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高一上学期期末复习导学案（三）
函数的概念与性质
班级 姓名
知识归纳
1．函数的有关概念
(1)函数的概念
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数，记作，．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(2)函数的三要素
定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
2．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，
当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．
3．函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 ，都有；，使得 ，都有；，使得
结论 为最大值 为最小值
4．函数的奇偶性
(1)偶函数、奇函数的概念
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．
(2)奇、偶函数的图象特点
偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
5．函数的对称性(奇偶性的推广)
(1)函数的轴对称
定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．
(2)函数的点对称
定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．
6．周期性
(1)周期函数的定义：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(2)函数周期性常用的结论：
结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；
结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；
结论3：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a；
结论4：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a；
结论5：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论6：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论7：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．
结论5—结论7的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．
7．常用结论
(1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有；
如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)掌握一些重要类型的奇偶函数：
函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数； 函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是奇函数； 函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．
典例分析
题型一 求函数的定义域
例1、(1)函数的定义域为________；
(2)若函数的定义域是，则函数的定义域是(　　)
A． B． C． D．
题型二　求函数的值域
例2、求下列函数的值域：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)***.
题型三　求函数的解析式
例3、(1)已知，则________．
(2)已知是二次函数且，，则________．
(3)已知函数对于任意的都有，则________．
题型四　函数的单调性与最值
例4、(1)(2021·荆州高三期末)设 则函数的单调增区间为(　　)
A．，　　　 B．，
C.， D．，
(2)(多选)关于函数的结论正确的是(　　)
A．定义域、值域分别是，
B．单调增区间是
C．定义域、值域分别是，
D．单调增区间是
(3)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
例5、(1)已知函数f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6、已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
题型五　函数奇偶性
例7、(1)下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝tan　　　B．y＝x2＋e|x|　　　　C．y＝xcos x　　　　D．y＝ln|x|－sin x
(2)设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数　　B．－f(x)是奇函数　C．f(x)|f(x)|是奇函数　　D．f(|x|)f(x)是偶函数
(3)已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
例8、(1)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1　　　　　B．e－x＋1　　　　　C．－e－x－1　　　　　D．－e－x＋1
(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________．
(3)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)
A．ex－e－x　　　　B．(ex＋e－x)　　　　C．(e－x－ex)　　　　D．(ex－e－x)
例9、(1)已知函数f(x)＝asinx＋bln＋t，若＋＝6，则实数t＝(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．3
(2)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋等于(　　)
A．－1　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2
题型六　函数的周期性
例10、(1)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
(2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　)
A．403　　　　　　　B．405　　　　　　　C．806　　　　　　　D．809
题型七　函数性质的综合应用
例11、(1)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)＜f(－2)＜f(1)　　　　　　　　　　　B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3)　　　　　　　　　　　D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
(2)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2，2]　　　　　B．[－1，1]　　　　　C．[0，4]　　　　　D．[1，3]
(3)(2021·新高考全国卷Ⅰ)若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
例12、(1)已知定义域为(－1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，3)　　　　 　B．(3，)　　　　
C．(2，4)　　　　 　D．(－2，3)
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．
例13、***(1)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)
A．f(0)C．f(－1)(2)已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sinx，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是(　　)
A．c＜b＜a　　　　　B．c＜a＜b　　　　　C．a＜c＜b　　　　　D．a＜b＜c
(3)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数， x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈(0，1)且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题：
①f(1)＝0；
②f(x)在[－2，2]上有5个零点；
③点(2 014，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；
④直线x＝2 014是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．
则正确命题的序号是________．
课后作业
一、基础训练题
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数定义在区间上，其值域为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A．3　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．9　　　　　　　　D．12
6．下列命题：（1）若是增函数，则是减函数；（2）若是减函数，则是减函数；（3）若是增函数，是减函数，有意义，则为减函数，其中正确的个数有(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
7．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)
A．y＝2|x|　　　　B．y＝lg(x＋)　　　　C．y＝2x＋2－x　　　　D．y＝lg
8．设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3]　　　　　B．[－2，4]　　　　　C．[－1，5]　　　　　D．[0，6]
9．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)　　　　B．(－∞，1)　　　　C．(1，＋∞)　　　　D．(4，＋∞)
10．已知函数f(x)在R上单调递减，且a＝33.1，b＝，c＝ln，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(a)＞f(b)＞f(c)　　　B．f(b)＞f(c)＞f(a)　　　C．f(c)＞f(a)＞f(b)　　　D．f(c)＞f(b)＞f(a)
11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若实数m满足f(log3|m－1|)＋f(－1)<0，
则m的取值范围是(　　)
A．(－2，1)∪(1，4)　　　　B．(－2，1)　　　　C．(－2，4)　　　　D．(1，4)
12．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)
A．(2，＋∞)　　　B．∪(2，＋∞)　　　C．∪(，＋∞)　　　D．(，＋∞)
13．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，＋∞)　　　　　　　　　　　B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)　　　　　　　　　　D．(－2，0)∪(0，2)
14．函数的定义域是________．
15．已知函数是一次函数，若，则________．
16．若函数f(x)＝x3(＋a)为偶函数，则a的值为________．
17．已知函数f(x)＝函数f(x)的最大值为________．最小值为________．
18．已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)>f(x－2)的解集为________．
19．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝__________．
20．已知是上的奇函数，当时，，则时= ．
21．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
22．已知函数f(x)＝．
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．
二、提高训练题
23．已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为(　　)
A．(－1，1)　　　　　B．(－2，2)　　　　　C．(－3，3)　　　　　D．(－4，4)
24．(2021·青岛高三期末)已知定义在上的函数满足：(1)；(2)为奇函数；(3)当时，恒成立，则，，的大小关系正确的为(　　)
A． B．
C． D．
25．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数.不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．设，若的最小值为，则的值为（ ）
A．0 B．1或4 C．1 D．4
27．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)　　　　　　　　　　B．f(80)＜f(11)＜f(－25)　　
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)　　　　　　　　　　D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
28．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．
29．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区
间[0，6]上与x轴的交点个数为________．
30．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
31．已知函数f(x)＝sinx－x＋，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为________．
32．(1)已知函数f(x)＝，下列关于函数f(x)的结论：
①y＝f(x)的值域为R；
②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③y＝f(x)的图象关于y轴对称；
④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．
其中正确结论的序号是________．
33．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的 x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________．
34．定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f，且在上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数，且周期为2；
②f(x)的图象关于点(1，0)对称；
③f(x)在[0，1]上是减函数；
④f(x)在上是增函数；
⑤f ＝f ．
其中正确的序号是________．
高一上学期期末复习导学案（三）
函数的概念与性质参考答案
例1、(1)【答案】或且【解析】由，解得；
由，解得或，
所以函数的定义域为或且．
(2)【答案】B【解析】根据已知可得函数的定义域需满足
解得，即函数的定义域是．
例2、(1)【解析】分式函数，
定义域为，故，所有，故值域为；
(2)【解析】函数中，分母，
则，故值域为；
(3)【解析】函数中，令得，易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，故值域为；
(4)【解析】函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
(5)【解析】函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为．
(6)【解析】函数定义域为R，故两边乘以，整理得
，则该方程一定有解，则判别式，
即解得，即，故值域为；
例3、(1)【解析】法一：换元法
令，则，，代入原式有，
所以．
法二：配凑法
，
因为，所以．
(2)【解析】设，由，得，
，即，
∴即∴．
(3)【解析】由题意，在中，以代可得，
联立消去可解得．
例4、【答案】D【解析】由，解得或，当或时，
，结合图象知此函数的递增区间为；当时，，结合图象知此函数的递增区间为．
综上所述，函数的递增区间为，．
(2)【答案】CD【解析】函数的定义域满足：，解得，即定义域为．考虑函数在上有最大值，最小值，在上单调递增，在上单调递减．故的值域为，在上单调递增，在上单调递减．
(3)【答案】2－3【解析】当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)min＝2－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0．所以f(x)的最小值为2－3．
例5、(1)【答案】【解析】令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝t在其定义域上单调递减，要使f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，
且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即所以即－(2)【答案】B【解析】根据题意，对于任意的都有 成立
则函数在上是增函数
∴，解得，故选B．
例6、解析　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝．
因为1≤x11，所以2x1x2－1>0．又x1－x2<0，所以f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝．
(2)因为在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，则
等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a>－3，
故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
例7、(1)【答案】B【解析】对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，
设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，
设f(x)＝xcos x，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数；对于选项D，
设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．
(2)【答案】D【解析】∵f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
(3)【答案】B【解析】由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(＋1)＋b，∴b＝，∴log2＝－1．故选B．
例8、(1)【答案】D【解析】通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D．
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D．
(2)【答案】【解析】当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝ex－1＋x，又f(－x)＝f(x)，
因此f(x)＝ex－1＋x．所以f(x)＝．
(3)【答案】D【解析】因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．
例9、(1)【答案】D【解析】令g(x)＝asin x＋bln，则易知g(x)为奇函数，所以＋＝0，则由f(x)＝g(x)＋t，得＋＝＋＋2t＝2t＝6，解得t＝3．故选D．
(2)【答案】D【解析】设g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．
∴g(x)是奇函数，∴f(lg 2)－1＋－1＝g(lg 2)＋＝0，因此f(lg 2)＋＝2．
例10、(1)【答案】【解析】由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos＝．
(2)【答案】B【解析】定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．
例11、(1)【答案】A【解析】∵f(x)是偶函数∴f(－2)＝ f(2)，又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，
有<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又∵1＜2＜3∴f(1)＞f(2)＝f(－2)＞f(3)，故选A．
(2)【答案】D【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1．故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3．
(3)【答案】D【解析】法一：由题意知在，单调递减，且．
当时，令，得，∴；
当时，令，得，
∴，又，∴；
当时，显然符合题意．
综上，原不等式的解集为．故选D．
法二：当时，，符合题意，排除B；当时，，不符合题意，排除AC．故选D．
例12、(1)【答案】A【解析】由f(a－3)＋f(9－a2)<0得f(a－3)<－f(9－a2)．又由奇函数性质，得f(a－3)(2)【答案】【解析】由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得例13、(1)【答案】A【解析】由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2．∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，∴f(0)(2)【答案】B【解析】因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．所以函数f(x)的周期为4，又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，所以函数在[0，1]上单调递增，因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，又因为f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b．
(3)【答案】①②③【解析】令f(x－1)＝f(x＋1)中x＝0，得f(－1)＝f(1)．∵f(－1)＝－f(1)，∴2f(1)＝0，∴f(1)＝0，故①正确；由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(2)＝f(0)＝0，又当x∈(0，1)且x1≠x2时，有＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图：由图知②③正确，④不正确，∴正确命题的序号为①②③
课后作业
1．【答案】B【解析】方法1：要使函数有意义，则有，即，所以.
所以函数的定义域为.
方法2：特殊值法
当时，无意义，所以排除A，C.当时，，则不能当分母，所以排除D.故选：B.
2．【答案】B【解析】由的定义域为，得，所以，
所以，的定义域为，
令，得，即，所以的定义域为.
3．【答案】C【解析】，
当时，，，所以，
所以，当时，，所以，所以，所以，所以在区间上的值域为，故选：C.
4．【答案】B【解析】由、在上都单调递减，
∴，在上单调递减，
∴当时，有，所以值域为．故选B．
5．【答案】C【解析】∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3．∵log212>1，
∴f(log212)＝2log212－1＝＝6．∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9．
6．【答案】A【解析】对于（1），设为上的增函数，当时，没有意义，所以（1）错误；
对于（2），设为上的减函数，则在上不是减函数，故（2）错误；
对于（3），根据复合函数单调性同增异减可知，（3）正确．
所以正确的个数有个．
7．【答案】D【解析】对于D项，>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．
8．【答案】B【解析】因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由
函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3) f(|x－1|)≥f(3) |x－1|≤3，故－2≤x≤4．
9．【答案】D【解析】由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2．因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，
－2)∪(4，＋∞)．又函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
10．【答案】D【解析】因为a＝33.1＞30＝1，0＜b＝＜＝1，c＝ln＜ln 1＝0，所以c＜b＜a，又因
为函数f(x)在R上单调递减，所以f(c)＞f(b)＞f(a)，故选D．
11．【答案】A【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)是R上的增函数，由题得f(log3|m－1|)＋f(－1)<0，所以f(log3|m－1|)<－f(－1)＝f(1)，所以log3|m－1|<1＝log33，所以|m－1|＜3，所以－3＜m－1＜3，所以－2＜m＜4，因为|m－1|>0，所以m≠1，故m∈(－2，1)∪(1，4)．
12．【答案】B【解析】f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(log2x)>2＝f(1) f(|log2x|)>f(1) |log2x|>1 log2x>1或log2x<－1 x>2或013．【答案】C【解析】∵f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝0，
在(0，＋∞)内是减函数．若xf(x)<0，则或根据f(x)在(－∞，0)内是减函数，在(0，＋∞)内是减函数，解得：x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C．
14．【答案】
15．【答案】或
【解析】设，则，
又，所以，
即解得或所以或．
16．【答案】【解析】解法1：因为函数f(x)＝x3(＋a)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3(＋
a)＝x3(＋a)，所以2a＝－(＋)，所以2a＝1，解得a＝.
解法2：因为函数f(x)＝x3(＋a)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(＋a)＝13×(＋a)，解得a＝，经检验，当a＝时，函数f(x)为偶函数．
17．【答案】2　－【解析】作出f(x)的图象如图．
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－．所以f(x)的最大值为2，最小值为－．
18．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】∵函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(2x－1)>f(x－2)可转化为f(|2x－1|)>f(|x－2|)，又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2x－1)>f(x－2) |2x－1|>|x－2|，两边平方解得：x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞) ，故f(2x－1)>f(x－2)的解集为x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
19．【答案】337【解析】由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)
＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝337×1＝337．
20．【答案】【解析】由于是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以．
21．【答案】【解析】由题意知，可对不等式分x≤0，0讨论．①当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，故－1，显然成立．③当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．综上可知，所求x的取值范围是．
22．解析　(1)定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．
(2)证明：设0又00，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，
在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝．
23．【答案】A【解析】法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－．因为ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．
法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－．因为ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．
24．【答案】C【解析】因为，所以函数是周期为2的周期函数．
又由为奇函数，所以有，所以函数为奇函数．
由当时，恒成立得在区间内单调递增，结合为奇函数可得函数在区间内单调递增，
因为，，，
所以．
25．【答案】A【解析】由题可知，的图象关于轴对称，且在上单调递减，
由得在上恒成立，
得在上恒成立，因为和单调递增，
所以当时，取最大值为；当时，取最小值为，所以.
26．【答案】C【解析】当时，，
当且仅当，即时等号成立.故时，，
由二次函数性质可知对称轴，且，解得或（舍去），故选：C.
27．【答案】D【解析】因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D．
28．【答案】－2【解析】∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2．
29．【答案】7【解析】因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)
＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．
30．【答案】【解析】∵f(2|a－1|)>f(－)＝f()，又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴2|a－1|<＝，∴|a－1|<，∴31．【答案】{x|2＝－sinx＋x＋＝－＝－f(x)，所以由奇函数的定义可知f(x)为R上的奇函数．又f′(x)＝cosx－1－ln2．因为－1≤cosx≤1，ln2>0，则有f′(x)<0，所以f(x)为R上的减函数，因此不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0，即f(1－x2)<－f(5x－7)，亦即f(1－x2)7－5x，解
得232．【答案】③④【解析】函数f(x)＝＝其图象如图所示，由图象可知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f(x)在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f(x)的图象关于y轴对称，故③正确；由于f(x)在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点，故④正确．
33．【答案】①②【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；由题意知，在区间[0,1]上，函数f(x)是增函数．在区间[－1,0]上，函数f(x)是减函数，由函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；函数f(x)的最大值为2，最小值为1，故③错误．
34．【答案】①②⑤【解析】对于①，由f＝f，得f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为2.故①正确；对于②，由①知f(x＋2)＝f(x)，所以f(x＋1)＝f(x－1)，由f(x)是奇函数得f(x＋1)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于点(1,0)对称．故②正确；
对于③④，f(x)在上是增函数，则在上是增函数，所以f(x)在上为增函数．
又由f ＝f 知，f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)在上是减函数．故③④错误；
对于⑤，f ＝f ＝－f ，F ＝f ＝－f ，由f ＝f ，可得f ＝f ．
所以f ＝f .故⑤正确．
所以正确命题的序号是①②⑤．
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高一上学期期末复习导学案（三）
函数的概念与性质
班级 姓名
知识归纳
1．函数的有关概念
(1)函数的概念
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数，记作，．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(2)函数的三要素
定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
2．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，
当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．
3．函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 ，都有；，使得 ，都有；，使得
结论 为最大值 为最小值
4．函数的奇偶性
(1)偶函数、奇函数的概念
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．
(2)奇、偶函数的图象特点
偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
5．函数的对称性(奇偶性的推广)
(1)函数的轴对称
定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．
(2)函数的点对称
定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．
6．周期性
(1)周期函数的定义：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(2)函数周期性常用的结论：
结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；
结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；
结论3：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a；
结论4：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a；
结论5：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论6：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论7：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．
结论5—结论7的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．
7．常用结论
(1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有；
如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)掌握一些重要类型的奇偶函数：
函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数；
函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．
典例分析
题型一 求函数的定义域
例1、(1)函数的定义域为________；
【答案】或且
【解析】由，解得；由，解得或，
所以函数的定义域为或且．
(2)若函数的定义域是，则函数的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B　
【解析】根据已知可得函数的定义域需满足
解得，即函数的定义域是．
题型二　求函数的值域
例2、求下列函数的值域：
(1)；
【解析】分式函数，
定义域为，故，所有，故值域为；
(2)；
【解析】函数中，分母，
则，故值域为；
(3)；
【解析】函数中，令得，易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，故值域为；
(4)；
【解析】函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
(5)．
【解析】函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为．
(6)***；
【解析】函数定义域为R，故两边乘以，整理得
，则该方程一定有解，则判别式，
即解得，即，故值域为；
题型三　求函数的解析式
例3、(1)已知，则________．
【解析】法一：换元法
令，则，，
代入原式有，
所以．
法二：配凑法
，
因为，所以．
(2)已知是二次函数且，，则________．
【解析】设，由，得，
，即，
∴即∴．
(3)已知函数对于任意的都有，则________．
【解析】由题意，在中，
以代可得，
联立消去可解得．
题型四　函数的单调性与最值
例4、(1)(2021·荆州高三期末)设 则函数的单调增区间为(　　)
A．，　　　 B．，
C.， D．，
【答案】D　
【解析】由，解得或，当或时，
，结合图象知此函数的递增区间为；当时，，结合图象知此函数的递增区间为．
综上所述，函数的递增区间为，．
(2)(多选)关于函数的结论正确的是(　　)
A．定义域、值域分别是，
B．单调增区间是
C．定义域、值域分别是，
D．单调增区间是
【答案】CD　
【解析】函数的定义域满足：，解得，即定义域为．考虑函数在上有最大值，最小值，在上单调递增，在上单调递减．故的值域为，在上单调递增，在上单调递减．故选CD．
(3)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
答案　2－3　解析　当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成
立，此时f(x)min＝2－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0．所以f(x)的最小值为2－3．
例5、(1)已知函数f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案　　解析　令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝t在其定义域上单调递减，要使f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即所以即－(2)已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】根据题意，对于任意的都有 成立
则函数在上是增函数
∴，解得，故选B．
例6、已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解析　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝．
因为1≤x11，所以2x1x2－1>0．又x1－x2<0，所以f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝．
(2)因为在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，则
等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a>－3，
故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
题型五　函数奇偶性
例7、(1)下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝tan　　　　B．y＝x2＋e|x|　　　　C．y＝xcos x　　　　D．y＝ln|x|－sin x
答案　B　解析　对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcos x，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．
(2)设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数　　B．－f(x)是奇函数　　C．f(x)|f(x)|是奇函数　　D．f(|x|)f(x)是偶函数
答案　D　解析　∵f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
(3)已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
答案　B　解析　由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(＋1)＋b，∴b＝，∴log2＝－1．故选B．
例8、(1)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1　　　　　B．e－x＋1　　　　　C．－e－x－1　　　　　D．－e－x＋1
答案　D　解析　通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D．
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D．
(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________．
答案　　解析　当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝ex－1＋x，又f(－x)＝f(x)，因此f(x)＝ex－1＋x．所以f(x)＝．
(3)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)
A．ex－e－x　　　　B．(ex＋e－x)　　　　C．(e－x－ex)　　　　D．(ex－e－x)
答案　D　解析　因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．
例9、(1)已知函数f(x)＝asinx＋bln＋t，若＋＝6，则实数t＝(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．3
答案　D　解析　令g(x)＝asin x＋bln，则易知g(x)为奇函数，所以＋＝0，则由f(x)＝g(x)＋t，得＋＝＋＋2t＝2t＝6，解得t＝3．故选D．
(2)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋等于(　　)
A．－1　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2
答案　D　解析　设g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．∴g(x)是奇函数，∴f(lg 2)－1＋－1＝g(lg 2)＋＝0，因此f(lg 2)＋＝2．
题型六　函数的周期性
例10、(1)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
答案　　解析　由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos＝．
(2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　)
A．403　　　　　　　B．405　　　　　　　C．806　　　　　　　D．809
答案　B　解析　定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．
题型七　函数性质的综合应用
例11、(1)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)＜f(－2)＜f(1)　　　　　　　　　　　B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3)　　　　　　　　　　　D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
答案　A　解析　∵f(x)是偶函数∴f(－2)＝ f(2)，又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又∵1＜2＜3∴f(1)＞f(2)＝f(－2)＞f(3)，故选A．
(2)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2，2]　　　　　B．[－1，1]　　　　　C．[0，4]　　　　　D．[1，3]
答案　D　解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1．故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3．
(3)(2021·新高考全国卷Ⅰ)若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】法一：由题意知在，单调递减，且．
当时，令，得，∴；
当时，令，得，
∴，又，∴；
当时，显然符合题意．
综上，原不等式的解集为．故选D．
法二：当时，，符合题意，排除B；当时，，不符合题意，排除AC．故选D．
例12、(1)已知定义域为(－1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，3)　　　　　B．(3，)　　　　　C．(2，4)　　　　　D．(－2，3)
答案　A　解析　 由f(a－3)＋f(9－a2)<0得f(a－3)<－f(9－a2)．又由奇函数性质，得f(a－3)(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．
答案　　解析　由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得例13、(1)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)
A．f(0)C．f(－1)答案　A　解析　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2．∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，∴f(0)(2)已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sinx，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c
＝f(12)的大小关系是(　　)
A．c＜b＜a　　　　　B．c＜a＜b　　　　　C．a＜c＜b　　　　　D．a＜b＜c
答案　B　解析　因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2
－x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．所以函数f(x)的周期为4，又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，所以函数在[0，1]上单调递增，因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，又因为f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b．
(3)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数， x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈(0，1)且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题：
①f(1)＝0；
②f(x)在[－2，2]上有5个零点；
③点(2 014，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；
④直线x＝2 014是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．
则正确命题的序号是________．
答案　①②③　解析：令f(x－1)＝f(x＋1)中x＝0，得f(－1)＝f(1)．∵f(－1)＝－f(1)，∴2f(1)＝0，∴f(1)＝0，故①正确；由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(2)＝f(0)＝0，又当x∈(0，1)且x1≠x2时，有＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图：由图知②③正确，④不正确，∴正确命题的序号为①②③
课后作业
一、基础训练题
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法1：要使函数有意义，则有，即，所以.所以函数的定义域为.
方法2：特殊值法
当时，无意义，所以排除A，C.当时，，则不能当分母，所以排除D.故选：B.
2．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由的定义域为，得，所以，
所以，的定义域为，
令，得，即，所以的定义域为.
故选：B.
3．已知函数定义在区间上，其值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，当时，，，所以，
所以，当时，，所以，所以，所以，所以在区间上的值域为，故选：C.
4．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由、在上都单调递减，
∴，在上单调递减，
∴当时，有，所以值域为．故选B．
5． (2015·全国Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A．3　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．9　　　　　　　　D．12
答案　C　解析　∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3．∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6．∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9．
6．下列命题：（1）若是增函数，则是减函数；（2）若是减函数，则是减函数；（3）若是增函数，是减函数，有意义，则为减函数，其中正确的个数有：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【解析】对于（1），设为上的增函数，当时，没有意义，所以（1）错误；
对于（2），设为上的减函数，则在上不是减函数，故（2）错误；
对于（3），根据复合函数单调性同增异减可知，（3）正确．
所以正确的个数有个．
7．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)
A．y＝2|x|　　　　B．y＝lg(x＋)　　　　C．y＝2x＋2－x　　　　D．y＝lg
答案　D　解析　对于D项，>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．
8．设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3]　　　　　B．[－2，4]　　　　　C．[－1，5]　　　　　D．[0，6]
8．答案　B　解析　因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由
函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3) f(|x－1|)≥f(3) |x－1|≤3，故－2≤x≤4．
9．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)　　　　B．(－∞，1)　　　　C．(1，＋∞)　　　　D．(4，＋∞)
9．答案　D　解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2．因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，
－2)∪(4，＋∞)．又函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
10．已知函数f(x)在R上单调递减，且a＝33.1，b＝，c＝ln，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(a)＞f(b)＞f(c)　　　B．f(b)＞f(c)＞f(a)　　　C．f(c)＞f(a)＞f(b)　　　D．f(c)＞f(b)＞f(a)
10．答案　D　解析　因为a＝33.1＞30＝1，0＜b＝＜＝1，c＝ln＜ln 1＝0，所以c＜b＜a，又因
为函数f(x)在R上单调递减，所以f(c)＞f(b)＞f(a)，故选D．
11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若实数m满足f(log3|m－1|)＋f(－1)<0，
则m的取值范围是(　　)
A．(－2，1)∪(1，4)　　　　B．(－2，1)　　　　C．(－2，4)　　　　D．(1，4)
11．答案　A　解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)是R上的
增函数，由题得f(log3|m－1|)＋f(－1)<0，所以f(log3|m－1|)<－f(－1)＝f(1)，所以log3|m－1|<1＝log33，所以|m－1|＜3，所以－3＜m－1＜3，所以－2＜m＜4，因为|m－1|>0，所以m≠1，故m∈(－2，1)∪(1，4)．故选A．
12．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)
A．(2，＋∞)　　　B．∪(2，＋∞)　　　C．∪(，＋∞)　　　D．(，＋∞)
12．答案　B　解析　f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(log2x)>2＝f(1) f(|log2x|)>f(1) |log2x|>1 log2x>1或log2x<－1 x>2或013．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，＋∞)　　　　　　　　　　　B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)　　　　　　　　　　D．(－2，0)∪(0，2)
13．答案　C　解析　∵f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝0，在(0，＋∞)内是减函数．若xf(x)<0，则或根据f(x)在(－∞，0)内是减函数，在(0，＋∞)内是减函数，解得：x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C．
14．函数的定义域是________．
【答案】
15．已知函数是一次函数，若，则________．
15．【答案】或
【解析】设，
则，
又，所以，
即解得或
所以或．
16．若函数f(x)＝x3(＋a)为偶函数，则a的值为________．
16．答案　　解析　解法1：因为函数f(x)＝x3(＋a)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3(＋
a)＝x3(＋a)，所以2a＝－(＋)，所以2a＝1，解得a＝.
解法2：因为函数f(x)＝x3(＋a)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(＋a)＝13×(＋a)，解得a＝，经检验，当a＝时，函数f(x)为偶函数．
17．已知函数f(x)＝函数f(x)的最大值为________．最小值为________．
17．答案　2　－　解析　作出f(x)的图象如图．
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－．所以f(x)的最大值为2，最小值为－．
18．已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)>f(x－2)的解集为________．
18．答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)　解析　∵函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(2x－1)>f(x－2)可转化为f(|2x－1|)>f(|x－2|)，又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2x－1)>f(x－2) |2x－1|>|x－2|，两边平方解得：x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞) ，故f(2x－1)>f(x－2)的解集为x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
19．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝__________．
19．答案　337　解析　由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)
＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝337×1＝337．
20．已知是上的奇函数，当时，，求时的解析式．
20．【解析】由于是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以．
所以.
21．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
答案　　解析　由题意知，可对不等式分x≤0，0讨论．①当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，故－1，显然成立．③当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．综上可知，所求x的取值范围是．
22．已知函数f(x)＝．
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．
22．解析　(1)定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．
(2)证明：设0又00，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，
在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝．
二、提高训练题
23．已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为(　　)
A．(－1，1)　　　　　B．(－2，2)　　　　　C．(－3，3)　　　　　D．(－4，4)
23．答案　A　解析　法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－．因为ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．
法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－．因为ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．
24．(2021·青岛高三期末)已知定义在上的函数满足：(1)；(2)为奇函数；(3)当时，恒成立，则，，的大小关系正确的为(　　)
A．
B．
C．
D．
24．【答案】C
【解析】因为，所以函数是周期为2的周期函数．
又由为奇函数，所以有，所以函数为奇函数．
由当时，恒成立得在区间内单调递增，结合为奇函数可得函数在区间内单调递增，
因为，，，
所以．
25．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数.不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．【答案】A
【解析】由题可知，的图象关于轴对称，且在上单调递减，
由得在上恒成立，
得在上恒成立，因为和单调递增，
所以当时，取最大值为；当时，取最小值为，
所以. 故选:A.
26．设，若的最小值为，则的值为（ ）
A．0 B．1或4 C．1 D．4
26．【答案】C
【解析】当时，，
当且仅当，即时等号成立.
故时，，
由二次函数性质可知对称轴，且，
解得或（舍去），故选：C.
27．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)　　　　　　　　　　B．f(80)＜f(11)＜f(－25)　　
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)　　　　　　　　　　D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
27．答案　D　解析　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D．
28．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．
答案　－2　解析　∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2．
29．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区
间[0，6]上与x轴的交点个数为________．
29．答案　7　解析　因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)
＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．
30．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
30．答案　　解析　∵f(2|a－1|)>f(－)＝f()，又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴2|a－1|<＝，∴|a－1|<，∴31．已知函数f(x)＝sinx－x＋，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为________．
31．答案　{x|2＝－sinx＋x＋＝－＝－f(x)，所以由奇函数的定义可知f(x)为R上的奇函数．又f′(x)＝cosx－1－ln2．因为－1≤cosx≤1，ln2>0，则有f′(x)<0，所以f(x)为R上的减函数，因此不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0，即f(1－x2)<－f(5x－7)，亦即f(1－x2)7－5x，解
得232．(1)已知函数f(x)＝，下列关于函数f(x)的结论：
①y＝f(x)的值域为R；
②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③y＝f(x)的图象关于y轴对称；
④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．
其中正确结论的序号是________．
32．答案　③④　解析：函数f(x)＝＝其图象如图所示，由图象可知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f(x)在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f(x)的图象关于y轴对称，故③正确；由于f(x)在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点，故④正确．
33．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的 x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________．
33．答案　①②　解析　由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；由题意知，在区间[0,1]上，函数f(x)是增函数．在区间[－1,0]上，函数f(x)是减函数，由函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；函数f(x)的最大值为2，最小值为1，故③错误．
34．定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f，且在上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数，且周期为2；
②f(x)的图象关于点(1，0)对称；
③f(x)在[0，1]上是减函数；
④f(x)在上是增函数；
⑤f ＝f ．
其中正确的序号是________．
34．答案　①②⑤　解析　根据题设条件利用判断函数周期性、对称性、单调性的方法，对每个命题进行
确认．对于①，由f＝f，得f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为2.故①正确；对于②，由①知f(x＋2)＝f(x)，所以f(x＋1)＝f(x－1)，由f(x)是奇函数得f(x＋1)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于点(1,0)对称．故②正确；对于③④，f(x)在上是增函数，则在上是增函数，所以f(x)在上为增函数．又由f ＝f 知，f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)在上是减函数．故③④错误；对于⑤，f ＝f ＝－f ，F ＝f ＝－f ，由f ＝f ，可得f ＝f ．所以f ＝f .故⑤正确．所
以正确命题的序号是①②⑤．
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