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佛山市2022-2023学年高一下学期期末考试
数学
2023年7月
本试卷共4页，22小题．满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案答在试卷上无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（ ）
A． B． C．－7 D．7
2．若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．从正方体的八个顶点中任取四个点，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．某班12名篮球队队员的身高（单位：）分别是： 162，170，170，171，181，163，165，179，168，183，168，178则第85百分位数是（ ）
A．178 B．179 C．180 D．181
7．在中，，，，边上的高为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．设函数，则（ ）
A．
B．在内有3个零点
C．将图象向左平移个单位，得到的图象
D．在单调递减
10．已知不是直角三角形，内角所对的边分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（ ）
A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元
12．在棱长为2的正方体中，动点满足，其中，，则（ ）
A．当时，有且仅有一个点，使得
B．当时，有且仅有一个点，使得平面
C．当时，三棱锥的体积为定值
D．有且仅有两个点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则______．
14．在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是______．（仅需填写一个符合要求的数值）
15．设复数，，满足，，则______．
16．在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，，．若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
3月21日是世界睡眠日．《中国睡眠研究报告2022》指出，我国民众睡眠时长不足，每日平均睡眠时长相比十年前时间缩短近1.5小时，今年报告调查又回升0.4小时．下面是我国10个地区，50万青少年的调查数据，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的的值；
（2）以样本估计总体，求青少年的日平均睡眠时长的众数和平均数的估计值；
（3）在日平均睡眠时长为，，，的四组人群中，按等比例分层抽样的方法抽取60人，则在日平均睡眠时长为的人群中应抽取多少人？
18．（12分）
如图，在长方体木块中，，，．棱上有一动点．
（1）若，过点画一个与棱平行的平面，使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形（其中交线在平面内）．在图中画出这个正方形（不必说出理由），并求平面将长方体分成的两部分的体积比；
（2）若平面交棱于，求四边形的周长的最小值．
19．（12分）
从①，②，③的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题．
在锐角中，已知，______，求面积的取值范围．
20．（12分）
已知函数在区间单调，且，其中，．
（1）求图象的一个对称中心；
（2）求的解析式．
21．（12分）
如图，在四棱雉中，底面是正方形，侧棱底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．
22．（12分）
地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上6：00从正东方点的地平面升起，中午12：00处于天空最高点，傍晩6：00从正西方点处落入地平面．
（1）太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？
（2）若图上点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？
佛山市2022-2023学年高一下学期期末考试
数学参考答案与评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B A D B B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
题号 9 10 11 12
答案 AD ACD ACD BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．8（答案不唯一，满足或即可） 15．1 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）∵（0.05+0.12+0.36+a+0.09+0.05）×1=1，∴a=0.33．
（2）日平均睡眠时长的众数的估计值是，
日睡眠时长平均数的估计值是
．
（3）根据样本，，，的四组人群比为，用分层抽样的方法抽取60人，
则日平均眰眠时长在的人群中应抽取人．
18．【解析】（1）分别在，，上取使，，交线围成的正方形如图．
因为长方体被平面（正方形）分成两个高为5的直棱柱，
其体积比为他们各自的底面的面积比，即，
所以其体积的比值为（也正确）．
（2）平面交棱于，则四边形为平行四边形，
其周长最小当且仅当最小，将平面沿翻折到与平面同一水平面，
当三点共线时，最小为，
故四边形周长最小为．
19．【解析】设的内角的对边分别为，
选择①：由正弦定理，，得，．
且．
因此，的面积为
又且，故，因为，
所以的面积的取值范围为．
选择②：由正弦定理，，得．
且．
因此，的面积为
又且，故，
因为当时，，
所以的面积的取值范围为．
选择③：依题意，，由余弦定理的推论，
将，代入，得．
又的半周长为，故的面积为
所以的面积的取值范围为．
20．【解新】（1）由题设，的最小正周期．
由于，
故图象的一个对称中心的横坐标为，
即是图象的一个对称中心．
（2）由（1）知，故．又因为，所以．
由（1）知是图象的一个对称中心，所以，．
①若，则，．又因为，所以，此时，
当时，，此时在不单调，不合题意：
②若，则，．
又因为，所以，此时，
当时，，此时在单调，符合题意：
③若，则，．又因为，所以，此时，
当时，，此时在不单调，不合题意：
综上，，．
21．【解析】（1）连结，∵侧棱底面，
平面，∴．
又∵底面是正方形，∴．而且，
∴平面．又平面，∴平面平面．
（2）过作交于，过作于，连接．
在平面中，，，
∴，∴平面，
又平面，∴，
又∵，，∴平面，
又平面，∴，
∴为二面角的平面角．
故，则．
设，则，，．
在Rt中，，∴．
在Rt中，，∴．
所以，当二面角的余弦值为时，．
22．【解析】（1）∵，，由二面角定义可知，为圆平面与地平面的锐二面角．
在半圆中，尖角为，为，∴，
即圆平面与地平面所成的锐二面角为．
（2）过作平面，与平面交，
∴为直线与地平面的夹角．
过作直线，与直线交于，连接，．
∵平面，平面，∴
又∵，，
∴平面，∴．
点为下午3：00太阳所在位置，，
∴，．
在直角三角形中，．
∴直线与地平面的夹角，即此时阳光入射当地地平面的角度为．

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