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专题九 指数与指数函数
知识归纳
一、指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
（2）根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．
（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．
（4）有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
（5）有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
二、指数函数
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤时，；时， 时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
方法技巧与总结
1、指数函数图象的关键点，，
2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4）
的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大．
3、指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
典例分析
题型一、指数运算及指数方程、指数不等式
例1-1．________.
例1-2．已知，则=__________
例1-3．已知和是方程的两根，则_________.
例1-4．已知函数，则不等式的解集是___________．
例1-5．不等式的解集为______．
例1-6．不等式的解集为___________.
例1-7．甲 乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
例1-8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例1-9．化简：
（1） （2）(a>0，b>0).
（3）.
题型二、指数函数的图像及性质
例2-1．设方程的解为，，方程的解为，，则______．
例2-2．函数，的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
例2-3．函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2-4．函数，下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为
C．不等式的解集是 D．是增函数
例2-5．已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例2-6．函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
例2-7．求函数的单调区间___________.
例2-8．已知函数（为常数，）是上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的值域为，求的值．
题型三、指数函数中的恒成立问题
例3-1．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例3-2．若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.
例3-3．若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为________.
例3-4．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.
例3-5．已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
例3-6．已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
例3-7．已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
题型四、指数函数的综合问题
例4-1．已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
例4-2．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例4-3．已知函数，则______．
例4-4．已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______．
例4-5．已知函数，则不等式的解集为___________.
例4-6．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______．
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专题九 指数与指数函数
知识归纳
一、指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
（2）根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．
（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．
（4）有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
（5）有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
二、指数函数
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤时，；时， 时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
方法技巧与总结
1、指数函数图象的关键点，，
2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4）
的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大．
3、指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
典例分析
题型一、指数运算及指数方程、指数不等式
例1-1．________.
【答案】19【解析】
.
例1-2．已知，则=__________
【答案】【解析】，
.
例1-3．已知和是方程的两根，则_________.
【答案】【解析】方程可化为，由韦达定理得，，
所以，得.
又，所以.
例1-4．已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【解析】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：
两函数图像的交点坐标为，
由图可知：当或时，成立，
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
例1-5．不等式的解集为______．
【答案】【解析】函数在R上单调递增，则，
即，解得，所以原不等式的解集为.
例1-6．不等式的解集为___________.
【答案】【详解】由，可得.
令，因为均为上单调递减函数
则在上单调逆减，且，，
故不等式的解集为.
例1-7．甲 乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【详解】令，则方程可化为，甲写错了常数b，
所以和是方程的两根，所以，
乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，
则可得方程，解得，所以原方程的根是或
例1-8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
则，解得，即当时，，
当时，，则，
而当时，，则当时，，即，
变形得，解得，所以不等式的解集为.
例1-9．化简：
（1） （2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
题型二、指数函数的图像及性质
例2-1．设方程的解为，，方程的解为，，则______．
【答案】10【解析】由方程得，由方程得，
在同一坐标系下做出函数、，的图象，
不妨设，如下图，
因为函数与的图象关于对称，
即点与点、点与点
都关于对称，
由解得，即两直线的交点为，则，
则.
故答案为：.
例2-2．函数，的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图像可知，当时，，则时，，则，
又由图像不关于原点中心对称可知，则
则时，，即，则
例2-3．函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，与只有一个交点，
又的图象如下：
∴.
例2-4．函数，下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为
C．不等式的解集是 D．是增函数
【答案】A【详解】对于A选项，函数的定义域为，且，
所以，函数的图象不关于原点对称，A错；
对于B选项，因为，所以，，B对；
对于C选项，由可得，则，解得，C对；
对于D选项，对任意的，，
且函数在上单调递减，故函数是增函数，D对.
例2-5．已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，
且，又，所以．
依题意可得，当或时，．
所以等价于或，
解得或．
例2-6．函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
【答案】##4.5
【详解】当时，，过定点，
又点在直线上，，即，
，，，
（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.
例2-7．求函数的单调区间___________.
【答案】增区间为，减区间为
【解析】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.
故答案为：增区间为，减区间为
例2-8．已知函数（为常数，）是上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的值域为，求的值．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由是奇函数得，，此时是奇函数；
(2)由复合函数的性质得在定义域内是增函数，
所以，，，或（舍去），，
所以．
题型三、指数函数中的恒成立问题
例3-1．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，故对任意的，，
对任意的，不等式恒成立，
即，即对任意的恒成立，
且为正数，则，可得，所以，，可得.
例3-2．若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】原不等式或，
因为,所以（1）或（2）.
当时，（2）成立，此时.
当，时，（1）成立，
因为在（1）中，，令，
则为单调递增函数，
所以要使（1）对，成立，只需时成立.
又时，.
所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是：.
例3-3．若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】不等式等价于，令，，
当时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；
当时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，
如图2所示，则，即，，故的取值范围是
例3-4．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
例3-5．已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】(1)由已知可得的定义域为，任取，且，
则，
因为，，，所以，即，
所以在上是单调递增函数．
(2)，
令，则当时，，所以．
令，，则只需．
当，即时，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当即时，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
例3-6．已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）.
【详解】（1）当时，
即；故此时函数是奇函数；
因当时，，故，且
于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；
（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；
由不等式，得，
令因，故
由于函数在单调递增，所以；
因此，当不等式在上恒成立时，
例3-7．已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），，，，，
①时，，解得（舍
②时，，解得，
；
（2），，令，
在有解，
当且仅当，
即时等号成立，此时函数的图象如图，
时，取得最大值，
综上，．
题型四、指数函数的综合问题
例4-1．已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在,上的图象：
由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．
例4-2．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，所以，解得，即
例4-3．已知函数，则______．
【答案】4043
【详解】由题意，函数，
可得，
设，则
两式相加，可得，
所以.
例4-4．已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______．
【答案】
【详解】由，得，
于是，
又当时，，故可得，则.
例4-5．已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】①当时，，在上单调递增，
，又，恒成立；
②当时，，，
又，恒成立；
③当时，，，；
恒成立；
④当时，，，，
，解得：，；
综上所述：不等式的解集为.
例4-6．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【详解】因为，
当时函数单调递减且，
当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则在处取得最大值，不符题意；
若，，则在处取得最大值，
且，解得，
综上可得的范围是．
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