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考点06 平面向量的应用5种常见考法归类
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．　　　　
3．利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ .　　　　
4．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
5．用向量方法解决物理问题的“三步曲”
考点一 用向量证明线段垂直
考点二 用向量解决夹角问题
考点三 用向量解决线段长度问题
考点四 向量与几何最值
考点五 向量在物理中的应用
（一）力的合成
（二）速度、位移的合成
（三）功、动量的计算
考点一 用向量证明线段垂直
1．（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022春·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考阶段练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
3．（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．（2023·高一课时练习）若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（2023·高一课时练习）利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．
6．（2023·高一课时练习）在中，，分别为边上的点，且．求证：．
7．（2022春·浙江温州·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．
（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．
8．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．
（1）证明：；
（2）当点C在BG的什么位置时，最小？
考点二 用向量解决夹角问题
9．（2023·高一课时练习）在中，已知，且，则的形状为______．
10．（2022春·上海普陀·高一校考期末）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
11．（2022春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知矩形ABCD的边长为，点P满足，则sin∠DPA的值为___．
12．（2022春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
14．（2022·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．
考点三 用向量解决线段长度问题
15．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
16．（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·高一课时练习）如图，在四边形中，△是边长为的正三角形，设.
（1）若，求；
（2）若，，求、.
18．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ）
A． B． C．或 D．或
19．（2022春·山东济宁·高一统考期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是___________
20．（2022·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
考点四 向量与几何最值
21．（2022春·四川内江·高一统考期末）是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
22．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
23．（2022春·湖北武汉·高一校考期中）如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________.
24．（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则____________；若为圆上的动点，则的最大值为____________.
考点五 向量在物理中的应用
（一）力的合成
25．（2022·高一课时练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．
26．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.
27．（2022·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（二）速度、位移的合成
28．【多选】（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（ ）
A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h
29．（2022·全国·高一假期作业）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A． B． C． D．
30．（2022·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少
31．（2022·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
32．（2022·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：．
（三）功、动量的计算
33．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（ ）（）
A．， B．， C．， D．，
34．（2023·高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、 的合力对该质点所做的功为______．
35．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．考点06 平面向量的应用5种常见考法归类
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．　　　　
3．利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ .　　　　
4．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
5．用向量方法解决物理问题的“三步曲”
考点一 用向量证明线段垂直
考点二 用向量解决夹角问题
考点三 用向量解决线段长度问题
考点四 向量与几何最值
考点五 向量在物理中的应用
（一）力的合成
（二）速度、位移的合成
（三）功、动量的计算
考点一 用向量证明线段垂直
1．（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由已知平方可得，得出可判断.
【详解】，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
2．（2022春·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考阶段练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解.
【详解】中，
因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.
故选：B
3．（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.
【详解】，,
所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，
所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
故选：B
4．（2023·高一课时练习）若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断；
【详解】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形，
又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形；
故选：C
5．（2023·高一课时练习）利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．
【答案】详见解析.
【分析】设为的直径，为半圆上的点，根据向量线性运算及向量数量积的运算律可得，进而即得.
【详解】如图设为的直径，为半圆上的点，
则 ，
所以，
所以，
所以，即，
所以半圆上的圆周角是直角．
6．（2023·高一课时练习）在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】选择、为基向量，将和用基向量表示，再利用且，可得，则可得.
【详解】因为，
．
由且，
得，
所以.
【分析】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量垂直问题，考查了平面向量的数量积，属于基础题.
7．（2022春·浙江温州·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．
（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．
【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析
【分析】（1）利用数量积公式以及求解即可；
（2）由向量的加减法进行运算即可用，表示和；
（3）利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.
【详解】（1）
（2）
又为中点
（3）
又
所以
【分析】本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，属于中档题.
8．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．
（1）证明：；
（2）当点C在BG的什么位置时，最小？
【答案】（1）证明见解析；（2）点C在BG的中点.
【分析】（1）建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用向量法证明
（2）建立直角坐标系，利用向量几何均值不等式求解即可.
【详解】以B为原点，BE所在所在直线为x轴，以BG所在直线为y轴，建立直角坐标系．设，，且a∴、、，，∴，，
∴，∴，即．
（2）易知，，
∴，当且仅当时取等号，
∴点C在BG的中点时，最小．
考点二 用向量解决夹角问题
9．（2023·高一课时练习）在中，已知，且，则的形状为______．
【答案】等边三角形
【解析】首先由向量夹角公式求出，顶角为的等腰三角形为等边三角形.
【详解】，因为，所以，
又因为,所以为等边三角形.
故答案为：等边三角形
【分析】本题考查向量的夹角的求法，属于基础题.
10．（2022春·上海普陀·高一校考期末）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据向量的夹角列式，从而求得的取值范围.
【详解】依题意，向量与的夹角为钝角，
所以，解得且，
所以的取值范围是.
故答案为：
11．（2022春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知矩形ABCD的边长为，点P满足，则sin∠DPA的值为___．
【答案】
【详解】解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，
则点A（0，0）、B（1，0），C（1，3）、D（0，3），
，则点P（1，），
∴，，
因此，，，．
，所以．
故答案为：.
12．（2022春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与的夹角为，由，可得
，利用的范围可得答案.
【详解】如图所示，设与的夹角为，，所以，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，
又因为，所以
，
因为，所以，所以当时最大，
此时，最大的值为.
故选：A.
13．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值；
（2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可.
【详解】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点
则
又由可得，
（2）是与所成的角，设向量与所成的角为
，则
，则
则，
因为
所以
所以与所成角的余弦值为.
14．（2022·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．
【答案】当为线段的一个三等分点（靠近点）时
【分析】以，为基底，表示向量，，利用向量夹角公式求，列方程确定点的位置.
【详解】设，，取为基底，
且，，，为向量与的夹角．
∵为线段上一点，
∴可设，
∴，
而．
∴，
，，
∴，
所以或，又，
所以，
∴当为线段的一个三等分点（靠近点）时，．
考点三 用向量解决线段长度问题
15．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
【答案】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用向量的几何意义求出，求出.
【详解】平行四边形中，，
因为，所以，
根据向量的几何意义可知，
解得：.
故答案为：
16．（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积去求长度即可.
【详解】中，点D在边上且，
则
又，，，
则
，即长度为
故选：D
17．（2023·高一课时练习）如图，在四边形中，△是边长为的正三角形，设.
（1）若，求；
（2）若，，求、.
【答案】（1）；（2），.
【解析】当时，，化简可得.（（1）））
（2）化简得;
化简得，两式联解可得.
【详解】
当时，，
由题意可得，
，
因此，；
（2），
，
所以，解得，.
【分析】本题考查平面向量的数量积在几何图形中的应用,属于基础题.
18．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】由条件可得，然后用、表示出，然后可算出答案.
【详解】因为，，，所以.
因为，
所以
故选：B
19．（2022春·山东济宁·高一统考期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是___________
【答案】
【分析】作，交于点，可知；利用向量线性运算可得到，根据，由向量数量积的定义和运算律可求解得到.
【详解】作，交于点，则，
，则；
，，
又，，，
，
，
故答案为：.
20．（2022·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
【答案】证明见解析
【分析】设，，利用、表示、，然后带入中计算即可完成证明.
【详解】证明:不妨设，，则，，
，，得①
同理②，
①②得：
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
得证.
考点四 向量与几何最值
21．（2022春·四川内江·高一统考期末）是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【分析】根据三角形形状及各点位置，建立平面直角坐标系，设动点坐标，利用平面向量的坐标运算，并结合函数思想求得最值
【详解】解： 是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且
则以C为原点，CB所在的直线为x轴，平面内过C垂直于CB的直线为y轴，如图所示：
则
因为点D、E分别在边AC、BC上，且
设且，则
所以
故当时，的最小值为.
故选：D.
22．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】构建直角坐标系，设且，应用向量的坐标运算求坐标，应用坐标公式求模即可.
【详解】不妨假设在上且，如下图示，
所以，在且，设，
则，，，
所以，
故，
当时，的最小值为.
故答案为：
23．（2022春·湖北武汉·高一校考期中）如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________.
【答案】36
【分析】根据向量基本定理得到，设，
，表达出，从而结合求出最大值.
【详解】，，其中，
所以
，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：36
24．（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则____________；若为圆上的动点，则的最大值为____________.
【答案】 2+2##2+2
【分析】（1）分析出是对应线段上的中点，找出垂直关系；（2）建立坐标系，利用坐标运算解决向量数量积的运算.
【详解】（1）依题意，是斜边的中点，又，故是中点，于是是中位线，//，又，故，于是（2）以圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系如下，
设与轴正半轴的夹角为，则.
∴，
∴，
∴，当，取到最大值.
故答案为：，
考点五 向量在物理中的应用
（一）力的合成
25．（2022·高一课时练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．
【答案】
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】解：设，则，即，解得，
所以.
故答案为：.
26．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.
【答案】,合力方向与方向的夹角为，同时与方向的夹角为.
【分析】根据题意建立坐标轴，用坐标表示每个力即可求解
【详解】以为原点，为轴正方向建立直角坐标系，如图
由题意得,，,，,，
所以，
所以三个力的合力坐标为，
所以三个力的合力大小为：，
设合力方向与轴正方向夹角为，所以，
因为合力坐标在第二象限，所以，
即合力方向与方向的夹角为，同时与方向的夹角为.
27．（2022·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】设两根绳子的拉力分别为，，作，根据题意得到其为矩形求解.
【详解】解：如图所示：
设两根绳子的拉力分别为，.
作，使，.
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故两根绳子拉力的大小分别为，.
故选：C.
（二）速度、位移的合成
28．【多选】（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（ ）
A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h
【答案】BC
【分析】设该船实际航行的速度为，由向量模的关系可得，由此求解可得到答案．
【详解】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，
所以，
因为船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，
所以，
则，
所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．
故选：BC．
29．（2022·全国·高一假期作业）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解.
【详解】由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
30．（2022·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少
【答案】
【分析】如图，设水流的速度为，船航行的速度为，则这个速度的和为，则由题意可得，，解直角三角形求出合速度的大小，然后求解即可．
【详解】解：如图：设水流的速度为，船航行的速度为，则这个速度的和速度为，
则由题意可得，．
直角三角形中，由，，可得，
所以船的合速度的大小为，
故船行驶的方向与水流的方向成（即．
所以经过小时，该船的实际航程是千米．
31．（2022·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【答案】(1)
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短，理由见解析.
【分析】（1）由题意，且与垂直，即，根据数量积的定义即可求解；
（2）设船航行到对岸所需的时间为，则，比较和两种情况即可求解.
（1）
解：船垂直到达对岸，即且与垂直，即，
所以，即，
所以，解得；
（2）
解：设船航行到对岸所需的时间为，则，
所以当时，船的航行时间最短为，
而当船垂直到达对岸时，由（1）知，
所需时间，，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．
32．（2022·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：．
【答案】(1)方向为与水流方向成，速度为
(2)方向与水流方向成，速度为
【分析】（1）用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度，在矩形中求解中得；
（2）同（1）用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度，在平行四边形中求解．
（1）
如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度．
在中，，，所以．
所以，所以．
故此人实际前进速度为，方向为与水流方向成．
（2）
如图②，用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度．
所以有，
所以，所以．
故此人实际前进速度为，方向与水流方向成．

图① 　　　 图②
（三）功、动量的计算
33．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（ ）（）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】结合物理知识，求解力在水平方向及竖直方向的分量，进而得出摩擦力，利用做功公式即可求解.
【详解】解：由题可知，以木块运动的方向为正方向，
则力在水平方向的分量为：，在竖直方向的分量为：，
则摩擦力为：，
则力做功为,摩擦力做功.
故选：A.
34．（2023·高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、 的合力对该质点所做的功为______．
【答案】
【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案.
【详解】由题意得：，
，
则合力对该质点所做的功为.
故答案为：24
35．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
【答案】(1)120；-9
(2)111
【分析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即可求解；
（2）先计算，的合力，再由公式即可求得合力对质点所做的功．
【详解】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，
所以做的功为．

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