资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台高一上学期期末复习导学案（八）三角恒等变换班级 姓名知识归纳一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ (2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(3)tan(α＋β)＝2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β) (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)(3)＝tan(α－β)二、二倍角公式及其变形公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα(2)cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α(3)tan2α＝2．降幂公式(1)sin2α＝； (2)cos2α＝； (3)sin αcos α＝sin 2α.3．升幂公式(1)1＋cos α＝2cos2； (2)1－cos α＝2sin2；(3)1＋sin α＝； (4)1－sin α＝.三、辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝。典例分析题型一、和差公式给角求值例1-1、(1)cos(－15°)= ；(2)cos 105°＋sin 105°= .例1-2、(1)( )A． B． C． D．(2)计算所得的结果为( )A． B． C． D．题型二、和差公式给值求值例2-1、已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，则cos β= ．例2-2、若，，则___________.题型三、和角公式给值求角例3-1、已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.例3-2、已知，，，若，则 A． B． C． D．题型四、二倍角公式的正用、逆用例4-1、(1)sincos＝________.(2)＝________.(3)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α＝________.例4-2、(多选题)若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．例4-3、已知，，则（ ）A． B． C． D．题型五、三角恒等变换的简单应用例5-1、已知函数．（1）求的周期和单调区间； （2）若，，，求的值．例5-2、已知函数．(1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的值域．课后作业一、基础训练题1．若，，则等于（ ）．A． B． C．或 D．或2．已知，则（ ）A． B． C． D．3．已知，则 A． B． C． D．4．已知函数的最小正周期为，且，则（ ）A．在内单调递减 B．在内单调递减C．在内单调递增 D．在内单调递增5．若，，则 A． B． C． D．6．(多选题)下列各式中值为的是（ ）．A． B．C． D．7．(多选题)下列化简结果正确的是（ ）A． B．C． D．8．(多选题)已知的最小正周期为，则下列说法正确的有 A． B．函数在上为增函数C．直线是函数图象的一条对称轴D．点是函数图象的一个对称中心9．求值___ ___．10．已知，则 ．11．已知，，，，则 ．12．已知，为锐角，，．（1）求的值； （2）求的值．13．已知函数．（1）求的最小正周期； （2）求在区间，上的最大值和最小值．14．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，，且，求的值．提高训练题15．化简A． B． C．1 D．16．已知，则的值是（ ）A． B． C． D．17．已知，，则（ ）A． B． C．3 D．18．已知函数，下列结论错误的是（ ）A．的值域为B．曲线关于直线对称C．在上单调递增D．方程在上有4个不同的实根19．已知，下面结论正确的是 A．若，，且的最小值为，则B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．若在，上恰有7个零点，则的取值范围是D．若在上单调递增，则的取值范围是，20．若，且，则的值为___________.高一下学期期末复习导学案（三）三角恒等变换参考答案例1-1、(1)【答案】【解析】(1)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝．(2)cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.例1-2、(1)【答案】B【解析】.(2)【答案】C【解析】例2-1、【答案】【解析】(1)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝.由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.例2-2、【答案】【解析】.例3-1、【答案】 【解析】∵α，β均为锐角，∴cos α＝，cos β＝.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α>sin β，∴0<β<α< ，∴0<α－β<.故α－β＝.例3-2、【答案】A【解析】，，，， ，，，，即，又，且，，，，，，且，，，，，，，．例4-1、【答案】(1) (2)－ (3)－【解析】(1)原式＝(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.(3)由3cos 2α＝sin，可得3cos 2α＝(cos α－sin α)，即3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)．∵α∈，∴cos α－sin α≠0，∴上式可化为sin α＋cos α＝，两边平方可得1＋sin 2α＝. ∴sin 2α＝－.例4-2、【答案】BD【解析】由，所以.A：因为，所以，本选项结论不正确；B：因为，，所以，本选项结论正确；C：因为，所以本选项结论不正确；D：因为，所以本选项结论正确，例4-3、【答案】C【解析】由及，解得，或，.因为，所以，，所以，，所以，例5-1、【解】（1），；令，，解得：，，可得的单调递增区间为，，，令，，解得：，，可得的单调递减区间为，，，（2），可得，，可得，，，．例5-2、【解】(1)解：所以函数的最小正周期为．(2)由知，则故，故函数的值域是．课后作业1、【答案】D【解析】，又，所以或.2、【答案】D【解析】由得：，，.故选：D.3、【答案】A【解析】，，即，，故选项正确．4、【答案】B【解析】因为最小正周期为，，得因为，所以为偶函数，所以，而，所以即当，是先减再增；当，是单调递减；故选：B.5、【答案】D【解析】因为，两边同平方可得，，所以，因为，则，所以，，故，所以，故，即，所以．故选D．6、【答案】AC【解析】因为，故选项A正确；因为，故选项B错误；因为，故选项C正确；因为，整理得，，故选项D错误；故选：AC.7、【答案】ACD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确，8、【答案】BD【解析】 的最小正周期为，，，故错误．在上，，，故单调递增，故正确；当时，，不是最值，故直线不是函数图象的一条对称轴，故错误；当时，，故点是函数图象的一个对称中心，故正确，9、【答案】【解析】原式．10、【答案】【解析】，平方可得，．11、【答案】【解析】，，，，则，，即，则，，，则，则，12、【解】（1）解法一、，，为锐角，且，，所以，；所以，所以．解法二、由题意知，，所以，所以．（2）由（1）知，，，所以，，所以，，所以．13、【解】（Ⅰ），的最小正周期；（Ⅱ），，，，，．，．14、【解】（1）因为，所以，所以，所以，即．（2）因为，，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，且，所以，因为，所以．因为，所以．15、【答案】D【解析】化简分母得.故原式等于.16、【答案】B【解析】，即，，，则.17、【答案】B【解析】由，得，又，得，即，整理，得或(舍去)，所以，又，，解得，故.18、【答案】ABC【解析】，作出的图像如图所示：对于A：的值域为，故A错误；对于B：且，所以不是函数的对称轴 ，故B错误；对于C：取，有，而，，不符合增函数的定义，故C错误；对于D：，即方程在上有4个不同的实根.故D正确.故选：ABC.19、【答案】BCD【解析】，周期．．由条件知，周期为，，故错误；．函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，，故对，存在，故正确；．由且在，上恰有7个零点，可得，，故正确；．由条件，得，，又，，故正确．20、【答案】或【解析】由题意知，则，即，当时，，即，由，得；当时，，所以，即，由，得，所以，得.故答案为：或21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台高一上学期期末复习导学案（八）三角恒等变换班级 姓名知识归纳一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(3)tan(α＋β)＝2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)(2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)(3)＝tan(α－β)二、二倍角公式及其变形公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα(2)cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α(3)tan2α＝2．降幂公式(1)sin2α＝； (2)cos2α＝； (3)sin αcos α＝sin 2α.3．升幂公式(1)1＋cos α＝2cos2； (2)1－cos α＝2sin2；(3)1＋sin α＝； (4)1－sin α＝.三、辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝。典例分析题型一、和差公式给角求值例1-1、(1)cos(－15°)= ；(2)cos 105°＋sin 105°= .例1-1、(1)【答案】【解析】(1)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝．(2)[解] cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.例1-2、(1)( )A． B． C． D．(2)计算所得的结果为( )A． B． C． D．例1-2、(1)【答案】B【解析】.故选：B.(2)【答案】C【解析】故选：C(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；【解析】(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.题型二、和差公式给值求值例2-1、已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，则cos β= ．例2-1、【答案】【解析】(1)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝.由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.例2-2、若，，则___________.例2-2、【答案】【详解】.题型三、和角公式给值求角例3-1、已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.【答案】 【解析】∵α，β均为锐角，∴cos α＝，cos β＝.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α>sin β，∴0<β<α< ，∴0<α－β<.故α－β＝.例3-2、已知，，，若，则 A． B． C． D．例3-2、【答案】A【解析】，，，，，，，，即，又，且，，，，，，且，，，，，，，．故选A．题型四、二倍角公式的正用、逆用例4-1、(1)sincos＝________.(2)＝________.(3)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α＝________.例4-1、【答案】(1) (2)－ (3)－【解析】(1)原式＝(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.(3)由3cos 2α＝sin，可得3cos 2α＝(cos α－sin α)，即3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)．∵α∈，∴cos α－sin α≠0，∴上式可化为sin α＋cos α＝，两边平方可得1＋sin 2α＝.∴sin 2α＝－.例4-2、(多选题)若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．例4-2、【答案】BD【详解】由，所以.A：因为，所以，本选项结论不正确；B：因为，，所以，本选项结论正确；C：因为，所以本选项结论不正确；D：因为，所以本选项结论正确，故选：BD例4-3、已知，，则（ ）A． B． C． D．例4-3、【答案】C【详解】由及，解得，或，.因为，所以，，所以，，所以，故选：C.题型五、三角恒等变换的简单应用例5-1、已知函数．（1）求的周期和单调区间；（2）若，，，求的值．例5-1、【答案】（1），；令，，解得：，，可得的单调递增区间为，，，令，，解得：，，可得的单调递减区间为，，，（2），可得，，可得，，，．例5-2、已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数的值域．例5-2、【答案】(1)(2)(1)解：所以函数的最小正周期为．(2)由知，则故，故函数的值域是．课后作业一、基础训练题1．若，，则等于（ ）．A． B． C．或 D．或1、【答案】D【解析】，又，所以或.故选：D2．已知，则（ ）A． B． C． D．2、【答案】D【解析】由得：，，.故选：D.3．已知，则 A． B． C． D．3、【答案】A【解析】，，即，，故选项正确．故选A．4．已知函数的最小正周期为，且，则（ ）A．在内单调递减 B．在内单调递减C．在内单调递增 D．在内单调递增4、【答案】B【解析】因为最小正周期为，，得因为，所以为偶函数，所以，而，所以即当，是先减再增；当，是单调递减；故选：B.5．若，，则 A． B． C． D．5、【答案】D【解析】因为，两边同平方可得，，所以，因为，则，所以，，故，所以，故，即，所以．故选D．6．(多选题)下列各式中值为的是（ ）．A． B．C． D．6、【答案】AC【解析】因为，故选项A正确；因为，故选项B错误；因为，故选项C正确；因为，整理得，，故选项D错误；故选：AC.7．(多选题)下列化简结果正确的是（ ）A． B．C． D．7、【答案】ACD【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确，故选：ACD.8．(多选题)已知的最小正周期为，则下列说法正确的有 A．B．函数在上为增函数C．直线是函数图象的一条对称轴D．点是函数图象的一个对称中心8、【答案】BD【解析】 的最小正周期为，，，故错误．在上，，，故单调递增，故正确；当时，，不是最值，故直线不是函数图象的一条对称轴，故错误；当时，，故点是函数图象的一个对称中心，故正确，故选BD．9．求值______．9、【答案】【解析】原式．10．已知，则 ．10、【答案】【解析】，平方可得，．故答案为：．11．已知，，，，则 ．11、【答案】【解析】，，，，则，，即，则，，，则，则，故答案为：12．已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．12、【答案】（1）解法一、，，为锐角，且，，所以，；所以，所以．解法二、由题意知，，所以，所以．（2）由（1）知，，，所以，，所以，，所以．13．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间，上的最大值和最小值．13、【答案】（Ⅰ），的最小正周期；（Ⅱ），，，，，．，．14．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，，且，求的值．14、【答案】（1）因为，所以，所以，所以，即．（2）因为，，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，且，所以，因为，所以．因为，所以．提高训练题15．化简A． B． C．1 D．15、【答案】D【解析】化简分母得.故原式等于.16．已知，则的值是（ ）A． B． C． D．16、【答案】B【解析】，即，，，则，故选：B.17．已知，，则（ ）A． B． C．3 D．17、【答案】B【详解】由，得，又，得，即，整理，得或(舍去)，所以，又，，解得，故.故选：B18．已知函数，下列结论错误的是（ ）A．的值域为B．曲线关于直线对称C．在上单调递增D．方程在上有4个不同的实根18、【答案】ABC【解析】，作出的图像如图所示：对于A：的值域为，故A错误；对于B：且，所以不是函数的对称轴 ，故B错误；对于C：取，有，而，，不符合增函数的定义，故C错误；对于D：，即方程在上有4个不同的实根.故D正确.故选：ABC.19．已知，下面结论正确的是 A．若，，且的最小值为，则B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．若在，上恰有7个零点，则的取值范围是D．若在上单调递增，则的取值范围是，19、【答案】BCD【解析】，周期．．由条件知，周期为，，故错误；．函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，，故对，存在，故正确；．由且在，上恰有7个零点，可得，，故正确；．由条件，得，，又，，故正确．故选BCD．20．若，且，则的值为___________.20、【答案】或【详解】由题意知，则，即，当时，，即，由，得；当时，，所以，即，由，得，所以，得.故答案为：或21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK 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