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高一上学期期末复习导学案（二）
不等式
班级 姓名
知识归纳
1．比较两个实数大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a0)或>1(a，b<0)
2．不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向，同正
可乘方性 a>b>0，n∈N* an>bn 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
3．基本不等式及几个重要的不等式
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
当且仅当时等号成立．
4．利用基本不等式求最值问题
已知，，则：
(1)如果积是定值，那么当且仅当时，x＋y有最小值是．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
5．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
的图象
的根 有两个相异实根， 有两个相等实根 没有实数根
的解集 或
的解集
对于的情况可同理得出相应的结论．
典例分析
题型一 比较两个数(式)的大小
【例1】(1)已知实，，，满足，，则，，的大小关系是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．
又，所以，，
所以，所以．
所以．故选A．
(2)已知，试比较与的大小．
【答案】
【解析】∵，∴．
∵，
∴，即．
题型二　不等式的性质
【例2】(1)若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是(　　)
A．0　　　　 B．1　　　 　C．2　　　 　D．3
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，故，①正确；
，故，②正确；
，所以，③正确．故选D．
(2)(多选题)下列命题中不正确的是(　　)
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【解析】A不正确，因为时，；B不正确，因为当时，不成立；C不正确，因为当，，则；D正确．
故选ABC．
【例3】(1)若，，，则的取值范围是(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，即．
∵，∴．故选D．
(2)已知，，则的取值范围是________，的取值范围是________．
【答案】，
【解析】∵，，∴，∴．
由，，得，，∴．
题型三　利用基本不等式求最值
【例4】(1)函数的最小值为________．
【答案】
【解析】
，
当且仅当，即时等号成立．
(2)已知两个正数，满足，则的最小值为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．
【答案】C
【解析】将两边同时除以，得，
则，
当且仅当，即时取等号．
故的最小值为．故选C．
(3)若对任意，恒成立，则实数的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意，恒成立，
所以对，，
而对，，当且仅当时等号成立，
所以．故选A．
【例5】(1)已知正实数，满足，则的最小值是________．
【答案】
【解析】由可得，由且得，
所以．
易知，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值是．
(2)已知，，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】依题意得，当且仅当，即时取等号．因此，的最小值为．
题型四　一元二次不等式的解法
【例6】(1)已知全集，集合，则 等于(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得， ，故选A．
(2)不等式的解集为________．
【答案】
【解析】将原不等式移项通分得，
等价于解得或．
所以原不等式的解集为．
(3)已知不等式的解集是，则不等式的解集是(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式的解集是，则，是一元二次方程的实数根，且，∴，．
不等式可化为，
∴，
化为，又，∴，
∴不等式的解集是或，故选B．
题型五　含参数的一元二次不等式的解法
【例7】解关于的不等式．
【解析】原不等式变为，因为，所以，所以
当时，解为；
当时，解集为；
当时，解为．
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
题型六　一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
【例8】(1)若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】依题意，设，
因为不等式对任意实数都成立，所以，
解得．
(2)设函数，若对于，恒成立，求的取值范围．
【答案】
【解析】要使在上恒成立，
则，即在上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令，．
当时，，所以，所以．
当时，，所以，所以．
综上所述，的取值范围是．
法二：因为，
由，得．
因为函数在上的最小值为，所以只需即可．
又因为，所以的取值范围是．
(3)若不等式，当时恒成立，则的取值范围是(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知不等式在上恒成立，
即在上恒成立．
∴解得或．故选D．
课后作业
一、基础训练题
1．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（ ）
A． B． C． D．
1、【答案】B
【解析】由题,,
由于,所以,即,所以,故,即
因为,所以,,
故
故选B
2．已知函数，则在上的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
2、【答案】D　
【解析】，当且仅当，即时取等号．
所以在上的最小值是．
故选：D
3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为(　　)
A． B．
C． D．或
3、【答案】A
【解析】由题意得 解得，，所以不等式为，即，所以解集为，故选A．
4．设，，且，则（ ）
A．有最小值为 B．有最小值为6
C．有最小值为 D．有最小值为7
4、【答案】B
【解析】因为，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
5．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
5、【答案】A
【详解】因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
6．为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区(阴影部分)和四周的绿化带组成. 规划核心喷泉区的面积为,绿化带的宽分别为和(如图所示). 当长方形占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为 (　　)
A.　　　　　　 B.
C.　　　　　　 D.
6、【答案】B　
【解析】设 ，则 ，
所以长方形的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当长方形占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为.
故选B.
7．(多选题)若，则下列不等式一定成立的是(　　)
A． B．
C. D.
7、【答案】ABC
【解析】由，得，A成立；因为，所以，B成立；因为，所以，C成立；当，时，，，不成立，故选ABC．
8．(多选题)已知，且，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
8、【答案】AB
【解析】A．因为（，所以等号取不到），所以，故正确；
B．因为，且，所以，所以，故正确；
C．因为，又因为，所以，所以，故错误；
D．因为，所以，故错误，
故选：AB.
9．已知，，，则、的大小关系为________．
9、【答案】
【解析】∵，
∴．
10．已知函数的最小值为6，则正数的值为________．
10、【答案】
【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号．又函数的最小值为6，所以，解得．
11．若，，，则的最小值为________．
11、【答案】
【解析】法一：由于，因此或(舍去)，
当且仅当时取等号．
法二：由题意，得，所以，
当且仅当时取等号．
12．解下列不等式：
（1）；
（2）．
12、【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）原不等式可化为，即．
解得，所以原不等式的解集为．
（2）原不等式等价于
借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为或．
二、提高训练题
13．若，，则的取值范围为________．
13、【答案】
【解析】设，则解得
即，
又，，
∴，，
∴，
即，
故的取值范围是．
14．对任意的，函数的值恒大于零，则的取值范围为________．
14、【答案】或
【解析】对任意的，恒成立，即在时恒成立．只需且，
即 解得或．
15．设函数，若存在，使得恒成立，则的取值范围是 ．
15、【答案】
【解析】由题意知有解，即有解，
则，又，得，因为，
所以的取值范围为．
16.（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，满足，求的最大值.
【解析】（1）因为，
设，即，即，
所以，则，
当且仅当且，即，时等号成立.
所以的最小值为.
（2），
所以，所以，
当且仅当且，即时等号成立.
所以的最大值是.
17．解关于的不等式．
【解析】∵，
∴，
令，
则此图象开口向上，且与轴交点横坐标分别为，．
①当，即时，解得；
②当，即时，解得或；
③当，即时，解得或．
综上，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
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不等式
班级 姓名
知识归纳
1．比较两个实数大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a0)或>1(a，b<0)
2．不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向，同正
可乘方性 a>b>0，n∈N* an>bn 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
3．基本不等式及几个重要的不等式
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
当且仅当时等号成立．
4．利用基本不等式求最值问题
已知，，则：
(1)如果积是定值，那么当且仅当时，x＋y有最小值是．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
5．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
的图象
的根 有两个相异实根， 有两个相等实根 没有实数根
的解集 或
的解集
对于的情况可同理得出相应的结论．
典例分析
题型一 比较两个数(式)的大小
【例1】(1)已知实，，，满足，，则，，的大小关系是(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知，试比较与的大小．
题型二　不等式的性质
【例2】(1)若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是(　　)
A．0　　　　 B．1　　　 　
C．2　　　 　D．3
(2)(多选题)下列命题中不正确的是(　　)
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【例3】(1)若，，，则的取值范围是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
(2)已知，，则的取值范围是________，的取值范围是________．
题型三　利用基本不等式求最值
【例4】(1)函数的最小值为________．
(2)已知两个正数，满足，则的最小值为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
(3)若对任意，恒成立，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【例5】(1)已知正实数，满足，则的最小值是________．
(2)已知，，且，则的最小值为________．
题型四　一元二次不等式的解法
【例6】(1)已知全集，集合，则 等于(　　)
A．　 　　　B． C． D．
(2)不等式的解集为________．
(3)已知不等式的解集是，则不等式的解集是(　　)
A．　　　　B． C． D．
题型五　含参数的一元二次不等式的解法
【例7】解关于的不等式．
题型六　一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
【例8】(1)若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是____________．
(2)设函数，若对于，恒成立，求的取值范围．
(3)若不等式，当时恒成立，则的取值范围是(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
课后作业
一、基础训练题
1．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为(　　)
A． B．
C． D．或
4．设，，且，则（ ）
A．有最小值为 B．有最小值为6
C．有最小值为 D．有最小值为7
5．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
6．为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区(阴影部分)和四周的绿化带组成. 规划核心喷泉区的面积为,绿化带的宽分别为和(如图所示). 当长方形占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为 (　　)
A．　　　　　 　 B． C．　　　　 D．
7．(多选题)若，则下列不等式一定成立的是(　　)
A． B． C. D.
8．(多选题)已知，且，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则、的大小关系为________．
10．已知函数的最小值为6，则正数的值为________．
11．若，，，则的最小值为________．
12．解下列不等式：
（1）； （2）．
二、提高训练题
13．若，，则的取值范围为________．
14．对任意的，函数的值恒大于零，则的取值范围为________．
15．设函数，若存在，使得恒成立，则的取值范围是 ．
16.（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，满足，求的最大值.
17．解关于的不等式．
高一上学期期末复习导学案（二）
不等式 参考答案
【例1】(1)【答案】A
【解析】因为，所以．
又，所以，，
所以，所以．
所以．故选A．
(2)【答案】
【解析】∵，∴．
∵，
∴，即．
【例2】(1)【答案】D
【解析】因为，所以，所以，故，①正确；
，故，②正确；
，所以，③正确．故选D．
(2)【答案】ABC
【解析】A不正确，因为时，；B不正确，因为当时，不成立；C不正确，因为当，，则；D正确．
故选ABC．
【例3】(1)【答案】D
【解析】∵，∴，即．
∵，∴．故选D．
(2)【答案】，
【解析】∵，，∴，∴．
由，，得，，∴．
【例4】(1)【答案】
【解析】
，
当且仅当，即时等号成立．
(2)【答案】C
【解析】将两边同时除以，得，
则，
当且仅当，即时取等号．
故的最小值为．故选C．
(3)【答案】A
【解析】因为对任意，恒成立，
所以对，，
而对，，当且仅当时等号成立，
所以．故选A．
【例5】(1)【答案】
【解析】由可得，由且得，
所以．
易知，所以，当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值是．
(2)【答案】
【解析】依题意得，当且仅当，即时取等号．因此，的最小值为．
【例6】(1)【答案】A
【解析】由题意可得， ，故选A．
(2)【答案】
【解析】将原不等式移项通分得，等价于解得或．
所以原不等式的解集为．
(3)【答案】B
【解析】不等式的解集是，则，是一元二次方程的实数根，且，∴，．
不等式可化为，∴，
化为，又，∴，
∴不等式的解集是或，故选B．
【例7】【解析】原不等式变为，因为，所以，所以
当时，解为；
当时，解集为；
当时，解为．
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【例8】(1)【答案】
【解析】依题意，设，
因为不等式对任意实数都成立，所以，
解得．
(2)【答案】
【解析】要使在上恒成立，
则，即在上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令，．
当时，，所以，所以．
当时，，所以，所以．
综上所述，的取值范围是．
法二：因为，由，得．
因为函数在上的最小值为，所以只需即可．
又因为，所以的取值范围是．
(3)【答案】D
【解析】由题意知不等式在上恒成立，
即在上恒成立．
∴解得或．故选D．
1、【答案】B
【解析】由题得：,
由于,所以,即,所以,故,即
因为,所以,,故
故选B
2、【答案】D　
【解析】，当且仅当，即时取等号．
所以在上的最小值是．
故选：D
3、【答案】A
【解析】由题意得 解得，，所以不等式为，即，所以解集为，故选A．
4、【答案】B
【解析】因为，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
5、【答案】A
【解析】因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
6、【答案】B　
【解析】设 ，则 ，
所以长方形的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当长方形占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为.
故选B.
7、【答案】ABC
【解析】由，得，A成立；因为，所以，B成立；因为，所以，C成立；当，时，，，不成立，故选ABC．
8、【答案】AB
【解析】A．因为（，所以等号取不到），所以，故正确；
B．因为，且，所以，所以，故正确；
C．因为，又因为，所以，所以，故错误；
D．因为，所以，故错误，
故选：AB.
9、【答案】
【解析】∵，
∴．
10、【答案】
【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号．又函数的最小值为6，所以，解得．
11、【答案】
【解析】法一：由于，因此或(舍去)，
当且仅当时取等号．
法二：由题意，得，所以，
当且仅当时取等号．
12、【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）原不等式可化为，即．
解得，所以原不等式的解集为．
（2）原不等式等价于
借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为或．
13、【答案】
【解析】设，则解得
即，又，，
∴，，∴，
即，
故的取值范围是．
14、【答案】或
【解析】对任意的，恒成立，即在时恒成立．只需且，
即 解得或．
15、【答案】
【解析】由题意知有解，即有解，
则，又，得，因为，
所以的取值范围为．
16、【解析】（1）因为，
设，即，即，
所以，则，
当且仅当且，即，时等号成立.
所以的最小值为.
（2），
所以，所以，
当且仅当且，即时等号成立.
所以的最大值是.
17、【解析】∵，
∴，
令，
则此图象开口向上，且与轴交点横坐标分别为，．
①当，即时，解得；
②当，即时，解得或；
③当，即时，解得或．
综上，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
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