如果该同学测得的g值偏大，可能的原因是 。
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．开始计时时，秒表按下稍晚
C．实验中将51次全振动误记为50次
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
（2023 天津二模）某同学在家做“用单摆测量重力加速度”的实验．
（1）图甲中有关器材的选择和安装最合理的是 ；
（2）由于家中没有游标卡尺，无法测量小球的直径d，该同学将摆线长度作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出l﹣T2图像．该同学实验得到的l﹣T2图像应是图乙中的 （选填“a”或“b”或“c”）；该同学利用所作出的l﹣T2图像的斜率采用正确的数据处理方法计算出了当地的重力加速度大小，从理论上讲用这种方法得到的当地重力加速度 （选填“偏大”或“偏小”或“准确”）。
（2023 重庆模拟）重庆南开中学某兴趣小组的同学想通过测量单摆周期，进而测量重庆市区的重力加速度大小。
（1）为了比较准确地测量出重庆市区重力加速度的数值，选定器材有秒表、毫米刻度尺、游标卡尺、铁架台、金属夹，除此之外在下列所给的器材中，还应选用 （填序号）。
A．长约1m的轻质细线
B．长约10cm的轻质细线
C．直径约为1cm的钢球
D．直径约为1cm的塑料球
（2）组装实验装置并进行测量，n次全振动的时间如图甲所示为t＝ s。
（3）该兴趣小组的小南同学设计实验并进行了多次测量，测出不同摆长L下对应的周期T，并作出T2﹣L的图像如图乙所示，可求得重力加速度大小g＝ 。
（2023 湖北模拟）某实验小组用铁架台、长约1m的细绳、直径约为1cm的金属球、米尺、位移传感器、数据采集器和电脑等器材测量重力加速度。实验过程如下：
（1）用游标卡尺测量小球直径d，示数如图甲所示，其示数为 mm；
（2）按图乙安装实验装置。当摆球静止时，测出摆长L。将摆球拉开一角度后释放，摆球做简谐运动时，位移传感器记录摆球摆动过程中位移x随时间t变化的关系，其中的一段图像如图丙所示，则此单摆的周期T＝ s；
（3）改变摆长，重复步骤（2），测得多组数据（L，T），利用计算机作出T2﹣L图像，根据图像得到T2＝4.00L+0.013，则当地重力加速度大小为g＝ m/s2；（结果保留三位有效数字）
（4）下列说法正确的是 （填选项前的字母）。
A．选择密度较小的摆球，测得的g值误差较小
B．把摆球从平衡位置拉开30°角后释放，重复步骤（2），仍能测出单摆周期
C．用悬线的长度加摆球直径作为摆长，代入计算得到的g值偏大
（2023 长春三模）如图甲所示为某物理实验小组同学探究“利用单摆测重力加速度”的实验装置。将选好的一根长约1m左右的细线穿过带孔的小钢球，在细线的下端打一个比小球上的孔径稍大些的结。把细线的上端固定在铁架台上，铁架台放在实验桌边，使悬点伸到桌面以外，摆线自然下垂。
（1）将下列实验步骤补充完整：
①测量摆长：用刻度尺测出悬点到小球上端的距离为l0，用游标卡尺测出小球的直径如图乙所示，则小球直径d＝ cm，并计算出单摆的摆长l。
②测量周期：将单摆从平衡位置拉开一个较小的角度，然后释放小球，让小球保持竖直面内摆动。用停表记下单摆50次全振动的时间，计算出完成一次全振动的时间T。
③多次改变摆长，重复前面实验过程。
（2）根据多次改变摆线长度得到的数据作出T2﹣l图像，即可求出当地的重力加速度。理论上T2﹣l图像是一条经过坐标原点的直线，实验时某同学误把l0记作摆长l，绘出T2﹣l图像如图丙所示。请你判断用该图像 （填“能”或“不能”）计算出当地重力加速度g。若能，计算出g的数值， （结果保留到小数点后两位）；若不能，简要说明理由： 。
（2023 新课标）一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
（1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a） 所示，该示数为 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为 mm，则摆球的直径为 mm。
（2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角 5° （填“大于”或“小于”）。
（3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为 s，该小组测得的重力加速度大小为 m/s2。（结果均保留3位有效数字，π2取9.870 ）
（2022 上海）在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中：
（1）摆线质量和摆球质量分别为m线和m球，摆线长为l，摆球直径为d，则 ；
（A）m线 m球，l d
（B）m线 m球，l d
（C）m线 m球，l d
（D）m线 m球，l d
（2）小明在测量后作出的T2﹣l图线如图所示，则他测得的结果是g＝ m/s2。（保留2位小数）
（3）为了减小误差，应从最高点还是最低点开始计时，请简述理由。
（2023 衡阳二模）（1）某同学在用单摆测量重力加速度实验时，测量摆长。用米尺测得摆线长度为99.50cm，用游标卡尺测得小铁球的直径如图甲所示，则摆球的直径为 cm。（结果保留两位小数）
（2）用停表测量单摆的周期。把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，当单摆稳定时，摆球到达 （选填“最高”或“最低”）点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为 s，
则单摆的周期为 s。
（3）他计算得出的重力加速度为 m/s2，比实际测量的重力加速度要大，其原因是 。
A．摆球太重
B．摆角太小
C．开始计时时停表过迟按下
D．实验中全振动次数记少了
（2023 石景山区一模）某实验小组的同学用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”实验。
（1）实验中该同学进行了如下操作，其中正确的是 。
A．用公式g计算时，将摆线长当作摆长
B．摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动
C．确保摆球在同一竖直平面内摆动
D．摆球不在同一竖直平面内运动，形成了圆锥摆
（2）在实验中，多次改变摆长L并测出相应周期T，计算出T2，将数据对应坐标点标注在T2﹣L坐标系（如图2所示）中．请将L＝0.700m，T2＝2.88s2所对应的坐标点标注在图中，根据已标注数据坐标点描绘出T2﹣L图线，并通过图线求出当地的重力加速度g＝ m/s2（结果保留3位有效数字）。
（3）将不同实验小组的实验数据标注到同一T2﹣L坐标系中，分别得到实验图线a、b、c，如图3所示。已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是 。
A．出现图线c的原因可能是因为使用的摆线比较长
B．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L
C．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，图线c计算出的g值偏小
（4）该同学通过自制单摆测量重力加速度。他利用细线和铁锁制成一个单摆，计划利用手机的秒表计时功能和卷尺完成实验。但铁锁的重心未知，不容易确定准确的摆长。请帮助该同学提出“通过一定测量，求出当地重力加速度”的方法。
（2023 莆田模拟）某实验小组利用如图甲装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。在铁架台上端用摆线悬挂一摆球，铁架台下端固定一个激光源，发出的激光方向与水平面平行，在摆球的右边与摆球中心等高的位置固定一智能手机，使得激光的中心与摆球的中心以及智能手机的光线接收口在同一水平直线上。利用手机光线传感器接收到的光照强度随时间变化情况，测出摆球的周期。
（1）实验主要过程如下：
①按图甲安装实验装置，下列有关器材的选择和安装最合理的是 ；
②如图乙，用游标卡尺测出摆球的直径d＝ cm；用刻度尺测出摆线长度l，算出摆长L；
③打开激光光源和手机传感器，运行软件；
④让单摆做简谐运动，采集数据；
⑤改变摆线长度l，重复步骤④；
⑥导出数据获得单摆振动周期T，从而得到对应的T2与L的数据如下表：
次数 数据 1 2 3 4 5 6
L/cm 38.00 48.00 58.00 68.00 78.00 88.00
T/s 1.24 1.39 1.53 1.66 1.78 1.89
T2/s2 1.54 1.93 2.34 2.76 3.17 3.57
⑦根据表中数据在坐标纸上描点，如图丙：
⑧请在图丙中绘出T2﹣L图线 ，并根据图像求出当地的重力加速度g＝ m/s2。（π2取9.87，结果保留三位有效数字）
（2）下列关于本实验的误差中，属于系统误差的有 。
A．测量摆长引起的误差
B．描绘图线引起的误差
C．摆线具有伸缩性引起的误差
D．利用手机测量周期引起的误差
（2023 河西区模拟）用如图1所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
（1）在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长为 （用字母l、d表示）；
（2）为了减小测量误差，下列说法正确的是 （选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
（3）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是 （选填字母代号）；
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
（4）某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出T2﹣L图线，然后在图2线上选取A、B两个点，坐标分别为（LA，）（LB，）如图所示。由图2可计算出重力加速度g＝ 。
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专题10.3 机械振动机械波相关实验
科学探究：探究单摆的运动、用单摆测重力加速度。
通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。
【知识点一】探究单摆周期与摆长之间的关系、用单摆测量重力加速度
1.实验目的
（1）练习使用秒表和刻度尺。
（2）探究影响单摆运动周期的因素。
（3）学会用单摆测定当地重力加速度。
2.实验原理
测摆长l和周期T，由T＝2π→g＝。
3.实验器材
中心带有孔的小钢球、细线（长约1 m）、米尺、游标卡尺、秒表。
4.实验步骤
（1）做单摆
将细线穿过中心带有孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架上，让摆球自然下垂。
（2）测摆长
用米尺量出摆线长l′（精确到毫米），用游标卡尺测出摆球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。
（3）测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于5°），然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
（4）改变摆长，重做几次实验。
5.数据处理
（1）公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再算出g的平均值。
（2）图像法：作出l－T2图像求g值。
6.误差分析
产生原因 减小方法
偶然误差 测量时间（单摆周期）及摆长时产生误差 ①多次测量求平均值 ②计时从摆球经过平衡位置时开始
系统误差 主要来源于单摆模型本身 ①摆球要选体积小，密度大的 ②最大摆角要小于5°
7.注意事项
（1）摆线要选1 m左右，不要过长或过短。
（2）悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
（3）单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
（4）要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
（2023 西城区校级模拟）某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中。
①该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 cm；同学用秒表记录的时间如图2所示，则秒表的示数为 s；
②如果某同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为L1（不计摆球半径），测得周期为T1：第二次量得悬线长为L2，测得周期为T2.根据上述数据，可求得g值为 。
A．
B．
C．
D．
该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2﹣L的关系图象如图3所示理论上T2﹣L是一条过坐标原点的直线，根据图中数据，可算出重力加速度其值为 m/s2（取π2＝9.86，结果保留三位有效数字），仅考虑该数据处理方法，他得到的加速度g与真实值相比 （填偏大、偏小或相同）
③如果该同学测得的g值偏大，可能的原因是 。
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．开始计时时，秒表按下稍晚
C．实验中将51次全振动误记为50次
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
【解答】解：①游标卡尺的分度值为0.05mm，不需要估读，则测得单摆小球的直径为：
10mm+0.05mm×14＝10.70mm＝1.070cm
秒表的大盘超过了半刻度，大盘的读数为90s，小盘的读数为6.8s，所以总时间为
90s+6.8s＝96.8s
②根据单摆的周期公式可得：
可得：
可得：
故选B。
根据
可得：
解得：g＝9.86m/s2
仅考虑该数据处理方法，没有系统误差，则他得到的加速度g与真实值相比相同；
③根据上述分析可得：
A．测摆线长时摆线拉得过紧，则摆长测量值偏大，则重力加速度的测量值偏大，故A正确；
B．开始计时时，秒表按下稍晚，则周期测量值偏小，则重力加速度的测量值偏大，故B正确；
C．实验中将51次全振动误记为50次，则周期测量值偏大，则重力加速度的测量值偏小，故C错误；
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，计算时还用原来的值计算，则重力加速度测量值偏小，故D错误。
故选：AB。
故答案为：①1.070；96.8；②B；9.86；相同；③AB
（2023 天津二模）某同学在家做“用单摆测量重力加速度”的实验．
（1）图甲中有关器材的选择和安装最合理的是 ；
（2）由于家中没有游标卡尺，无法测量小球的直径d，该同学将摆线长度作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出l﹣T2图像．该同学实验得到的l﹣T2图像应是图乙中的 （选填“a”或“b”或“c”）；该同学利用所作出的l﹣T2图像的斜率采用正确的数据处理方法计算出了当地的重力加速度大小，从理论上讲用这种方法得到的当地重力加速度 （选填“偏大”或“偏小”或“准确”）。
【解答】解：（1）为了减小空气阻力对小球的影响，小球应选择小铁球；小球摆动过程中，应保证摆长保持不变，故悬点处应固定不动，细线选择弹性小的细丝线，故C正确，ABD错误；
故选：C。
（2）设小球的半径为r，根据单摆周期公式可得
可得
则该同学实验得到的l﹣T2图像应是图乙中的a。
根据
可知l﹣T2图像的斜率为
可知图像斜率与小球半径无关，故利用所作出的l﹣T2图像的斜率采用正确的数据处理方法计算出了当地的重力加速度大小，从理论上讲用这种方法得到的当地重力加速度准确。
故答案为：（1）C；（2）a；准确
（2023 重庆模拟）重庆南开中学某兴趣小组的同学想通过测量单摆周期，进而测量重庆市区的重力加速度大小。
（1）为了比较准确地测量出重庆市区重力加速度的数值，选定器材有秒表、毫米刻度尺、游标卡尺、铁架台、金属夹，除此之外在下列所给的器材中，还应选用 （填序号）。
A．长约1m的轻质细线
B．长约10cm的轻质细线
C．直径约为1cm的钢球
D．直径约为1cm的塑料球
（2）组装实验装置并进行测量，n次全振动的时间如图甲所示为t＝ s。
（3）该兴趣小组的小南同学设计实验并进行了多次测量，测出不同摆长L下对应的周期T，并作出T2﹣L的图像如图乙所示，可求得重力加速度大小g＝ 。
【解答】解：（1）在下列所给的器材中，还应选用长约1m的轻质细线和直径约为1cm的钢球，故AC正确，BD错误；
故选：AC。
（2）由图可知，n次全振动的时间为
t＝2×60s+6s＝126s
（3）根据
可得
则
解得
故答案为：（1）AC；（2）126；（3）
（2023 湖北模拟）某实验小组用铁架台、长约1m的细绳、直径约为1cm的金属球、米尺、位移传感器、数据采集器和电脑等器材测量重力加速度。实验过程如下：
（1）用游标卡尺测量小球直径d，示数如图甲所示，其示数为 mm；
（2）按图乙安装实验装置。当摆球静止时，测出摆长L。将摆球拉开一角度后释放，摆球做简谐运动时，位移传感器记录摆球摆动过程中位移x随时间t变化的关系，其中的一段图像如图丙所示，则此单摆的周期T＝ s；
（3）改变摆长，重复步骤（2），测得多组数据（L，T），利用计算机作出T2﹣L图像，根据图像得到T2＝4.00L+0.013，则当地重力加速度大小为g＝ m/s2；（结果保留三位有效数字）
（4）下列说法正确的是 （填选项前的字母）。
A．选择密度较小的摆球，测得的g值误差较小
B．把摆球从平衡位置拉开30°角后释放，重复步骤（2），仍能测出单摆周期
C．用悬线的长度加摆球直径作为摆长，代入计算得到的g值偏大
【解答】解：（1）游标卡尺的最小分度值为0.05mm，示数为d＝10mm+4×0.05mm＝10.20mm
（2）由图可知小球振动周期T＝3.6s﹣2s＝1.6s；
（3）由单摆的周期公式，可得
则图线斜率
解得g＝9.86m/s2
（4）A．为减小实验误差因，应选择密度较大的摆球，故A错误；
B．把摆球从平衡位置拉开30°后释放，摆角逐渐减小，当摆角小于15°后，摆动可视为单摆做简谐运动，根据计算机记录的图像，仍能测出单摆周期，故B正确；
C．由单摆的周期公式
可推出重力加速度的计算式
可知，摆长偏大则代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大，故C正确；
故选：BC。
故答案为：（1）10.20；（2）1.6；（3）9.86；（4）BC。
（2023 长春三模）如图甲所示为某物理实验小组同学探究“利用单摆测重力加速度”的实验装置。将选好的一根长约1m左右的细线穿过带孔的小钢球，在细线的下端打一个比小球上的孔径稍大些的结。把细线的上端固定在铁架台上，铁架台放在实验桌边，使悬点伸到桌面以外，摆线自然下垂。
（1）将下列实验步骤补充完整：
①测量摆长：用刻度尺测出悬点到小球上端的距离为l0，用游标卡尺测出小球的直径如图乙所示，则小球直径d＝ cm，并计算出单摆的摆长l。
②测量周期：将单摆从平衡位置拉开一个较小的角度，然后释放小球，让小球保持竖直面内摆动。用停表记下单摆50次全振动的时间，计算出完成一次全振动的时间T。
③多次改变摆长，重复前面实验过程。
（2）根据多次改变摆线长度得到的数据作出T2﹣l图像，即可求出当地的重力加速度。理论上T2﹣l图像是一条经过坐标原点的直线，实验时某同学误把l0记作摆长l，绘出T2﹣l图像如图丙所示。请你判断用该图像 （填“能”或“不能”）计算出当地重力加速度g。若能，计算出g的数值， （结果保留到小数点后两位）；若不能，简要说明理由： 。
【解答】解：（1）①游标卡尺的最小分度值为0.05mm，主尺读数为20mm，游标尺读数为6×0.05mm，则小球直径为d＝20mm+6×0.05mm＝20.30mm＝2.030cm
（2）根据单摆周期公式
可得
可知T2﹣l图像斜率
根据图像可得
解得g＝9.76m/s2
故答案为：（1）2.030；（2）能，9.76m/s2，见解析。
（2023 新课标）一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
（1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a） 所示，该示数为 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为 mm，则摆球的直径为 mm。
（2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角 5° （填“大于”或“小于”）。
（3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为 s，该小组测得的重力加速度大小为 m/s2。（结果均保留3位有效数字，π2取9.870 ）
【解答】解：（1）测量前测微螺杆和测砧相触时，图（a）的示数为
d0＝0mm+0.7×0.01mm＝0.007mm
螺旋测微器的分度值为0.01mm，需要估读到分度值的下一位，则图中的读数为：
d1＝20mm+3.4×0.01mm＝20.034mm
因此摆球的直径为：
d＝d1﹣d0＝20.034mm﹣0.007mm＝20.027mm
（2）角度盘的大小一定，则在规定的位置安装角度盘，测量的角度准确，但将角度盘固定在规定位置的上方时，角度盘到悬挂点的距离将会变短，因此在保持角度相同的情况下，摆线在刻度盘上扫过的弧长会变短，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，其实实际摆角大于5°；
（3）根据几何关系可知，摆长为：
一次全振动过程中单摆经过最低点两次，则单摆的周期为：
根据单摆的周期公式可得：
代入数据解得：g＝9.83m/s2。
故答案为：（1）0.007；20.034；20.027；（2）大于；（3）82.5；1.82；9.83
（2022 上海）在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中：
（1）摆线质量和摆球质量分别为m线和m球，摆线长为l，摆球直径为d，则 ；
（A）m线 m球，l d
（B）m线 m球，l d
（C）m线 m球，l d
（D）m线 m球，l d
（2）小明在测量后作出的T2﹣l图线如图所示，则他测得的结果是g＝ m/s2。（保留2位小数）
（3）为了减小误差，应从最高点还是最低点开始计时，请简述理由。
【解答】解：（1）根据实验原理可知，摆线质量要远小于摆球质量，而摆线长度要远大于摆球直径，故（D）正确，（ABC）错误；
故选：（D）。
（2）根据单摆的周期公式可知，
即图像中的斜率为
解得：g＝9.75m/s2。
（3）为了减小误差，应从最低点开始计时，因为单摆在摆动过程中经过最低点速度最大，最高点速度最小，在最低点计时误差比较小。
故答案为：（1）（D）；（2）9.75；（3）见解析
（2023 衡阳二模）（1）某同学在用单摆测量重力加速度实验时，测量摆长。用米尺测得摆线长度为99.50cm，用游标卡尺测得小铁球的直径如图甲所示，则摆球的直径为 cm。（结果保留两位小数）
（2）用停表测量单摆的周期。把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，当单摆稳定时，摆球到达 （选填“最高”或“最低”）点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为 s，
则单摆的周期为 s。
（3）他计算得出的重力加速度为 m/s2，比实际测量的重力加速度要大，其原因是 。
A．摆球太重
B．摆角太小
C．开始计时时停表过迟按下
D．实验中全振动次数记少了
【解答】（1）游标卡尺的最小分度值为0.1mm，主尺读数为10mm，游标尺读数为4×0.1mm，则单摆的摆球直径为：10mm+4×0.1mm＝10.4mm＝1.04cm
（2）秒表的小盘最小分度值为30s，读数为90s，大盘的最小分度值为0.1s，读数为7.5s，则秒表的读数为90s+7.5s＝97.5s，当单摆稳定时，摆球到达最低点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，当数到100次时，单摆全振动次数为50次，故单摆的周期为；
（3）根据单摆周期公式
解得
AB．g值大的原因就在于周期值比实际的要小，与摆球质量、摆角无关，故AB错误；
C．开始计时时停表过迟按下，使记录时间变小，次数不变，故周期变小，g值比实际测量的重力加速度要大，故C正确；
D．实验中全振动次数计少了，记录时间不变，则周期变大，g值比实际测量的重力加速度要小，故D错误。
故选：C。
故答案为：（1）1.04；（2）最低，97.5，1.95；（3）10.37，C。
（2023 石景山区一模）某实验小组的同学用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”实验。
（1）实验中该同学进行了如下操作，其中正确的是 。
A．用公式g计算时，将摆线长当作摆长
B．摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动
C．确保摆球在同一竖直平面内摆动
D．摆球不在同一竖直平面内运动，形成了圆锥摆
（2）在实验中，多次改变摆长L并测出相应周期T，计算出T2，将数据对应坐标点标注在T2﹣L坐标系（如图2所示）中．请将L＝0.700m，T2＝2.88s2所对应的坐标点标注在图中，根据已标注数据坐标点描绘出T2﹣L图线，并通过图线求出当地的重力加速度g＝ m/s2（结果保留3位有效数字）。
（3）将不同实验小组的实验数据标注到同一T2﹣L坐标系中，分别得到实验图线a、b、c，如图3所示。已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是 。
A．出现图线c的原因可能是因为使用的摆线比较长
B．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L
C．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，图线c计算出的g值偏小
（4）该同学通过自制单摆测量重力加速度。他利用细线和铁锁制成一个单摆，计划利用手机的秒表计时功能和卷尺完成实验。但铁锁的重心未知，不容易确定准确的摆长。请帮助该同学提出“通过一定测量，求出当地重力加速度”的方法。
【解答】解：（1）A、用公式g计算时，应该将将悬点到摆球重心之间的间距当作摆长，即应该将摆线长与摆球的半径之和当作摆长，故A错误；
B、实验过程，单摆的摆长不能发生变化，即摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动，故B正确；
CD、单摆的运动应该是同一竖直平面内的圆周运动，即实验是应该确保摆球在同一竖直平面内摆动，不能够使摆球不在同一竖直平面内运动，形成了圆锥摆，故C正确，D错误。
故选：BC。
（2）将该坐标点标注在坐标系中，用一条倾斜的直线将描绘的点迹连接起来，使点迹均匀分布在直线两侧，如图所示
根据T可得：
结合图像的斜率k，解得g＝9.86m/s2
（3）A、图线c中摆长有了一定的摆长时，振动周期还是零，一定是摆长测量长了，原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L，它和摆线的长度无关，故A错误；
B、图线a中摆长为零时就已出现了振动周期，一定是摆长测量短了，原因可能是误摆线长记为摆长L，故B正确；
C、根据上述可知，三条图像的斜率均为k，解得g，可知，三条图线求出的重力加速度相同，故C错误。
故选：B。
（4）虽不容易确定准确的摆长，但可以通过多次改变摆线的长度，测量对应的周期，获得较准确的重力加速度。具体做法：设摆线下端距重心x，第一次测出摆线长l1，摆长L1＝l1+x，测出对应的周期T1。
仅改变摆线长，第二次测出摆线长l2，摆长L2＝l2+x，测出对应的周期T2。
根据，
解得重力加速度。
故答案为：（1）BC；（2）见解析，9.86；
（3）B；
（4）设摆线下端距重心x，第一次测出摆线长l1，摆长L1＝l1+x，测出对应的周期T1，仅改变摆线长，第二次测出摆线长l2，摆长L2＝l2+x，测出对应的周期T2。根据，，解得重力加速度。
（2023 莆田模拟）某实验小组利用如图甲装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。在铁架台上端用摆线悬挂一摆球，铁架台下端固定一个激光源，发出的激光方向与水平面平行，在摆球的右边与摆球中心等高的位置固定一智能手机，使得激光的中心与摆球的中心以及智能手机的光线接收口在同一水平直线上。利用手机光线传感器接收到的光照强度随时间变化情况，测出摆球的周期。
（1）实验主要过程如下：
①按图甲安装实验装置，下列有关器材的选择和安装最合理的是 ；
②如图乙，用游标卡尺测出摆球的直径d＝ cm；用刻度尺测出摆线长度l，算出摆长L；
③打开激光光源和手机传感器，运行软件；
④让单摆做简谐运动，采集数据；
⑤改变摆线长度l，重复步骤④；
⑥导出数据获得单摆振动周期T，从而得到对应的T2与L的数据如下表：
次数 数据 1 2 3 4 5 6
L/cm 38.00 48.00 58.00 68.00 78.00 88.00
T/s 1.24 1.39 1.53 1.66 1.78 1.89
T2/s2 1.54 1.93 2.34 2.76 3.17 3.57
⑦根据表中数据在坐标纸上描点，如图丙：
⑧请在图丙中绘出T2﹣L图线 ，并根据图像求出当地的重力加速度g＝ m/s2。（π2取9.87，结果保留三位有效数字）
（2）下列关于本实验的误差中，属于系统误差的有 。
A．测量摆长引起的误差
B．描绘图线引起的误差
C．摆线具有伸缩性引起的误差
D．利用手机测量周期引起的误差
【解答】解：（1）①摆线悬点应固定，摆线应选择质量小、不易伸长的细丝线，摆球应选择体积小、质量大的铁球。故B正确，ACD错误。
故选：B。
②游标卡尺主尺的最小分度值为1mm，读数为：11mm，游标尺的最小分度值为0.1mm，游标尺的读数为：4×0.1mm＝0.4mm，摆球直径为d＝11mm+0.4mm＝11.4mm＝1.14cm
⑧根据数据绘出T2﹣L图线
由
得
图线斜率为s2/m
得g＝9.72m/s2
（2）AB．测量摆长引起的误差和描绘图线引起的误差是由于不稳定随机因素造成，属于偶然误差，故AB错误；
CD．摆线具有伸缩性和手机测量周期引起的误差是由于仪器不完善、测量方法不准确等因素造成，属于系统误差，故CD正确。
故选：CD。
故答案为：（1）①B；②1.14；⑧见解析，9.72；（2）CD。
（2023 河西区模拟）用如图1所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
（1）在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长为 （用字母l、d表示）；
（2）为了减小测量误差，下列说法正确的是 （选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
（3）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是 （选填字母代号）；
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
（4）某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出T2﹣L图线，然后在图2线上选取A、B两个点，坐标分别为（LA，）（LB，）如图所示。由图2可计算出重力加速度g＝ 。
【解答】解：（1）在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长为
（2）A．将钢球换成塑料球，会增加阻力的影响从而增加误差，故A错误；
B．当摆球经过平衡位置时开始计时，可减小测定周期产生的误差，故B正确；
C．单摆的摆角要小于5°，否则就不是简谐振动了，则把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放，会增加实验误差，故C错误；
D．应该至少测量30次全振动的时间测量周期，用记录一次全振动的时间作为周期误差会较大，故D错误。
故选：B。
（3）根据，可知
若测得的重力加速度g值偏小，则
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则L测量值偏大，则测得的g偏大，故A错误；
B．把摆线的长度记为摆长，则L测量值偏小，则测得的g偏小，故B正确；
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则测得的g偏小，故C正确；
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则周期测量值偏小，则测得的g偏大，故D错误；
故选：BC。
（4）若摆球重心在球心以上x处，则，解得
则图像的斜率为
解得，
故答案为：（1）（2）B（3）BC（4）
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