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高一上学期期末复习导学案（七）
三角函数的图像与性质
班级 姓名
知识归纳
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
1、正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)．
2、余弦函数y＝cos x,x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π,1)．
3、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图，要找五个关键点，如下列表格：
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
4、用图像平移画y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)一个周期的简图
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域
值域
单调性
奇偶性
对称性
周期性
三、三角函数的周期性与对称性
1、周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期；
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.
2、对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
四、常用的结论
1、函数具有奇偶性的充要条件
①函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
②函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
③函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
④函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
2、利用诱导公式改变A、的符号或改变函数名的方法
①改变A的符号；
②改变的符号；
③改变A的符号
④改变的符号
⑤改变函数名
⑥改变函数名
五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ _____ f＝＝ ________ φ
y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径：
典例分析
题型一、三角函数的图象
例1、(1)函数y＝2cos的部分图象大致是(　　)
(2)函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　)
题型二、三角函数的定义域
例2、(1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A．　 　B．　 C．　 　D．
(2)函数的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
(3)函数的定义域是
题型三、三角函数值域与最值
例3、(1)已知函数，，则函数的值域是(　　)
A．　　　 B． C． D．
(2)函数f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的值域为________．
(3)已知，则的值域为(　　)
A． B． C． D．
变式1、(1)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是 ．
(2)已知函数，，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________．
题型四、三角函数的单调性
例4、(1)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增　　　　　　　　　　B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增　　　　　　　　　　　D．在区间上单调递减
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为 ．
(3)函数的单调递增区间是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
(4)函数的单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
变式2、(1)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是 ．
(2)若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于(　　)
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
题型五、三角函数的周期性
例5、(1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③　　　　　　B．①③④　　　　　　C．②④　　　　　　D．①③
(2)函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
变式3、若x＝是函数f(x)＝sin，x∈R的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最小正周期为_____．
题型六 三角函数的奇偶性与对称性
例6、(1)下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)
A．y＝sin　　B．y＝cos　　C．y＝cos　　D．y＝sin
(2)已知函数是偶函数，则的值为(　　)
A．　　　　　　 B． C． D．
例7、(1)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称　　　　　　　　　　B．关于点对称
C．关于直线x＝对称　　　　　　　　　　D．关于直线x＝对称
(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
题型七 三角函数的图像变换
例8、已知函数y＝2sin．
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
例9、(1)若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度　　　　　　　　　　B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度　　　　　　　　　　D．向左平移个单位长度
(2)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A．，k∈Z　　　　　　　　B．，k∈Z
C．，k∈Z　　　　　　　　　D．，k∈Z
变式4、在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例10、(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin　B．f(x)＝2sin　C．f(x)＝2sin　D．f(x)＝2sin
(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
(3)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asinωx的图象，
只需将函数y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度　　　　　　　　　　B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度　　　　　　　　　　D．向右平移个单位长度
(4)已知曲线，曲线的部分图像如图所示，则下列结论正确的是　　
A．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线
B．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线
C．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线
D．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线
例11、(1)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间的函数关系式为，若甲、乙两人的座舱之间有7个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为　　
A． B． C． D．
(2)汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面．如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记，标记到该轮轴中心的距离为．若该小汽车起动时，标记离地面的距离为，汽车以的速度在水平地面匀速行驶，标记离地面的高度（单位：与小汽车行驶时间（单位：的函数关系式是，其中，，，则　 　．
题型八 三角函数性质的综合应用
例12、(1)同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为”的一个函数是(　　)
A．y＝sin　　　B．y＝sin　　　C．y＝sin　　　D．y＝sin
(2)已知函数，
①的图象关于点，对称；②的图象关于直线对称；
③在，上为增函数；④把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象．
则关于函数的性质的结论正确的有　　
A．① B．② C．③ D．④
(3)设函数，则下列结论正确的有　　
A．函数的对称轴方程为，
B．函数的图象关于，对称
C．函数的单调递减区间为，，
D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是
(4)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是 ．(填序号)
①f(x)的周期是； ②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；④f(x)的单调递减区间是，k∈Z．
例13、函数，的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中正确的是　　
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称
D．若圆半径为，则函数的解析式为
例14、关于函数有下述四个结论，正确的是(　　)
A．是偶函数 B．在区间上单调递增
C．在上有4个零点 D．的最大值为2
课后作业
一、基础训练题
1．函数y＝2sin的图象(　　)
A．关于原点对称　B．关于点对称　C．关于y轴对称　D．关于直线x＝对称
2．函数y＝|tan(2x＋φ)|的最小正周期是(　　)
A．2π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．
3．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　 　C． 　　　　　　　D．
4已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
5．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A．(k∈Z)　　　　　　　　 B．(k∈Z)
C．(k∈Z)　　　　　　　　 D．(k∈Z)
6．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度　　　　　　　　B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度　　　　　　　　D．向右平行移动个单位长度
7．已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A．(k∈Z)　　　　　　 　B．(k∈Z)
C．(k∈Z)　　　　　　　　 D．(k∈Z)
8．函数y＝的定义域为(　　)
A．　　B．(k∈Z)　　C．(k∈Z)　　D．R
9．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A．　　　 　B．　　　 　C．　　 D．
10．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1　　　　　B．3，－2　　　　　　C．2，－1　　　　 　D．2，－2
11．将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)
A．9　　　　　　　B．6　　　　　　　 　C．4　　　　　　 　　D．8
12．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到
y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin　　　B．sin　　　C．sin　　　D．sin
13．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象的一个对称中心为，则函数f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(k∈Z)　　　　　　　　　　B．(k∈Z)
C．(k∈Z)　　　　　　　　　　　D．(k∈Z)
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin　B．f(x)＝2sin　C．f(x)＝2sin　D．f(x)＝2sin
15．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
16．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)
A．最小值2　　　　　B．最大值2　　　　　C．最小值1　　　　　D．最大值1
17．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)
图象的一个对称中心的坐标是(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
18．(多选题)将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
19．(多选题)设函数，则（ ）
A．的最大值为2 B．在区间上单调递增
C．是偶函数 D．的图象关于点对称
20．(多选题)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论正确是(　　)
f(x)的最小正周期为2；
B．②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
C．f(x)在，k∈Z上是减函数；
D．f(x)的最大值为A．
21．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
22．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．
23．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则
|x1－x2|的最小值为 ．
24．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
25．已知函数f(x)＝sin．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
26．已知函数f(x)＝2sin＋1＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离
为π．
(1)求a和ω的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
27．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝．
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
28．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在它的某一个周期内的单调递减区间是．将y＝f(x)的图象
先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值．
29．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．
二、提高训练题
30．已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
31．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
32．已知函数，则下列命题正确的是　 　．
①将的图象向左平移个单位长度对应的函数是偶函数，则的最小值为；
②若对任意实数都有恒成立，设，则；
③当时，若函数向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数，则为奇函数；
④当时，将向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，，，则的最大值为．
33. 已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
高一上学期期末复习导学案（二）
三角函数的图像与性质参考答案
例1、(1)【答案】A　
【解析】由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C．
(2)【答案】A　
【解析】由题意得函数的周期为T＝2π，故可排除B，D.对于C，图象过点，代入解析式，不成立．
例2、(1)【答案】D　
【解析】由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D．
(2)【答案】D
【解析】由得，∴．故选D．
(3)【答案】
例3、(1)【答案】B
【解析】当时，，∴．故选B．
(2)【答案】　
【解析】当x∈时，2x－∈，cos∈，故f(x)＝3cos∈．
(3)【答案】D
【解析】由，
设，∵，∴，∴，∴，
即的值域为．故选D．
变式1、(1)【答案】　
【解析】∵x∈，∴x＋∈，∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，∴≤a≤π．
(2)【答案】
【解析】因为，所以，即，故，不等式在上恒成立等价于，即实数的取值范围为．
例4、(1)【答案】A　
【解析】将函数y＝f(x)向右平移个单位长度得到函数y＝sin＝sin 2x的图象，
当x∈时，y＝sin 2x单调递增．故选A．
(2)【答案】(k∈Z)　
【解析】f(x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)【答案】A
【解析】由题意，令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A.
(4)【答案】B
【解析】，
由得，即，，即，，
设，则为减函数，
要求的递增区间，即求的减区间，即求的增区间，
由，，得，，
即的增区间是．故选B．
变式2、(1)【答案】　
【解析】由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，∴解得≤a<．
(2)【答案】B　
【解析】因为过原点，
所以当，即时，是增函数；
当，即时，是减函数．
由在上单调递增，在上单调递减知，，所以．
例5、(1)【答案】A　
【解析】因为y＝cos|2x|＝cos 2x，所以该函数的周期为＝π；由函数y＝|cos x|的图象易知其周期为π；
函数y＝cos的周期为＝π；函数y＝tan的周期为，故最小正周期为π的函数是①②③．
(2)【答案】A
【解析】因为，所以的最小正周期
变式3、【答案】π　
【解析】依题意知，f＝sin＝0，即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z．
又因为0<ω<10，所以0<8k＋2<10，得－所以f(x)＝sin，f(x)的最小正周期为π．
例6、(1)【答案】C　
【解析】y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin 2x在上为减函数，排除B；y＝cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，符合题意；
y＝sin＝cos x为偶函数，排除D．故选C．
(2)【答案】B
【解析】由是偶函数，可得，，即，．令，得．
例7、(1)【答案】B　
【解析】因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin．令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．故f(x)的对称中心为(k∈Z)．
(2)【答案】－　
【解析】由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－．
例8、【解】(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝．
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X．列表如下：
x －
X 0 π 2π
y＝sin X 0 1 0 －1 0
y＝2sin 0 2 0 －2 0
描点画出图象，如图所示：
(3)方法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
方法二　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象．
例9、(1)【答案】A
【解析】函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可．故选A．
(2)【答案】C　
【解析】将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的函数为y＝sin，将函数y＝sin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，则函数变为y＝sin＝f(x)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，选C．
变式4、【答案】B　
【解析】将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为
y＝sin，因为其图象经过原点，所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，
解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，∴θ的最小值为－＝．
例10、(1)【答案】B　
【解析】由题图可知A＝2，T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝．所以f(x)＝2sin．
把点代入可得2sin＝2，即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝．所以f(x)＝2sin．
(2)【答案】A　
【解析】由题图知＝－＝，∴T＝，即ω＝3，当x＝时，y＝0，
即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，取k＝1，则φ＝－，
∴f(x)＝Acos．则Acos＝－，
解得A＝，∴f(x)＝cos，故f＝cos＝－．
(3)【答案】B　
【解析】由题图知A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)，
将代入得cos＝1，∵－π<φ<0，∴－<＋φ<，∴＋φ＝0，∴φ＝－，
∴f(x)＝2cos＝2sin，故将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象．
(4)【答案】B
【解析】根据曲线的部分图像可得，，．
再根据五点法作图可得，求得，故曲线的方程为．
故将曲线曲线的图像先向左平移个单位长度，
再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线，
例11、(1)【答案】D
【解析】由题意，设甲乙的位置分别为，，摩天轮的轴心为，即，
所以△，
所以△的最大值为55．
(2)【答案】
【解析】车速，
标记到该轮轴中心的距离为，所以车轮周长，
所以周期，所以，
半径，则平衡高度为轮轴中心，此时，，
因为该小汽车起动时，标记离地面的距离为，即时，，
即，所以，又，所以，
所以．
例12、(1)【答案】C　
【解析】因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A选项；当x＝时，对于B，y＝sin＝0，
对于D，y＝sin＝，因为图象关于直线x＝对称，所以排除B、D选项，
对于C，sin＝1，sin＝0，且在上是增函数，故C满足条件．
(2)【答案】ABCD
【解析】①，的图象关于点，对称，即①正确；
②，的图象关于直线对称，即②正确；
③令，，，则，，，的单调性递增区间为，，
当时，单调递增区间为，，，即③正确；
④的图象向右平移个单位长度，得，为偶函数，即④正确．
(3)【答案】ACD
【解析】因为，
令得其对称轴方程为，，故正确；，故错误；
令，则，
则函数的单调递减区间为，故正确；
函数向左平移个单位得到为偶函数，则的最小值为，故正确．
(4)【答案】④　解析　函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－例13、【答案】D
【解析】由图可知，，关于点对称，易得点的横坐标为，
所以的周期，所以，
又，所以，因此．
由，可得，，所以函数在，上不单调，故错误；
函数的图象不关于点成中心对称，故错误；
函数的图象向右平移个单位后，得到函数，
对称轴为，，即，，故错误；
若圆半径为，则，所有，
函数的解析式为，故正确．
例14、【答案】AD
【解析】A中，，∴是偶函数，故A正确；
B中，当时，，函数单调递减，故B错误；
C中，当时，，当时，，令，得，
又∵是偶函数，∴函数在上有3个零点，故C错误；
D中，∵，∴，当时，能取得最大值2，故D正确．故选AD．
课后作业
1、【答案】B　
【解析】∵当x＝－时，函数y＝2sin＝0，∴函数图象关于点对称．
2、【答案】C　
【解析】结合图象及周期公式知T＝
3、【答案】C　
【解析】由f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，
又φ∈[0，2π]，所以φ＝．
4、【答案】B　
【解析】函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sin φ＝，∴sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝，则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．
5、【答案】B　
【解析】由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝
tan的单调递增区间是(k∈Z)．
6、【答案】D　
【解析】∵y＝sin＝sin，∴将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动个单位长度，可得y＝sin的图象．
7、【答案】D　
【解析】函数的解析式可化为f(x)＝－2sin．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
8、【答案】C　
【解析】因为cos x－≥0，即cos x≥，所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
9、【答案】B　
【解析】当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，
所以函数f(x)的值域为．
10、【答案】D　
【解析】y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，
则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2．
11、【答案】B　
【解析】函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得y＝tan＝tan，
∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z．
又∵0<ω<10，∴ω＝6．
【答案】A　
【解析】法一：由题设知，f＝sin．设x＋＝t，则x＝2t－，
所以f(t)＝sin＝sin．故f(x)＝sin．故选B．
法二：由题设知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin．故选B．
13、【答案】D　
【解析】由题可得sin＝0，又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
【答案】D　
【解析】由图象可得，A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝＝＝．所以f(x)＝2
sin．由函数的对称性得f(2)＝－2，即f(2)＝2sin＝－2，即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝－．
故函数的解析式为f(x)＝2sin．
15、【答案】A　
【解析】由题图得为f(x)图象的一个对称中心，＝－，
∴T＝π，从而f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，为，选A．
【答案】A　
【解析】因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心 到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A．
【答案】A　
【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝．因为f(x)≤f恒成立，
所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin．
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A．
18、【答案】ACD
【解析】可得，当，，故A正确；
当，，故B错误；
当(，)，(，0)，故C正确；
当(0，)，(，)，故D正确．
故选：ACD．
19、【答案】CD
【解析】.
选项A：的最大值为，A错误；
选项B：，所以，因此是单调递减，B错误；
选项C：，它是偶函数，C正确；
选项D：由得，所以函数的对称中心为，，当，图象关于点对称，D正确.
【答案】AC　
【解析】由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故A正确；
因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故B不正确；
由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故C正确；
若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故D不正确．
21、【答案】－　
【解析】由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－．
22、【答案】　
【解析】观察图象可知，A＝1，T＝2＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
将代入上式得sin＝0，即－＋φ＝kπ，k∈Z，由|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin．
函数图象的对称轴为x＝＝．又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，
∴＝，即x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝．
23、【答案】2　
【解析】|x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2．
24、【答案】(－∞，－2]∪　
【解析】显然ω≠0．若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥．
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2．
所以ω≤－，解得ω≤－2．综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪．
25、【解】(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．
故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．
(2)因为当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－．
26．【解】(1)当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a．
又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1．
又f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期T＝π，∴ω＝＝2．
(2)由(1)得f(x)＝2sin，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
令k＝0，得≤x≤．∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为．
27、【解】(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，又因为f＝cos＝cos＝－sin φ＝且－<φ<0，
所以φ＝－．
(2)由(1)知f(x)＝cos．
列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) 1 0 －1 0
描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
28、【解】(1)∵＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，又∵sin＝1，|φ|<，∴φ＝－，f(x)＝sin，
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得y＝sin＝sin，
再将y＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)＝sin．
∴g(x)＝sin．
(2)∵x∈，∴4x＋∈，当4x＋＝时，x＝，
∴g(x)在上为增函数，在上为减函数，所以g(x)max＝g＝1，
又因为g(0)＝，g＝－，所以g(x)min＝－，
故函数g(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和－．
29、【解】(1)由图可得A＝2，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2．
当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝．
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，
则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋2，
令t＝sin，t∈[－1，1]，记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，
因为t∈[－1，1]，所以h(t)∈，即g(x)∈，故a∈．
故a的取值范围为．
30、【答案】A
【解析】由，得，
由题意．
当时，由 得．故选A．
31、【答案】(答案不唯一)
【解析】∵的最大值为2．
∴，解得，，
且，
∴，，∴可取．
32、【答案】①③
【解析】已知函数，
对于①，将的图象向左平移个单位长度对应的函数，由于该函数是偶函数，则，解得，当时，的最小值为；故①正确；
对于②，若对任意实数都有恒成立，故，
所以函数的最小正周期为，所以，则，则，故②错误；
对于③，当时，若函数向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数，故③正确；
对于④，当时，将向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，
由于的最大值为3，若，
所以，，，
所以，，，，
所以，，且，，，则的最大值为，故④错误．
33、【解】
（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为，所以；
若满足③：因为，所以，所以，
若满足④：，
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知：，
由①知：，所以，所以，
又因为，或，
所以或，
所以，所以，
不妨令，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,
所以的取值范围是.
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高一上学期期末复习导学案（七）
三角函数的图像与性质
班级 姓名
知识归纳
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
1、正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)．
2、余弦函数y＝cos x,x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π,1)．
3、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图，要找五个关键点，如下列表格：
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
4、用图像平移画y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)一个周期的简图
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域
值域
单调性
奇偶性
对称性
周期性
三、三角函数的周期性与对称性
1、周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期；
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.
2、对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
四、常用的结论
1、函数具有奇偶性的充要条件
①函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
②函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
③函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
④函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
2、利用诱导公式改变A、的符号或改变函数名的方法
①改变A的符号；
②改变的符号；
③改变A的符号
④改变的符号
⑤改变函数名
⑥改变函数名
五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ _____ f＝＝ ________ φ
y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径：
典例分析
题型一、三角函数的图象
例1、(1)函数y＝2cos的部分图象大致是(　　)
答案　A　解析　由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C．
(2)函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　)
答案　A　解析　由题意得函数的周期为T＝2π，故可排除B，D.对于C，图象过点，代入解析式，不成立，故选A．
题型二、三角函数的定义域
例2、(1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
答案　D　解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D．
(2)函数的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，∴．故选D．
(3)函数的定义域是
【答案】
题型三、三角函数值域与最值
例3、(1)已知函数，，则函数的值域是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时，，∴．故选B．
(2)函数f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的值域为________．
答案　　解析　当x∈时，2x－∈，cos∈，故f(x)＝
3cos∈．
(3)已知，则的值域为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，
设，∵，∴，∴，∴，即的值域为．故选D．
变式1、(1)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是 ．
答案　　解析　∵x∈，∴x＋∈，∵当x＋∈时，f(x)的值域为，∴由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，∴≤a≤π．
(2)已知函数，，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为，所以，即，故，不等式在上恒成立等价于，即实数的取值范围为．
题型四、三角函数的单调性
例4、(1)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增　　　　　　　　　　B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增　　　　　　　　　　　D．在区间上单调递减
答案　A　解析　将函数y＝f(x)向右平移个单位长度得到函数y＝sin＝sin 2x的图象，当x∈时，y＝sin 2x单调递增．故选A．
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为 ．
答案　(k∈Z)　解析　f(x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)函数的单调递增区间是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】由题意，令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A.
(4)函数的单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
由得，即，，即，，
设，则为减函数，
要求的递增区间，即求的减区间，即求的增区间，
由，，得，，
即的增区间是．故选B．
变式2、(1)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是 ．
答案　　解析　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，∴解得≤a<．
(2)若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于(　　)
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
【答案】B　
【解析】因为过原点，
所以当，即时，是增函数；
当，即时，是减函数．
由在上单调递增，在上单调递减知，，所以．故选B．
题型五、三角函数的周期性
例5、(1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③　　　　　　B．①③④　　　　　　C．②④　　　　　　D．①③
答案　A　解析　因为y＝cos|2x|＝cos 2x，所以该函数的周期为＝π；由函数y＝|cos x|的图象易知其
周期为π；函数y＝cos的周期为＝π；函数y＝tan的周期为，故最小正周期为π的函数是①②③．
(2)函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以的最小正周期，
故选：．
变式3、若x＝是函数f(x)＝sin，x∈R的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最小正周期为________．
3．答案　π　解析　依题意知，f＝sin＝0，即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z．又
因为0<ω<10，所以0<8k＋2<10，得－题型六 三角函数的奇偶性与对称性
例6、(1)下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)
A．y＝sin　　B．y＝cos　　C．y＝cos　　D．y＝sin
答案　C　解析　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin 2x在上为减函数，排除B；y＝cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，符合题意；y＝sin＝cos x为偶函数，排除D．故选C．
(2)已知函数是偶函数，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由是偶函数，可得，，
即，．令，得．故选B．
例7、(1)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称　　　　　　　　　　B．关于点对称
C．关于直线x＝对称　　　　　　　　　　D．关于直线x＝对称
答案　B　解析　因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin．令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．
(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
7．答案　－　解析　由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．∵φ
∈，∴φ＝－．
题型七 三角函数的图像变换
例8、已知函数y＝2sin．
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝．
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X．列表如下：
x －
X 0 π 2π
y＝sin X 0 1 0 －1 0
y＝2sin 0 2 0 －2 0
描点画出图象，如图所示：
(3)方法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
方法二　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象．
例9、(1)若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度　　　　　　　　　　B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度　　　　　　　　　　D．向左平移个单位长度
答案　A　解析　函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图
象，则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可．故选A．
(2)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A．，k∈Z　　　　　　　　B．，k∈Z
C．，k∈Z　　　　　　　　　D．，k∈Z
答案　C　解析　将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的函数为y＝sin，将函数y＝sin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，则函数变为y＝sin＝f(x)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，选C．
变式4、在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　B　解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y
＝sin，因为其图象经过原点，所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，∴θ的最小值为－＝．
例10、(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin　B．f(x)＝2sin　C．f(x)＝2sin　D．f(x)＝2sin
答案　B　解析　由题图可知A＝2，T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝．所以f(x)＝2sin．把点代入可得2sin＝2，即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝．所以f(x)＝2sin．
(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
18．答案　A　解析　由题图知＝－＝，∴T＝，即ω＝3，当x＝时，y＝0，即3×＋φ＝2kπ
－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，取k＝1，则φ＝－，∴f(x)＝Acos．则Acos＝－，
解得A＝，∴f(x)＝cos，故f＝cos＝－．
(3)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asinωx的图象，
只需将函数y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度　　　　　　　　　　B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度　　　　　　　　　　D．向右平移个单位长度
答案　B　解析　由题图知A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)，将
代入得cos＝1，∵－π<φ<0，∴－<＋φ<，∴＋φ＝0，∴φ＝－，∴f(x)＝2cos＝2sin，故将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象．
(4)已知曲线，曲线的部分图像如图所示，则下列结论正确的是　　
A．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线
B．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线
C．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线
D．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线
【解答】解：根据曲线的部分图像可得，，．
再根据五点法作图可得，求得，故曲线的方程为．
故将曲线曲线的图像先向左平移个单位长度，
再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线，
故选：．
例11、(1)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间的函数关系式为，若甲、乙两人的座舱之间有7个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，设甲乙的位置分别为，，摩天轮的轴心为，即，
所以△，
所以△的最大值为55．
故选：．
(2)汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面．如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记，标记到该轮轴中心的距离为．若该小汽车起动时，标记离地面的距离为，汽车以的速度在水平地面匀速行驶，标记离地面的高度（单位：与小汽车行驶时间（单位：的函数关系式是，其中，，，则　　．
【解答】解：车速，
标记到该轮轴中心的距离为，所以车轮周长，
所以周期，
所以，
半径，则平衡高度为轮轴中心，此时，，
因为该小汽车起动时，标记离地面的距离为，
即时，，
即，所以，
又，所以，
所以．
故答案为：．
题型八 三角函数性质的综合应用
例12、(1)同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为”的一个函数是(　　)
A．y＝sin　　　B．y＝sin　　　C．y＝sin　　　D．y＝sin
答案　C　解析　因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A选项；当x＝时，对于B，y＝sin＝0，对于D，y＝sin＝，因为图象关于直线x＝对称，所以排除B、D选项，对于C，sin＝1，sin＝0，且在上是增函数，故C满足条件．
(2)已知函数，
①的图象关于点，对称；
②的图象关于直线对称；
③在，上为增函数；
④把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象．
则关于函数的性质的结论正确的有　　
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：①，的图象关于点，对称，即①正确；
②，的图象关于直线对称，即②正确；
③令，，，则，，，的单调性递增区间为，，
当时，单调递增区间为，，，即③正确；
④的图象向右平移个单位长度，得，为偶函数，即④正确．
故选：．
(3)设函数，则下列结论正确的有　　
A．函数的对称轴方程为，
B．函数的图象关于，对称
C．函数的单调递减区间为，，
D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是
【解答】解：因为，
令得其对称轴方程为，，故正确；
，故错误；
令，则，
则函数的单调递减区间为，故正确；
函数向左平移个单位得到为偶函数，则的最小值为，故正确．
故选：．
(4)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是 ．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z．
答案　④　解析　函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－例13、函数，的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中正确的是　　
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称
D．若圆半径为，则函数的解析式为
【解答】解：由图可知，，关于点对称，易得点的横坐标为，
所以的周期，所以，
又，所以，因此．
由，可得，，所以函数在，上不单调，故错误；
函数的图象不关于点成中心对称，故错误；
函数的图象向右平移个单位后，得到函数，
对称轴为，，即，，故错误；
若圆半径为，则，所有，
函数的解析式为，故正确．
故选：．
例14、关于函数有下述四个结论，正确的是(　　)
A．是偶函数 B．在区间上单调递增
C．在上有4个零点 D．的最大值为2
【答案】AD
【解析】A中，，∴是偶函数，故A正确；
B中，当时，，函数单调递减，故B错误；
C中，当时，，当时，，令，得，
又∵是偶函数，∴函数在上有3个零点，故C错误；
D中，∵，∴，当时，能取得最大值2，故D正确．故选AD．
课后作业
一、基础训练题
1．函数y＝2sin的图象(　　)
A．关于原点对称　B．关于点对称　C．关于y轴对称　D．关于直线x＝对称
1、答案　B　解析　∵当x＝－时，函数y＝2sin＝0，∴函数图象关于点对称．
2．函数y＝|tan(2x＋φ)|的最小正周期是(　　)
A．2π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．
2、答案　C　解析　结合图象及周期公式知T＝
3．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　D．
3、答案　C　解析　由f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝．
4已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
4、答案　B　解析　函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sin φ＝，∴sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝，则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．
5．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A．(k∈Z)　　　　　　　　B．(k∈Z)
C．(k∈Z)　　　　　　　　D．(k∈Z)
5、答案　B　解析　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝
tan的单调递增区间是(k∈Z)．
6．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度　　　　　　　　B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度　　　　　　　　D．向右平行移动个单位长度
6、答案　D　解析　∵y＝sin＝sin，∴将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动个单位长度，可得y＝sin的图象．
7．已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A．(k∈Z)　　　　　　　　B．(k∈Z)
C．(k∈Z)　　　　　　　　　D．(k∈Z)
7、答案　D　解析　函数的解析式可化为f(x)＝－2sin．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋
kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
8．函数y＝的定义域为(　　)
A．　　B．(k∈Z)　　C．(k∈Z)　　D．R
8、答案　C　解析　因为cos x－≥0，即cos x≥，所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
9．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
9、答案　B　解析　当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，
所以函数f(x)的值域为．
10．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1　　　　　　B．3，－2　　　　　　C．2，－1　　　　　　D．2，－2
10、答案　D　解析　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2．
11．将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)
A．9　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．8
11、答案　B　解析　函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z．又∵0<ω<10，∴ω＝6．
12．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y
＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin　　　B．sin　　　C．sin　　　D．sin
12、答案　A　解析　法一：由题设知，f＝sin．设x＋＝t，则x＝2t－，所以f(t)＝
sin＝sin．故f(x)＝sin．故选B．
法二：由题设知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin．故选B．
13．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象的一个对称中心为，则函数f(x)的单调递减区间是
(　　)
A．(k∈Z)　　　　　　　　　　B．(k∈Z)
C．(k∈Z)　　　　　　　　　　　D．(k∈Z)
13、答案　D　解析　由题可得sin＝0，又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，由2kπ
＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin　B．f(x)＝2sin　C．f(x)＝2sin　D．f(x)＝2sin
14、答案　D　解析　由图象可得，A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝＝＝．所以f(x)＝2
sin．由函数的对称性得f(2)＝－2，即f(2)＝2sin＝－2，即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝－．故函数的解析式为f(x)＝2sin．
15．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
15、答案　A　解析　由题图得为f(x)图象的一个对称中心，＝－，∴T＝π，从而f(x)图象的
对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，为，选A．
16．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)
A．最小值2　　　　　B．最大值2　　　　　C．最小值1　　　　　D．最大值1
16、答案　A　解析　因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心 到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A．
17．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)
图象的一个对称中心的坐标是(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
17、答案　A　解析　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝．因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max
＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin．令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A．
18．(多选题)将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
18、【答案】ACD
【详解】可得，当，，故A正确；
当，，故B错误；
当(，)，(，0)，故C正确；
当(0，)，(，)，故D正确．
故选：ACD．
19．(多选题)设函数，则（ ）
A．的最大值为2 B．在区间上单调递增
C．是偶函数 D．的图象关于点对称
19、【答案】CD
【详解】.
选项A：的最大值为，A错误；
选项B：，所以，因此是单调递减，B错误；
选项C：，它是偶函数，C正确；
选项D：由得，所以函数的对称中心为，，当，图象关于点对称，D正确.
故选：CD.
20．(多选题)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论正确是(　　)
f(x)的最小正周期为2；
B．②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
C．f(x)在，k∈Z上是减函数；
D．f(x)的最大值为A．
20、答案　AC　解析　由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故A正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故B不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故C正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故D不正确．
21．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
21、答案　－　解析　由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．∵φ
∈，∴φ＝－．
22．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．
22、答案　　解析　观察图象可知，A＝1，T＝2＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．将代入上式得sin＝0，即－＋φ＝kπ，k∈Z，由|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin．函数图象的对称轴为x＝＝．又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，即x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝．
23．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为 ．
23、答案　2　解析　|x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2．
24．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
24、答案　(－∞，－2]∪　解析　显然ω≠0．若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函
数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥．若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2．所以ω≤－，解得ω≤－2．综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪．
25．已知函数f(x)＝sin．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
25、解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．
故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．
(2)因为当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－．
26．已知函数f(x)＝2sin＋1＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离
为π．
(1)求a和ω的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
26．解　(1)当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a．
又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1．
又f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期T＝π，∴ω＝＝2．
(2)由(1)得f(x)＝2sin，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
令k＝0，得≤x≤．∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为．
27．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝．
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
27、解　(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，又因为f＝cos＝cos＝－sin φ＝且－<φ<0，
所以φ＝－．
(2)由(1)知f(x)＝cos．
列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) 1 0 －1 0
描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
28．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在它的某一个周期内的单调递减区间是．将y＝f(x)的图象
先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值．
28、解　(1)∵＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，又∵sin＝1，|φ|<，∴φ＝－，f(x)＝sin，
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得y＝sin＝sin，
再将y＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)＝sin．
∴g(x)＝sin．
(2)∵x∈，∴4x＋∈，当4x＋＝时，x＝，
∴g(x)在上为增函数，在上为减函数，所以g(x)max＝g＝1，
又因为g(0)＝，g＝－，所以g(x)min＝－，
故函数g(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和－．
29．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．
29、解　(1)由图可得A＝2，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2．
当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝．
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，
则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋2，
令t＝sin，t∈[－1，1]，记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，
因为t∈[－1，1]，所以h(t)∈，即g(x)∈，故a∈．
故a的取值范围为．
二、提高训练题
30．已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
30、【答案】A
【解析】由，得，
由题意．
当时，由 得．故选A．
31．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
31、【答案】(答案不唯一)
【解析】∵的最大值为2．
∴，解得，，
且，
∴，，∴可取．
32．已知函数，则下列命题正确的是　 　．
①将的图象向左平移个单位长度对应的函数是偶函数，则的最小值为；
②若对任意实数都有恒成立，设，则；
③当时，若函数向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数，则为奇函数；
④当时，将向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，，，则的最大值为．
32、【解答】解：已知函数，
对于①，将的图象向左平移个单位长度对应的函数，由于该函数是偶函数，则，解得，当时，的最小值为；故①正确；
对于②，若对任意实数都有恒成立，故，
所以函数的最小正周期为，所以，则，则，故②错误；
对于③，当时，若函数向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数，故③正确；
对于④，当时，将向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，
由于的最大值为3，若，
所以，，，
所以，，，，
所以，，且，，，则的最大值为，故④错误．
故答案为：①③．
33. 已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
33、【解析】
（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为，所以；
若满足③：因为，所以，所以，
若满足④：，
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知：，
由①知：，所以，所以，
又因为，或，
所以或，
所以，所以，
不妨令，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,
所以的取值范围是.
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