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2022-2023学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，被列入第一批国家非物质文化遗产名录以下几幅剪纸作品中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若分式有意义，则满足的条件是( )
A. B. C. D.
3. 若，则下列各式中错误的是( )
A. B. C. D.
4. 下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得到的点坐标为( )
A. B. C. D.
6. 过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了个三角形，则这个多边形是( )
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
7. 下列各数中，不能被整除的是( )
A. B. C. D.
8. 宝安公园是深圳西部最美丽的市政公园之一，公园植被种类丰富，空气清新，风景秀丽，最高山峰海拔米小亮和同学利用周末去爬宝安公园，已知他们上山的速度为米秒，下山的速度为米秒，若他们上山和下山所走的路程相同，则他们爬山的平均速度为米秒．( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，的高、交于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点的坐标为，点的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是______ ．
12. 如图，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，则 ______
13. 若关于的分式方程有增根，则的值是______ ．
14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交
于点，两条垂直平分线交于点，连接、、，若，则的度数为______
15. 如图，在平行四边形中，，，对角线、交于点，经过点的直线交于点，且平分的周长，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
解不等式组：．
17. 本小题分
先化简，再求值：，请从，，，中选一个你认为合适的值，代入求值．
18. 本小题分
如图，在中，点为的中点，连接，过点作于点．
尺规作图：在射线上作点，使得不写作法，只保留作图痕迹；
在的基础上，连接，求证：四边形为平行四边形．
19. 本小题分
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法请解决下列问题：
分解因式：．
已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由．
20. 本小题分
为提升青少年的身体素质，弘扬中国传统文化，市教育局在全市中小学推行“趣味体育”活动某校为满足学生的需求，准备购买一批毽球和空竹，已知毽球的单价是空竹单价的，已知用元购买毽球的数量比购买空竹的数量多个．
毽球、空竹的单价各是多少元？
若决定用不多于元购进毽球和空竹共个，最多可以购买多少个空竹？
21. 本小题分
阅读材料：
在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．
如图，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；如图，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分．
请根据以上材料回答问题：
图阴影部分含边界表示的是______ 填写不等式表示的平面区域；
如图，请求出表示阴影部分平面区域含边界的不等式组；
如图，点在轴上，点的坐标为，且，点为内部一点含边界，过点分别作，，，垂足分别为，，，若，则所有点组成的平面区域的面积为______ ．
22. 本小题分
【课本重现】已知：如图，，分别是等边的两边，上的点，且若，交于点，则 ______ ；
【迁移拓展】如图，已知点是等边的边上一点，点是延长线上一点，若，连接，求证：；
【拓展延伸】如图，若点，分别是，延长线上一点，且连接，以为边向右侧作等边，连接，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C、不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
．
故选：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：不等式的两边都减去，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B.不等式的两边都乘，不等号的方向不改变，故本选项正确，不符合题意；
C.不等式的两边都乘，不等号的方向改变，故本选项错误，符合题意；
D.不等式的两边都变为三次方，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意．
故选：．
依据不等式的基本性质进行判断，即可得出结论．
本题考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】解：、该式子是乘法交换律，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、该式子右边不是几个整式的乘积，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、该式子的右边是几个整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意；
D、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
5.【答案】
【解析】解：将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得到的点坐标为，即．
故选：．
根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求．
根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得的值．
【解答】
解：根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，
所以，
即．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：，
，所以能被整除；
，所以能被整除；
，所以能被整除；
为小数，所以不能被整除，
故选：．
根据有理数乘方的运算法则可知原式等于，从而可选出正确答案．
本题主要考查了有理数的乘方运算．本题的关键是结合法则将已知式子进行化简．
8.【答案】
【解析】解：上山的时间为：秒，
下山的时间为：秒，
他们爬山的平均速度为：米秒．
故选：．
根据山高与上山速度和下山速度表示出上山和下山的时间，再利用平均速度总路程总时间求出平均速度即可．
本题考查了分式的应用，理解平均速度等于总路程除以总时间是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：在中，，分别是三角形的高，
．
在与中，
，
≌，
，
，
．
在与中，
，
≌，
，，
．
设，则，．
在中，，
，
，
，
，
即的长为．
故选：．
先证明≌，得出，再证明≌，得出，，利用勾股定理求出设，在中利用勾股定理列出方程，求出，进而得到．
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用勾股定理求出并在中利用勾股定理列出方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接，的中点为，的中点为，过点作轴，垂足为，点坐标为，
，，．
根据翻折的性质可知，对角线翻折后，落在轴上．
在中，，
，
，由中点坐标公式得：
，
，
，
设所在直线解析式为，代入坐标得：
，解得，
所在直线解析式为：．
平行四边形是中心对称图形，过的直线平分六边形的面积．
由对折的性质可知，直线也平分六边形的面积，
过作垂直于轴，垂足为点，在中，，，
，
点的坐标为，设所在直线解析式为：，代入点的坐标得，
所在直线解析式为：，
综合分析平分六边形的面积的直线是和．
故选：．
利用平行四边形是中心对称图形，两个平行四边形对角线交点的连线平分六边形面积，两个平行四边形的对称轴也平分六边形面积分类计算得出解析式．
本题考查了平行四边的中心对称性质，用待定系数法求出两条平分面积的直线解析式是本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：从图上可知，折线从出发向左，且是空心圆点，所以解集为，
它的正整数解为．
故答案为：．
根据数轴上折线的方向及圆点的特点可直接解答．
用数轴确定不等式组的解集是中考的命题重点，体现了数形结合的思想．此题主要考查不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集．
不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
12.【答案】
【解析】解：将线段绕点按顺时针方向旋转，
，，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
去分母，得：；
分式方程有增根，
，
把代入，
则，
解得：；
故答案为：．
先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】
【解析】解：如图：设的垂直平分线交于点，
是的垂直平分线，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
设的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质可得，，，，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用平角定义可得，进而可得，然后利用角的和差关系可得，从而利用周角定义进行计算，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，
，
平分的周长，
，
，
即，
又，
，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由三角形的中位线定理可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
17.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】通分先算括号内的，把除化为乘，约分化简后将已知范围内原式有意义的的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将所求式子化简．
18.【答案】解：如图，点为所作；
证明：，，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形．
【解析】利用基本作图，过点作的垂线即可；
先证明得到，再证明≌得到，然后根据平行四边形的判定方法可得到结论．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质和平行四边形的判定．
19.【答案】解：
；
是等腰三角形．理由如下：
，
，
，，是的三边，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状．
本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．
20.【答案】解：设空竹的单价为元，则毽球的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
答：毽球的单价为元，空竹的单价为元．
设购买个空竹，则购买个毽球，
根据题意得：，
解得：．
是整数，
的最大值为．
答：最多可以购买个空竹．
【解析】设空竹的单价为元，则毽球的单价为元，根据用元购买毽球的个数比购买空竹是数量多个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
购买个空竹，则购买个毽球，根据总价单价购买数量结合总价钱不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小正整数即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；根据总价单价购买数量结合总价钱不多于元，列出关于的一元一次不等式．
21.【答案】
【解析】解：设经过，的直线为，
，
解得，
经过，的直线为，
观察图象可知，图阴影部分含边界表示的是表示的平面区域；
故答案为：；
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为，
设直线解析式为，将代入得：
，
解得，
直线解析式为，
观察图象可知，阴影部分平面区域含边界的不等式组为；
作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，如图：
满足条件的在内包括边界，即图中阴影部分，
在中，，
．
，
，，
，
四边形是正方形，
设，则，
，
，
，
，
故答案为：．
求出经过，的直线为，可得图阴影部分含边界表示的是表示的平面区域；
用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，即得阴影部分平面区域含边界的不等式组为；
作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，满足条件的在内包括边界，再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，不等式组，三角形面积等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．
22.【答案】
【解析】【课本重现】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；
【迁移拓展】证明：如图中，过点作交的延长线于点．
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
由可知由，可得，
．
【拓展延伸】解：过点作于点，交的延长线于点，过点作于点．
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的面积．
【课本重现】证明≌，推出，可得结论；
【迁移拓展】如图中，过点作交的延长线于点证明，再利用上面结论解决问题；
【拓展延伸】过点作由点，就熬的延长线于点，过点作由点求出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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