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考点05 平面向量最值与范围问题5种常见考法归类
平面向量中的最值或范围问题是根据已知条件求某个变量的范围或最值，比如：向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾"数"与"形"的双重身份，所以解决平面向量的范围或最值问题的另外一种思路是数形结合。可根据向量的三角形法则、平行四边形法则，绘制相应的几何图形，将向量之间的关系转化为几何关系，灵活运用平面几何图形的性质，如圆、矩形、三角形、平行四边形的性质，寻找到使目标式取最值的临界情形，从而求得最值。
策略1 与向量的模有关的最值或范围问题
与向量的模有关的问题，一般都会用到，有时也会转化为轨迹问题求解。
策略2 与向量的夹角有关的最值或范围问题
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝ 计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.　　　　
策略3 与平面向量数量积有关的最值或范围问题
一般情况下，如果遇到的问题适合建立平面直角坐标系，则使用“坐标法”解题，如遇到与等腰三角形、平行四边形、矩形、圆等规则平面几何图形有关的问题时，可根据几何图形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标，各条线段的方向向量，便可通过向量的坐标运算求得目标式，再利用二次函数的性质、基本不等式等求得目标式的最值，即可解题.否则利用平面向量基本定理解题。
（1）数量积的定义
，其中（0≤0≤π）为非零向量的夹角.规定，特别地，
（2）数量积的坐标形式
若，则
（3）常用结论
①若点M为线段AB的中点，则对平面内任意一点O，.
②若四边形ABCD是平行四边形，则，特别的有
（平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和）
③向量极化恒等式：
ⅰ：平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
ⅱ：三角形模式：（M为BD的中点）
④向量三角不等式：
⑤向量柯西不等式：，即
⑥
其中结论1～结论3主要用于数量积求解过程中的向量转化或数量积的恒等变形，结论4～结论6主要用于向量数量积的范围或最值的求解．
策略4 与系数有关的最值或范围问题
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底，（λ，μ∈R），若点P在直线AB或与之平行的直线上，则（定值），反之亦然.直线AB 或与之平行的直线称为等和线.
当等和线不过点时，，其中为直线OP与AB的交点;
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
注：利用等和线解题的步骤
第一步：确定系数和为的直线；
第二步：平移该直线，结合题目给出动点范围，分析在何处取得最值；
第三步：从长度比，点的位置的角度计算最值。
策略5 “动态”向量问题
“动态”向量问题主要研究平面几何中点或线运动时所涉及的线段长度和角度的变化问题，其问题的本质就是考查学生对动点的“轨迹意识”.这类题目的解法有很多，如代数法、几何法，其中几何法中有极化恒等式、“矩形大法”等．
在平行四边形OADB 中有以下常用结论，记，
结论1：（极化恒等式）
结论2：若，则
（1）模长式圆模型
若，向量的终点轨迹是以向量的终点为圆心、为半径的圆.（其中向量，共起点且向量是已知向量）
（2）数量积式圆模型
，记，由结论1可知，所以
拓展：①若，其中向量的终点A，B固定，则点C的轨迹是以AB为直径的圆.
②若，其中向量的终点A，B不固定，则点C的轨迹是以AB为直径的动圆.（半径动圆心动）
③在的条件下，何时取到最大值？如图所示，向量在以O为圆心、为半径
的圆上动.固定向量，向量绕着圆心O动，此时，向量的终点轨迹圆的圆心和半径也在随着向量终点A的运动发生改变，由图可知当时，向量的模长取到最大值.
策略6 平面向量范围与最值问题常用方法：
主要方法 基本步骤
定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论
坐标法 第一步： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步： 将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果
考点一 与向量的模有关的最值或范围问题
考点二 与向量的夹角有关的最值或范围问题
考点三 与平面向量数量积有关的最值或范围问题
（一）坐标法
（二）基底法
考点四 与平面向量投影有关的最值或范围问题
考点五 与系数有关的最值或范围问题
（一）利用三点共线推论
（二）利用三角函数
考点一 与向量的模有关的最值或范围问题
1．（2023·高一课时练习）已知，，则的取值范围是________．
2．（2022春·陕西渭南·高一校考期末）已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高一课时练习）已知向量，，的模分别为3，4，5，则的最大值为______，最小值为______．
4．（2023·高一课时练习）已知，点在线段上，且的最小值为1，则 ()的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2022春·陕西西安·高一统考期末）已知向量．
(1)求的坐标以及与之间的夹角；
(2)当时，求的取值范围．
考点二 与向量的夹角有关的最值或范围问题
6．（2023·高一课时练习）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．； B．； C．； D．．
7．（2023·高一课时练习）已知向量，，．
(1)若，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若与夹角为锐角，求m的取值范围．
8．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．
(1)若且与垂直，求与的夹角 ；
(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
9．（2022春·重庆大足·高一校联考期中）已知向量，，
(1)求在方向上的投影向量的模长；
(2)若与夹角是锐角，求实数的取值范围.
考点三 与平面向量数量积有关的最值或范围问题
坐标法
10．（2022春·河南·高一校联考期中）在正方形中,为的中点,为的中点,为边上的动点（包括端点）,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四边形ABCD中，，，，且，.
（1）求实数的值；
（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.
12．（2023·高一单元测试）已知，，，四点的坐标分别为，，，，是线段上的任意一点，则的最小值是________.
13．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是______.
基底法
14．（2023·高一课时练习）已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
15．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__．
16．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．
考点四 与平面向量投影有关的最值或范围问题
17．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量、，若，，向量在方向上的投影数量的取值范围为____________．
19．（2022秋·天津河西·高三天津市新华中学校考期末）在中，已知，若，且，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则的取值范围是_________．
考点五 与系数有关的最值或范围问题
（一）利用三点共线推论
20．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为____________.
21．【多选】（2022春·山西晋中·高一校考期中）在中，为边上的一点，且，若为边上的一点，且满足（、），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最小值为
22．（2022·全国·高三专题练习）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·高一单元测试）在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为_________．
24．（2022春·四川成都·高一树德中学校考竞赛）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2022春·河南南阳·高一校联考期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，，.
(1)化简：；
(2)求证：为定值；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围.
（二）利用三角函数
26．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）给定两个长度为1的向量，且它们的夹角均为，若动点在以点为圆心的单位圆的圆弧上，若，则的取值范围为___________.
27．（2022·浙江·高一校联考期中）已知向量，，，，.若与垂直.
(1)求的值及与之间的夹角；
(2)设，求的取值范围.
28．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．考点05 平面向量最值与范围问题5种常见考法归类
平面向量中的最值或范围问题是根据已知条件求某个变量的范围或最值，比如：向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾"数"与"形"的双重身份，所以解决平面向量的范围或最值问题的另外一种思路是数形结合。可根据向量的三角形法则、平行四边形法则，绘制相应的几何图形，将向量之间的关系转化为几何关系，灵活运用平面几何图形的性质，如圆、矩形、三角形、平行四边形的性质，寻找到使目标式取最值的临界情形，从而求得最值。
策略1 与向量的模有关的最值或范围问题
与向量的模有关的问题，一般都会用到，有时也会转化为轨迹问题求解。
策略2 与向量的夹角有关的最值或范围问题
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝ 计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.　　　　
策略3 与平面向量数量积有关的最值或范围问题
一般情况下，如果遇到的问题适合建立平面直角坐标系，则使用“坐标法”解题，如遇到与等腰三角形、平行四边形、矩形、圆等规则平面几何图形有关的问题时，可根据几何图形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标，各条线段的方向向量，便可通过向量的坐标运算求得目标式，再利用二次函数的性质、基本不等式等求得目标式的最值，即可解题.否则利用平面向量基本定理解题。
（1）数量积的定义
，其中（0≤0≤π）为非零向量的夹角.规定，特别地，
（2）数量积的坐标形式
若，则
（3）常用结论
①若点M为线段AB的中点，则对平面内任意一点O，.
②若四边形ABCD是平行四边形，则，特别的有
（平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和）
③向量极化恒等式：
ⅰ：平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
ⅱ：三角形模式：（M为BD的中点）
④向量三角不等式：
⑤向量柯西不等式：，即
⑥
其中结论1～结论3主要用于数量积求解过程中的向量转化或数量积的恒等变形，结论4～结论6主要用于向量数量积的范围或最值的求解．
策略4 与系数有关的最值或范围问题
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底，（λ，μ∈R），若点P在直线AB或与之平行的直线上，则（定值），反之亦然.直线AB 或与之平行的直线称为等和线.
当等和线不过点时，，其中为直线OP与AB的交点;
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
注：利用等和线解题的步骤
第一步：确定系数和为的直线；
第二步：平移该直线，结合题目给出动点范围，分析在何处取得最值；
第三步：从长度比，点的位置的角度计算最值。
策略5 “动态”向量问题
“动态”向量问题主要研究平面几何中点或线运动时所涉及的线段长度和角度的变化问题，其问题的本质就是考查学生对动点的“轨迹意识”.这类题目的解法有很多，如代数法、几何法，其中几何法中有极化恒等式、“矩形大法”等．
在平行四边形OADB 中有以下常用结论，记，
结论1：（极化恒等式）
结论2：若，则
（1）模长式圆模型
若，向量的终点轨迹是以向量的终点为圆心、为半径的圆.（其中向量，共起点且向量是已知向量）
（2）数量积式圆模型
，记，由结论1可知，所以
拓展：①若，其中向量的终点A，B固定，则点C的轨迹是以AB为直径的圆.
②若，其中向量的终点A，B不固定，则点C的轨迹是以AB为直径的动圆.（半径动圆心动）
③在的条件下，何时取到最大值？如图所示，向量在以O为圆心、为半径
的圆上动.固定向量，向量绕着圆心O动，此时，向量的终点轨迹圆的圆心和半径也在随着向量终点A的运动发生改变，由图可知当时，向量的模长取到最大值.
策略6 平面向量范围与最值问题常用方法：
主要方法 基本步骤
定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论
坐标法 第一步： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步： 将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果
考点一 与向量的模有关的最值或范围问题
考点二 与向量的夹角有关的最值或范围问题
考点三 与平面向量数量积有关的最值或范围问题
（一）坐标法
（二）基底法
考点四 与平面向量投影有关的最值或范围问题
考点五 与系数有关的最值或范围问题
（一）利用三点共线推论
（二）利用三角函数
考点一 与向量的模有关的最值或范围问题
1．（2023·高一课时练习）已知，，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立；
，当且仅当、的方向相反时，等号成立.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
2．（2022春·陕西渭南·高一校考期末）已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据向量的坐标运算求出，再根据向量的模的坐标公式和题意列出关于的不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，因为不超过5，
所以，解得：，
故选：C.
3．（2023·高一课时练习）已知向量，，的模分别为3，4，5，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】 12 0
【分析】当，，同向时，的模最大，当，，和时，的模最小，问题得以解决．
【详解】解：向量，，的模分别为3，4，5，则向量可共线，又，则以为边长可构成直角三角形，
则当，，同向时，的模最大，
所以；
当，，和为时，的模最小，由于以为边长可构成直角三角形，
设，，，所以此时，故.
故答案为：12；0.
4．（2023·高一课时练习）已知，点在线段上，且的最小值为1，则 ()的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】分析：由可得点O在线段的垂直平分线上，由结合题意可得当C是的中点时最小，由此可得与的夹角为，故的夹角为．然后根据数量积可求得，于是可得所求．
详解：∵，
∴点O在线段的垂直平分线上．
∵点在线段上,且的最小值为1，
∴当C是的中点时最小，此时，
∴与的夹角为，
∴的夹角为．
又
，当且仅当时等号成立．
∴的最小值为3，
∴的最小值为．
故选B．
点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法
(1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式．
(2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值．
(3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值．
5．（2022春·陕西西安·高一统考期末）已知向量．
(1)求的坐标以及与之间的夹角；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解，根据模长和数量积即可求解夹角，（2）根据模长公式求模长，然后根据二次函数的性质即可求解.
（1）
∵，
∴，
设与之间的夹角为，,
∴
∵，∴向量与的夹角为
（2）
因为,
．
当时,记单调递减,当时,单调递增,
故当,取最小值为3，当时，取最大值为7，
故当时，，∴的取值范围是．
考点二 与向量的夹角有关的最值或范围问题
6．（2023·高一课时练习）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】A
【分析】依据题给条件列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围
【详解】向量，且与的夹角为钝角
则，则，且与不共线
则，解之得
故选：A
7．（2023·高一课时练习）已知向量，，．
(1)若，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若与夹角为锐角，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；
（3）由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得的范围
【详解】（1）因为向量，，，
所以，解得；
（2）因为向量，，，
所以，解得；
（3）夹角为锐角，且不同向，，
解得：且，的取值范围为.
8．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．
(1)若且与垂直，求与的夹角 ；
(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小；
（2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.
【详解】（1）解：由得，即 ，所以，
得，又，所以；
（2）解：因为，，所以
所以，则，
由得，
由与与的夹角为锐角，所以
9．（2022春·重庆大足·高一校联考期中）已知向量，，
(1)求在方向上的投影向量的模长；
(2)若与夹角是锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量在方向上的投影向量的公式即可求出投影向量，进一步求解模长；
（2）根据夹角为锐角，由公式得且与不能同向求出取值范围.
(1)
设与同向的单位向量为
故在的投影向量的模； .
(2)
，
因为与的夹角为锐角，
且与不能同向，故且，
所以且.
考点三 与平面向量数量积有关的最值或范围问题
（一）坐标法
10．（2022春·河南·高一校联考期中）在正方形中,为的中点,为的中点,为边上的动点（包括端点）,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系,求出各个点的坐标,设出点坐标,将用坐标表示,求出范围即可.
【详解】解:由题知正方形中,
所以以为原点,方向分别为轴,建立如图所示平面直角坐标系,
由题可知,
设,则,
所以,
因为,所以,
即.
故选:D
11．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四边形ABCD中，，，，且，.
（1）求实数的值；
（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算；
（2）建立平面坐标系，设，用x表示出，根据二次函数性质得出最小值.
【详解】解：（1）∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴.
（2）过A作，垂足为O，
则，，，
以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：
则，设，，，
∴，，
∴，
∴当时，取得最小值.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算，解答的关键是理解数量积的定义以及数量积的坐标表示.
12．（2023·高一单元测试）已知，，，四点的坐标分别为，，，，是线段上的任意一点，则的最小值是________.
【答案】
【分析】由共线向量的坐标表示可得=,由向量数量积的运算可得，，再结合二次函数最值的求法即可得解.
【详解】解：由已知可设，，
又，，
则=,
又，，
所以 ,,
则，，
当时，取最小值，
故答案为：.
【点睛】本题考查了共线向量的坐标表示及向量数量积的运算，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题.
13．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】画出图形，建立平面直角坐标系，利用已知条件求出点的坐标，然后通过二次函数的性质求出数量积的范围.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，
因为，，所以，，
设，则
，
所以，
因为，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
（二）基底法
14．（2023·高一课时练习）已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
【答案】1
【分析】设，将用和表示，根据数量积的定义即可得结果.
【详解】设，
所以，
所以，
所以的最大值为1.
故答案为：1.
15．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算可得出，运用平面向量数量积的运算性质解决即可.
【详解】由题知，中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，
所以为的中点，，
因为，
所以
,
因为，即
所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
所以的取值范围是，
故答案为：
16．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围.
【详解】因为是的中线，所以，
故，
因为，设，则，
所以，
故当时，取得最小值，最小值为，
当或3时，.
故答案为：.
考点四 与平面向量投影有关的最值或范围问题
17．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可知向量在方向上数量投影为，令，将恒成立转化为恒成立，利用即可求出参数的取值范围，结果即为所求.
【详解】解：已知菱形的边长为1，则向量在方向上数量投影为，
若恒成立，则恒成立，
，
，
令，则，即，
要使恒成立，
则，解得，
即向量在方向上数量投影的取值范围是，
故选：C.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量、，若，，向量在方向上的投影数量的取值范围为____________．
【答案】
【分析】设、所成角为，计算出向量在方向上的投影数量，即可求出的范围，即可求出答案.
【详解】因为，，设、所成角为，
向量在方向上的投影数量为：，
因为，所以，所以.
故答案为:。
19．（2022秋·天津河西·高三天津市新华中学校考期末）在中，已知，若，且，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先求得在上的投影向量为， 再分，，和讨论求解.
【详解】解：因为，
所以由余弦定理得，
由已知得：，
，
，
故在上的投影向量为，
当时，，
；
当时，；
当，；
当，
综上的取值范围是．
故答案为：
考点五 与系数有关的最值或范围问题
（一）利用三点共线推论
20．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为____________.
【答案】9
【分析】根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以，又，
故，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
21．【多选】（2022春·山西晋中·高一校考期中）在中，为边上的一点，且，若为边上的一点，且满足（、），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】CD
【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断BCD选项的正确性.
【详解】A选项，，∵、、三点共线，∴，A错.
B选项，由A选项可知（当且仅当时取等号），B错.
C选项，，
当且仅当，即时取等号，C对.
D选项，（当且仅当时取等号），D对.
故选：CD
22．（2022·全国·高三专题练习）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解.
【详解】解：由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有；
当时，因为（，），
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
23．（2022·高一单元测试）在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为_________．
【答案】2
【分析】由题意设（），则，再由、、三点共线，则，而，从而可得当为中点时最小，此时最大，进而可求得答案
【详解】∵线段与线段交于点，设（），
则，即，
又∵、、三点共线，则，即，
∵，
∴当为中点时最小，此时最大，
又，故此时，
∴，即，即的最大值为，
故答案为：2．
24．（2022春·四川成都·高一树德中学校考竞赛）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据三点共线可得，结合图像分析运算．
【详解】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点
设，则，则
设
∵三点共线，则，即
即
故选：D．
25．（2022春·河南南阳·高一校联考期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，，.
(1)化简：；
(2)求证：为定值；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）利用向量的运算法则求解；
（2）设，利用向量的运算法则可知，
，然后利用三点共线可知.
（3）利用三角形的面积公式可计算求得，然后根据，可求出的取值范围.
(1)
解：由题意得：
是边的中点，是线段的中点
(2)
证明：设
于是
又，，，
，
根据向量的运算法则可知
三点共线
整理可得：，即
故为定值，定值为.
(3)
设
（二）利用三角函数
26．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）给定两个长度为1的向量，且它们的夹角均为，若动点在以点为圆心的单位圆的圆弧上，若，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】设，利用，求出，再利用三角恒等变换转化为正弦型三角函数，求值域得解.
【详解】设，如图，
则，
即 ，
所以，
因为，所以，
所以
故答案为：
27．（2022·浙江·高一校联考期中）已知向量，，，，.若与垂直.
(1)求的值及与之间的夹角；
(2)设，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由与垂直，可得，即可求出的值；设与之间的夹角为，先求出的坐标，再代入，即可得出答案；
（2）将坐标代入，可表示出，再代入化简结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）由化简得：，
因为，，所以，，
则，则
因为，解得，
因为，则；
设与之间的夹角为则，
因为，故.
（2）由得：，即，
，.
则，所以.
28．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有==，求解即可.
【详解】解：如图所示：
由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因为,所以.
又因为，
所以，
即有：，即，
所以，
设，可得，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，
设，则有，
所以==，
所以
故选：A.

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