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专题12.2　磁场对运动电荷的作用　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.物理观念：洛伦兹力。
（1）.通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
（2）.能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
2.科学思维：带电粒子在有界匀强磁场中的运动。
（1）会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。
（2）能够分析带电体在匀强磁场中的运动。
【知识点一】对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的定义
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的大小
（1）v∥B时，F＝0；
（2）v⊥B时，F＝qvB；
（3）v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ.
3．洛伦兹力的方向
（1）判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
（2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．（注意B和v可以有任意夹角）
（2023 广西模拟）带正电的粒子在外力F作用下沿虚线做逆时针匀速圆周运动，圆心为O，a、b、c、d是圆上的4个等分点。通有电流大小为I的长直导线垂直圆平面放置，电流方向如图所示，导线位于a、O连线上，垂直于圆面。不考虑粒子运动产生的电场，不计粒子重力，则（　　）
A．粒子在a点受到的外力F垂直于纸面向外
B．粒子在b点受到的外力F垂直于纸面向里
C．粒子从a运动到c，洛伦兹力一直变小
D．粒子从a出发运动一周，洛伦兹力不做功
（2023 重庆模拟）如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘管道在水平外力F（图中未画出）的作用下以速度u向右匀速运动。管道内有一带正电小球，初始位于管道M端且相对管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电量为q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M端运动到N端过程有（　　）
A．时间为
B．小球所受洛伦兹力做功为quBl
C．外力F的平均功率为
D．外力F的冲量为qBl
（多选）（2023 南平模拟）如图所示，足够长的水平绝缘传送带以大小为v0的速度顺时针匀速转动，传送带上方足够大空间内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。将一质量为m、电荷量为q的带正电的小物块（可视为质点）无初速度地放在传送带的左端，小物块与传送带间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，下列所画出的小物块速度随时间变化的图象（图中t0，vm）可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【知识点二】带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．
2．带电粒子以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．
（1）洛伦兹力提供向心力：qvB＝.
（2）轨迹半径：r＝.
（3）周期：T＝、T＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．
（4）运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ（弧度）时，所用时间t＝T.
（5）动能：Ek＝mv2＝＝.
【方法总结】
1、求解带电粒子运动时间的一般思路
2、确定周期和运动时间的方法
粒子在磁场中运动一周的时间T＝，
当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间t＝T＝；
若知道弧长l，则可由t＝＝T计算出时间．
（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，空间中分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，有一质量为M，电荷量为q（q＞0）的粒子静止在O点。某时刻，该粒子炸裂成P、Q两部分，P粒子质量为、电荷量为，Q粒子质量为、电荷量为。不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　）
A．P粒子与Q粒子半径之比r1：r2＝2：1
B．P粒子与Q粒子半径之比r1：r2＝1：2
C．P粒子与Q粒子周期之比T1：T2＝2：1
D．P粒子与Q粒子周期之比T1：T2＝1：2
（2023 鹰潭一模）如图所示，虚线MN上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，在直角三角形OQP中，∠PQO，∠QOP＝30°。两个带电荷量数值相等的粒子a、b分别从O、P两点以垂直于MN的方向同时射入磁场，恰好在Q点相遇。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　）
A．a带负电，b带正电
B．a、b两粒子的周期之比为1：3
C．a、b两粒子的速度之比为2：1
D．a、b两粒子的质量之比为1：3
（2023 文昌模拟）如图所示，足够大的光滑绝缘水平桌面上建一直角坐标系xOy，磁感应强度为B的匀强磁场垂直桌面向下。质量为m、电荷量为q带电小球A（可视为质点）从坐标原点O以一定初速度沿着x轴正方向射出，在第一象限内运动并从坐标为（0，a）的P点向左离开第一象限。
（1）判断小球A的电性并求出初速度v0的大小；
（2）若小球A在第一象限内运动过程中与一个静止、不带电的小球B（可视为质点）发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰后两球电量均分，碰后小球A仍沿原轨迹运动。不计两球之间的库仑力。
①求小球B的质量mB；
②若两球碰后恰好在坐标为（，）的位置首次相遇，求小球B在第一象限初始位置的坐标。
【知识点三】带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：（左图） R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝
运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ 速度的偏转角φ等于AB所对的圆心角θ （2）偏转角φ与弦切角α的关系： φ＜180°时，φ＝2α；φ＞180°时，φ＝360°－2α
类型1　直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性（如图所示）
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间
t＝（1－）T＝（1－）＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
【模型提炼】带电粒子在单直线边界型磁场中的运动当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时：
（2023 涟源市二模）如图，虚线MN的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，在图示平面内两比荷相同的带正电粒子a、b从MN上的同一点沿不同方向射入匀强磁场后，又从MN上的同一点射出磁场。已知a粒子初速度的方向垂直虚线MN，粒子的重力和粒子间的相互作用忽略不计，则下列描述两粒子速度大小的关系图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）（2023 雨花区校级一模）如图所示，a、b为竖直正对放置的两平行金属板，其中a板带正电、两板间的电压为U，在金属板下方存在一有界的匀强磁场，磁场的上边界为与两金属板下端重合的水平面PQ，PQ下方的磁场范围足够大，磁场的磁感应强度大小为B，一比荷为的带正电粒子以速度v0从两板中间位置沿与a、b平行方向射入两板间的偏转电场，不计粒子重力，粒子通过偏转电场后从PQ边界上的M点进入磁场，运动一段时间后又从PQ边界上的N点射出磁场，设M、N两点距离为x（M、N点在图中未画出）。则以下说法中正确的是（　　）
A．只减小磁感应强度B的大小，则x减小
B．只增大初速度的大小，则x增大
C．只减小带电粒子的比荷，则x不变
D．只减小偏转电场的电压U的大小，则x不变
（多选）（2023 道里区校级三模）如图，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中（磁场空间足够大、图中未画出），磁感应强度为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为+q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°发射的粒子恰好经过N点，。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则（　　）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D．挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a
类型2　平行边界磁场
带电粒子在双直线边界型磁场中的运动
当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时：
【模型提炼】带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示
（多选）（2023 广东模拟）空间存在如图所示相邻的两个匀强磁场，磁场Ⅰ的宽度为d，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；磁场Ⅱ的宽度为2d，方向垂直纸面向外。现让质量为m、电荷量为q的带正电粒子以大小为的水平速度垂直磁场Ⅰ从P点射入磁场，粒子在磁场中运动后恰好从磁场Ⅱ的边缘C处水平射出。不计粒子所受的重力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　）
A．粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径为
B．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B
C．粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为
D．粒子在磁场中运动的总时间为
（2023 红桥区一模）如图所示，质量为m电荷量为q的粒子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角θ＝60°，求：
（1）画出偏转图，判断粒子的电性？求粒子的速度大小？
（2）穿过磁场所用的时间是多少。
（2023 叙州区校级二模）如图所示的两虚线之间有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），粒子发射源S位于两虚线之间的正中央，现由S沿斜向右下方发射一正粒子，粒子的速度与磁场边界的夹角为α＝60°，已知磁感应强度大小为B，粒子的质量和电量大小分别为m、q，两虚线之间的距离为d，磁场水平区域足够长，忽略粒子的重力。求：
（1）如果该粒子不能从虚线2射出而从虚线1离开磁场区域，则粒子的发射速度应满足什么条件？
（2）在题（1）情况下，粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值为多少？
类型3　圆形边界磁场
带电粒子在圆形有界磁场区域中的运动
所加磁场为圆形有界区域，让带电粒子沿半径方向射入，带电粒子在磁场中的运动有下列特点：
速率小的带电粒子在磁场中的轨迹短，对应的圆心角大，运动的时间长．
不同速率的带电粒子在磁场中运动的时间t应满足：0射入磁场的速度方向与所在半径间夹角等于射出磁场的速度方向与所在半径间的夹角．
（2023 西城区校级三模）两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子在磁场中运动时间较长
D．b粒子动能较大
（2023 阆中市校级模拟）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点0.4R处的P点沿着与PO连线成θ＝30°的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（　　）
A． B．
C． D．
（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，圆形区域半径为R，a是其水平直径上的一点，b、c是其竖直直径上的两点，已知一个带正电的粒子（不计重力）在a点沿垂直bc边的方向，以一定初速度v0水平射入该圆形区域，若圆形空间内只存在平行于该平面，且方向由c指向b的匀强电场，该粒子恰能从b点飞出，若圆形空间内只存在垂直于该平面向内的匀强磁场，粒子恰能从c点飞出。求：
（1）带电粒子从b点飞出的速度大小vb；
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比；
（3）若该带电粒子射入圆形区域后，区域内先存在题中所述匀强电场，粒子在电场中运动一段时间后撤去该电场，立即加上述匀强磁场，最终粒子恰好能从圆周上的d点水平飞出该区域，求：d点离竖直直径bc的距离l（不考虑撤去电场加上磁场所引起的电磁辐射的影响）。
类型4　三角形或四边形边界磁场
【方法总结】带电粒子在矩形边界磁场中的运动规律
（1）圆心在磁场边界上
①速度较小时，粒子做半圆运动后从原边界飞出；
②速度在某一范围内时可能从左侧面边界飞出：
③速度较大时做部分圆周运动从对面边界飞出．
（2）圆心不在边界上也不在与边界垂直的直线上
①速度较小时，粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；
②速度在某一范围内可能从上侧面边界飞出；
③速度较大时，粒子做部分圆周运动可能从右侧面边界飞出；
④速度更大时，粒子做部分圆周运动可能从下侧面边界飞出．
（多选）（2023 叙州区校级模拟）如图所示，在正方形MNPQ中存在垂直纸面向里的匀强磁场，比荷相同、电性可能不同的带电粒子a、b、c自MN中点O以垂直MN方向的不同大小的速度射入磁场，轨迹如图，粒子分别自P点、QM中点、N点离开磁场，不计粒子重力和粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　）
A．粒子a、b、c的速率之比va：vb：vc＝4：2：1
B．粒子a、b、c的速率之比va：vb：vc＝5：2：1
C．粒子a、c在磁场中运动的时间之比ta：tc＝1：4
D．粒子b、c在磁场中运动的时间之比tb：tc＝1：2
（2022 昌平区二模）如图所示，正方形abcd内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以大小不同的速度从a点沿ab方向射入磁场。不计电子的重力和电子间的相互作用。对于从c点和d点射出的电子，下列说法正确的是（　　）
A．轨道半径之比为1：2
B．线速度大小之比为1：2
C．向心力大小之比为1：2
D．在磁场中运动时间之比为1：2
（2023 兰州模拟）如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（　　）
A．粒子带正电 B．r1：r2＝2：1 C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
【知识点四】带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题
1．多解的几种情况
（1）带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．
（2）磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．
（3）运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．
（4）临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．
2．临界极值问题
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
（2）当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则该带电粒子（不计重力）在有界磁场中运动的时间越长．
（3）一带电粒子（不计重力）在有界磁场中运动，当其速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
[磁场方向不确定引起的多解]
类型 分析 图例
带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向不确定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
（多选）（2023 湖南模拟）如图所示，长方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，区域内的点O处有一粒子源，O点离ab边距离为0.25L，离bc边距离为L，粒子源以垂直ab边指向dc边的速度向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab边长为2L、bc边长为L，粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同
B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为
C．粒子有可能从c点离开磁场
D．粒子要想离开长方形区域，速率至少要大于
（多选）（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝cb＝l，ab＝2l，一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度可能为（　　）
A． B． C． D．
（2023 罗湖区校级三模）如图所示，在平面直角坐标系xoy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xoy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OAC＝30°，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为（﹣R，R），圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xoy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m、电荷量均为q；在y轴上的CG之间放置一个长CG＝2R的探测板，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用，求：
（1）圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率v0；
（2）从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间t；
（3）探测板CG上有离子打到的区域长度。
（多选）（2023 甲卷）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（　　）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
（2022 重庆）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则（　　）
A．电场力的瞬时功率为qE
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
（2022 北京）正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是（　　）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大
D．轨迹3对应的粒子是正电子
（2023 北京）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（l a）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出。单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用。下列说法不正确的是（　　）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为nqπa2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
（2023 新课标）一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点，a点在小孔O的正上方，b点在a点的右侧，如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为（　　）
A．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
（2023 乙卷）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP＝l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（　　）
A． B． C． D．
（2023 湖北）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场。t＝0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周。已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小。
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小。
（3）时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
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专题12.2　磁场对运动电荷的作用　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.物理观念：洛伦兹力。
（1）.通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
（2）.能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
2.科学思维：带电粒子在有界匀强磁场中的运动。
（1）会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。
（2）能够分析带电体在匀强磁场中的运动。
【知识点一】对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的定义
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的大小
（1）v∥B时，F＝0；
（2）v⊥B时，F＝qvB；
（3）v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ.
3．洛伦兹力的方向
（1）判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
（2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．（注意B和v可以有任意夹角）
（2023 广西模拟）带正电的粒子在外力F作用下沿虚线做逆时针匀速圆周运动，圆心为O，a、b、c、d是圆上的4个等分点。通有电流大小为I的长直导线垂直圆平面放置，电流方向如图所示，导线位于a、O连线上，垂直于圆面。不考虑粒子运动产生的电场，不计粒子重力，则（　　）
A．粒子在a点受到的外力F垂直于纸面向外
B．粒子在b点受到的外力F垂直于纸面向里
C．粒子从a运动到c，洛伦兹力一直变小
D．粒子从a出发运动一周，洛伦兹力不做功
【解答】解：A、粒子在外力F作用下沿虚线做逆时针匀速圆周运动，合力为向心力，大小不变，方向始终指向圆心，由安培定则可知，a点时速度方向与磁感应强度方向平行，粒子受到的洛伦兹力大小为0，所以外力F指向圆心，故A错误；
B、粒子做匀速圆周运动，合力为向心力，大小不变，方向始终指向圆心，b点时速度方向与磁感应强度方向夹θ且在同一平面，由安培定则可知，粒子受到的洛伦兹力垂直于纸面向外，外力垂直于纸面向里错误，故B错误；
C、粒子在a点时速度方向与磁感应强度方向平行，粒子受到的洛伦兹力大小为0，同理粒子在c点受到的洛伦兹力也为0，而粒子在d点时，由于磁感应强度与速度之间不平行，所以安培力不为0，由此定性分析可知，从a到c粒子所受的洛伦兹力先变大再变小，故C错误；
D、因为洛伦兹力总是与速度方向垂直，所以洛伦兹力永不做功，故D正确。
故选：D。
（2023 重庆模拟）如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘管道在水平外力F（图中未画出）的作用下以速度u向右匀速运动。管道内有一带正电小球，初始位于管道M端且相对管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电量为q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M端运动到N端过程有（　　）
A．时间为
B．小球所受洛伦兹力做功为quBl
C．外力F的平均功率为
D．外力F的冲量为qBl
【解答】解：A．小球在水平外力F的作用下以速度u向右匀速运动，由F＝qvB可知，小球受到的洛伦兹力沿管道方向，且大小保持不变，根据牛顿第二定律得quB＝ma，由初速度为零的位移公式，解得，故A错误；
B．小球所受洛伦兹力始终和运动方向相互垂直，故洛伦兹力不做功，故B错误；
C．小球所受洛伦兹力不做功，故在沿管道方向分力做正功的大小等于垂直于管道向左的分力做负功的大小，外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，则有WF＝Wy＝Wx＝quBl，外力F的平均功率为，故C错误；
D．外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，外力F的冲量大小等于，故D正确。
故选：D。
（多选）（2023 南平模拟）如图所示，足够长的水平绝缘传送带以大小为v0的速度顺时针匀速转动，传送带上方足够大空间内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。将一质量为m、电荷量为q的带正电的小物块（可视为质点）无初速度地放在传送带的左端，小物块与传送带间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，下列所画出的小物块速度随时间变化的图象（图中t0，vm）可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：D、小物块由静止开始向右做加速运动，开始运动后受到重力mg，竖直向上的洛伦兹力F洛和支持力N＝mg﹣F洛，水平向右的滑动摩擦力f＝μN，根据牛顿第二定律可知，小物块运动的加速度大小，可见随着速度v的增大，小物块做加速度逐渐减小的加速运动，故D错误；
A、当v＝0时，a＝μg，所以图线在O点的切线应与图中过O点的倾斜虚直线重合，故A错误；
B、当mg＝qvmB时，a＝0，对应速度，当vm＜v0，小物块加速到vm时，支持力N＝0，摩擦力消失，小物块脱离传送带做匀速运动，故B正确；
C、当vm＞v0，小物块加速到v0时，小物块与传送带共速，摩擦力消失，随传送带一起向右做匀速运动，故C项正确。
故选：BC。
【知识点二】带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．
2．带电粒子以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．
（1）洛伦兹力提供向心力：qvB＝.
（2）轨迹半径：r＝.
（3）周期：T＝、T＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．
（4）运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ（弧度）时，所用时间t＝T.
（5）动能：Ek＝mv2＝＝.
【方法总结】
1、求解带电粒子运动时间的一般思路
2、确定周期和运动时间的方法
粒子在磁场中运动一周的时间T＝，
当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间t＝T＝；
若知道弧长l，则可由t＝＝T计算出时间．
（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，空间中分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，有一质量为M，电荷量为q（q＞0）的粒子静止在O点。某时刻，该粒子炸裂成P、Q两部分，P粒子质量为、电荷量为，Q粒子质量为、电荷量为。不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　）
A．P粒子与Q粒子半径之比r1：r2＝2：1
B．P粒子与Q粒子半径之比r1：r2＝1：2
C．P粒子与Q粒子周期之比T1：T2＝2：1
D．P粒子与Q粒子周期之比T1：T2＝1：2
【解答】解：AB、粒子炸裂过程动量守恒，根据动量守恒定律可得P、Q两部分的动量大小相等，再根据洛伦兹力提供向心力，有，解得粒子的轨迹半径r；
由此可知P粒子和Q粒子的半径之比与电荷量成反比，即，故A正确，B错误；
CD、粒子的周期公式T，据此可知P粒子与Q粒子周期之比，故CD错误。
故选：A。
（2023 鹰潭一模）如图所示，虚线MN上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，在直角三角形OQP中，∠PQO，∠QOP＝30°。两个带电荷量数值相等的粒子a、b分别从O、P两点以垂直于MN的方向同时射入磁场，恰好在Q点相遇。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　）
A．a带负电，b带正电
B．a、b两粒子的周期之比为1：3
C．a、b两粒子的速度之比为2：1
D．a、b两粒子的质量之比为1：3
【解答】解：A．如下图所示
由几何关系可得两粒子轨迹圆心在同一点O'，轨迹半径相等。可知粒子a进入磁场时受到的洛伦兹力方向向右，根据左手定则可知a带正电，粒子b进入磁场时受到的洛伦兹力方向向左，根据左手定则可知b带负电，故A错误；
B．两带电粒子同时射入磁场，同时到达Q点，故运动时间相等，由图可知，粒子a到达Q点时运动的圆弧对应的圆心角为120°，粒子b到达Q点时运动的圆弧对应的圆心角为60°，则有
a、b两粒子的周期之比为
，故B错误；
D．根据周期公式
由于两粒子所带电荷量数值相等，则有a、b两粒子的质量之比为
，故D错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力
解得：
由于两粒子的轨迹半径相等，所带电荷量数值相等，则有a、b两粒子的速度之比为
，故C正确。
故选：C。
（2023 文昌模拟）如图所示，足够大的光滑绝缘水平桌面上建一直角坐标系xOy，磁感应强度为B的匀强磁场垂直桌面向下。质量为m、电荷量为q带电小球A（可视为质点）从坐标原点O以一定初速度沿着x轴正方向射出，在第一象限内运动并从坐标为（0，a）的P点向左离开第一象限。
（1）判断小球A的电性并求出初速度v0的大小；
（2）若小球A在第一象限内运动过程中与一个静止、不带电的小球B（可视为质点）发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰后两球电量均分，碰后小球A仍沿原轨迹运动。不计两球之间的库仑力。
①求小球B的质量mB；
②若两球碰后恰好在坐标为（，）的位置首次相遇，求小球B在第一象限初始位置的坐标。
【解答】解：（1）根据左手定则可知球A带正电荷，球A运动半径
根据牛顿第二定律
解得：
（2）①碰撞后球A运动半径保持不变，但其带电量变为，设碰撞后A的速度为vA，B速度为vB，根据
即
弹性正碰，选择小球碰撞前的速度方向为正方向，系统动量守恒、机械能守恒
mv0＝mvA+mBvB
解得：；
②由（2）可得：
；
对球B，根据牛顿第二定律可得：
解得：
设两球从碰撞位置运动到球A转过的圆心角是θ，又因为
vB＝3vA
则两球角速度之比
ωA：ωB＝1：3
球B转过的圆心角是3θ，球B比球A多转2π，则
3θ﹣θ＝2π
解得：θ＝π
所以球B被碰时在第一象限的位置为
答：（1）小球A的电性带正电，初速度的大小为；
（2）①小球B的质量为；
②小球B在第一象限初始位置的坐标为（，）。
【知识点三】带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：（左图） R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝
运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ 速度的偏转角φ等于AB所对的圆心角θ （2）偏转角φ与弦切角α的关系： φ＜180°时，φ＝2α；φ＞180°时，φ＝360°－2α
类型1　直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性（如图所示）
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间
t＝（1－）T＝（1－）＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
【模型提炼】带电粒子在单直线边界型磁场中的运动当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时：
（2023 涟源市二模）如图，虚线MN的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，在图示平面内两比荷相同的带正电粒子a、b从MN上的同一点沿不同方向射入匀强磁场后，又从MN上的同一点射出磁场。已知a粒子初速度的方向垂直虚线MN，粒子的重力和粒子间的相互作用忽略不计，则下列描述两粒子速度大小的关系图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：两粒子均在磁场中均做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
设a、b粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为ra，rb，两粒子初速度间的夹角为θ，两粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知
ra＝rbcosθ
又因为
两粒子比荷相同，故有
即va＝vbcosθ，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）（2023 雨花区校级一模）如图所示，a、b为竖直正对放置的两平行金属板，其中a板带正电、两板间的电压为U，在金属板下方存在一有界的匀强磁场，磁场的上边界为与两金属板下端重合的水平面PQ，PQ下方的磁场范围足够大，磁场的磁感应强度大小为B，一比荷为的带正电粒子以速度v0从两板中间位置沿与a、b平行方向射入两板间的偏转电场，不计粒子重力，粒子通过偏转电场后从PQ边界上的M点进入磁场，运动一段时间后又从PQ边界上的N点射出磁场，设M、N两点距离为x（M、N点在图中未画出）。则以下说法中正确的是（　　）
A．只减小磁感应强度B的大小，则x减小
B．只增大初速度的大小，则x增大
C．只减小带电粒子的比荷，则x不变
D．只减小偏转电场的电压U的大小，则x不变
【解答】解：ABCD、粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设粒子进入磁场时速度方向与磁场边界的夹角为θ，速度大小为
根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m
故轨道半径
由几何关系可知
只减小磁感应强度B、只增大初速度v0或只减小带电粒子的比荷时，都可使x增大，而x与偏转电场的电压U无关。
故BD正确，AC错误。
故选：BD。
（多选）（2023 道里区校级三模）如图，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中（磁场空间足够大、图中未画出），磁感应强度为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为+q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°发射的粒子恰好经过N点，。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则（　　）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D．挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a
【解答】解：A、粒子轨迹如图1所示
由几何关系可知，可得粒子的轨迹半径为：R＝a，故A错误；
B、当轨迹刚好与MN相切时，粒子能打到板上最大长度，如图轨迹2，设速度方向与ON夹角为θ，由几何关系可得
可得，则挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为；故B错误；
C、要使粒子打在右侧，有两个临界条件，如图中的轨迹1、3，由几何关系可知1、3的初速度夹角为α＝60°
则粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的，故C正确；
D．如上图粒子1打在MN上的点与O1N组成顶角为60°的等腰三角形，所以由几何关系可知板的右侧被粒子击中的竖直长度为y＝R＝a，故D正确。
故选：CD。
类型2　平行边界磁场
带电粒子在双直线边界型磁场中的运动
当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时：
【模型提炼】带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示
（多选）（2023 广东模拟）空间存在如图所示相邻的两个匀强磁场，磁场Ⅰ的宽度为d，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；磁场Ⅱ的宽度为2d，方向垂直纸面向外。现让质量为m、电荷量为q的带正电粒子以大小为的水平速度垂直磁场Ⅰ从P点射入磁场，粒子在磁场中运动后恰好从磁场Ⅱ的边缘C处水平射出。不计粒子所受的重力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　）
A．粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径为
B．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B
C．粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为
D．粒子在磁场中运动的总时间为
【解答】解：A、粒子在磁场I中运动的轨道半径为，故A正确；
B、粒子的运动轨迹如图所示：
由几何关系可知粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为r2＝2r1，再结合可得磁场Ⅱ的磁感应强度大小为B2B，故B错误；
C、粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为，故C错误；
D、粒子在两磁场中运动时圆弧所对的圆心角均为37°，粒子在磁场I中运动的周期为，故磁场中运动的总时间为，故D正确。
故选：AD。
（2023 红桥区一模）如图所示，质量为m电荷量为q的粒子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角θ＝60°，求：
（1）画出偏转图，判断粒子的电性？求粒子的速度大小？
（2）穿过磁场所用的时间是多少。
【解答】解：（1）粒子在磁场中的偏转情况如图所示
由左手定则可知粒子带负电；
由几何知识可得：Rsinθ＝d
解得粒子轨迹半径为：
根据洛伦兹力提供向心力可得：
联立解得：
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为：
粒子轨迹对应的圆心角等于速度方向偏向角，即为60°
粒子穿过磁场所用的时间是：
解得：
答：（1）粒子轨迹见解析，粒子带负电，粒子的速度大小为；
（2）穿过磁场所用的时间。
（2023 叙州区校级二模）如图所示的两虚线之间有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），粒子发射源S位于两虚线之间的正中央，现由S沿斜向右下方发射一正粒子，粒子的速度与磁场边界的夹角为α＝60°，已知磁感应强度大小为B，粒子的质量和电量大小分别为m、q，两虚线之间的距离为d，磁场水平区域足够长，忽略粒子的重力。求：
（1）如果该粒子不能从虚线2射出而从虚线1离开磁场区域，则粒子的发射速度应满足什么条件？
（2）在题（1）情况下，粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值为多少？
【解答】解：（1）粒子从虚线1离开磁场区域，则有洛伦兹力提供向心力，可得：qvB＝m
解得：r
粒子运动的半径与速度成正比，设粒子从虚线1离开磁场区域的最大半径为r1，最小半径为r2，如图所示：
根据几何关系可得：r2+r2cos60°，解得：r2
由于r2，解得：v2
根据图中几何关系可得r1＝d
由于r1，解得：v1
则粒子的发射速度应满足：v
（2）粒子做匀速圆周运动的周期T，粒子做匀速圆周运动的周期固定，所以当v＝v1时，运动时间最短
粒子运动的圆心角为：α＝60°+90°＝150°
最短时间为：t1
当v＝v2时，运动时间最长，粒子运动的圆心角为α＝180°+60°＝240°
则最长时间为：t2T
则有
答：（1）如果该粒子不能从虚线2射出而从虚线1离开磁场区域，则粒子的发射速度应满足v；
（2）在题（1）情况下，粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值为。
类型3　圆形边界磁场
带电粒子在圆形有界磁场区域中的运动
所加磁场为圆形有界区域，让带电粒子沿半径方向射入，带电粒子在磁场中的运动有下列特点：
速率小的带电粒子在磁场中的轨迹短，对应的圆心角大，运动的时间长．
不同速率的带电粒子在磁场中运动的时间t应满足：0射入磁场的速度方向与所在半径间夹角等于射出磁场的速度方向与所在半径间的夹角．
（2023 西城区校级三模）两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子在磁场中运动时间较长
D．b粒子动能较大
【解答】解：A、粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，带正电；a向下偏转，带负电，故A错误；
B、粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，即：qvB＝m，得：r，故半径较大的b粒子速度大；根据洛伦兹力的计算公式可得：F＝qvB，两个质量相同、所带电荷量相等，则b粒子在磁场中所受洛伦兹力较大，故B错误；
C、粒子运动周期：T，T相同，磁场中偏转角大的运动的时间也长，由于a粒子的偏转角大，因此运动的时间长，故C错误；
D、根据动能计算公式可得：Ek，b粒子速度大、则动能大，故D正确。
故选：D。
（2023 阆中市校级模拟）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点0.4R处的P点沿着与PO连线成θ＝30°的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：电子的速率最大时，运动轨迹如图，此时电子的运动轨迹与磁场边界相切，
根据得：
电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的圆心做OP的垂线，由几何关系得
解得：
则最大速率为：
，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，圆形区域半径为R，a是其水平直径上的一点，b、c是其竖直直径上的两点，已知一个带正电的粒子（不计重力）在a点沿垂直bc边的方向，以一定初速度v0水平射入该圆形区域，若圆形空间内只存在平行于该平面，且方向由c指向b的匀强电场，该粒子恰能从b点飞出，若圆形空间内只存在垂直于该平面向内的匀强磁场，粒子恰能从c点飞出。求：
（1）带电粒子从b点飞出的速度大小vb；
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比；
（3）若该带电粒子射入圆形区域后，区域内先存在题中所述匀强电场，粒子在电场中运动一段时间后撤去该电场，立即加上述匀强磁场，最终粒子恰好能从圆周上的d点水平飞出该区域，求：d点离竖直直径bc的距离l（不考虑撤去电场加上磁场所引起的电磁辐射的影响）。
【解答】解：（1）若圆形空间内只存在平行于该平面，且方向由c指向b的匀强电场，该粒子恰能从b点飞出，粒子在电场中做类平抛运动，在沿初速度方向做匀速直线运动，则有
R＝v0t
在沿电场方向粒子做初速度为零的匀加速直线运动，则有
且有vy＝at
联立解得：，vy＝2v0
粒子从b点射出时的速度为vbv0
（2）若圆形空间内只存在垂直于该平面向内的匀强磁场，粒子恰能从c点飞出，粒子在磁场中做匀强圆周运动，根据几何关系可知粒子从c点射出时，轨迹半径等于磁场的半径，即
r＝R
根据洛伦兹力提供向心力，有
qv0B＝m
联立可得：B
由（1）可得：qE＝ma，得E
故电场强度和磁感应强度的大小之比为
（3）粒子在电场中运动一段时间后，沿初速度方向的位移为
加上述匀强磁场，最终粒子恰好能从圆周上的d点水平飞出该区域，画出粒子的运动轨迹
根据几何关系
粒子做匀速圆周运动的轨迹所对的圆心角为θ
解得：
d点离竖直直径bc的距为离为
答：（1）带电粒子从b点飞出的速度大小vb为；
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比为2v0；
（3）d点离竖直直径bc的距离l为。
类型4　三角形或四边形边界磁场
【方法总结】带电粒子在矩形边界磁场中的运动规律
（1）圆心在磁场边界上
①速度较小时，粒子做半圆运动后从原边界飞出；
②速度在某一范围内时可能从左侧面边界飞出：
③速度较大时做部分圆周运动从对面边界飞出．
（2）圆心不在边界上也不在与边界垂直的直线上
①速度较小时，粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；
②速度在某一范围内可能从上侧面边界飞出；
③速度较大时，粒子做部分圆周运动可能从右侧面边界飞出；
④速度更大时，粒子做部分圆周运动可能从下侧面边界飞出．
（多选）（2023 叙州区校级模拟）如图所示，在正方形MNPQ中存在垂直纸面向里的匀强磁场，比荷相同、电性可能不同的带电粒子a、b、c自MN中点O以垂直MN方向的不同大小的速度射入磁场，轨迹如图，粒子分别自P点、QM中点、N点离开磁场，不计粒子重力和粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　）
A．粒子a、b、c的速率之比va：vb：vc＝4：2：1
B．粒子a、b、c的速率之比va：vb：vc＝5：2：1
C．粒子a、c在磁场中运动的时间之比ta：tc＝1：4
D．粒子b、c在磁场中运动的时间之比tb：tc＝1：2
【解答】解：AB、设正方形边长为L.根据几何关系L2+（ra）2，解得：raL.同理根据几何关系解得：rbL，rcL
根据洛伦兹力提供向心力有：qvB＝m
解得半径之比即为速率之，即粒子a、b、c的速率之比va：vb：vc＝5：2：1，故A错误，B正确；
CD、在磁场中的运动时间t
则粒子在磁场运动的时间正比于转过的圆心角，b圆心角为90°.c圆心角为180°，a圆心角不等于45°，所以粒子b、c在磁场中运动的时间之比tb：tc＝1：2，粒子a、c在磁场中运动的时间之比ta：tc≠1：4，故C错误，D正确。
故选：BD。
（2022 昌平区二模）如图所示，正方形abcd内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以大小不同的速度从a点沿ab方向射入磁场。不计电子的重力和电子间的相互作用。对于从c点和d点射出的电子，下列说法正确的是（　　）
A．轨道半径之比为1：2
B．线速度大小之比为1：2
C．向心力大小之比为1：2
D．在磁场中运动时间之比为1：2
【解答】解：A．设正方形边长为L，根据图像可知从c点射出的电子轨道半径为L，从d点射出的电子轨道半径为，则轨道半径之比为2：1，故A错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力得
qvB＝m
可得：
因轨道半径之比为2：1，则线速度大小之比为2：1，故B错误；
C．电子所受洛伦兹力充当向心力，即F向＝qvB，因线速度大小之比为2：1，则向心力大小之比为2：1，故C错误；
D．电子在磁场中的运动周期为
则从c点射出的电子在磁场中的运动时间为
从d点射出的电子在磁场中的运动时间为
则在磁场中运动时间之比为1：2，故D正确。
故选：D。
（2023 兰州模拟）如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（　　）
A．粒子带正电 B．r1：r2＝2：1 C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
【解答】解：A、由题意可知粒子在磁场中顺时针偏转，由左手定则判断可知粒子带负电，故A错误；
B、根据题意做出粒子在磁场中运动的轨迹如下图所示：
由图中几何关系可得：r1＝r2
解得粒子在磁场中运动得半径之比：r1：r2＝3：1，故B错误；
C、根据洛伦兹力充当向心力有：，解得粒子在磁场中运动时的速度：
由此可知粒子在磁场中运动的速度之比等于轨迹半径之比，即v1：v2＝r1：r2＝3：1，故C正确；
D、根据粒子在磁场中运动得轨迹可知，速率为v1时粒子在场中偏转了30°，速率为v2时粒子在磁场中偏转了180°，而同一种粒子在相同磁场中运动得周期相同均为：，则可知粒子在磁场中运动的时间之比等于偏转角度之比，即t1：t2＝30°：180°＝1：6，故D错误。
故选：C。
【知识点四】带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题
1．多解的几种情况
（1）带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．
（2）磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．
（3）运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．
（4）临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．
2．临界极值问题
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
（2）当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则该带电粒子（不计重力）在有界磁场中运动的时间越长．
（3）一带电粒子（不计重力）在有界磁场中运动，当其速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
[磁场方向不确定引起的多解]
类型 分析 图例
带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向不确定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
（多选）（2023 湖南模拟）如图所示，长方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，区域内的点O处有一粒子源，O点离ab边距离为0.25L，离bc边距离为L，粒子源以垂直ab边指向dc边的速度向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab边长为2L、bc边长为L，粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同
B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为
C．粒子有可能从c点离开磁场
D．粒子要想离开长方形区域，速率至少要大于
【解答】解：A．粒子在磁场做圆周运动的可能运动轨迹如图所示
从ab边射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，由T可知，粒子运动周期相同，但粒子对应的圆心角不相同，则运动时间也不同，故A错误；
B．从bc边射出的粒子，最大圆心角即与bc边相切的轨迹2，切点处对应圆心角为180°，时间为
，其余粒子圆心角均小于此值，故B正确；
C．粒子与cd边相切的轨迹如4，由几何关系知其轨迹半径为0.75L，切点在c点左侧，故粒子不可能过c点，故C错误；
D．粒子要想离开长方形区域的临界轨迹如1，由几何关系得其轨迹半径为0.25L，设此时速率为v，则有
解得
粒子要离开长方形区域，速率至少为，故D正确。
故选：BD。
（多选）（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝cb＝l，ab＝2l，一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度可能为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意作出粒子的运动轨迹，如图所示；
由几何关系可知，当粒子从c点飞出时，半径为
粒子从b点飞出时，半径为
由牛顿第二定律有
则可得，代入数据可得
解得为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度范围为，故BC可能，AD不可能。
故选：BC。
（2023 罗湖区校级三模）如图所示，在平面直角坐标系xoy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xoy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OAC＝30°，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为（﹣R，R），圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xoy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m、电荷量均为q；在y轴上的CG之间放置一个长CG＝2R的探测板，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用，求：
（1）圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率v0；
（2）从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间t；
（3）探测板CG上有离子打到的区域长度。
【解答】解：（1）从P点垂直于x轴发射的正粒子恰好通过Q点进入第一象限，说明正离子在P点受向右的磁场力，由左手定则可知磁场方向垂直纸面向外；
如图所示，设离子在圆形区域圆周运动的半径为r，则：r＝R
又有：qv0B
解得：v0
（2）设离子在两磁场中圆周运动周期为T，则：T
离子在圆形磁场区域中运动的圆心角为90°，则运动时间：t1
离子在两磁场之间匀速直线运动的时间：t2
离子在AC右侧区域磁场中运动圆心角为300°，运动时间为：t3
则离子从发射到第二次经过边界AC所用时间：t＝t1+t2+t3
（3）如图所示，因所有粒子均以恒定速率发射，故离子在圆形磁场区域的轨迹半径均为r，又已知r＝R，易得所有离子经过圆形磁场后均水平向右飞出圆形磁场，然后穿过AC进入右侧磁场。从C点进入右侧磁场的离子，经过半个周期打到屏上的E点，则：CE＝2R
从M点进入右侧磁场的离子，轨迹恰好与屏CG相切于D点，图中CF垂直于O2M于F，则：FM﹣Rtan30°
CD＝O2F＝R
则探测板上有离子打到的区域为DE，其长度：DE＝CE﹣CD
答：（1）圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率v0为；
（2）从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间t为；
（3）探测板CG上有离子打到的区域长度为（）。
（多选）（2023 甲卷）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（　　）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
【解答】解：ABC、粒子从P点沿磁场半径方向进入磁场区域，以O1为圆心做圆周运动，从A点离开圆筒，轨迹如图所示
由几何关系可知△PO1O≌△AO1O，由于∠OPO1＝90°，所以∠OAO1＝90°，则粒子一定会沿半径方向离开磁场区域，与筒壁碰撞后依然沿半径方向进入磁场区域，所以粒子不可能通过圆心O；由图可知粒子至少与筒壁碰撞两次（分别与A和B碰撞），然后从小孔P射出；
由于最终粒子是从P点射出，增大速度碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少，故B正确，AC错误。
D、由前面分析可知粒子沿半径圆筒半径方向射向圆筒，碰撞后沿半径方向返回圆筒，故D正确。
故选：BD。
（2022 重庆）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则（　　）
A．电场力的瞬时功率为qE
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
【解答】解：A、该粒子所受电场力的瞬时功率是电场力与沿电场力方向速度的乘积，所以P＝qEv1，故A错误；
B、v2与B垂直，所以该粒子所受洛伦兹力大小f＝qv2B，故B错误；
C、速度v1的方向与磁感应强度B方向相同，该分速度不受洛伦兹力作用；v2方向与B垂直，粒子在垂直于磁场方向平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力不做功，v2不变；粒子沿电场方向做加速运动，v1不断增大，则v2与v1的比值不断减小，故C错误；
D、粒子做匀速圆周运动的向心加速度a向大小不变，电场力产生的加速度a电，q、E、m不变，a电不变，a向、a电大小都不变，两者方向垂直，粒子的加速度不变，故D正确。
故选：D。
（2022 北京）正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是（　　）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大
D．轨迹3对应的粒子是正电子
【解答】解：AD、根据题图可知，1和3粒子的转动方向一致，则1和3粒子为电子，2为正电子，电子带负电且顺时针转动，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，故A正确，D错误；
B、电子在云室中运动，洛伦兹力不做功，而粒子受到云室内填充物质的阻力作用，粒子速度越来越小，故B错误；
C、带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得：
解得：r
根据题图可知轨迹3对应的粒子运动的半径更大，速度更大，粒子运动过程中受到云室内物质的阻力的情况下，此结论也成立，故C错误。
故选：A。
（2023 北京）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（l a）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出。单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用。下列说法不正确的是（　　）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为nqπa2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
【解答】解：A.带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为
r＝a
故A正确；
B.根据
qvB＝m
可得粒子的质量
m
故B正确；
C.管道内的等效电流为
Inq
故C错误；
D.粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受的安培力
F＝BIl＝Bnql
故D正确。
本题选错误的，故选：C。
（2023 新课标）一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点，a点在小孔O的正上方，b点在a点的右侧，如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为（　　）
A．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
【解答】解：A、粒子刚从O点射出时，若电场方向水平向左，α粒子所受电场力水平向左，若磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则得，α粒子所受洛伦兹力水平向左，则α粒子向左偏转，不会出现图示的轨迹，故A错误；
B、粒子刚从O点射出时，若电场方向水平向左，α粒子所受电场力水平向左，电子所受电场力水平向右，若磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则得，α粒子所受洛伦兹力水平向右，电子所受洛伦兹力水平向左，沿直线运动到a点的粒子受力平衡，有：qvB＝qE
已知α粒子的速度约为电子速度的，若α粒子沿直线运动到a点，则电子所受洛伦兹力大于电场力，电子向左偏转，若电子沿直线运动到a点，则α粒子所受洛伦兹力小于电场力，α粒子向左偏转，不会出现图示的轨迹，故B错误；
C、粒子刚从O点射出时，若电场方向水平向右，α粒子所受电场力水平向右，电子所受电场力水平向左，若磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则得，α粒子所受洛伦兹力水平向左，电子所受洛伦兹力水平向右，沿直线运动到a点的粒子受力平衡，有：qvB＝qE
已知α粒子的速度约为电子速度的，若α粒子沿直线运动到a点，则电子所受洛伦兹力大于电场力，电子向右偏转，若电子沿直线运动到a点，则α粒子所受洛伦兹力小于电场力，α粒子向右偏转，会出现图示的轨迹，故C正确；
D、粒子刚从O点射出时，若电场方向水平向右，α粒子所受电场力水平向右，电子所受电场力水平向左，磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则得，α粒子所受洛伦兹力水平向右，电子所受洛伦兹力水平向左，α粒子向右偏转，电子向左偏转，不会出现图示的轨迹，故D错误。
故选：C。
（2023 乙卷）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP＝l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：未加电场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，做其运动轨迹如图：
设SP与x轴正方向夹角为θ，则cosθ
θ＝60°
粒子做圆周运动转过的圆心角也为60°，由几何关系得：r﹣a＝rcosθ
解得：r＝2a
粒子做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
在磁场中加匀强电场，粒子做匀速直线运动，受力平衡：qvB＝qE
联立解得：
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023 湖北）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场。t＝0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周。已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小。
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小。
（3）时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
【解答】解：（1）根据带电微粒从P点射入磁场，能到达点O，根据几何关系确定轨道半径为a，由洛伦兹力提供向心力得：Bqv＝m
解得：v
（2）粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动两个圆周，可知甲的周期是乙的周期的2倍，即T甲＝2T乙
根据带电粒子在磁场中运动的的周期公式得：，
解得：m乙
第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰，碰前在O点甲的速度沿y轴负方向，为﹣v，碰后为3v，设碰前在O点乙的速度为v1，碰后为v2，根据动量守恒定律得：m（﹣v）m 3v
所有碰撞均为弹性正碰，再根据机械能守恒得：
联立解得：
第一次碰撞前粒子乙的速度为v1＝5v，方向指向y轴正方向；
第一次碰撞后粒子乙的速度为v2＝﹣3v，方向指向y轴负方向；
（3）0时刻开始，设第二次弹性正碰后，粒子甲的速度为v3，粒子乙的速度为v4，根据动量守恒定律得：m 3vmv3
所有碰撞均为弹性正碰，再根据机械能守恒得：
联立解得：v3＝﹣v，粒子乙的速度为v4＝5v
因为第二次碰后两种粒子速度等于第一次碰前的速度，可知，粒子甲经过第奇数次碰撞后速度变为3v，经过第偶数次碰撞后速度变为﹣v，粒子乙经过第奇数次碰撞后速度变为﹣3v，经过第偶数次碰撞后速度变为5v；
根据题意，从第一次碰撞开始，甲粒子完成一个周期、乙粒子完成两个周期两种粒子在磁场中就在O点碰撞一次；
从t＝0时刻开始，由于第一次碰撞是甲运动了半个周期发生的，到时刻，粒子甲完成了9次碰撞又运动了半个周期，乙完成了9次碰撞又运动了一个周期，因此在第9次碰后，甲粒子速度为3v，粒子乙的速度为﹣3v，根据洛伦兹力提供向心力可知，甲经过奇数次碰撞后轨道半径变为
根据左手定则判断第9次碰后经过粒子甲运动的半个周期，运动到x轴负方向，所以到时刻粒子甲的坐标为（﹣6a，0）；
由于粒子乙碰后完成了粒子乙运动的一个周期，坐标为（0，0）；
根据洛伦兹力提供向心力可知，乙经过奇数次碰撞后轨道半径变为
经过偶数次碰撞后轨道半径变为
从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动了9个轨道半径为1.5a的圆周以及8个轨道半径变为2.5a的圆周；从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动的路程为l＝9×2π×1.5a+8×2π×2.5a＝67πa。
答：（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小为；
（2）粒子乙的质量为，第一次碰撞后粒子乙的速度大小为3v；
（3）时刻粒子甲的坐标为（﹣6a，0），乙的位置坐标为（0，0）；从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动的路程为67πa。
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